Aplicacion de la integral

MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral

4
4.1 ÁREAS DE REGIONES PLANAS
4.2 VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
4.3 LONGITUD DE UNA CURVA PLANA
4.4 VALOR MEDIO DE UNA FUNCIÓN

Objetivo:
Se pretende que el estudiante calcule áreas de regiones planas generales,
volúmenes de sólidos de revolución, longitud de una curva plana

65


4.1 AREAS DE REGIONES PLANAS
4.1.1 ÁREA BAJO UNA CURVA

En el capítulo anterior se mencionó que para calcular el valor del
área bajo una curva, se particiona la región plana y luego se hace una
suma infinita de las áreas de las particiones, lo cual equivale a una
integral definida.

Ahora podemos hacerlo de una manera abreviada. Considerando
sólo una partición representativa, un rectángulo diferencial que
represente a cualquier partición de la región plana

El área del elemento diferencial será: dA= hdx= f (x)dx
b

Por tanto, el área de la región plana es: A =
∫ f ( x)dx
a

4.1.2 ÁREA ENTRE CURVAS

Si la región plana tuviera la siguiente forma:

El área del elemento diferencial será: dA = hdx = [ f ( x) − g ( x)]dx

66


b

Entonces el área de la región plana esta dada por: A =
∫ [ f ( x) − g ( x)]dx
a

CONCLUSIÓN:
Para hallar el área de una región plana, siga los
siguientes pasos:
1. Dibuje las curvas dadas.
2. Identifique la región plana. Aquí se definen los
límites de integración.
3. Defina el rectángulo diferencial, el elemento
representativo.
4. Defina la integral o las integrales para él área.
5. Evalúe la integral definida.

Ejemplo 1
⎧y = x + 4
⎪
Calcular el valor del área de la región limitada por ⎨
⎪y = x2 − 2
⎩
SOLUCIÓN:
PASO 1: Graficamos en un mismo plano y = x + 4 y y = x − 2
2

PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de las curvas.

PASO 3: Definimos el elemento diferencial.

x + 4 = x2 − 2
x2 − x − 6 = 0
(x − 3)( x + 2) = 0
x=3 ∨ x = −2

PASO 4: La integral definida para el área sería:
3

A=
∫
−2
[(x + 4) − (x 2
)]
− 2 dx

PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos:

67


3 3

A=
∫
−2
[(x + 4) − (x 2
)]
− 2 dx =
∫
−2
[− x 2
]
+ x + 6 dx

3
⎛ x3 x2 ⎞
= ⎜− + + 6x ⎟
⎜ 3 2 ⎟
⎝ ⎠ −2
⎛ 33 3 2 ⎞ ⎛ (− 2 )3 (− 2 )2 ⎞
= ⎜− + + 6(3) ⎟ − ⎜ − + + 6(− 2 )⎟
⎜ 3 2 ⎟ ⎜ 3 2 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9 8
= −9 + + 18 − + 2 − 12
2 3
5
A=
6

Ejemplo 2
⎧
⎪ y = x 3 − x 2 − 6x
Calcular el valor del área de la región limitada por ⎨
⎪y = 0
⎩
SOLUCIÓN:
PASO 1: Dibujamos y = x3 − x 2 − 6 x
PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de la curva con
el eje x.

PASO 3: Definimos el elemento diferencial.

x3 − x 2 − 6 x = 0
( )
x x2 − x − 6 = 0
x(x − 3)( x + 2) = 0
x=0 ∨ x=3 ∨ x = −2

PASO 4: La integral definida para el área sería:
0 3

A=
∫
−2
[(x 3
)
− x − 6 x − (0) dx +
2
]
∫
0
[(0) − ( x 3
]
− x 2 − 6 x dx

PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos:

68


0 3

A=
∫ [(
−2
)
x 3 − x 2 − 6 x − (0) dx + ]
∫[ 0
]
(0) − ( x 3 − x 2 − 6 x dx

0 3

=
∫
−2
[x 3
]
− x 2 − 6 x dx +
∫
0
[− x 3
]
+ x 2 + 6 x dx

0 3
⎛ x4 x3 x2 ⎞ ⎛ 4 3 2 ⎞
=⎜ − −6 ⎟ + ⎜− x + x + 6 x ⎟
⎜ 4 3 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠ −2 ⎝ 4 3 ⎠0
⎡ ⎛ (− 2)4 (− 2 )3 (− 2)2 ⎞⎤ ⎡⎛ 3 4 3 3 32 ⎞ ⎤
= ⎢0 − ⎜ − −6 ⎟⎥ + ⎢⎜ − + +6 ⎟ − (0)⎥
⎢ ⎜ 4 3 2 ⎟⎥ ⎢⎜ 4 3 2 ⎟ ⎥
⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎣⎝ ⎠ ⎦
8 81
= −4 − + 12 − + 9 + 27
3 4
253
A=
12

