Inecuaciones, lineales sencillas, lineales dobles, no lineales, racionales, solución algebraica, en la recta numérica y en intervalo

1. Brian Bastidas
Inecuaciones
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Docente: Brian Bastidas
Inecuaciones
Temas a trabajar:
• Definición de Inecuación
• Clases de Intervalos
• Desigualdades y propiedades
• Clasificación de las Inecuaciones
o Inecuaciones Lineales
o Inecuaciones Lineales dobles
o Inecuaciones no lineales
o Inecuaciones Racionales
Definición de Inecuación
Es muy sencillo definir inecuación, en el tema anterior vimos que una ecuación es una igualdad entre dos
expresiones algebraicas, así mismo, una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas, para
ello vamos a recordar los símbolos:
>
<
≥
≤
Debemos tener en cuenta que ahora el símbolo se leerá dependiendo de donde se encuentre la variable ejemplo:
2 > 2
2 2 <
También tendremos en cuenta que en las inecuaciones la mayoría de soluciones están dadas en intervalos, para
ello veremos las clases de intervalos que nos ayudaran a representar la solución.
Clases de Intervalos
Intervalos abiertos ( , )
Son todos los números entre a y b sin incluir sus extremos
Intervalos cerrados [ , ]
Son todos los números entre a y b incluyendo sus extremos
Intervalos semiabiertos o semicerrados
[ , ) = Son todos los números entre a y b incluyendo solo el extremo a
( , ] = Son todos los números entre a y b incluyendo solo el extremo b

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Intervalos al Infinito
( , ∞) = Son todos los números mayores que
(−∞, ] = Son todos los números menores o iguales que
Ejemplos de intervalos en inecuaciones:
• > 2 (2, ∞)
• −3 ≥ (−∞, −3]
• <
"
#
$−∞,
"
#
%
• −6 < ≤ 9 (−6,9]
Desigualdades y propiedades
Antes de comenzar a solucionar inecuaciones debemos tener bien claro las propiedades en una desigualdad:
1. Si < y ( un número real cualquiera, entonces ± ( < ± (
Podemos ver que se mantiene la desigualdad si sumamos o restamos el mismo número en ambos lados
ejemplo:
9 > 3 * 4 , - - 5 > −1
2. Si < y ( un número real positivo cualquiera, entonces ∙ ( < ∙ (
En la multiplicación también se mantiene la desigualdad si y solo si el numero por el cual multiplicamos
es positivo ejemplo:
12 < 16 * 1 2 1 2 , - - 24 < 32
3. Si < y ( un número real negativo cualquiera, entonces ∙ ( > ∙ (
Si multiplicamos por un número real negativo cualquiera vamos a determinar que no se mantiene la
desigualdad ejemplo:
15 > 7 * 1 2 1 − 3 , - - − 45 < −21
En este caso el 7 que era menor que 15 al multiplicarlo por -3 da -21 que es ahora mayor que -45.
Con estas propiedades podemos determinar que al igual que en las ecuaciones podemos sumar o restar por un
numero en ambos lados lo que simplificamos a (está sumando pasa a restar o está restando y pasa a sumar) y en
la multiplicación (está multiplicando pasa a dividir o está dividiendo y pasa a multiplicar), pero en la
multiplicación si tendremos que estar pendientes si es un numero negativo el cual estemos pasando ya sea a
multiplicar o a dividir deberemos entonces cambiar el símbolo de la desigualdad.

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Clasificación de las Inecuaciones
Ahora sí, teniendo en cuenta lo anterior vamos a comenzar a solucionar las inecuaciones dependiendo de su
clasificación, estas soluciones deben ser representadas de tres formas:
1. Algebraica
2. Grafica en la recta numérica
3. Intervalo
Inecuaciones Lineales: Se determina inecuación lineal cuando el mayor exponente de la variable es 1.
Ejemplo 1:
2 + 3 > 15
Despejamos la variable, primero se resta 3 en ambos lados
2 > 15 − 3
Se resuelve la resta del lado derecho y para terminar de despejar la variable se divide por 2 en ambos lados
>
12
2
Dándonos como resultado
> 6
Esta sería la solución algebraica ( > 6), ahora representada en la recta numérica:
Ubicamos el 6, dibujamos un punto abierto, debido a que, el 6 no hace parte de la solución y pintamos una flecha
hacia la derecha que representa todos los números mayores que 6
La representación en intervalo es:
5 = (6, ∞)

