BIOMETANO SÍ, PERO NO ASÍ. LA NUEVA BURBUJA ENERGÉTICA
Polinomios
1. 1
Expresiones AlgebraicasExpresiones Algebraicas
• UnaUna expresión algebraicaexpresión algebraica es una expresión enes una expresión en
la que se relacionan valores indeterminados conla que se relacionan valores indeterminados con
constantes y cifras, todas ellas ligadas por unconstantes y cifras, todas ellas ligadas por un
número finito de operaciones de suma, resta,número finito de operaciones de suma, resta,
producto, cociente, potencia y raíz.producto, cociente, potencia y raíz.
• EjemplosEjemplos
1
2.
)
2)
2)
2
32
2
+
−
+
+
x
xyx
c
xyxb
xyxa
2. 2
Tipos de Expresiones AlgebraicasTipos de Expresiones Algebraicas
Expresiones AlgebraicasExpresiones Algebraicas
Racionales IrracionalesRacionales Irracionales
Enteras FraccionariasEnteras Fraccionarias
3. 3
Expresión Algebraica RacionalExpresión Algebraica Racional
• Es racional cuando las variables no estánEs racional cuando las variables no están
afectadas por la radicaciónafectadas por la radicación
• EjemploEjemplo
3
12
.
2
22
+
+
+
y
yxx
4. 4
Expresión Algebraica IrracionalExpresión Algebraica Irracional
• Es irracional cuando las variables estánEs irracional cuando las variables están
afectadas por la radicaciónafectadas por la radicación
• EjemploEjemplo
yxx 2+
5. 5
Expr.Algebraica Racional EnteraExpr.Algebraica Racional Entera
• Una expresión algebraicas es racional enteraUna expresión algebraicas es racional entera
cuando la indeterminada está afectada sólocuando la indeterminada está afectada sólo
por operaciones de suma, resta,por operaciones de suma, resta,
multiplicación y potencia natural.multiplicación y potencia natural.
• EjemploEjemplo
542
3 yyxx ++
6. 6
Expresión Algebraica RacionalExpresión Algebraica Racional
FraccionariaFraccionaria
• Una expresión algebraicas racional esUna expresión algebraicas racional es
fraccionaria cuando la indeterminada aparecefraccionaria cuando la indeterminada aparece
en algún denominador.en algún denominador.
• EjemploEjemplo
3
1 2
−+ yx
x
7. 7
PolinomiosPolinomios
• Son las expresiones algebraicas másSon las expresiones algebraicas más
usadas.usadas.
• Sean aSean a00, a, a11, a, a22, …, a, …, ann números reales ynúmeros reales y nn
un número natural, llamaremosun número natural, llamaremos polinomiopolinomio
en indeterminada xen indeterminada x a toda expresióna toda expresión
algebraica entera de la forma:algebraica entera de la forma:
aa00 + a+ a11 x + ax + a22 xx22
+ … + a+ … + ann xxnn
8. 8
Ejemplos de polinomiosEjemplos de polinomios
A los polinomios en indeterminada x losA los polinomios en indeterminada x los
simbolizaremos con letras mayúsculas indicando lasimbolizaremos con letras mayúsculas indicando la
indeterminada entre paréntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x).indeterminada entre paréntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x).
3
2
3
2
3)
3
1
)
xxb
xa
+
3
3
532)
2
1)
xxd
x
c
++
+ −
9. 9
TérminosTérminos
• Monomio : polinomio con un solo término.Monomio : polinomio con un solo término.
• Binomio : polinomio con dos términos.Binomio : polinomio con dos términos.
• Trinomio : polinomio con tres términos.Trinomio : polinomio con tres términos.
• Cada monomio aCada monomio aiixxii
se llamase llama términotérmino..
• El polinomio será deEl polinomio será de gradogrado n si el término de mayorn si el término de mayor
grado es agrado es annxxnn
con acon ann≠≠0.0.
• A aA a00 se lo llamase lo llama término independientetérmino independiente..
• A aA ann se lo llamase lo llama término principaltérmino principal..
11. 11
EjercicioEjercicio
• Indicar cuáles de las siguientes expresionesIndicar cuáles de las siguientes expresiones
algebraicas son polinomios. En este último casoalgebraicas son polinomios. En este último caso
indicar su grado.indicar su grado.
2
13
)
)3)(2()
12
3
1
)
4
3
+
+−
++−
x
c
xxb
xxa
1
32
)
3
12
)
52)
2
2
+
−+
++−
++
x
xx
f
xx
xe
xd
12. 12
Polinomios igualesPolinomios iguales
• Dos polinomios son iguales si y sólo si losDos polinomios son iguales si y sólo si los
coeficientes de los términos de igual grado locoeficientes de los términos de igual grado lo
son.son.
• Ejercicio: Determinar a, b y c para que P(x)=Q(x)Ejercicio: Determinar a, b y c para que P(x)=Q(x)
2
2
33
)2()1()(
25)12(5)()
)()(;52)()
xbcxbaxQ
xxxPb
xbaaxQxxPa
++++=
+++−=
++=+=
13. 13
Suma de PolinomiosSuma de Polinomios
• Para sumar dos polinomios se agrupan losPara sumar dos polinomios se agrupan los
términos del mismo grado y se suman sustérminos del mismo grado y se suman sus
coeficientes.coeficientes.