4.1.3 ÁREA DE REGIONES SIMPLE- y

Si la región plana tuviese la siguiente forma:

Es más conveniente tomar el elemento diferencial representativo
en disposición horizontal

El área del elemento diferencial será: dA = hdy = xdy = f ( y ) dy

d

Entonces el área de la región plana es: A =
∫ f ( y)dy
c

Y para el caso de regiones simple-y más generales, tenemos:

69


El área del elemento diferencial será: dA = hdy = [ f ( y ) − g ( y ) ]dy

Entonces el área de la región plana esta dada por:
d

A=
∫ [ f ( y) − g ( y)]dy
c

Ejemplo 3
⎧y = x
⎪
Calcular el área de la región limitada por ⎨ y = − x + 6
⎪y = 0
⎩
SOLUCIÓN:
PASO 1: Se dibuja en un mismo plano y = x y y = −x + 6

PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallamos las intercepciones de las curvas.

PASO 3, 4 y 5: En este caso observamos que el elemento diferencial puede ser de las dos formas.

PRIMER MÉTODO.
Escogemos el elemento diferencial vertical

x = −x + 6

( x) 2
= (− x + 6)2
2
x = x − 12 x + 36
x 2 − 13x + 36 = 0
(x − 9)(x − 4) = 0
x=9 ∨ x=4

El área está dado por:

70


4 6

A=
∫ ∫
0
x dx +

4
(− x + 6)dx

6
4 ⎛ x2 ⎞
3
=2 x 2
3
() + ⎜−
⎜ 2
+ 6x ⎟
⎟
0 ⎝ ⎠4

⎤ ⎛ 6 ⎞ ⎛ 42 ⎞
2
⎡
= ⎢ 2 (4 ) 2 − 0⎥ + ⎜ − + 6(6 )⎟ − ⎜ − + 6(4 )⎟
3
⎣3 ⎦ ⎜ 2
⎝
⎟ ⎜ 2
⎠ ⎝
⎟
⎠
16
= − 18 + 36 + 8 − 24
3
22
A=
3

SEGUNDO MÉTODO.
Escogiendo el elemento diferencial horizontal:

El área está dada por:
2

A=
∫
0
[(6 − y ) − y ]dy
2

2
⎛ y 2 y3 ⎞
= ⎜6y − − ⎟
⎜ 2 3 ⎟
⎝ ⎠0
⎛ 2 2 23 ⎞
= ⎜ 6(2) − − ⎟ − (0)
⎜ 2 3 ⎟
⎝ ⎠
8
= 12 − 2 −
3
22
A=
3

Ejemplo 4
⎪ y = x −1
⎧
Calcular el área de la región limitada por ⎨
⎪x = 3 − y 2
⎩
SOLUCIÓN:
PASO 1, PASO 2 y PASO 3: El elemento diferencial sería mejor horizontal en este caso

71


y + 1 = 3 − y2
y2 + y − 2 = 0
( y + 2)( y − 1) = 0
y = −2 ∨ y =1

Paso 4 y 5: El área de la región sería:
1

A=
∫
−2
[(3 − y )− (y + 1)]dy
2

1

=
∫
−2
[− y 2 ]
− y + 2 dy

1
⎛ y3 y 2 ⎞
= ⎜− − + 2y⎟
⎜ 3 2 ⎟
⎝ ⎠ −2
⎛ 13 12 ⎞ ⎛ (− 2 )3 (− 2)2 ⎞
= ⎜− − + 2(1)⎟ − ⎜ − − + 2(− 2 )⎟
⎜ 3 2 ⎟ ⎜ 3 2 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 1 8
=− − +2− +2+4
3 2 3
9
A=
2

Ejercicios propuestos 4.1
Hallar el área de la región limitada por las curvas:

1. y = 2 − x 2 , y = x,
2. y = 4 x − x 2 , y = 0, entre x = 1 y x = 3 .

3. y = x − 4, y = 0, x = 8 .
4. y = x − 4 x + 3, x − y − 1 = 0 .
2

5. y = 2x , y = 2 x − 4, x = 0.
6. y − 2 x = 0,
2
y + 4 x − 12 = 0 .
2

7. y 2 = x + 2, y = x − 4
8. y = x2 , y = −x 2 + 4x
2x
9. y = x + 6, y = x3 , y = − .
4
10. y = x − 1, y = x − 3
2

11. y = x 3 + 3 x 2 , y = x,
12. y = x 3 − 6 x 2 + 8 x, y = x 2 − 4x

72


4.1.4 AREAS EN COORDENADAS POLARES.
Ahora trataremos regiones simple- θ , regiones que están limitadas
por curvas cuyas ecuaciones están dadas en forma polar.

