El documento trata sobre las propiedades de los materiales y su relación con la mecánica estructural. Explica que existen tres categorías de ecuaciones: relación esfuerzo-deformación, equilibrio y desplazamiento. Además, describe los diferentes tipos de materiales (anisotrópicos, ortotrópicos e isotrópicos) y sus propiedades como el módulo de Young y coeficiente de Poisson. Finalmente, analiza conceptos como resultado de esfuerzo, fuerzas y momentos en relación al equilibrio y compatibilidad.

1. Diplomado de Especialización en Ingeniería Estructural
CAPITULO N 01
1.-PROPIEDADES DE LOS MATERIALES
Las ecuaciones de la Mecánica Estructural se pueden clasificar en 3 categorías:
1.- La relación esfuerzo-deformación.- contiene información sobre las propiedades de los materiales que deben ser evaluados mediante ensayos de laboratorio.
2.- Equilibrio.- cada elemento y cada partícula infinitesimal de una estructura debe estar en equilibrio de fuerzas en su posición deformada.
3.- Desplazamiento.- se debe cumplir las condiciones de compatibilidad de desplazamiento.
Nota.- si se cumplen las tres categorías en todo momento, automáticamente se cumplen otras condiciones, ejemplo:
a.- El trabajo total de cargas externas a la energía cinética y energía de deformación almacenada + energía disipada por el sistema.
2.-MATERIALES ANISOTROPICOS
Las relaciones lineales de esfuerzo-deformación contienen las constantes de las propiedades de los materiales (que son evaluadas únicamente con ensayo de laboratorio)
La mayoría de materiales comunes, como el acero tienen propiedades conocidas definidas en:
1.-Modulo de Elasticidad : módulo de Young o módulo de elasticidad longitudinal es un parámetro que caracteriza el comportamiento de un material elástico, según la dirección en la que se aplica una fuerza. Tanto el módulo de Young como el límite elástico son distintos para los diversos materiales. El módulo de elasticidad es una constante elástica que, al igual que el límite elástico, puede encontrarse empíricamente mediante ensayo de tracción del material. Además de este módulo de elasticidad longitudinal, puede definirse el módulo de elasticidad transversal de un material.
2.-Relacion de Poisson : El coeficiente de Poisson es una constante elástica que proporciona una medida del estrechamiento de sección de un prisma de material elástico lineal cuando se estira longitudinalmente y se adelgaza en las direcciones perpendiculares a la de estiramiento.
3.-Coeficiente de dilatación térmica : El coeficiente de dilatación es el cociente que mide el cambio relativo de longitud o volumen que se produce cuando un cuerpo sólido o un fluido dentro de un recipiente experimenta un cambio de temperatura que lleva consigo una dilatación térmica.
4.- Peso especifico

2. Diplomado de Especialización en Ingeniería Estructural
5.- Densidad volumétrica
Desde la introducción del método de elementos finitos no existe limitación para definir las propiedades de los materiales en todas sus direcciones que pueden ser muy diferentes en cada elemento de la estructura.
Convención de los esfuerzos positivos
En Notación Matricial:
Los 06 esfuerzos independientes pueden definirse mediante:
en el equilibrio
Las 06 deformaciones correspondientes:
En forma matricial la relación de esfuerzo – deformación incluyendo los esfuerzos que se generan por un incremento de temperatura:
Donde:

3. Diplomado de Especialización en Ingeniería Estructural
Forma General:
La relación esfuerzo-deformación para materiales lineales sujetos a esfuerzos mecánicos y cambios de temperatura se puede expresar por:
= +
Forma matricial:
Los principios basicos para la conservacion de la energia requiere para materiales lineales que la matriz C sea simetrica, es decir:
Debido a errores en la medicion o a algun comportamiento no lineal del material no satisfaera de manera identica esta condicion, entonces los valores experimentales normalmente son promediados de manera que los valores simetricos puedan ser aprovechado en el analisis.
En el despleglable de la edicion de data para materiales anisotropicos tenemos:

