2. Ecuaciones de primer grado
• IDENTIDADES.-
• Son las igualdades entre
expresiones numéricas o algebraicas
que SIEMPRE son ciertas para
cualquier valor de las letras.
• Ejemplos:
• 4 = 4
• x = x
• x2 – 1 = (x + 1).(x – 1)
• ECUACIONES.-
• Son las igualdades de expresiones
alebraicas que SOLAMENTE son
ciertas para algunos valores de las
letras.
• Ejemplos:
• x = 5 , sólo es cierto si x = 5
• x – 2 = 5 , sólo es cierto si x = 7
• x2 = 4 , sólo es cierto si x = 2
• o si x = - 2
3. Soluciones de una ecuación
• VARIABLES E INCÓGNITAS
• En un monomio a la x se la denomina VARIABLE.
• En una ecuación, por ejemplo 3.x – 1 = x + 2 , a la letra x se la llama
INCÓGNITA.
• SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
• Es el valor que debe tomar la incógnita para que se verifique la
igualdad.
• Resolver una ecuación es hallar sus soluciones.
• Si hay solución o soluciones se llaman ECUACIONES
COMPATIBLES.
• Si no hay solución se llaman ECUACIONES INCOMPATIBLES.
4. ECUACIONES EQUIVALENTES
• Las ecuaciones de primer grado son aquellas
igualdades cuyo EXPONENTE de la incógnita es la
unidad.
• Ecuaciones equivalentes son las que tienen la misma
solución.
• Para resolver una ecuación hay que hallar la ecuación
equivalente que tenga en uno de sus lados únicamente
la INCÓGNITA.
• Eso se llama DESPEJAR.
5. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
• 1. Si hay denominadores se halla el mcm y se eliminan éstos.
• 2. Si hay paréntesis se suprime aplicando la propiedad distributiva.
• Si delante de un paréntesis hay el signo “-” se cambia todo de signo.
• 3. Se traspasan los términos literales a un lado de la igualdad y los
términos constantes al otro.
• (Se aplica la Regla de la Suma).
• 4.- Se reducen términos semejantes.
• 5. Se despeja la incógnita.
• (Se aplica la Regla del Producto).
• NOTA: Es muy importante el ORDEN en el proceso a seguir.
6. REGLA DE LA SUMA
• ( PRIMER PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA ):
• Si en una igualdad sumamos (o restamos) a ambos
lados la misma cantidad, la igualdad sigue siendo cierta
• Ejemplo:
• x - a = b x – a + a = b + a x = b + a
• Numéricamente:
• x – 3 = 7 x – 3 + 3 = 7 + 3 x = 7 + 3
• Ejemplo:
• x + a = b x + a – a = b – a x = b – a
• Numéricamente:
• x + 3 = 7 x + 3 – 3 = 7 – 3 x = 7 – 3
7. Ejemplos
• 1. Resolver la ecuación: x – 2 = 5
• Sumamos 2 a ambos lados, quedando:
• x – 2 + 2 = 5 + 2 x = 7
• O sea, el 2 que estaba restando a la
incógnita, pasa al otro lado sumando.
• 2. Resolver la ecuación: x +3 = 7
• Restamos 3 a ambos lados, quedando:
• x + 3 – 3 = 7 – 3 x = 4
• O sea, el 3 que estaba sumando a la
incógnita, pasa al otro lado restando.
8. • 3. Resolver la ecuación: x – 2 = x + 5
• Cuando hay varios términos con “x”, se pasan
todas las “x” a un lado y los demás términos al
otro.
• Sumamos 2 a ambos lados, quedando:
• x – 2 + 2 = x + 5 + 2 x = x + 7
• Restamos x a ambos lados, quedando:
• x – x = x + 7 – x 0 = 7
• Esta igualdad resultante es imposible.
• La ecuación es INCOMPATIBLE
9. • 4. Resolver la ecuación: x – 2 = x – 2
• Sumamos 2 a ambos lados, quedando:
• x – 2 + 2 = x - 2 + 2 x = x
• Nos ha dado una IDENTIDAD.
• Siempre se cumplirá la igualdad, luego hay INFINITAS
SOLUCIONES
• 5. Resolver la ecuación: 2.x – 2 = 6 + x
• Restamos x a ambos lados quedando:
• 2.x – 2 – x = 6 + x – x x – 2 = 6
• Sumamos 2 a ambos lados, quedando:
• x – 2 + 2 = 6 + 2 x = 8
• x = 8 es una ecuación equivalente a la dada.