En este caso, el elemento diferencial tiene la forma de un sector
circular, entonces su área está dada por:
1
dA = r 2 dθ
2

Por tanto el área de la región está dada por:
θ2

∫ [ f (θ) ]2 d θ
1
A=
2
θ1

Ejemplo 1
Hallar el área de la región encerrada por r = a
SOLUCIÓN:

Graficando la circunferencia r = a e identificando la región, tenemos:

73


θ2

∫[ f ( θ ) ]2 d θ
1
A=
2
θ1
2π

∫ [a ]2 d θ
1
=
2
0
2π

El área estaría dada por:
∫
1
= a2 dθ
2
0
1 2π
= a2θ 0
2
A = πa 2

Ejemplo 2
Hallar el área de la región encerrada por r = 1 + cos θ
SOLUCIÓN:
Graficando la cardioide r = 1 + cos θ e identificando la región, tenemos:

θ2

∫[ f ( θ ) ]2 d θ
1
A=
2
θ1

⎡ π ⎤

∫
⎢1
= 2⎢ [1 + cos θ ] d θ ⎥
2
⎥
⎢2 ⎥
⎣ 0 ⎦
π

=
∫[
0
1 + 2 cos θ + cos 2 θ d θ ]
π π π

∫ ∫ ∫
= dθ + 2 cos θ d θ + cos 2 θ d θ
0 0 0
π π π

∫ ∫ ∫
⎛ 1 cos 2 θ ⎞
= dθ + 2 cos θ d θ + ⎜ + ⎟ dθ
⎝2 2 ⎠
0 0 0
π
sen 2 θ
A = θ + 2 sen θ + 1
2
+
4 0
A=π

74


Ejemplo 3
Hallar el área de la región encerrada por r = 4 sen 3θ
SOLUCIÓN:

Graficando la rosa r = 4 sen 3θ e identificando la región, tenemos:

θ2

∫[ f (θ ) ]2 d θ
1
A=
2
θ1
⎡ π ⎤
⎢ 6 ⎥
⎢1
= 6⎢
⎢
2
⎢ 0
∫
[4 sen 3θ ] dθ ⎥
2
⎥
⎥
⎥
⎣ ⎦
π
6

=3
∫[
0
16 sen 2 3θ d θ ]
π
6

∫
⎡ 1 − cos 6θ ⎤
= 48 ⎢ ⎥ dθ
⎣ 2 ⎦
0
π
⎡ sen 6θ ⎤ 6
= 24 ⎢θ −
⎣ 6 ⎥0⎦
⎡⎛ sen 6 π ⎞ ⎛ ⎤
⎜π 6 ⎟ − ⎜ 0 − sen 0 ⎞ ⎥
A = 24 ⎢⎜ − ⎟ ⎟⎥
⎢⎜ 6 6 ⎟ ⎝ 6 ⎠
⎢⎝
⎣ ⎠ ⎥
⎦
⎛π ⎞
A = 24 ⎜ ⎟
⎝6⎠
A = 4π

Ejemplo 4
Hallar el área de la región encerrada por el rizo de r = 2 − 4 cos θ
SOLUCIÓN:

Graficando el caracol r = 2 − 4 cos θ e identificando la región, tenemos:

75


θ2

∫ [ f (θ) ]2 dθ
1
A=
2
θ1
⎡ π ⎤
⎢ 3 ⎥

∫
⎢1 ⎥
= 2⎢ (2 − 4 cos θ )2 d θ ⎥
⎢ 2 ⎥
⎢ ⎥
⎢ 0
⎣ ⎥
⎦
π
3

=
∫[
0
4 − 16 cos θ + 16 cos 2 θ d θ ]
π π π
3 3 3

=
∫ ∫
0
[4 ]dθ −
0
[16 cos θ ]dθ +
∫[
0
]
16 cos 2 θ d θ

π π π
3 3 3

∫ ∫ ∫
⎡ 1 + cos 2 θ ⎤
=4 d θ − 16 [cos θ ]dθ + 16 ⎢ ⎥ dθ
⎣ 2 ⎦
0 0 0
π
sen 2 θ 3
A = 4 θ − 16 sen θ + 8θ + 4
2 0
⎛ π π π⎞
A = ⎜ 12 − 16 sen + 2 sen 2 ⎟ − (12 ( 0 ) − 16 sen 0 + 2 sen 0 )
⎝ 3 3 3⎠
3 3
A = 4 π − 16 +2
2 2
A = 4π − 7 3

