Algoritmo para solución de sistemas de ecuaciones lineales

1. ANALISIS NUMERICO
JUAN TERSEK R
CI: 5.456.951
SECCION SAIA “A”

2. Al examinar los aspectos numéricos que se presentan al resolver sistemas de
ecuaciones lineales de la forma:
Se trata de un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, x1, x2, ..., xn. Los
elementos aij y bi son números reales fijados.
El sistema de ecuaciones se puede escribir, empleando una muy útil
representación matricial, como:
Entonces podemos denotar estas matrices por A, x y b de forma que la
ecuación se reduce simplemente a: Ax=b
Los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones se pueden dividir en dos
grandes grupos:
 Los Métodos exactos o algoritmos finitos que permiten obtener la
solución del sistema de manera directa.
 Los Métodos aproximados que utilizan algoritmos iterativos e infinitos y
que calculan la solución del sistema por aproximaciones sucesivas
Al contrario de lo que pueda parecer, en muchas ocasiones los métodos
aproximados permiten obtener un grado de exactitud superior al que se puede
obtener empleando los denominados métodos exactos, debido
fundamentalmente a los errores de truncamiento que se producen en el
proceso

3. SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
METODO SOLUCION GAUSSIANA

4. Método de Eliminación Gaussiana:
El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que éste sea
escalonado. La 1ª ecuación siempre se deja igual, (procurando que esta sea la más sencilla) y a la 2ª y 3ª
ecuación se debe anular el término que lleva la x. O podemos intercambiarlas entre sí.
Este algoritmo consiste en dos procesos:
a) Eliminación hacia adelante: Esta fase reduce el conjunto de ecuaciones a un sistema triangular Superior:
Paso 1: Consiste en dividir la primera ecuación por el coeficiente de la primera incógnita (coeficiente pivote). A
este procedimiento se le conoce como normalización.
Paso 2: Después se multiplica la ecuación normalizada por el primer coeficiente de la segunda ecuación.
Paso 3: Nótese que el primer término de la primera ecuación es idéntico al primer término de la segunda. Por lo
tanto, se puede eliminar, la primera incógnita de la segunda ecuación restando la primera a la segunda.
Paso 4: Repetir el paso 2 y 3 hasta eliminar la primera incógnita de todas las ecuaciones restantes. Estos 4
pasos se repiten tomando como pivotes las ecuaciones restantes hasta convertir el sistema en una matriz
triangular superior.
b) Sustitución hacia atrás:
Ya obtenido el sistema equivalente que es un sistema triangular superior este es más manejable y se puede
resolver despejando primero la Xn y este valor utilizarlo para obtener despejando la segunda incógnita hasta
obtener el resultado completo del sistema.

5. Aplicaremos el procedimiento a un sistema
de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas
Ejemplos del método
de Gauss

6. 

















18146
39133
106812
4226














4
3
2
1
X
X
X
X
=














38
27
34
12
En el primer paso, multiplicamos la primera ecuacion por -2 y la sumamos a la
segunda, después multiplicamos la primera ecuacion por -
2
1
y la sumamos a la
tercera fila y finalmente multiplicamos la primera ecuacion por 1 y la sumamos
a la cuarta ecuacion. Los números - 2, -
2
1
y 1 son los multiplicadores del
primer paso del proceso de eliminación. El numero 6 es el elemento pivote de
este primer paso y la primera fila, que no sufre modificación alguna, se
denomina fila pivote. El sistema adquiere la siguiente forma:


















14320
18120
2240
4226














4
3
2
1
X
X
X
X
=














 26
21
30
12

7. En el siguiente paso del proceso, la segunda fila se emplea como fila pivote y -
4 como elemento pivote. Aplicamos de nuevo el proceso: multiplicamos la
segunda fila por -3 y la sumamos a la tercera y después multiplicamos la
segunda fila por
2
1
y la sumamos a la cuarta. Los multiplicadores en esta
ocasión son: -3 y
2
1
, el sistema de ecuaciones se reduce a:


















13400
5200
2240
4226














4
3
2
1
X
X
X
X
=
















21
9
10
12
El último paso consiste en multiplicar la tercera ecuacion por -2 y sumarla a la
cuarta. El sistema resultante queda:


















3000
5200
2240
4226














4
3
2
1
X
X
X
X
=
















3
9
10
12
El sistema resultante es triangular superior y equivalente al sistema original
X =
















