1. Estadística
Prueba de hipótesis
Unidad III: Prueba de Hipotesis
1

2. ¿Qué es una hipótesis?

Una creencia sobre la población,
principalmente sus parámetros:





Creo que el porcentaje
de enfermos será el 5%
Media
Varianza
Proporción/Tasa
OJO: Si queremos contrastarla,
debe establecerse antes del
análisis.
Dicha creencia puede ser o no ser
verdadera
Unidad III: Prueba de Hipotesis
2

3. Contrastando una hipótesis
Son
demasiados...
Creo que la edad
media es 17 años...
¡Gran
diferencia!
Rechazo la
hipótesis
Muestra
aleatoria
X = 20 años
Unidad III: Prueba de Hipotesis
3

4. Identificación de hipótesis

Hipótesis nula Ho

Hipótesis Alternativa H1

La que contrastamos

Niega a H0

Los datos pueden refutarla

Los datos pueden mostrar evidencia
a favor

No debería ser rechazada sin una
buena razón.

No debería ser aceptada sin una
gran evidencia a favor.
H 0 :

 H1 :
Unidad III: Prueba de Hipotesis
, ,
p = 50% = ≤ ≥
p ≠ 50%
≠<>
, ,
4

5. ¿Quién es H0?

Problema: ¿La altura media o promedio de los estudiantes de
la UNT es 1.60 m?

Solución:

Traducir a lenguaje estadístico:

Establecer su opuesto:

Seleccionar la hipótesis nula
µ = 1.60
µ ≠ 1.60
H 0 : µ = 1.60
Unidad III: Prueba de Hipotesis
5

6. ¿Quién es H0?

Problema: El tiempo de vida promedio de una determinada
pieza usada en el ensamblaje de una marca de computadoras
es de 20,000 horas.

Solución:

Traducir a lenguaje estadístico:
µ = 20,000

Establecer su opuesto:
µ ≠ 20,000

Seleccionar la hipótesis nula
H 0 : µ = 20,000
Unidad III: Prueba de Hipotesis
6

7. ¿Quién es H0?

Problema: El porcentaje de personas atacadas por cierta
epidemia es una ciudad grande, no es mayor del 10%.

Solución:

Traducir a lenguaje estadístico:
p ≤ 0.10

Establecer su opuesto:
p > 0.10

Seleccionar la hipótesis nula
H 0 : p ≤ 0.10
Unidad III: Prueba de Hipotesis
7

8. Ejercicios:

Durante los últimos semestres,
el profesor de Estadística de la
UAP ha registrado que el
rendimiento medio de sus
alumnos es de 14 puntos.
Este año le ha tocado 40
alumnos
sobresalientes
porque su rendimiento medio
ha sido 17 puntos y el profesor
les proclama como superiores
a todos los alumnos que ha
tenido en la fecha.

Qué hipótesis plantearía?
H 0 : µ ≤ 14
Unidad III: Prueba de Hipotesis
H1 : µ > 14
8

9. Región crítica y nivel de significación
Región crítica
 Valores ‘improbables’ si...
 Es conocida antes de realizar el
experimento: resultados
experimentales que refutarían H0
Nivel de significación: α

Número pequeño: 1% , 5%

Fijado de antemano por el investigador

Es la probabilidad de rechazar H0
cuando es cierta
α=5%
Reg. Crit.
Reg. Crit.
No rechazo H0
Η0: µ=40
Unidad III: Prueba de Hipotesis
9

10. Contrastes: unilateral y bilateral
La posición de la región crítica depende de la hipótesis alternativa
H1: µ≠20
Bilateral
Unilateral
Unilateral
H1: µ<20
H1: µ>20
Unidad III: Prueba de Hipotesis
10

11. Riesgos al tomar decisiones
Ejemplo 1: Se juzga a un individuo por la presunta comisión de un delito
Los datos pueden refutarla

H0: Hipótesis nula


Es inocente
La que se acepta si las pruebas
no indican lo contrario
Rechazarla por error tiene graves
consecuencias
H1: Hipótesis alternativa