Ejemplo 5
⎧ r = 3 sen θ
Hallar el área de la región interior a ambas curvas ⎨
⎩ r = 1 + cos θ
SOLUCIÓN:

Graficando las figuras e identificando la región, tenemos:

76


El ángulo de intersección se la obtiene igualando las ecuaciones de las curvas y luego
resolviendo la ecuación trigonométrica que se forma, es decir:

3 sen θ = 1 + cos θ

( 3 sen θ )2 = (1 + cos θ )2
3 sen 2 θ = 1 + 2 cos θ + cos 2 θ
( )
3 1 − cos 2 θ = 1 + 2 cos θ + cos 2 θ
2
4 cos θ + 2 cos θ − 2 = 0
2 cos 2 θ + cos θ − 1 = 0
(cos θ + 1)(2 cos θ − 1) = 0
cos θ = − 1 ∨ cos θ = 1
2
θ=π ∨ θ=π
3
π
3 π

∫[ ]
∫ [1 + cos θ ]2 d θ
1 2 1
A= 3 sen θ d θ +
2 2
0 π
3
π π
3⎛1 sen 2 θ ⎞ 3 1 ⎡ 1 sen 2 θ ⎤
A= ⎜ θ− ⎟ + ⎢ θ + 2 sen θ + θ +
2⎝2 4 ⎠0 2⎣ 2 4 ⎥π ⎦
3

3⎛π 3 ⎞ 1 ⎛⎛ 3 ⎞ ⎛ π
⎟ + ⎜⎜ π⎟ − ⎜ + 3 ⎞⎞
⎟⎟
A= ⎜ − 3+
2⎜6
⎝ 8 ⎟ 2 ⎜⎝ 2 ⎠ ⎜ 2
⎠ ⎝ 8 ⎟⎟
⎠⎠
⎝
π 3 π π 9
A= − 3 +3 − − 3
4 16 4 4 16
π 3
A=3 − 3
4 4

Ejercicios propuestos 4.2
1. Hallar el área limitada por la curva r = a cos 3θ .

2. Determinar el área de la región exterior a r = 2 + sen θ , e interior a r = 5 sen θ
3. Determine el área de la región interior de la cardioide r = 3 + 3 cosθ y exterior a la cardioide
r = 3+ 3senθ en el primer cuadrante

4. Determine el área de la región dentro de la circunferencia r = 3senθ y fuera de r = 2 − senθ .

77


5. Determinar el área interior a r 2 = 8 cos 2θ y exterior a r =2.

6. Calcular el área de la región que es externa a la cardioide r = 2 + 2senθ e interna a la cardioide
r = 2 + 2 cosθ

7. Determine el área interior al limaron r = 3 − 6senθ pero exterior al rizo.

8. Hallar el área de la región interna común entre r = cos 2θ y r = sen2θ

9. {
Determine el área de la región R = (r ,θ ) / 3 3 ≤ r ≤ 6 cos 2θ }

4.2 VOLUMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Suponga que se tiene una región plana y que se la hace girar
0
360 con respecto a un determinado eje, esta situación provoca que se
genere lo que se llama SÖLIDO DE REVOLUCIÓN.

En primera instancia generalicemos 3 situaciones que se presentan.

CASO I. Suponga que se tiene una región plana simple-x, como la
que se muestra en la figura. Al girar la región con respecto al eje "x" se
formará un sólido de revolución:

El volumen de este sólido de revolución se lo puede calcular de la
siguiente manera:

Primero: se determina el volumen del sólido diferencial que se forma
al girar el elemento diferencial representativo en torno al eje indicado.

78


Observe que lo anterior también se lo puede ver como que se
rebana el sólido y se determina el volumen de una partición. En este
caso el sólido diferencial tiene la forma un DISCO, por tanto su
volumen está dado por:

dV = πr 2 dx = π[ f ( x)] dx
2

Segundo: El volumen de todo el sólido es una suma infinita de los
volúmenes de las particiones, es decir:
b

V =π
∫ [ f ( x)]
2
dx
a

CASO II. Suponga ahora que la región plana fuese como la que
se sombrea en la figura. Al girar la región alrededor del eje "x" se genera
un sólido de revolución de la siguiente forma:

Primero: El sólido diferencial que se genera al rotar el elemento
diferencial alrededor del eje "x", para cada partición tiene la forma de
un ANILLO

79


El volumen del sólido diferencial estaría dado por:

[
dV = π r2 −r 1 dx
2 2
]
pero observe que: r2 = f ( x) y r1 = g ( x) entonces:

[
dV = π ( f ( x) ) − ( g ( x) ) dx .
2 2
]

