Este documento explica las ecuaciones de primer grado, incluyendo las identidades y ecuaciones, las variables e incógnitas, y cómo resolver ecuaciones de primer grado mediante la aplicación de las reglas de la suma y del producto para despejar la incógnita.
2. Ecuaciones de primer grado
IDENTIDADES.-
Son las igualdades entre expresiones
numéricas o algebraicas que SIEMPRE
son ciertas para cualquier valor de las
letras.
Ejemplos:
4 = 4
x = x
x2 – 1 = (x + 1).(x – 1)
• ECUACIONES.-
• Son las igualdades de expresiones
alebraicas que SOLAMENTE son
ciertas para algunos valores de las
letras.
• Ejemplos:
• x = 5 , sólo es cierto si x = 5
• x – 2 = 5 , sólo es cierto si x = 7
• x2 = 4 , sólo es cierto si x = 2
• o si x = - 2
3. Soluciones de una ecuación
VARIABLES E INCÓGNITAS
En un monomio a la x se la denomina VARIABLE.
En una ecuación, por ejemplo 3.x – 1 = x + 2 , a la letra x se la llama
INCÓGNITA.
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
Es el valor que debe tomar la incógnita para que se verifique la
igualdad.
Resolver una ecuación es hallar sus soluciones.
Si hay solución o soluciones se llaman ECUACIONES COMPATIBLES.
Si no hay solución se llaman ECUACIONES INCOMPATIBLES.
4. ECUACIONES EQUIVALENTES
Las ecuaciones de primer grado son aquellas
igualdades cuyo EXPONENTE de la incógnita es la
unidad.
Ecuaciones equivalentes son las que tienen la misma
solución.
Para resolver una ecuación hay que hallar la ecuación
equivalente que tenga en uno de sus lados únicamente
la INCÓGNITA.
Eso se llama DESPEJAR.
5. RESOLUCIÓN DE
ECUACIONES
1. Si hay denominadores se halla el mcm y se eliminan éstos.
2. Si hay paréntesis se suprime aplicando la propiedad distributiva.
Si delante de un paréntesis hay el signo “-” se cambia todo de signo.
3. Se traspasan los términos literales a un lado de la igualdad y los
términos constantes al otro.
(Se aplica la Regla de la Suma).
4.- Se reducen términos semejantes.
5. Se despeja la incógnita.
(Se aplica la Regla del Producto).
NOTA: Es muy importante el ORDEN en el proceso a seguir.
6. REGLA DE LA SUMA
( PRIMER PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA ):
Si en una igualdad sumamos (o restamos) a ambos lados la
misma cantidad, la igualdad sigue siendo cierta
Ejemplo:
x - a = b x – a + a = b + a x = b + a
Numéricamente:
x – 3 = 7 x – 3 + 3 = 7 + 3 x = 7 + 3
Ejemplo:
x + a = b x + a – a = b – a x = b – a
Numéricamente:
x + 3 = 7 x + 3 – 3 = 7 – 3 x = 7 – 3
7. Ejemplos
1. Resolver la ecuación: x – 2 = 5
Sumamos 2 a ambos lados, quedando:
x – 2 + 2 = 5 + 2 x = 7
O sea, el 2 que estaba restando a la incógnita,
pasa al otro lado sumando.
2. Resolver la ecuación: x +3 = 7
Restamos 3 a ambos lados, quedando:
x + 3 – 3 = 7 – 3 x = 4
O sea, el 3 que estaba sumando a la
incógnita, pasa al otro lado restando.
8. 3. Resolver la ecuación: x – 2 = x + 5
Cuando hay varios términos con “x”, se pasan
todas las “x” a un lado y los demás términos al
otro.
Sumamos 2 a ambos lados, quedando:
x – 2 + 2 = x + 5 + 2 x = x + 7
Restamos x a ambos lados, quedando:
x – x = x + 7 – x 0 = 7
Esta igualdad resultante es imposible.
La ecuación es INCOMPATIBLE
9. 4. Resolver la ecuación: x – 2 = x – 2
Sumamos 2 a ambos lados, quedando:
x – 2 + 2 = x - 2 + 2 x = x
Nos ha dado una IDENTIDAD.