Es culpable
No debería ser aceptada sin una gran
evidencia a favor.
Rechazarla por error tiene
consecuencias graves
Unidad III: Prueba de Hipotesis
11

12. Riesgos al contrastar hipótesis
Ejemplo 2: Se cree que un nuevo tratamiento ofrece buenos resultados
Ejemplo 3: Parece que hay una incidencia de enfermedad más alta de lo normal





No especulativa
H0: Hipótesis nula
(Ej.1) Es inocente
(Ej.2) El nuevo tratamiento no tiene efecto
(Ej.3) No hay nada que destacar
H1: Hipótesis alternativa



Especulativa
(Ej.1) Es culpable
(Ej.2) El nuevo tratamiento es útil
(Ej. 3) Hay una situación anormal
Unidad III: Prueba de Hipotesis
12

13. Tipos de error al tomar una decisión
Realidad
Inocente
Culpable
Inocente
OK
Error
Culpable
Error
Menos grave
veredicto
OK
Muy grave
Unidad III: Prueba de Hipotesis
13

14. Establecimiento del procedimiento para
una prueba de hipótesis
Formular la hipótesis nula Ho y la alternativa H1, de acuerdo al problema.
 Escoger un nivel de significancia o riesgo a.
 Elegir la estadística de prueba apropiada, cuya distribución por muestreo
sea conocida en el supuesto de que Ho es cierta.
 Determinar el valor (o valores) críticos y con ellos se establece la región
de aceptación y rechazo.
 Calcular los valores de la prueba estadística a partir de una muestra
aleatoria de tamaño n, Ho y reemplazarlos en la estadística de prueba
elegida en el paso 3, para hallar el valor experimental.
 Tomar la decisión de aceptar Ho si el valor experimental cae en la región
de aceptación y rechazarla si dicho valor cae en la región crítica o de
rechazo.
Opcional: si se rechaza Ho, se puede hallar un intervalo de confianza para el
parámetro de interés.

Unidad III: Prueba de Hipotesis
14

15. Prueba de Hipótesis sobre una media
poblacional

Caso A: Cuando la varianza poblacional es conocida y
el tamaño de la muestra es grande o se sabe que la
población tiene una distribución normal, la estadística
de prueba es:
x−µ
Z0 =
σ
n
Unidad III: Prueba de Hipotesis
15

16. Ejemplo 1:

De acuerdo a las normas establecidas en una prueba de aptitud
académica, las personas que han concluido sus estudios secundarios
debían tener un promedio de 76.7 puntos. Si se sabe por una
investigación anterior sobre el caso, que la desviación estándar fue de 8.6
puntos y si 45 personas que concluyeron estudios secundarios son
elegidas aleatoriamente y alcanzan un promedio de 73.2, pruebe la
hipótesis de que el promedio ha disminuido.
Ho : µ = 76.7
H1 : µ < 76.7
α = 0.01
x −
µ
Z0 =
= -2.73
σ
n
Zo<Z
-2.73<-2.32
Unidad III: Prueba de Hipotesis
Ho se rechaza y se acepta H1
16

17. Ejemplo 2: desarrollar

Durante los últimos semestres, el profesor de
Estadística de una universidad ha registrado que
el rendimiento medio de sus alumnos es de 14
puntos, con una desviación de 2 puntos. Este
año le ha tocado 40 alumnos sobresalientes
porque su rendimiento medio ha sido 17 puntos y
el profesor les proclama como superiores a todos
los alumnos que ha tenido en la fecha.
Unidad III: Prueba de Hipotesis
17

18. Prueba de Hipótesis sobre una media poblacional

Caso B: Cuando no se conoce la varianza poblacional
es conocida y el tamaño de la muestra es pequeña.
x−µ
t=
s
n
T(n-1)
Unidad III: Prueba de Hipotesis
18

19. Ejemplo 3:

Suponga que un estudio relativo a 28 familias de
la urbanización El Sol, arrojo un ingreso medio
durante el 2001, de S/. 6548.00 con una
desviación estándar de S/. 952.00. Pruebe la
hipótesis de que el verdadero ingreso familiar
promedio en dicha urbanización es de S/.
6000.00 (en el año), frente a la alternativa de que
no fue S/. 6000.00 use un nivel de significancia
del 5%.
Unidad III: Prueba de Hipotesis
19