Segundo: EL volumen total del sólido que se genera al girar la
región plana alrededor del eje "x", estaría dado por:
b

V =π
∫ [( f ( x)) ]
− ( g ( x) ) dx
2 2

a

CASO III. Ahora en cambio suponga que si tuviésemos que girar
la región anterior en torno al eje "y":

El sólido diferencial tendría la forma de una CORTEZA:

80


Para determinar el volumen de este elemento diferencial, lo
cortamos y lo abrimos, se obtiene un prisma rectangular:

2πr
h

dx

Su volumen sería:

dV = 2πrhdx
r=x
Pero observe que: h = f ( x) − g ( x)

Por tanto el volumen total del sólido sería:
b

∫
V = 2π x[ f ( x) − g ( x)]dx .
a

Para regiones simples-y, los procedimientos son análogos.

Ejemplo 1
⎧
⎪y = x
2
Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana R : ⎨
⎪ y = 8x
⎩
alrededor del eje x.
SOLUCIÓN:

PASO 1: trazamos las gráficas de las curvas dadas.
PASO 2: Identificamos la región.
PASO 3: El elemento diferencial, lo escogemos vertical

x 2 = 8x
x 4 = 8x
( )
x x3 − 8 = 0
x=0 ∨ x=2
81


Al hacer girar el elemento diferencial en torno al eje indicado se forma un anillo, cuyo volumen está
[ 2 2
]
dado por: dV = π r2 − r 1 dx y en este caso r2 = 8 x y r1 = x
2

PASO 4: Por tanto
2

∫ ( ) − (x ) ⎤ dx
⎡ 8x 2 2
2
V =π
⎢
⎣ ⎥
⎦
0
2

=π
∫0
[8x − x ]dx
4

2
⎛ x2 x5 ⎞
= π⎜ 8 − ⎟
⎜ 2 5 ⎟
⎝ ⎠0
⎛ 32 ⎞
= π⎜16 − ⎟
⎝ 5 ⎠
48
V= π u3
5
NOTA: resuelva el ejemplo tomando el elemento diferencial horizontal.

Ejemplo 2
⎧y = x2
⎪
⎪ y = 8x
⎩
alrededor del eje y.

SOLUCIÓN:

PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la del ejercicio anterior
PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje "y" da lugar a una Corteza

Cuyo volumen está dado por dV = 2 πrhdx y en este caso r=x y
h = 8 x − x 2

PASO 4: Por tanto:
82


2

V = 2π
∫[ (
0
)]
x 8 x − x 2 dx

2

∫
⎛ 3 ⎞
= 2π ⎜ 8 x 2 − x3 ⎟dx
⎜ ⎟
⎝ ⎠
0
2
⎡2 8 5 x4 ⎤
= 2π ⎢ x 2− ⎥
⎢
⎣
5 4 ⎥
⎦0
⎡⎛ 2 8 5 24 ⎞ ⎤
= 2π ⎢⎜ 2 2− ⎟ − ( 0) ⎥
⎢⎜ 5 4 ⎟ ⎥
⎣⎝ ⎠ ⎦
⎡ 32 ⎤
= 2π ⎢ − 4⎥
⎣5 ⎦
24π 3
V = u
5

Ejemplo 3
⎧y = x2
⎪
⎪ y = 8x
⎩
alrededor del eje y = 4
SOLUCIÓN:
PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la de los ejercicios anteriores
PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " y = 4 " da lugar a una Anillo

[ ]
El volumen de este diferencial está dado por dV = π r2 − r 1 dx y en este caso r2 = 4 − x 2
2 2

y r1 = 4 − 8 x

PASO 4: Por tanto, calculando el volumen tenemos:

83


2

∫( ) ( )
⎡ 22 2⎤
V =π ⎢ 4 − x − 4 − 8 x ⎥ dx
⎣ ⎦
0
2

=π
∫ [(
0
)(
16 − 8 x 2 + x 4 − 16 − 8 8 x + 8 x dx)]
2

∫
⎛ 4 1 ⎞
=π ⎜ x − 8 x 2 − 8 x + 8 8 x 2 ⎟dx
⎜ ⎟
⎝ ⎠
0
2
⎛ x5 x3 x 2 32 2 3 2 ⎞
= π⎜ −8 −8 + x ⎟
⎜ 5 3 2 3 ⎟
⎝ ⎠0
⎡⎛ 25 3 2
32 2 3 2 ⎞ ⎤
= π ⎢⎜
2 2
−8 −8 + 2 ⎟ − ( 0) ⎥
⎢⎜ 5 3 2 3 ⎟ ⎥
⎣⎝ ⎠ ⎦
⎛ 32 64 128 ⎞
= π⎜ − − 16 + ⎟
⎝ 5 3 3 ⎠
206
V = π u3
15