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Ejemplo 2:
3 + 6 ≥ 5 − 12
Pasamos variables a un lado y números al otro
3 − 5 ≥ −12 − 6
Sumamos o restamos semejantes
−2 ≥ −18
El -2 está multiplicando para despejarlo dividimos por -2 en ambos lados, demos tener en cuenta que estamos
dividiendo por un numero negativo, por lo tanto, cambia el símbolo
≤
−18
−2
Solucionamos la división haciendo ley de signos
≤ 9
Representación en la recta, punto cerrado en 9, debido a que, hace parte de la solución y flecha hacia la
izquierda que representa los números menores que 9.
Solución en intervalo
5 = (−∞, 9]
Inecuaciones Lineales dobles: Son desigualdades entre expresiones algebraicas que contienen dos signos de
comparación.
Ejemplo 1:
−2 < 2 − 6 < 3
En estos casos donde tenemos la variable solo en la mitad de la inecuación, podremos solucionarla de dos
formas:
La primera: Separa la inecuación en dos inecuaciones sencillas
−2 < 2 − 6 2 − 6 < 3
Y solucionarlas, el 6 pasa a sumar
6 − 2 < 2 2 < 3 + 6
Sumo o resto y luego el 2 pasa a dividir
4
2
< <
9
2

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Divido en este caso la fracción que tiene solución dentro de los enteros
2 < <
9
2
La segunda: Trabajar la inecuación completa e ir despejando la mitad
−2 < 2 − 6 < 3
Para quitar el -6 sumo 6 en los tres miembros de la inecuación
−2 + 6 < 2 < 3 + 6
Se realizan las sumas o restas de los lados y se despeja el 2 de la x dividiendo por 2 en los tres miembros
4
2
< <
9
2
Resolvemos las fracciones que tengan solución dentro de los enteros
2 < <
9
2
Ahora represento las dos soluciones en una sola recta, recordar que la primera dice 2.
Y la solución sería, solo la intersección entre las dos rectas
Su solución en intervalo:
5 = 72,
9
2
8
Ejemplo 2:
5 − 13 ≤ −3 + 7 < 4
En este caso no podremos solucionar la inecuación completa e ir despejando la mitad porque a los lados también
tiene variable, entonces es obligatorio separar en dos inecuaciones y despejarlas por aparte, para ello repetimos
la ecuación de la mitad y representamos las dos desigualdades
5 − 13 ≤ −3 + 7 − 3 + 21 < 4
Comenzamos pasando variables a un lado y números al otro lado de la desigualdad

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5 + 3 ≤ 7 + 13 − 3 − 4 < −21
Sumamos semejantes
8 ≤ 20 − 7 < −21
Dividimos por el numero que nos queda en las dos inecuaciones, en el primer caso por 8 y en el segundo por -7,
recordando que al dividir por un numero negativo debemos cambiar el sentido del símbolo
≤
20
8
>
−21
−7
Solucionamos las divisiones o simplificamos
≤
5
2
> 3
Representamos las dos soluciones en la recta numérica
Podemos ver que las rectas no se interceptan, por lo tanto, no hay solución para esta inecuación, lo podemos
representar:
5 = :∅<
Que significa conjunto vacío.
Inecuaciones no lineales: Como su nombre lo indica, son las inecuaciones donde la variable esta elevado a una
potencia mayor que 1, a continuación, veremos algunos casos que se nos pueden presentar:
Ejemplo 1:
2 =
+ 8 > 80
Para este caso podremos despejar la inecuación, primero restaremos 8 en ambos miembros
2 =
> 80 − 8
Realizamos a resta y luego dividimos por 2 en ambos miembros
=
>
72
2
Solucionamos la división y para terminar de despejar la variable debemos sacar raíz en ambos miembros
> = > √36
Al solucionar la raíz cuadrada debemos tener en cuenta que, al ser índice par, la raíz tiene dos resultados
> 6 < −6
Vemos que al representar la solución negativa debemos cambiar el símbolo de la inecuación.