20. Desarrollo Ejercicio 3:
Ho : µ = 6000
H1 : µ ≠ 6000
α = 0.05
x −
µ
t =
0
s
t=-2.052
t=2.052
n
Ho se rechaza y se acepta H1
Unidad III: Prueba de Hipotesis
20

21. Ejercicio 4:

En una muestra aleatoria de 10 sacos de arroz
extra envasado, se obtuvo una media de 9.4 Kg.
con una desviación estándar de 1.8 Kg.
¿Contiene esta muestra suficiente evidencia para
indicar que el peso medio es menor que 10 Kg.
de arroz, a un nivel de significación de 0.1?
Unidad III: Prueba de Hipotesis
21

22. Desarrollo Ejercicio 4:
Ho : µ ≥ 10
H1 : µ < 10
α = 0.1
x −
µ
t =
0
s
t=-1.383
n
Ho se acepta entonces podemos decir que No
existe suficiente evidencia para indicar que el
peso medio de cada bolsa de arroz extra
envasado, es menor que 10 kg. a un nivel de
significancia de 10%
Unidad III: Prueba de Hipotesis
22

23. Ejercicio 5:
Suponga que se desea demostrar, sobre una
base de una muestra tomada al azar de tamaño
5, si el contenido de grasa en una mantequilla
dietética, pasa el 30%.¿Qué puede concluir con
un nivel del 1% de significación, si los valores de
la muestra son:
31.9, 30.3, 32.1, 31.7, 30.9
Unidad III: Prueba de Hipotesis
23

24. Prueba de Hipótesis para la proporción
poblacional: p

Se trata de efectuar una prueba de hipótesis acerca
de la proporción p de elementos con cierto atributo en
una población.
P − p0
Z0 =
p0 (1 − p0 )
x
P=
n
n
Unidad III: Prueba de Hipotesis
24

25. Ejercicio 5
Se realizó una encuesta con el fin de estudiar las
prácticas sanitarias dentales y las actitudes, de
cierta población urbana de adultos. De 300
adultos
entrevistados,
123
dijeron
que
regularmente se sometían a una revisión dental
dos veces al año. Pruebe la hipótesis nula de
que p=0.5 (el 50 % de los adultos de dicha
población se someten regularmente a una
revisión dental, dos veces al año)
Unidad III: Prueba de Hipotesis
25

26. Desarrollo Ejercicio 5:
Ho : p0 = 0.5
H1 : p0 ≠ 0.5
α = 0.05
Z0 =
P − p0
p0 (1 − p0 )
Z=-1.96
n
123
P =
300
Z=1.96
Ho se rechaza y se puede concluir por tanto que
el 50% de la población no se hace una revisión
dental dos veces al año.
Unidad III: Prueba de Hipotesis
26

27. Ejercicio 6:
Suponga que se sabe que el porcentaje de
artículos buenos producidos por un cierto
proceso es sólo el 90%. Se elige una muestra
aleatoria de 625 artículos en un cierto momento y
se encuentran que 550 son buenos. Si ud.
desea rechazar una hipótesis verdadera no más
de una vez en 100. Concluiría que el porcentaje
de artículos buenos producidos por el
mencionado proceso, es exagerado.
Unidad III: Prueba de Hipotesis
27

28. Desarrollo Ejercicio 6:
Ho : p0 = 0.9
H1 : p0 < 0.9
α = 0.01
Z0 =
P − p0
p0 (1 − p0 )
Z=-2.575
n
550
P =
625
Ho se acepta, es decir que no existe razón para
concluir que el porcentaje de artículos buenos
producidos es exagerado.
Unidad III: Prueba de Hipotesis
28

