teorema castigliano

1. Carlos Alberto Riveros Jerez
Departamento de Ingeniería
Sanitaria y Ambiental
Facultad de Ingeniería
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
Análisis Estructural
Teorema de Castigliano

2. Teorema de Castigliano
“La componente de desplazamiento del
punto de aplicación de una acción sobre
una estructura en la dirección de dicha
acción, se puede obtener evaluando la
primera derivada parcial de la energía
interna de deformación de la estructura
con respecto a la acción aplicada”.
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
w
P
P
∂
∆ =
∂ ( )
2 2 2 2
2 2 2 / 2
 ∂
= + + + 
∂   
∫ ∫ ∫ ∫
N M V T
dx dx dx dx
P AE EI G A GJα

3. Tomando como referencia:
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
Teorema de Castigliano
1/2 .e i iw f D=

4. Calcular la rotación en el punto medio (c) de la viga en voladizo.
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
Teorema de Castigliano
Ejemplo 1
∂ ∂
= =
∂ ∂∫C
w M M
dx
m EI m
θ

5. Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
Teorema de Castigliano
Solución 1: corte 1-1
1
1 10; 0M Px M+ = + =∑
⌢
1M Px= −
0
M
m
∂
=
∂

6. Teorema de Castigliano
Solución 1: corte 2-2
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
2
2 20; 0M Px m M+ = + + =∑
⌢
[ ]2M m Px= − +
1
M
m
∂
= −
∂

7. Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
Teorema de Castigliano
Solución 1
( )( ) ( )( )
2
0 2
1
0 1
L L
C
L
Px dx Px dx
EI
θ
  
= − + − − 
  
∫ ∫
2
3
8
C
PL
EI
θ =
 
= × − 
 
2
21
2 4
C
P L
L
EI
θ

8. Ejemplo 2
Para la viga simplemente apoyada que soporta la carga lineal w,
determinar el valor de la deflexión en el centro de la luz.
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∂ ∂
∆ ↓= =
∂ ∂∫
w M M
c dx
P EI P

9. Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
Solución 2
1
2
M
x
P
∂
=
∂
 
+ = − + × + + 
 
∑
⌢ 2
1
1 10;
2 2 2
wL P wx
x M
 
= + × − 
 
2
1
2 2 2
wL P wx
M x
( ) 
∆ ↓= − 
 
∫
2
2
0
2
0.5
2 2
L
C
wL w
x x x dx
EI
( ) ( ) 
 
∆ ↓= − 
 
 
3 4
2 22
4 3 4 4
C
L L
wL w
∆ ↓=
3
5
384
C
wL
EI

10. Calcular el desplazamiento en el extremo libre B de la viga en
voladizo.
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
Ejemplo 3
U M M
B dx
P EI P
∂ ∂
∆ ↓= =
∂ ∂∫

11. Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
Solución 3
corte 1-1
2
1
1 10 : 0
2
wX
M PX M∩
+ ∑ = + + =
2
1
2
wX
M PX
 
= − + 
 
M
X
P
∂
= −
∂

12. Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
Solución 3
( )
2
0
1
2
L
wX
B PX X dx
EI
 
∆ ↓= − − − 
 
∫
3
2
0
1
2
L
wX
PX dx
EI
 
= + 
 
∫
3 4
0
1
3 8
L
PX wX
EI
 
= + 
 
3 4
1
3 8
PL wL
EI
 
= + 
 

13. ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE
INDETERMINADAS
Si B se mueve todo se mueve y
no hay problema.
Si C se mueve , se tienen que
distribuir los esfuerzos en A y B.
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վ
վ

14. Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE
INDETERMINADAS

15. Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE
INDETERMINADAS

16. Indeterminada
Para convertirla en determinada: (Se quita el apoyo simple)
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE
INDETERMINADAS

17. Una estructura es estáticamente indeterminada si no
pueden ser analizados sus aspectos internos y
reacciones por las ecuaciones de equilibrio estático.
• Método de carga unitaria
• Método de Castigliano
Cualquier estructura puede convertirse en
estáticamente determinada suprimiendo las acciones
sobrantes o híper estáticas.
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE
INDETERMINADAS

18. Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE
INDETERMINADAS
3NE =
4NR =
4NN =
2GIE =
2 2= + − −GIE NE NR NN C

19. Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS
Estructura primaria
'
1 1 11 12
'
2 2 21 22
0
0
∆ = = ∆ + ∆ + ∆
∆ = = ∆ + ∆ + ∆

20. (Se quitan P, Q w)
(Se quitan P, Q w)
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS
Definición coeficientes flexibilidad
11 11 1
12 12 2
21 21 1
22 22 2
X
X
X
X
∆ = ∂
∆ = ∂
∆ = ∂
∆ = ∂
'
1 11 1 12 2 0X X∆ + ∂ + ∂ =
'
2 21 1 22 2 0X X∆ + ∂ + ∂ =
1m
2m
∧
∧

21. • Por Carga Unitaria:
• Por Método Castigliano
……
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE
INDETERMINADAS
' 1
1
Mm
dx
EI
∆ = ∫
1 2 2 1
12 21
m m m m
dx dx
EI EI
∂ = ∂ =∫ ∫
1 1 2 2
11 22
m m m m
dx dx
EI EI
∂ = ∂ =∫ ∫
1 2
1 2
0 0
w w
X X
∂ ∂
∆ = = ∆ = =
∂ ∂
n
n
w
X
∂
∆ =
∂
' 2
2∆ = ∫
Mm
dx
EI