3. Inicio
Presentación
Las primeras civilizaciones mediterráneas adquieren poco a poco
ciertos conocimientos geométricos de carácter eminentemente
práctico. La geometría en el antiguo Egipto estaba muy desarrollada,
como admitieron Heródoto, Estrabón y Diodoro, que aceptaban que los
egipcios habían "inventado" la geometría y la habían enseñado a los
griegos; aunque lo único que ha perdurado son algunas fórmulas –o,
mejor dicho, algoritmos expresados en forma de "receta"– para calcular
volúmenes, áreas y longitudes, cuya finalidad era práctica. Con ellas se
pretendía, por ejemplo, calcular la dimensión de las parcelas de tierra,
para reconstruirlas después de las inundaciones anuales. De allí el
nombre γεωμετρία, geometría: "medición de la tierra" (de γ ῆ (gê) 'tierra'
más μετρία (metría), 'medición').
4. Inicio
ÁNGULO
Es la reunión de dos rayos que tienen el mismo origen.
A
O B
VÉRTICE: Punto O
LADOS: Los rayos OA y OB
5. MEDIDA DE UN ÁNGULOS
La medida de un ángulo se refiere a la medida de la abertura. El sistema mas
utilizado para la medición de ángulos es el SISTEMA SEXAGESIMAL, cuya
unidad es el GRADO SEXAGESIMAL(1°) (que es la 360 ava parte de una
circunferencia).
1° = 60’
1′ = 60”
6. Inicio
EJERCICIOS SOBRE EL SISTEMA DE MEDICIÓN DE ANGULOS
EJERCICIO 1.- Expresar en grados, minutos y segundos sexagesimales la medida
de un ángulo de 35, 12°
♣35,12° = 35° + 0,12°
♣Utilizando la equivalencia: 1° = 60’
0,12 × 600,12° '= x
x= = 7,2
De donde: 1
♣7,2’ = 7’ +0,2’
♣Utilizando la equivalencia: 1’ = 60’’
0,2 × 60 0,2’ ='' x
x= = 12
De donde:
1
♦Por lo tanto: 35,12° = 35° 7’ 12’’
7. Inicio
EJERCICIO 2: expresar en grados sexagesimales la medida de un ángulo de 16°
12’ 15’’
♣ 15’’ lo convertimos a minutos utilizando la equivalencia:
1’ = 60’’
x = 15’’
1×15
De donde: x= = 0,25'
60
♣ A los 12’ le sumamos los 0,25’, luego tenemos 12,25’
♣ Los 12,25’ lo convertimos a grados, utilizando la equivalencia:
1° = 60’
x = 12,25’
1×12,25
De donde: x= = 0,204°
60
♦ Por lo tanto: 16° 12’ 15’’ = 16,204°
8. Inicio
CONGRUENCIA DE ÁNGULOS
Dos ángulos son congruentes si y solo si tienen la misma medida
∠ABC ≅∠EFG ⇔ m∠ ABC = m∠EFG
9. Inicio
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS
A.- SEGÚN SU MAGNITUD
Ángulo Nulo.- su medida es cero grados.
Ángulo Agudo.- Su medida es mayor que 0° y menor que 90°.
Ángulo Recto.- Su medida es 90°.
Ángulo Obtuso.- Su medida es mayor que 90° pero menor que 180°.
Ángulo Llano.- Su medida es 180°.
Ángulo Cóncavo o no convexo.- su medida es mayor que 180° pero menor
que 360°.
Ángulo Convexo.- Su medida es mayor que 0° pero menor que 180°.
ACTIVIDAD: Traza en tu cuaderno cada uno de estos ángulos considerando
Sus características.
10. Inicio
B.- SEGÚN LA SUMA DE SUS MEDIDAS
Ángulos Complementarios.- Dos ángulos son
complementarios si sus medidas suman 90°.
Así:
El complemento de 20° es 70°
El complemento de 23° 45’ 36” es 66° 14’ 24”
Ángulos Suplementarios.- Dos ángulos son suplementarios
si sus medidas suman 180°.
Así:
El suplemento de 57° es 123°
El suplemento de 20° 44’ 52” es 159° 15’ 8”.
ACTIVIDAD:
1.- Halla el complemento de: 65° 43’ 47”
2.- Halla el suplemento de 145° 3’ 27”
3.- Halla el complemento del suplemento de 132° 59’ 43”
11. Inicio
C.- SEGÚN SU POSICIÓN
Ángulos consecutivos.- Dos ángulos son consecutivos si tienen
el mismo vértice y dos a dos tienen un mismo lados común.