7. Brian Bastidas
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Ahora si podemos representar las soluciones en la recta numérica
En este caso la solución no va a ser la intercepción entre las dos rectas, sino la unión entre las dos rectas, su
representación en intervalo quedaría entonces
5 = (−∞, −6) ∪ (6, ∞)
Ejemplo 2:
4 #
+ 9 ≤ 57 + #
En este caso pasamos variables a un lado y números al otro
4 #
− #
≤ 57 − 9
Sumamos semejantes
3 #
≤ 48
Dividimos por 3
#
≤
48
3
#
≤ 16
Sacamos raíz cuarta en ambos miembros para eliminar la potencia
> #A
≤ √16
A
Al ser índice par la raíz tiene dos resultados
≤ 2 ≥ −2
Representamos las dos soluciones en la recta numérica
Solución en intervalo:
5 = [−2,2]
Para las inecuaciones no lineales debemos solucionarlas mejor por factorización porque los intervalos de solución
no siempre van a ser la unión o la intercepción entre las flechas, sino que, se debe probar cada intervalo y definir
cual se ajusta a nuestra inecuación.

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Ejemplo 3:
=
− 4 > 12
En este caso no podremos despejar la variable, entonces trataremos de factorizar, pero primero dejaremos un
cero en uno de los lados de la inecuación, para ello, lo más fácil es restar 12 en ambos miembros de la inecuación.
=
− 4 − 12 > 0
El miembro izquierdo lo factorizamos, buscando dos números que multiplicados den -12 y restados den -4
( − 6)( + 2) > 0
Y aquí encontraremos los puntos críticos de la expresión algebraica, es decir los valores de que hagan dar cero
a la expresión, en nuestro caso igualamos los dos paréntesis a 0 y despejamos las ecuaciones
− 6 = 0 + 2 = 0
= 6 = −2
El 6 y el -2 son los valores que hacen dar cero la expresión, más precisamente, el 6 hace dar cero el primer
paréntesis y el -2 hace dar cero el segundo paréntesis, ubicaremos estos dos puntos en la recta numérica y
levantaremos una barrera en estos puntos, dividiendo nuestra recta en tres intervalos
Lo siguiente que haremos es analizar cómo se comportan los signos en nuestros paréntesis cuando estamos en
cada intervalo de la recta
( − 6)
( + 2)
Podemos ver que en el primer paréntesis, si le damos valores a menores a 6 el resultado siempre va a ser
negativo y si le damos mayores que 6 siempre da positivo, nuestro segundo paréntesis si le damos valores
menores que -2 el resultado siempre da negativo y si le damos mayores que -2 la suma siempre va a dar positivo,
en esta parte solo nos interesan los signos porque estamos comparando con cero y es obvio que si un número es
positivo es mayor que cero y si es negativo es menor que cero, por otra parte, recordemos que estos dos
paréntesis están multiplicando, entonces, en realidad no nos importa el número que nos de la multiplicación de
estos dos paréntesis, sino el resultado de la ley de signos.
( − 6)
( + 2)
Ley de
Signos

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Podemos ahora con estos resultados definir que intervalos dan solución a nuestra inecuación:
( − 6)( + 2) > 0
Al ser el símbolo mayor que cero nos sirven los intervalos donde la ley de signos es positiva, por otra parte, los
puntos -2 y 6 no hacen parte de la solución, por ser solo mayor que cero (>) y no mayor o igual (≥).
( − 6)
( + 2)
Ley de
Signos
Por último, representamos su intervalo de solución
5 = (−∞, −2) ∪ (6, ∞)
Para solucionar estas inecuaciones donde debemos tener en cuenta los signos de los paréntesis, vamos a guiarnos
de estos ejemplos generales donde el valor de ± es el que hace dar cero el paréntesis:
Siempre que sea positiva tiene el siguiente comportamiento:
( + )
−
Cuando es negativa el comportamiento es lo contrario de la recta numérica
(− + )
Cuando es positiva o negativa pero esta elevado a una potencia, en este caso , si es par recordamos que
todo número elevado a una potencia par da positivo, si es impar tiene un comportamiento dependiendo de los
signos de como los casos anteriores.
(± + )B
±
Ejemplo 4:
( + 3)#(3 + 6)C(− + 2) ≤ 0
En este ejemplo ya está factorizada nuestra expresión algebraica, lo que haremos entonces es hallar los puntos
críticos igualando a cero cada paréntesis.
+ 3 = 0 3 + 6 = 0 − + 2 = 0
Despejamos cada ecuación
= −3 3 = −6 − = −2