4. Diplomado de Especialización en Ingeniería Estructural
La mayoría de los programas modernos de computadoras para el análisis de elementos finito exigen que los esfuerzos sean expresados en términos de las deformaciones y cambio de temperatura.
donde: , los esfuerzos térmicos de cero-deformación se define:
Nota: la inversión numérica de la matriz C 6x6 para materiales anisotrópicos complejos se realiza de manera directa en el programa es por ello que no se requiere calcular la matriz E en forma analítica; por lo tanto los datos de entrada serán 21 constante elásticas y 06 coeficientes de dilatación térmica.
Además de los esfuerzos térmicos, pueden existir esfuerzos iniciales para muchos tipos diferentes de sistemas estructurales, dichos esfuerzos pueden ser resultado de la fabricación o la historia de la construcción de la estructura, si esto se conoce pueden ser agregados directamente a la Ecuación: donde
3.-MATERIALES ORTOTROPICOS
El tipo de material anisotrópico más común es aquel en el cual los esfuerzos cortantes actuando en los tres planos de referencia no provocan deformaciones normales, a este tipo de material se denomina materiales ortotrópicos, asi:
= +
Nota: Para el material ortotrópico, la matriz C 6x6 tiene 9 constantes elásticas y 03 coeficientes de dilatación térmica, este tipo de propiedad en materiales es muy común por ejemplo las rocas, el concreto, la madera y muchos materiales reforzados con fibra.

5. Diplomado de Especialización en Ingeniería Estructural
Desplegable de data para materiales ortotrópicos
4.-MATERIALES ISOTROPICOS
Un material isotrópico posee propiedades iguales en todas direcciones, siendo la aproximación de mayor uso para pronosticar el comportamiento de materiales elásticos lineales.
= +
Nota: Parece que la matriz de correlación C 6x6 tiene 3 constantes elásticas pero se puede demostrar fácilmente que la aplicación de un esfuerzo cortante puro debe producir deformaciones puras de tensión y de compresión sobre el elemento si este se gira 45 grados. Entonces usando esta restricción el módulo de corte se puede definir como:
Por lo tanto para materiales isotrópicos, se tiene que definir solamente el módulo de Young o Elasticidad E y la relación de Poisson .

6. Diplomado de Especialización en Ingeniería Estructural
Desplegable de data para materiales isotrópicos
5.- DEFORMACIÓN EN EL PLANO EN MATERIALES ISOTRÓPICOS:
En los casos donde son cero, la estructura se encuentra en un estado de deformación en el plano. Para este caso se reduce la matriz aun arreglo de 3x3, ejemplos de estructura con este comportamiento son: las presas, túneles y solidos con una dimensión casi infinita a lo largo del eje 3, se encuentran en un estado de deformación en el plano para cargas constantes en el plano 1-2.
Para materiales Isotrópicos y de deformación en el plano, la relación de esfuerzo-deformación es:
= -
Donde:
Para el caso de deformación en el plano, el desplazamiento y la deformación en la dirección 3 son cero. Sin embargo por la ecuación general, el esfuerzo en la dirección 3 es:

7. Diplomado de Especialización en Ingeniería Estructural
6.- ESFUERZOS EN EL PLANO EN MATERIALES ISOTRÓPICOS:
Si son cero, la estructura se encuentra en un estado de esfuerzo en el plano. Para este caso se reduce la matriz esfuerzo-deformación aun arreglo de 3x3. El comportamiento como membrana de losa y las estructuras de muro de cortante pueden considerarse en un estado de deformación en el plano para carga constante en el plano 1-2. Para materiales isotrópicos y de esfuerzo en el plano, la relación esfuerzo-deformación es:
= -
Donde:

8. Diplomado de Especialización en Ingeniería Estructural
7.- PROPIEDADES DE MATERIALES AXIMETRICAS
Muchas clases de estructuras tales como tuberías, recipientes a presión, tanques para almacenar líquidos, transbordador y otras estructuras espaciales, estan incluidas en la categoría de estructuras aximetricas. (Un gran nuero de estas estructuras poseen materiales anisotropicos), así:
= +