Ejemplo 4
⎧y = x2
⎪
⎪ y = 8x
⎩
alrededor del eje y = −1
SOLUCIÓN:
PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " y = −1 " da lugar a una Anillo

El volumen de este [
diferencial está dado por dV = π r2 − r 1 dx y en este caso
2 2
]
r1 = 1 + x y r2 = 1 + 8 x
2

PASO 4: Por tanto:

84


2

V =π
∫(
⎡
) (
2
)
2 2⎤
⎢ 1 + 8 x − 1 + x ⎥ dx
⎣ ⎦
0
2

=π
∫ [(
0
)( )]
1 + 2 8 x + 8 x − 1 + 2 x 2 + x 4 dx

2

∫
⎛ 4⎞
⎜ 2 8 (x ) 2 + 8 x − 2 x − x ⎟dx
1
=π 2
⎝ ⎠
0
2
⎛ 3 ⎞
⎜ x 2 x2 x 3 x5 ⎟
= π⎜2 8 +8 −2 − ⎟
⎜ 3 2 3 5 ⎟
⎝ 2 ⎠0
⎡⎛ 8 2 3
= π ⎢⎜
⎢⎜ 3
( )
2 2 + 4 22 − 2
23 25 ⎞
3
−
5 ⎟
⎤
⎟ − (0)⎥
⎥
⎣⎝ ⎠ ⎦
⎛ 32 16 32 ⎞
= π⎜ + 16 − − ⎟
⎝ 3 3 5 ⎠
174
V = πu 3
15

Ejemplo 5
⎧y = x2
⎪
⎪ y = 8x
⎩
alrededor del eje x = 2
SOLUCIÓN:
PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " x = 2 " da lugar a una corteza

El volumen de este diferencial está dado por dV = 2 πrhdx y en este caso r = 2 − x y
h = 8x − x 2

PASO 4: Por tanto:

85


2

V = 2π
∫( ( )
2 − x ) 8 x − x 2 dx

0
2

= 2π
∫( )
2 8 x − 2 x 2 − x 8 x + x3 dx

0
2

∫
⎛ 3⎞
⎜ 4 2 (x ) 2 − 2 x − 2 2 (x ) 2 + x ⎟dx
1 3
= 2π 2
⎝ ⎠
0
2
⎛ 3 5 ⎞
⎜ x 2 x3 x 2 x4 ⎟
= 2π ⎜ 4 2 −2 −2 2 + ⎟
⎜ 3 3 5 4 ⎟
⎝ 2 2 ⎠0
⎡⎛ 8 2 3 3 5 4⎞ ⎤
= 2π ⎢⎜ (2) 2 − 2 2 − 4 2 2 2 + 2 ⎟ − (0)⎥
⎢⎜ 3 3 5 4 ⎟ ⎥
⎣⎝ ⎠ ⎦
⎛ 32 16 32 16 ⎞
= 2π ⎜ − − + ⎟
⎝ 3 3 5 4 ⎠
88
V = πu 3
15

Ejemplo 6
⎧y = x2
⎪
⎪ y = 8x
⎩
alrededor del eje x = −1
SOLUCIÓN:
PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " x = −1 " da lugar a una corteza

El volumen de este diferencial está dado por dV = 2 πrhdx y en este caso r = 1 + x y
h = 8x − x 2

PASO 4: Por tanto:

86


2

V = 2π
∫( ( )
1 + x ) 8 x − x 2 dx

0
2

= 2π
∫( 8 x − x 2 + x 8 x − x3 dx)
0
2

∫
⎛ 3⎞
⎜ 2 2 (x ) 2 − x + 2 2 (x ) 2 − x ⎟dx
1 3
= 2π 2
⎝ ⎠
0
2
⎛ 3 5 ⎞
⎜ x 2 x3 x 2 x4 ⎟
= 2π ⎜ 2 2 − +2 2 − ⎟
⎜ 3 3 5 4 ⎟
⎝ 2 2 ⎠0
⎡⎛ 4 2 3 3 5 4⎞ ⎤
= 2π ⎢⎜ (2) 2 − 2 + 4 2 2 2 − 2 ⎟ − (0)⎥
⎢⎜ 3 3 5 4 ⎟ ⎥
⎣⎝ ⎠ ⎦
⎛ 16 8 32 16 ⎞
= 2π ⎜ − + − ⎟
⎝ 3 3 5 4⎠
152
V = πu 3
15

Ejercicios Propuestos 4.3
1. Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región R alrededor del eje indicado; siendo R
la región limitada por las curvas, cuyas ecuaciones se dan a continuación:

a. y = 2x − x 2 , y = 0, x = 0, x = 1 ; eje y
π
b. x = 1, y= , y = arc tg x, x = 4 ; eje y .
2
1
c. y = 0, y = 3, x = 1, x = 3, y= ; eje x = 1 .
x −1

1
2. Sea R la región limitada por las curvas: y = x 2 , y=
y las rectas y = 0, x = 2 ..
x
a) Calcule el volumen del sólido que se genera al rotar R alrededor del eje x = 2 .
b) Calcule el volumen del sólido que se genera al rotar R alrededor del eje y = 1 .