Ángulos Adyacentes o Par Lineal.- dos ángulos son
adyacentes o par lineal si son consecutivos y suplementarios
Ángulos Opuestos por el Vértice.- son dos ángulos que tienen
el mismo vértice común y los lados de uno de ellos son la
prolongación de los lados del otro.
13. Inicio
RESOLVAMOS PROBLEMAS CON ÁNGULOS
Se tiene dos ángulos consecutivos MON y NOP cuya diferencia de
sus medidas es 40°. Calcular la medida del ángulo formado por la
bisectriz OQ (rayo que divide al ángulo en dos de igual medida) del
ángulo MOP con el lado común ON.
P N ∠ MON − ∠ NOP = 40°.........(1)
Q
∠ NOP + ∠ NOQ = ∠ MON − ∠ NOQ
2∠ NOQ = ∠ MON − ∠ NOP.....(2)
O M
Re emplazando (2) en (1)
2∠ NOQ = 40°
∠ NOQ = 20°
14. Inicio
AHORA TE TOCA RESOLVER LOS PROBLEMAS
1.-Tres ángulos consecutivos se forman en un plano. El primer
ángulo mide la tercera parte del segundo y el tercer ángulo, 10°
más que el primero. Calcula la medida de cada ángulo.
2.- Calcula el complemento del suplemento de 120° y luego
adiciónale el suplemento del complemento de 60°.
3.- Calcula la medida de un ángulo, si sabes que el suplemento
de su complemento es seis veces la medida del ángulo.
4.- La diferencia entre el suplemento y complemento de un
ángulo es 6 veces la medida del ángulo. Calcula el suplemento
del complemento del ángulo.
5.- Cinco ángulos consecutivos están formados en un plano. El
tercero excede al primero en 27°, el segundo es el doble del
cuarto y la mitad del quinto ángulo. Si el primero es congruente
con el cuarto ángulo, ¿cuánto mide cada ángulo?
Resuelve la Actividad 15 del texto.
15. TEOREMAS SOBRE ÁNGULOS
TEOREMA 1.- “Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes”.
C B
O
D A
HIPÓTESIS: ∠ AOB Y ∠ COD ángulos opuestos por el vértice
TESIS: ∠ AOB ≅ ∠ COD
DEMOSTRACIÓN
AFIRMACIÓN JUSTIFICACIÓN
1. m∠ AOB + m∠ BOC = 180° Ángulos suplementarios
2. m∠ BOC + m∠ COD = 180° Ángulos suplementarios
3. m∠ AOB = ∠ COD De 1 y 2 Propiedad transitiva
4.- ∠ AOB ≅ ∠ COD Definición de congruencia
16. TEOREMA 2.- “ Las bisectrices de dos ángulos adyacentes forman un ángulo
recto”
N B
M
C O A
HIPÓTESIS: ∠ AOB y ∠ BOC ángulos adyacentes
MO y ON sus bisectrices respectivas.
TEOREMA 3.- “ dos ángulos que son suplementarios del mismo ángulo ode
ángulos congruentes son congruentes”
TAREA GRUPAL: Actividad 16 del Texto.
18. Inicio
EJERCICIOS
1.- Calcular los siete ángulos que faltan (L1 // L2 )
L1
112º52’37’’
L2
2.- Calcular “x + y” a partir del gráfico dado (L 1 // L2 )
L1
L2
x+30º
140º
y
19. Inicio
3.- Calcular “x” a partir del gráfico mostrado (L1 // L2) 4.- Calcular “x” a partir del gráfico mostrado (L1 // L2). Si: m∢AOB = 2m∢BOC.
Si la medida del ángulo AOB es el complemento de la
A
mitad de 40º.
B
O B L1
A L1
C O
x+30º L2
x + 10º
L2
5.-Una pareja de ángulos conjugados entre paralelas están en la
relación de 3 a 7 Calcular el complemento del que se pueda.
6.- Dos ángulos alternos entre paralelas miden: 2x+20º y
3x−10º. Calcular el suplemento de la suma de las medidas de
ambos.
7.- Dos ángulos alternos entre paralelas miden x+50º y 70º−y.
Calcular el complemento de x + y.
8.- Una pareja de ángulos conjugados entre paralelas están en
la relación de 5 a 4. Hallar el suplemento de la diferencia de
estos ángulos.