• Ejemplo: Sumar los siguientes polinomiosEjemplo: Sumar los siguientes polinomios
P(x) = -2xP(x) = -2x44
+ 5x+ 5x33
– 3x + 1– 3x + 1
Q(x) = 3xQ(x) = 3x33
– 6x– 6x22
– 5x - 2– 5x - 2
14. 14
Propiedades de la SumaPropiedades de la Suma
• AsociativaAsociativa
• ConmutativaConmutativa
• Existencia de elemento neutroExistencia de elemento neutro
• Existencia de elemento opuestoExistencia de elemento opuesto
15. 15
Resta de PolinomiosResta de Polinomios
• Para restar el polinomio Q(x) del polinomioPara restar el polinomio Q(x) del polinomio
P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto deP(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de
Q(x).Q(x).
P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ]P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ]
• Ejemplo: Restar los siguientes polinomiosEjemplo: Restar los siguientes polinomios
P(x) = -2xP(x) = -2x44
+ 5x+ 5x33
– 3x + 1– 3x + 1
Q(x) = 3xQ(x) = 3x33
– 6x– 6x22
– 5x - 2– 5x - 2
16. 16
Multiplicación de PolinomiosMultiplicación de Polinomios
• Para multiplicar dos polinomios se multiplica cadaPara multiplicar dos polinomios se multiplica cada
monomio de uno de ellos por cada uno de losmonomio de uno de ellos por cada uno de los
términos del otro y luego se suman los términos detérminos del otro y luego se suman los términos de
igual grado.igual grado.
• Ejemplo: Multiplicar los siguientes polinomiosEjemplo: Multiplicar los siguientes polinomios
P(x) = -2xP(x) = -2x44
+ 5x+ 5x33
– 3x + 1– 3x + 1
Q(x) = 3xQ(x) = 3x33
– 6x– 6x22
– 5x – 2– 5x – 2
P(x).Q(x) = P(x) 3xP(x).Q(x) = P(x) 3x33
+ P(x) (-6x+ P(x) (-6x22
) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2)) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2)
17. 17
Propiedades del ProductoPropiedades del Producto
• AsociativaAsociativa
• ConmutativaConmutativa
• Existencia de elemento neutro.Existencia de elemento neutro.
20. 20
EjercicioEjercicio: Expresar los siguientes trinomios: Expresar los siguientes trinomios
cuadrados perfectos como el cuadrado de uncuadrados perfectos como el cuadrado de un
binomio y a los cuatrinomios cubos perfectosbinomio y a los cuatrinomios cubos perfectos
como el cubo de un binomio.como el cubo de un binomio.
93025)
4914)
144)
2
2
2
+−
++
+−
xxc
xxb
xxa
6543
23
23
8
1
2
3
68)
16128)
8126)
xxxxf
xxxe
xxxd
+−+−
+++
−+−
21. 21
EjercicioEjercicio: La expresión x: La expresión x22
- a- a22
es una diferenciaes una diferencia
de cuadrados. Escribir las siguientesde cuadrados. Escribir las siguientes
diferencias como producto de binomios.diferencias como producto de binomios.
64)
4)
36
1
)
100)
8
4
2
2
−
−
−
−
xd
xc
xb
xa
22. 22
División de polinomiosDivisión de polinomios
• Existe una estrecha analogía entre elExiste una estrecha analogía entre el
cociente de polinomios y la división decociente de polinomios y la división de
números enteros.números enteros.
• Recordemos algunas definiciones de laRecordemos algunas definiciones de la
división entre números enteros.división entre números enteros.
23. 23
División entre números enterosDivisión entre números enteros
• En el conjunto de números enteros, siEn el conjunto de números enteros, si
D es el dividendo y dD es el dividendo y d≠≠0 es el divisor,0 es el divisor,
existen y son únicos dos enteros cexisten y son únicos dos enteros c
(cociente) y (r (resto) tales que(cociente) y (r (resto) tales que
D = d . C + r 0D = d . C + r 0 ≤ r < |d|≤ r < |d|
• Si r=0 se dice que D es divisible por d.Si r=0 se dice que D es divisible por d.
24. 24
División entre números enterosDivisión entre números enteros
• Ejemplo: Realizar las siguientesEjemplo: Realizar las siguientes
divisiones enteras:divisiones enteras:
• 29 dividido 6 será: c= 4 y r=5 pues29 dividido 6 será: c= 4 y r=5 pues
29 = 6 . 4 + 5 y 029 = 6 . 4 + 5 y 0 ≤ 5 < 6≤ 5 < 6
• 29 dividido -6 será: c= -4 y r=5 pues29 dividido -6 será: c= -4 y r=5 pues
29 = (-6) . (-4) + 5 y 029 = (-6) . (-4) + 5 y 0 ≤ 5 < |-6|≤ 5 < |-6|
¿Podría haber sido c = -5 y r = -1?