3. Determine el volumen del sólido de revolución generado al rotar en torno al eje x = 9 la región limitada
por las curvas: y 2 = 9 − x, y = 3− x .

4. Calcular el volumen del sólido generado al hacer girar alrededor de la recta x = −4 , la región acotada por
las curvas: x = y − y 2 , x = y2 −3 .

5. Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación en torno a la recta y = 2 de la región del primer
cuadrante limitada por las parábolas 3 x 2 − 16 y + 48 = 0 , x 2 − 16 y + 80 = 0 y el eje de las y .
6. Calcular el volumen del sólido generado al rotar la región R alrededor del eje y, donde R es:
⎧x 2 + y 2 − 4 y + 3 = 0
⎪
⎪x = 2
⎪
⎪y = 0
⎨
⎪y = 4
⎪x + y − 5 = 0
⎪
⎪x = 0
⎩
7. {
Sea la región R = (x, y ) / x + 1 ≤ y ≤ 4 − 2 x 2
} . Calcule el volumen del sólido generado al girar R
alrededor del eje: a) x = 1 , b) y = −1

87


4.3 LONGITUD DE ARCO
Siguiendo el esquema de procedimientos para determinar áreas
de regiones planas y volúmenes de sólidos de revolución, se hacen
infinitas particiones de la curva y se establece una suma infinita.

Una partición diferencial tendrá la forma:

ds i

dy

dx

Y su longitud está dada por: ds = dx 2 + dy 2

1. Si y = f (x) entonces se utiliza el diferencial de arco de la forma:

dx 2 + dy 2 ⎛ dy ⎞
2
ds = dx = 1 + ⎜ ⎟ dx
dx ⎝ dx ⎠

b

∫
2
⎛ dy ⎞
Es decir: s= 1 + ⎜ ⎟ dx
⎝ dx ⎠
a

2. Si x = f ( y ) entonces se utiliza el diferencial de arco de la forma:

2
dx 2 + dy 2 ⎛ dx ⎞
ds = dy = 1 + ⎜ ⎟ dy
⎜ dy ⎟
dy ⎝ ⎠

d

∫
2
⎛ dx ⎞
Es decir: s = 1 + ⎜ ⎟ dy
⎜ dy ⎟
⎝ ⎠
c

88


⎧ x = x(t )
3. Finalmente si C : ⎨ entonces se utiliza el diferencial de arco
⎩ y = y (t )
dx 2 + dy 2 2
⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞
2
de la forma: ds = dt = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ dt
dt ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠

t2

∫
2 2
⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞
Es decir: s = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ dt
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
t1

Ejemplo 1
3
Encuentre la longitud de arco de la curva y = x 2 desde el punto (1,1) al punto
( 4,8)
SOLUCIÓN:

b

∫
2
⎛ dy ⎞
En este caso usamos el diferencial de arco de la forma s = 1 + ⎜ ⎟ dx ¿por qué?
⎝ dx ⎠
a
dy 3 12
Ahora = x
dx 2
Por tanto:
4

∫
2
⎛ dy ⎞
s= 1 + ⎜ ⎟ dx
⎝ dx ⎠
1
4

∫
2
⎛3 1 ⎞
= 1 + ⎜ x 2 ⎟ dx
⎜2 ⎟
⎝ ⎠
1
4

∫
9
= 1+ x dx
4
1
4
3
⎛ 9 ⎞ 2
⎜1 + x ⎟
2⎝ 4 ⎠
=
3 9
4
1

s=
8 ⎛ 32
⎜10 −
27 ⎜
(13 )32 ⎞
4
⎟
⎟
⎝ ⎠

89


Ejemplo 2
x

Encuentre la longitud de la curva y =
∫
1
u 3 − 1du ; 1 ≤ x ≤ 2

SOLUCIÓN:
2

∫
2
⎛ dy ⎞
La longitud de arco esta dada por: s = 1 + ⎜ ⎟ dx
⎝ dx ⎠
1
x

∫
dy
Para lo cual la derivada sería: = Dx u 3 − 1du = x 3 − 1
dx
1
Reemplazando resulta:
2