Siempre se cumplirá la igualdad, luego hay INFINITAS
SOLUCIONES
5. Resolver la ecuación: 2.x – 2 = 6 + x
Restamos x a ambos lados quedando:
2.x – 2 – x = 6 + x – x x – 2 = 6
Sumamos 2 a ambos lados, quedando:
x – 2 + 2 = 6 + 2 x = 8
x = 8 es una ecuación equivalente a la dada.
10. REGLA DEL PRODUCTO
( SEGUNDO PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA ):
Si en una igualdad multiplicamos (o dividimos) a ambos
lados por la misma cantidad, la igualdad sigue siendo cierta
Ejemplo:
x x a.x
--- = b a. --- = a. b ------ = a.b x = a.b
a a a
Numéricamente:
x x 3.x
--- = 4 3. --- = 3. 4 ------ = 3.4 x = 12
3 3 3
11. Ejemplo:
a.x b
a.x = b -------- = ---- x = b / a
a a
Numéricamente:
3.x 9
3.x = 9 -------- = ---- x = 9 / 3 = 3
3 3
Importante: Si al despejar la incógnita, x, no queda un valor
entero, se simplifica y se queda como fracción irreducible,
salvo que sea decimal exacto.
x = 2 Bien
x = 3 / 2 = 1,5 Bien
x = 2 / 3 = 0,6666 Incorrecto, pues nunca puede ser exacto.
x = 2 / 3 Bien
12. Ejemplos
6. Resolver la ecuación: 2.x = 6
Dividimos por 2 a ambos lados, quedando:
2.x / 2 = 6 / 2 x = 3
O sea, el 2 que estaba multiplicando a la incógnita pasa al otro lado
dividiendo.
7. Resolver la ecuación: x / 3 = 5
Multiplicamos ambos lados por 3, quedando:
x 3.x
3.---- = 3.5 ---------- = 15 x = 15
3 3
O sea, el 3 que estaba dividiendo a la incógnita pasa al otro lado
multiplicando.
13. 8. Resolver la ecuación: 2.x – 2 = 5.x + 4
Las x deben quedar todas a un mismo lado. ¿Dónde?.
Mejor donde queden positivas.
Restamos 2.x a ambos lados, quedando:
2.x – 2 – 2.x = 5.x + 4 – 2.x - 2 = 3.x + 4
Restamos 4 a ambos lados, quedando:
– 2 – 4 = 3.x + 4 – 4 – 6 = 3.x
Dividimos ambos por 3, quedando:
– 6 3.x
---- = ------ – 2 = x
3 3
O sea, primero el 4 que estaba sumando ha pasado restando, luego 2.x
que estaba sumando ha pasado restando, y por último el 3 que estaba
multiplicando ha pasado dividiendo.
14. 9. Resolver la ecuación: ( 2.x / 3 ) – 2 = x - 6
Multiplicamos ambos lados por 3, quedando:
2.x
3.[------- – 2] = 3.( x – 6) 2.x – 6 = 3.x - 18
3
Restamos 2.x a ambos lados, quedando:
2.x – 6 – 2.x = 3.x - 18 – 2.x - 6 = x - 18
Sumamos 18 a ambos lados, quedando:
– 6 + 18 = x - 18 + 18 12 = x
MUY IMPORTANTE:
Siempre que en una ecuación haya fracciones, hay que aplicar primero
la Regla del Producto, multiplicando ambos lados por el denominador
de la fracción.
Si hay varios denominadores se multiplica todo por el MCM de los que
haya ( o por el producto de los denominadores).
15. 10 Resolver la ecuación: 2 - (3.x / 2) = x – 6
Multiplicamos ambos lados por 2, quedando:
3.x
2.[2 - ---------)] = 2.(x – 6) 4 – 3.x = 2.x - 12
2
Sumamos 3.x a ambos lados, quedando:
4 – 3.x + 3.x = 2.x - 12 + 3.x 4 = 5.x – 12
Sumamos 12 a ambos lados, quedando:
4 + 12 = 5.x - 12 + 12 16 = 5.x
Dividimos por 5 a ambos lados, quedando:
16 5.x
---- = -------- 16 / 5 = x x = 3,2
5 5
Si la fracción resultante no es decimal exacto, se deja en fracción.