25. 25
División de polinomiosDivisión de polinomios
• Dados los polinomiosDados los polinomios
D(x) = 6xD(x) = 6x33
– 17x– 17x22
+15x-8+15x-8
d(x) = 3x – 4d(x) = 3x – 4
determinar, si es posible, dos polinomios c(x)determinar, si es posible, dos polinomios c(x)
y r(x) tales quey r(x) tales que
D(x) = d(x). C(x) + r(x)D(x) = d(x). C(x) + r(x)
de modo que el grado de r(x) sea menor quede modo que el grado de r(x) sea menor que
el grado de d(x) o bien r(x)=Oel grado de d(x) o bien r(x)=Opp(x)(x)
28. 28
División de PolinomiosDivisión de Polinomios
• Dados los polinomios D(x) y d(x);Dados los polinomios D(x) y d(x);
d(x)d(x)≠≠OOpp(x), diremos que(x), diremos que d(x) divide ad(x) divide a
D(x)D(x) si y sólo si existe un polinomio c(x)si y sólo si existe un polinomio c(x)
tal quetal que
D(x) = d(x) . c(x)D(x) = d(x) . c(x)
29. 29
EjerciciosEjercicios
• Dados los polinomios P(x) y Q(x)Dados los polinomios P(x) y Q(x)
indica si alguno de ellos es divisibleindica si alguno de ellos es divisible
por el otropor el otro
a)a) P(x) = xP(x) = x44
-2x-2x33
+x+x22
-5x + 1-5x + 1
Q(x) = xQ(x) = x33
+ x+ x22
+ x + 1+ x + 1
b)b) P(x) = xP(x) = x44
+2x+2x33
+4x+4x22
+ 8x +16+ 8x +16
Q(x) = xQ(x) = x55
- 32- 32
30. 30
Regla de Ruffini
3 -2 -5 -9
2
-3
División de un polinomio por otroDivisión de un polinomio por otro
de la forma (x-a)de la forma (x-a)
3x3x33
– 2x– 2x22
– 5x – 9 x – 2– 5x – 9 x – 2
- 3x- 3x33
+ 6x+ 6x22
3x3x22
+ 4x + 3+ 4x + 3
4x4x22
– 5x– 5x
- 4x- 4x22
+ 8x+ 8x
3x – 93x – 9
-3x + 6-3x + 6
-3-3 3
6
4
8
3
6
3x3x33
– 2x– 2x22
– 5x – 9 = ( x – 2)(3x– 5x – 9 = ( x – 2)(3x22
+ 4x + 3) + (-3)+ 4x + 3) + (-3)
31. 31
División de un polinomio por otroDivisión de un polinomio por otro
de la forma (x-a)de la forma (x-a)
• División de P(x) = 3xDivisión de P(x) = 3x33
– 2x– 2x22
– 5x – 9 por (x-2)– 5x – 9 por (x-2)
realizada por la Regla de Ruffinirealizada por la Regla de Ruffini
3 -2 -5 -93 -2 -5 -9
2 6 8 62 6 8 6
3 4 3 -33 4 3 -3
1º operación : 3.2 -2 = 41º operación : 3.2 -2 = 4
2º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 32º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 3
3º operación : [3(2)3º operación : [3(2) 22
– 2 . 2 - 5].2 -9 =-3– 2 . 2 - 5].2 -9 =-3
Por lo tanto 3.(2)Por lo tanto 3.(2)22
-2.(2)-2.(2)22
-5.2 -9 = -3-5.2 -9 = -3
32. 32
Raíces de un polinomioRaíces de un polinomio
• Un número real a esUn número real a es raíz de unraíz de un
polinomiopolinomio P(x) si y solo si P(a) = 0P(x) si y solo si P(a) = 0
• Ejercicio:Ejercicio:
Verifique que x=1 es raíz del polinomioVerifique que x=1 es raíz del polinomio
P(x) = 3xP(x) = 3x22
+ 2x – 5+ 2x – 5
33. 33
Raíces de un PolinomioRaíces de un Polinomio
• Si un polinomio tiene coeficientesSi un polinomio tiene coeficientes
enteros yenteros y aa es una raíz entera deles una raíz entera del
polinomio entoncespolinomio entonces aa divide al términodivide al término
independiente.independiente.
• Ejercicio: Calcular las raíces deEjercicio: Calcular las raíces de
P(x) = 2xP(x) = 2x33
- 2x- 2x22
- 16x + 24- 16x + 24
34. 34
Ejercicio: Calcular las raíces deEjercicio: Calcular las raíces de
P(x) = 2xP(x) = 2x33
- 2x- 2x22
- 16x + 24- 16x + 24
• Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debeSi P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe
ser divisor de 24.ser divisor de 24.
• Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x)Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x)
2x2x33
– 2x– 2x22
– 16x + 24 = ( x – 2)(2x– 16x + 24 = ( x – 2)(2x22
+ 2x -12)+ 2x -12)
Ver x=2 también
es raíz de
2x2
+ 2x -12
2x2
+ 2x -12 = (x-2)(2x+6)