9. Diplomado de Especialización en Ingeniería Estructural
8.- RELACIONES DE FUERZA Y DEFORMACION
Las ecuaciones esfuerzo-deformación que se presentaron constituyen las leyes constitutivas fundamentales de los, materiales lineales.
Para elementos unidimensionales en la ingeniería estructural, muchas veces reformulamos dichas ecuaciones en términos de esfuerzos y deformaciones. Por ejemplo, para elementos unidimensional axialmente cargado de longitud L y área A, la deformación axial total y el esfuerzo axial P son: y ya que , la relación esfuerzo-deformación será:
 donde: y es definida como la rigidez axial del elemento.
 Otra forma de expresar es: donde : y se define como la flexibilidad axial del elemento
Nota: los términos de flexibilidad y rigidez no son una función de la carga, sino que dependen solamente de las propiedades de los materiales y la geometría del elemento.
Para un elemnto unidimensional de seccion transversal constante, la fuerza torsional T en terminos de la rotacion relativa entre los extemos del elemento viene dada por:
 donde: y es el momento torsional de inercia, asimismo el inverso de la rigidez torsional es la flexibildad torsional.
El el caso de flexion pura de una viga con un extremo fijo, la integracion de la distribucion del esfuerzo torsional sobre la seccion transversal produce un momento M. la distribucion de la deformacion lineal produce una rotcion en el extremo de la viga . Para esta viga de longitud finita, la relacion Momento – Rotacion es:
 donde : para una seccion transversal tipica de la vid=ga de longitud , la relacion Momento – Curvatura en el punto x es:
Nota: estas relaciones fuerza-deformacion se consideran fundamentales en los campos tradicionales del analisis y el diseño estructurales.

10. Diplomado de Especialización en Ingeniería Estructural
CAPITULO N 02
1.-EQUILIBRIO Y COMPATIBILIDAD
Las ecuaciones fundamentales de equilibrio establecen que las cargas aplicadas extrernas sean iguales a la suma de las fuerzas internas de los elementos en todos los nodos de un sistema estructural.
La solución exacta de un problema de mecánica de solidos requiere que satisfagan las ecuaciones diferenciales de equilibrio para todos los elementos infinitesimales dentro de los solidos.
El usuario del programa de computadora que no comprenda las aproximaciones usadas para desarrollar un elemento finito puede obtener resultados que constituyan un error significativo si la malla de los elementos no es lo suficientemente fina en áreas de concentración de esfuerzo.
2.- ECUACIONES FUNDAMENTALES DE EQUILIBRIO
El equilibrio tridimensional de un elemento infinitesimal se puede expresar:
Las fuerzas del cuerpo se expresa por unidad de volumen en la dirección i, (que puede representar las fuerzas de gravedad o gradiente de presión).
Para que satisfaga el equilibrio rotacional en una partícula infinitesimal se cumple: , para desplazamientos significativos debe satisfacer el equilibrio en la posición deformada; los esfuerzos deberán ser expresados en fuerzas por unidad de área deformada.
3.- RESULTANTE DE ESFUERZO, FUERZAS Y MOMENTOS
La resultante del Esfuerzo de Fuerza se calcula mediante la integración de esfuerzos normales o esfuerzos cortantes que actúan sobre una superficie.
La resultante del Esfuerzo de Momento se calcula mediante la integración de los esfuerzos sobre una superficie multiplicada por su distancia a un eje.
Nota: una carga concentrada, que sea resultante de esfuerzo, es por definición será un esfuerzo infinito multiplicado por un área infinitesimal, físicamente esto es imposible en una estructura real.
Un momento concentrado es solo una definición matemática; no posee un campo único de esfuerzo como interpretación física.

11. Diplomado de Especialización en Ingeniería Estructural
Una clara compresión de estos últimos conceptos en el análisis de un elemento finito será necesaria para poder evaluar físicamente los resultados de los esfuerzos.
Para un elemento finito que pertenece a una estructura, sistema, subestructura, etc. Se debe satisfacer las seis ecuaciones de equilibrio:
Σ Σ Σ
Σ Σ Σ
4.- REQUISISTOS DE COMPATIBILIDAD
Para elementos solidos continuos, se ha definido las deformaciones como desplazamiento por unidad de longitud. Y para los desplazamientos absolutos se debe integrar las deformaciones a lo largo del elemento con respecto a una condición de borde fija. Dicha integración podrá ser conducida a través de muchas vías o trayectorias diferentes; una solución compatible será si el desplazamiento en todos los puntos no es una función de la trayectoria. Por lo tanto, una solución compatible con el desplazamiento será la que ocurra dentro de un campo único de desplazamiento definido.
En un sistema de elementos discretos, todos los elementos conectados a un nodo debe tener el mismo desplazamiento absoluto; si se conocen los desplazamientos en el nodo, todas las deformaciones del elemento pueden ser calculados en base a las ecuaciones básicas de la geometría.
En un sistema con elementos finitos basado en el desplazamiento, se satisface la compatibilidad de desplazamiento nodal, sin embargo no es necesario que los desplazamientos a lo largo de los laterales de los elementos sean compatibles so el elemento pasa la prueba de grupo.
Prueba de grupo.- si un conjunto de elementos de forma arbitraria sujeta a desplazamientos nodales asociados con deformaciones constantes, y el resultado de un análisis de elemento finito del grupo de elementos arroja una deformación constante.
Nota.- en el caso de elementos de flexión de una losa, la aplicación de un patrón de desplazamiento de curvatura constante en los nodos deben producir una curvatura constante dentro d un grupo de elementos. Si un elemento no pasa la prueba de grupo, podría no converger a la solución exacta. También en el caso de una malla burda los elementos que no pasan un patrón de grupo podrían producir resultados con errores de importancia.
5.- ECUACIONES DE DESPLAZAMIENTO DE DEFORMACION
Si los campos de pequeños desplazamientos son especificados, asumidos o calculados, las deformaciones consistentes pueden ser calculadas con las siguientes ecuaciones:
deformaciones axiales