10. REGLA DEL PRODUCTO
• ( SEGUNDO PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA ):
• Si en una igualdad multiplicamos (o dividimos) a ambos
lados por la misma cantidad, la igualdad sigue siendo
cierta
• Ejemplo:
• x x a.x
• --- = b a. --- = a. b ------ = a.b x = a.b
• a a a
• Numéricamente:
• x x 3.x
• --- = 4 3. --- = 3. 4 ------ = 3.4 x = 12
• 3 3 3
11. • Ejemplo:
• a.x b
• a.x = b -------- = ---- x = b / a
• a a
• Numéricamente:
• 3.x 9
• 3.x = 9 -------- = ---- x = 9 / 3 = 3
• 3 3
• Importante: Si al despejar la incógnita, x, no queda un
valor entero, se simplifica y se queda como fracción
irreducible, salvo que sea decimal exacto.
• x = 2 Bien
• x = 3 / 2 = 1,5 Bien
• x = 2 / 3 = 0,6666 Incorrecto, pues nunca puede ser exacto.
• x = 2 / 3 Bien
12. Ejemplos
• 6. Resolver la ecuación: 2.x = 6
• Dividimos por 2 a ambos lados, quedando:
• 2.x / 2 = 6 / 2 x = 3
• O sea, el 2 que estaba multiplicando a la incógnita pasa al otro lado
dividiendo.
• 7. Resolver la ecuación: x / 3 = 5
• Multiplicamos ambos lados por 3, quedando:
• x 3.x
• 3.---- = 3.5 ---------- = 15 x = 15
• 3 3
• O sea, el 3 que estaba dividiendo a la incógnita pasa al otro lado
multiplicando.
13. • 8. Resolver la ecuación: 2.x – 2 = 5.x + 4
• Las x deben quedar todas a un mismo lado. ¿Dónde?.
• Mejor donde queden positivas.
• Restamos 2.x a ambos lados, quedando:
• 2.x – 2 – 2.x = 5.x + 4 – 2.x - 2 = 3.x + 4
• Restamos 4 a ambos lados, quedando:
• – 2 – 4 = 3.x + 4 – 4 – 6 = 3.x
• Dividimos ambos por 3, quedando:
• – 6 3.x
• ---- = ------ – 2 = x
• 3 3
• O sea, primero el 4 que estaba sumando ha pasado restando, luego
2.x que estaba sumando ha pasado restando, y por último el 3 que
estaba multiplicando ha pasado dividiendo.
14. • 9. Resolver la ecuación: ( 2.x / 3 ) – 2 = x - 6
• Multiplicamos ambos lados por 3, quedando:
• 2.x
• 3.[------- – 2] = 3.( x – 6) 2.x – 6 = 3.x - 18
• 3
• Restamos 2.x a ambos lados, quedando:
• 2.x – 6 – 2.x = 3.x - 18 – 2.x - 6 = x - 18
• Sumamos 18 a ambos lados, quedando:
• – 6 + 18 = x - 18 + 18 12 = x
• MUY IMPORTANTE:
• Siempre que en una ecuación haya fracciones, hay que aplicar
primero la Regla del Producto, multiplicando ambos lados por el
denominador de la fracción.
• Si hay varios denominadores se multiplica todo por el MCM de los
que haya ( o por el producto de los denominadores).
15. 10 Resolver la ecuación: 2 - (3.x / 2) = x – 6
• Multiplicamos ambos lados por 2, quedando:
• 3.x
• 2.[2 - ---------)] = 2.(x – 6) 4 – 3.x = 2.x - 12
• 2
• Sumamos 3.x a ambos lados, quedando:
• 4 – 3.x + 3.x = 2.x - 12 + 3.x 4 = 5.x – 12
• Sumamos 12 a ambos lados, quedando:
• 4 + 12 = 5.x - 12 + 12 16 = 5.x
• Dividimos por 5 a ambos lados, quedando:
• 16 5.x
• ---- = -------- 16 / 5 = x x = 3,2
• 5 5
• Si la fracción resultante no es decimal exacto, se deja en fracción.