10. Brian Bastidas
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Ya la primera queda despejada, la segunda dividimos por 3 y en la tercera multiplicamos por -1 en ambos
miembros
= −3 = −2 = 2
Ahora ubicamos los puntos críticos, levantamos las barreras para dividir la recta en intervalos, en este caso
nuestro símbolo es mayor o igual, por lo tanto, los puntos críticos hacen parte de la solución
( + 3)#
(3 + 6)C
(− + 2)
Ahora comenzamos a llenar los signos de cada paréntesis, el primero esta elevado a una potencia par, por lo tanto
va a ser positivo a la izquierda y a la derecha de su punto crítico, el segundo paréntesis esta elevado a una potencia
impar y es positiva, por lo tanto, es positivo hacia la derecha y negativo hacia la izquierda de su punto crítico, el
tercer paréntesis es negativa, entonces su comportamiento es al contrario negativo hacia la derecha y positivo
hacia la izquierda de su punto crítico.
( + 3)#
(DE + F)G
(− + 2)
Ley de signos
Después de definir la ley de signos al ser el símbolo menor o igual (≤), los intervalos solución son los negativos,
realizamos ahora las rectas solución
( + 3)#
(DE + F)G
(− + 2)
Ley de signos
Los intervalos solución son: vemos que los dos primeros intervalos se convierten en uno solo, debido a que, el -3
hace parte de la solución.
5 = (−∞, −2] ∪ [2, ∞)

11. Brian Bastidas
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Inecuaciones racionales: son las inecuaciones donde aparece nuestra variable en el denominador, debemos
recordar que en el denominador nunca puede ir cero.
La solución de estas inecuaciones va a ser muy parecidas a las no lineales, vamos a tener en cuenta la ley de
signos.
Ejemplo 1:
5 + 3
− 1
< 2
Primero vamos dejar en uno de los miembros un cero, para ello restamos 2 en ambos miembros
5 + 3
− 1
− 2 < 0
Realizamos la suma de fracciones
5 + 3 − (2 − 2)
− 1
< 0
5 + 3 − 2 + 2
− 1
< 0
Sumamos semejantes
3 + 5
− 1
< 0
Hallamos los puntos críticos, para ello igualamos el numerador y el denominador a cero
3 + 5 = 0 − 1 = 0
Despejamos las ecuaciones
= −
5
3
= 1
Ubicamos en la recta numérica y definimos signos de cada paréntesis en cada intervalo
(3 + 5)
( − 1)
Ley de signos
Su intervalo solución es:
5 = 7−
5
3
, 18

12. Brian Bastidas
Inecuaciones
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Ejemplo 2:
( =
− 4)#
( =
+ 3 − 18)
( = + 8 + 12)( = − 16)
≥ 0
En este caso, la inecuación ya está comparada con cero lo que nos falta entonces es factorizar
( =
− 4)#
= ( + 2)#
( − 2)#
=
+ 3 − 18 = ( + 6)( − 3)
=
+ 8 + 12 = ( + 6)( + 2)
=
− 16 = ( + 4)( − 4)
Reemplazamos las factorizaciones
( + 2)#
( − 2)#
( + 6)( − 3)
( + 6)( + 2)( + 4)( − 4)
≥ 0
Y simplificamos paréntesis iguales, recordando que si se multiplican se suman los exponentes y si se dividen se
restan
( + 2)H
( − 2)#
( − 3)
( + 4)( − 4)
≥ 0
Ahora sí, podemos sacar los puntos críticos igualando cada paréntesis a cero
+ 2 = 0 → = −2 Hace parte de la solución (Punto cerrado)
− 2 = 0 → = 2 Hace parte de la solución (Punto cerrado)
− 3 = 0 → = 3 Hace parte de la solución (Punto cerrado)
+ 4 = 0 → = −4 No hace parte de la solución por estar en el denominador (Punto abierto)
− 4 = 0 → = 4 No hace parte de la solución por estar en el denominador (Punto abierto)
( + 2)H
( − 2)#
( − 3)
( + 4)
( − 4)
Ley de
Signos
Intervalo Solución: 5 = (−∞, −4) ∪ [−2,3] ∪ (4, ∞)