12. Diplomado de Especialización en Ingeniería Estructural
deformaciones en el plano
6.- DEFINICION DE ROTACION
Dentro de una estructural real, no existe una rotación única en un punto determinado. La rotación en un eje horizontal podrá ser diferente a la rotación de un eje vertical.
Muchos textos usan las siguientes ecuaciones matemáticas para definir las rotaciones de los ejes: [ ] [ ] [ ]
Estas definiciones no son las mismas que se emplea en la teoría de vigas cuando se incluyen deformaciones cortantes, cuando las secciones de viga estan conectadas, la rotación absoluta se las secciones terminales deben ser iguales.
7.- ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE DETERMINADAS
Las fuerzas internas de algunas estructuras pueden ser determinadas directamente en base a las ecuaciones de equilibrio solamente. Por ejemplo, la estructura reticulada o armadura siguiente se usara para ilustrar el método de nodos no es mas que la solución de un conjunto de ecuaciones de equilibrio.
Estructura Reticulada Simple
En la siguiente figura se presentan los desplazamientos nodales y cargas nodales extremas positivas. Las fuerzas del elemento y las deformaciones son positivas en tensión:

13. Diplomado de Especialización en Ingeniería Estructural
Igualando las dos cargas externas, , en cada nodo a la suma de las fuerzas internas del elemento , produce las 07 ecuaciones de equilibrio que se expresan como una ecuación matricial:
En forma simbólica R=Af, donde la matriz A es una matriz de transformación carga-fuerza, y es una función exclusiva de la geometría de la estructura. Para una estructura estáticamente determinada se tiene 07 fuerzas desconocidas y 07 ecuaciones nodales de equilibrio; por lo tanto se resuelve de manera directa.
8.- MATRIZ DE TRANSFORMACION DE DESPLAZAMIENTOS
Después de calcular las fuerzas elementales, existen muchos métodos tradicionales diferentes para calcular los desplazamientos de los nodos. Para ilustrar el uso de la notación matricial, las deformaciones del elemento serán expresadas en términos de los desplazamientos de la unión .

14. Diplomado de Especialización en Ingeniería Estructural

15. Diplomado de Especialización en Ingeniería Estructural

16. Diplomado de Especialización en Ingeniería Estructural

17. Diplomado de Especialización en Ingeniería Estructural
1.- CONDICIONES DE FRONTERA Y RESTRICCIONES
Se ha establecido que el método de desplazamiento, donde los desplazamientos y rotaciones en los nodos son términos desconocidos, genera un sistema de ecuaciones de equilibrio en los nodos.
En cálculos computaciones se solucionan estructuras estáticamente determinadas como indeterminadas a través de este método; la matriz de rigidez global será la suma de las matrices de rigidez del elemento, y puede ser formada con respecto a todos los posibles grados de libertad de desplazamiento del nodo. El número mínimo de apoyos o soportes que se requiere un sistema es el número que evita el movimiento de la masa rígida de la estructura.
En cálculos no computacionales no se utiliza el método de desplazamiento, esto es porque la mayoría requiere la solución de un elevado número de ecuaciones; también requiere un número elevado de cifras significativas, si se incluyen deformaciones tanto axiales como flexión en el análisis por ejemplo de un pórtico; por esto los dos métodos tradicionales de análisis por desplazamiento (el de distribución de momento y el de curvatura –deflexión) implica solo momento y rotaciones, pero cuando estos métodos tradicionales se aplican a sistemas más generales que los tipo pórticos, es necesario fijar los desplazamientos axiales, lo que en términos de tecnología moderna quiere decir que se debe aplicar una restricción de un desplazamiento perdiendo así precisión en los cálculos.
Se ha demostrado que para el desarrollo de matrices de rigidez de los elementos finitos, es necesario introducir funciones de forma de desplazamiento aproximado, basado en estas mismas funciones es posible desarrollar restricciones entre diferentes mallas de elementos finito del modo fino y burdo en dos o tres direcciones.
2.- CONDICIONES DE FRONTERA DE DESPLAZAMIENTO
Condiciones de frontera para una apoyo fijo.- Si en un sistema consideramos un número N de ecuaciones de equilibrio incluyendo los desplazamientos asociados con los apoyos tenemos: Σ
Si se conoce un desplazamiento en particular , y no se conoce la fuerza o reacción entonces en las ecuaciones de equilibrio N-1 podemos escribir: Σ Σ