29. Prueba de Hipótesis en dos poblaciones
normales

Caso A: Cuando la varianza poblacional es conocida y el
tamaño de la muestra es grande o se sabe que la
población tiene una distribución normal, la estadística de
prueba es:
2
2
N ( µ1 , σ 1 )
Z0 =
N (µ2 ,σ 2 )
( x1 − x2 )
σ σ
+
n1 n2
2
1
Unidad III: Prueba de Hipotesis
2
2
29

30. Ejercicio 7:

En un sistema educativo se aplicaron dos métodos A y
B para enseñar el curso de estadística. En un grupo de
80 estudiantes se aplicó el método A y en otro de 120 se
aplicó el método B. Las medias de las calificaciones
obtenidas fueron 13 y 13.5 respectivamente. ¿Podemos
admitir que los métodos de enseñanza no son diferentes
y que las diferencias encontradas en las muestras se
deben al azar? Experiencias anteriores dicen que las
variables X1 y X2 que representan los rendimientos con
los métodos A y B, respectivamente, tienen distribución
normal con varianza 3 y 3.5 y α=0.05
Unidad III: Prueba de Hipotesis
30

31. Desarrollo Ejercicio 7:
Ho : µ1 = µ 2
Ho : µ1 ≠ µ 2
α = 0.05
Z0 =
( x1 − x2 )
σ σ
+
n1 n2
2
1
2
2
Z=-1.96
Z=1.96
Ho se acepta, es decir que la diferencia
encontrada entre las medias de las muestras no
es significativa al nivel de significancia de 0.05.
Unidad III: Prueba de Hipotesis
31

32. Prueba de Hipótesis en dos poblaciones
normales

Caso B: Igualdad de medias cuando las varianzas
poblacionales son desconocidas e iguales
N (µ2 ,σ )
N ( µ1 , σ )
2
2
t0 =
( x1 − x2 )
1 1
s  + 
n n 
2 
 1
2
p
(n1 − 1) s + (n2 − 1) s
s =
n1 + n2 − 2
2
p
Unidad III: Prueba de Hipotesis
2
1
2
2
32

33. Ejercicio 8:

Un investigador en el campo educativo sostiene que el
módulo didáctico empleado en la enseñanza de
Matemáticas es uno de los factores que influye y determina
en el proceso de enseñanza aprendizaje y, por lo tanto, el
módulo adoptado incidirá en el rendimiento académico de
los estudiantes. Para verificar su hipótesis decide realizar
el siguiente experimento: durante un semestre se llevó a
cabo el trabajo lectivo en dos grupos independientes de
estudiantes de la misma carrera en la misma universidad,
empleando dos métodos (A y B) de características bien
diferenciadas, que fueron seleccionados aleatoriamente.
Al final del curso se aplicó el mismo examen y se obtuvo
las siguiente notas:
Unidad III: Prueba de Hipotesis
33

34. Método A
16
15
13
13
16
16
Método B

15
13
14
14
11
12
14
14
17
13
Suponiendo que las muestra provienen de poblaciones
normales con varianzas iguales, ¿los resultados
encontrados por el profesor apoyan la hipótesis de
investigación con nivel de significancia de 0.01
Unidad III: Prueba de Hipotesis
34

35. Desarrollo Ejercicio 8:
t0 =
Ho : µ1 = µ 2
Ho : µ1 ≠ µ 2
α = 0.01
( x1 − x2 )
1 1
s  + 
n n 
2 
 1
2
p
2
(n1 − 1) s12 + (n2 − 1) s2
2
sp =
n1 + n2 − 2
t=-2.947
t=2.947
Ho se rechaza, es decir que la diferencia
encontrada entre las medias de las muestras es
significativa a un nivel de significancia de 0.05.
Unidad III: Prueba de Hipotesis
35

36. Prueba de Hipótesis en dos poblaciones
independientes

Caso C: Prueba de hipótesis para diferencia de
proporciones
Z0 =
P − P2
1
1 1 
P (1 − P )  + 
 n1 n2 
n1 P + n2 P2
1
P=
n1 + n2
Unidad III: Prueba de Hipotesis
A
P=
1
n1
B
P2 =
n2
36

37. Ejercicio 9:
Unidad III: Prueba de Hipotesis
37