∫
2
⎛ dy ⎞
s= 1 + ⎜ ⎟ dx
⎝ dx ⎠
1
2

∫
2
= 1 + ⎛ x 3 − 1 ⎞ dx
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
2

=
∫
1
1 + x 3 − 1dx

2

=
∫
1
x 3 dx

2
5
x 2
=
5
2 1
2⎛ 5 5 ⎞
= ⎜ 2 2 −1 2 ⎟
5⎝ ⎠
2
s = 4 2 −1
5
( )

Ejemplo 3
Calcular la longitud de la circunferencia x2 + y2 = a2
SOLUCIÓN:

90


Para este caso es mejor calcular la longitud de arco con la forma paramétrica
t2

∫
2 2
⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞
s= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ dt
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
t1

⎧ x = a cos t
La ecuación de la circunferencia en forma paramétrica es: C:⎨ ;0 ≤ t ≤ 2π
⎩ y = a sen t
dx dy
Por tanto = − a sen t y = a cos t . Reemplazando resulta:
dt dt

2π 2 2
⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞
s=
∫0
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ dt
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
2π

=
∫0
(− a sen t )2 + (a cos t )2 dt
2π

=
∫0
a 2 sen 2 t + a 2 cos 2 t dt

2π

=
∫ a (sen
0
2 2
)
t + cos 2 t dt

2π

=
∫ a dt
0
2π

= a dt
∫0
2π
= at 0
s = 2πa

Ejercicios Propuestos 4.4
1. Determine la longitud de arco de la curva y = 1 − ln (cos x ); x≤π
4
⎧ x = t − sen t
2. Determine la longitud de arco de la curva: ⎨ en el intervalo 0 ≤ t ≤ 4π
⎩ y = 1 − cos t
⎧ x = a cos t + atsent
3. Determine la longitud de arco de la curva: ⎨ en el intervalo −1 ≤ t ≤ 1
⎩ y = asent − at cos t
x

∫
π π
4. Encuentre la longitud de la curva y = 64sen 2u cos 4 u − 1 du , ≤x≤
6 3
π
6

91


4.3.1 LONGITUD DE ARCO EN COORDENADAS
POLARES.

La longitud de arco esta dada por:
θ2

∫
2 2
⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞
s= ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ dθ
⎝ dθ ⎠ ⎝ dθ ⎠
θ1

Reemplazando, tenemos:
θ2

s=
∫
θ1
( f ´(θ ) cos θ − f (θ ) sen θ ) 2 + ( f ´(θ )sen θ + f (θ ) cos θ ) 2 d θ

θ2
[ f ´(θ ) ]2 cos 2 θ − 2 f ´(θ ) f (θ ) cos θsen θ + [ f (θ ) ]2 sen 2θ +
s=
∫
θ1
+ [ f ´(θ ) ]2 sen 2θ + 2 f ´(θ ) f (θ ) cos θ sen θ + [ f (θ ) ]2 cos 2 θ
dθ

θ2

[ f ´(θ ) ]2 (cos 2 θ + sen 2θ )+ [ f (θ ) ]2 (sen 2θ + cos 2 θ )dθ
s=
∫
θ1

Resultando finamente:
θ2

s=
∫
θ1
( f (θ ) )2 + ( f ´(θ ) )2 d θ

Ejemplo 1
Hallar la longitud de la circunferencia r=a
SOLUCIÓN:
Aplicando la formula y resolviendo, resulta:
θ2

s=
∫
θ1
( f (θ ) )2 + ( f ´(θ ) )2 d θ

2π

s=
∫
0
a 2 + o 2 dθ

2π

s=
∫
0
ad θ

2π
s = aθ 0
s = 2 πa

Ejemplo 2
Hallar la longitud de la cardioide r = 1 + cos θ
SOLUCIÓN:
Aplicando la formula y resolviendo, resulta:
92


θ2

s=
∫
θ1
( f ( θ) )2 + ( f ´(θ ) )2 d θ

π

s=2
∫ 0
(1 + cos θ )2 + (− sen θ )2 dθ

π

s=2
∫ 0
1 + 2 cos θ + cos 2 42sen 2 θ d θ
14 θ + 4 4 3
1

π

s=2
∫ 0
2 + 2 cos θ d θ

π

s=2 2
∫0
1 + cos θ d θ

π

s=2 2
∫0
2 cos 2 θ
2
dθ

π

s=2 2
∫0
2 cos θ d θ
2

π
θ
s = 4 sen 2 0
=8

Ejemplo 3
⎧ r = 3 sen θ
Hallar perímetro de región interior a las curvas ⎨
⎩ r = 1 + cos θ

SOLUCIÓN:

En este caso el perímetro estaría dado por

93

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