ACERTIJO DE POSICIÓN DE CORREDORES EN LA OLIMPIADA. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
Eliminación gaussiana
1. Solución de un
sistema linear
por eliminación
Gaussiana
Por: Sandra Lucía de la Fuente Bermúdez.
Matemáticas para mecatrónicos.
Asesor: Dr. Francisco Javier Ornelas Rodríguez.
2014-02-28
2. Resumen
Un sistema algebraico linear es un conjunto
de mecuaciones en n variables escalares, que
aparentan linealidad. Se puede escribir como:
퐴푥 = 푏
Donde, A es una matriz mxn, x es un vector
n-dimensional donde se encuentran las
variables, y b es un vector conocido de
dimensión m.
3. Soluciones de un sistema
linear
Para 퐴푥 = 푏, siendo un sistema de mxn (m puede ser
mayor, menor, o igual que n) y 푟 = 푟푎푛푘 퐴 , siendo
el número de columnas o filas linealmente
independientes de A, entonces:
푏 ∉ 푟푎푛푔푒 퐴
→ 푒푠 푖푛푐표푚푝푎푡푖푏푙푒 (푛표 푡푖푒푛푒 푠표푙푢푐푖ó푛)
푏 ∈ 푟푎푛푔푒 퐴
→ 푒푠 푐표푚푝푎푡푖푏푙푒 ∞푛−푟 푠표푙푢푐푖표푛푒푠
Con la convención de que ∞0 = 1 푒 ∞푘 es la
cardinalidad de un espacio vectorial k-dimensional.
5. Eliminación Gaussiana
Es una importante técnica para resolver
sistemas lineales.
Siempre produce una solución, sin importar
si el sistema es invertible o no.
Permite determinar el grado de una matriz.
Ideal para cantidades finitas, el tiempo para
resolución es delimitado por el tamaño de
la matriz.
6. Forma escalonada
Se dice que una matriz que ha pasado a través
del proceso de Eliminación Gaussiana, ha sido
reducida a la forma escalonada (Echelon Form).
Considere un sistema mxn 퐴푥 = 푏, que puede
ser cuadrado, rectangular, invertible,
incompatible, redundante, o indeterminado. La
eliminación Gaussiana reemplaza las filas de este
sistema, por combinaciones lineales de las filas
mismas hasta que A es cambiada por una matriz
U de la forma escalonada.
7. Las filas distintas de ceros, preceden
las filas con todos los ceros. La primer
entrada, si existe, en una fila, es
llamada pivote.
Debajo de cada pivote hay una
columna de ceros.
Cada pivote se ubica a la derecha del
pivote en la fila superior.
8. Las mismas operaciones son aplicadas a las
filas de A y a aquellas de b, que son
transformadas a un nuevo vector c. Por lo
que la forma escalonada queda de la forma:
푈푥 = 푐
9. Reducción a la forma
escalonada
Paso 1.
푈(1) = 퐴
푐(1) = 푏
Paso 2. El k-ésimo paso es aplicado a las filas k,…,m de
푈(푘) y 푐(푘), y produce:
푈(푘+1)
푐(푘+1)
Paso 3. El último paso produce:
푈(푚) = 푈
푐(푚) = 푐
El índice del primer pivote (p) es igualado a 1.
푢푖푗 푑푒푛표푡푎 푙푎 푒푛푡푟푎푑푎 푖, 푗 푑푒 푈(푘).
10. BackSubstitution
Un sistema 푈푥 = 푐 en forma escalonada es
fácilmente resulto para x; r es el grado de U, e
incluso, el grado de A, porque A y U admiten
exactamente las mismas soluciones y son
iguales en tamaño.
Si r<m, la última m-r ecuación produce un
sistema de la forma:
0[푥푟+1, ⋯ , 푥푚]’ = [푐푟+1, ⋯ , 푐푚]’
Llamándole subsistema residual. Si por el
contrario, r=m, no hay subsistema residual.
11. Si hay un sistema residual (por ejemplo r<m) y
algún 푐푟+1, ⋯ , 푐푚 ≠ 0, entonces las
ecuaciones correspondientes a esas entradas
distintas de cero son incompatibles.
Asumiendo que no hay sistema residual, o si lo
hay no es compatible, lo cual es 푐푟+1 = 푐푚 =
0, entonces las soluciones existen y pueden ser
determinadas por backsubstitution, lo cual es
resolviendo las ecuaciones comenzando de la
última, y reemplazando el resultado en las
ecuaciones superiores.
12. Procedimiento de sustitución
inversa
Paso 1.
Removemos el sistema residual, si lo hay.
Resultado: sistema rxn.
Paso 2.
Definición de variables básicas (columnas r
con pivotes) y variables libres (otras
columnas n-r).
13. La solución obtenida por sustitución inversa es una
función afín de variables libres y puede ser escrita de
la forma:
Donde 푥푖푗 son las variables libres, el vector 푣0 es la
solución cuando todas las variables libres son cero, y
el vector 푣푖 para 푖 = 1, … , 푛 − 푟 puede ser obtenido
resolviendo el sistema homogéneo:
14. Ejemplo práctico
Considere el sistema 퐴푥 = 푏, donde
Para k=1, no hay columnas no pivote, por lo que el
índice de la columna pivote (p) se queda en 1.
Convirtiendo la matriz a triangular: fila 2= fila 1*2 –
fila 2 y fila 3= fila 1 + fila 3.
15. (2), si p=2 se tiene un valor de
k=2, note que para 푢푖푝
cero para i=2,3, por lo que p=p+1=3. Por lo que la
segunda columna pivote es la 3, 푢23
(2) es distinta de
cero.
En la triangulación: fila 3= fila 3 – fila 2*2
16. r=2, determinado por el número de filas distintas
de cero.
El sistema residual 0 = 0 es compatible.
n=4, por lo que r<n: se trata de un sistema
indeterminado, con ∞푛−푟soluciones = ∞2.
Para la sustitución inversa, se borra el subsistema
residual simbólicamente:
Las variables básicas son x1 y x3, columnas pivote.