18. Diplomado de Especialización en Ingeniería Estructural
Esta es una modificación sencilla, entonces para un apoyo fijo donde el desplazamiento es cero los vectores de carga no sufrirán modificación (R).
Ahora si aplicamos este criterio a un sistema de elementos, es decir si conocemos y aplicamos los desplazamientos antes de la formación de la matriz de rigidez global, entonces la carga asociada a estos desplazamientos (cargas que no se conocen), podrán ser computadas usando las ecuaciones de equilibrio.
Del mismo modo podemos proceder si se especifican los desplazamientos como función del tiempo.
3.- PROBLEMAS NUMERICOS EN EL ANALISIS ESTRUCTURAL
Muchas veces cuando se modela, se utiliza para las propiedades de elementos, valores muy altos en las partes rígidas de la estructura. Esto puede provocar errores en los resultados de un análisis estático y dinámico.
En caso de análisis no lineal, usar valores altos no realistas puede provocar una lenta convergencia y tiempo de cómputo considerable.
En muchos casos la rigidez relativa de lo que llamamos un elemento rígido es de 10 a 1000 veces la rigidez de los elementos flexibles adyacentes. Si se emplean valores realistas normalmente no causara problema en el análisis, sin embargo si se usara rigideces con valores relativos de puede que la solución no sea posible, conociéndose esto como error de truncamiento.
=
Los términos de rigidez tienen aprox. 15 cifras significativas pudiéndose ubicar en intervalos de entonces si un elemento tiene una rigidez de el termino esta truncado para y las ecuaciones de equilibrio son singulares y no pueden ser resueltas.
Ahora si , se va a perder 12 cifras significativas y la respuesta será correcta en 3 cifras significativas; algunos programas bien redactados pueden detectar este error (los de CSi por ejemplo) y advertir al usuario.
Se puede evitar este problema usando valores realistas de rigidez, o restricciones en lugar de elementos muy rígidos, esta es una de las razones por las cuales muchas veces se emplea las restricciones de diafragma de piso rígido en la solución de edificios de múltiples pisos, esto se

19. Diplomado de Especialización en Ingeniería Estructural
debe por que la rigidez en el plano del sistema de piso es muchas veces mayor por varios ordenes de magnitud que la rigidez a flexión de las columnas que conectan las losas rígidas del piso.
En el análisis dinámico no lineal, muchas veces se emplea la iteración para satisfacer el equilibrio final en cada paso. Si la rigidez cambia durante cada paso; la solución puede oscilar alrededor de la solución convergida para iteraciones alternas. Para evitar el problema de iteración de convergencia es necesario seleccionar valores reales de rigidez; o se puede activar y desactivar restricciones de desplazamiento durante la solución incremental.

20. Diplomado de Especialización en Ingeniería Estructural

21. Diplomado de Especialización en Ingeniería Estructural

22. Diplomado de Especialización en Ingeniería Estructural

23. Diplomado de Especialización en Ingeniería Estructural

24. Diplomado de Especialización en Ingeniería Estructural

25. Diplomado de Especialización en Ingeniería Estructural

26. Diplomado de Especialización en Ingeniería Estructural

27. Diplomado de Especialización en Ingeniería Estructural

28. Diplomado de Especialización en Ingeniería Estructural

29. Diplomado de Especialización en Ingeniería Estructural

30. Diplomado de Especialización en Ingeniería Estructural

31. Diplomado de Especialización en Ingeniería Estructural