1
2
3
1

8. SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
METODO SOLUCION GAUSS - JORDAN

9. Este método también utiliza el teorema fundamental de equivalencia para resolver un sistema de ecuaciones
lineales. El método consiste en convertir el sistema expresado como matriz ampliada y trabajar para
transformarlo en un la matriz identidad quedando en el vector de términos independientes el resultado del
sistema.
Su procedimiento se distingue del método Gaussiano en que cuando se elimina una incógnita, se elimina de
todas las ecuaciones restantes, es decir, las que preceden a la ecuación pivote así como de las que la siguen.
Por lo tanto, la eliminación gaussiana es el método simple por excelencia en la obtención de soluciones exactas a
las ecuaciones lineales simultáneas. Una de las principales razones para incluir el método de Gauss-Jordán, es
la de proporcionar un método directo para obtener la matriz inversa. Es importante mencionar que este método es
muy adecuado para obtener la matriz inversa de una matriz.
Aplicación del algoritmo de Gauss Jordán
A la primera fila de la matriz aumentada (fila pivote) se divide entre el elemento pivote (escalado) después de esto
se obtendrá una nueva ecuación, por lo que se hará lo misma en el elemento pivote de la fila 2 y posteriormente
en la que le siguen, así eliminado todas las incógnitas del sistema Para la matriz inversa aplicamos las
propiedades, donde, el producto de la matriz de coeficiente por su inversa es igual a la matriz unidad. Y el
producto de su inversa por el vector de constantes es igual al vector solución.
Ventajas
Con este método la solución se obtiene directamente sin la necesidad de la sustitución inversa que utiliza el
método de Gauss. Con este procedimiento de normalización y eliminación se puede obtener, además la matriz
inversa de la matriz de coeficientes, A-1. Si a la matriz aumentada se le adhiere o aumenta la matriz unidad o
identidad y se le aplica el método de Gauss-Jordán.

10. Como hemos vistos, el método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El
método Gauss – Jordán continua el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal unitaria (aij = 0)
para cualquier i ≠ j.
Volviendo al sistema de ecuaciones reducidas en el apartado anterior tenemos:
Ahora seguiremos un procedimiento similar al empleado en el método de Gauss. Tomaremos como pivote el
elemento a44= - 3; multiplicamos la cuarta ecuación por - 4/3 y la restamos a la primera:
Realizamos la misma operación con la segunda y tercera fila, obteniendo:
Ahora tomamos como pivote el elemento a33 = 2, multiplicamos la tercera ecuación por 2/2 = 1 y la restamos a la
primera:

11. Repetimos la operación con la segunda fila:
Finalmente, tomamos como pivote a22 = - 4, multiplicamos la segunda ecuación por -2/-4 y la sumamos a la
primera:
El sistema de ecuaciones anterior es, como hemos visto, fácil de resolver.
Obtenemos las soluciones:

12. Descomposición LU
El método de Descomposición LU se basa en demostrar que una matriz A se puede factorizar como el producto de una matriz
triangular inferior L con una matriz triangular superior U, donde en el paso de eliminación sólo se involucran operaciones sobre los
coeficientes de la matriz, permitiendo así evaluar los términos independientes (bi) de manera eficiente.
La implementación del algoritmo de la Descomposición LU tiene sus variantes en cuanto a los valores iniciales de la diagonal que
tomen las matrices L y U, es decir si los valores de la diagonal de la matriz L tiene números 1, formalmente esto se refiere a la
Descomposición de Doolitle
Si los valores de la diagonal de la matriz U tiene números 1, formalmente esto se refiere a la Descomposición de Crout.
Supongamos que una matriz An×n puede ser escrita como el producto de una matriz triangular inferior L y una matriz triangular
superior U, esto es
A = LU
Entonces decimos que A tiene una factorización LU. Esta factorización nos permite resolver el sistema lineal Ax = b. Sustituyendo
LU por A, obtenemos
(LU) x = b
Esto implica que
L (Ux) = b
Si Ux = z, entonces tenemos que
Lz = b
Como L es una matriz triangular inferior, podemos resolver para z utilizando sustitución hacia adelante. Luego, como U es una
matriz triangular superior, resolvemos Ux = z por sustitución en reversa.
Ejemplo:

13. Considere el sistema lineal de ecuaciones
2X1 + 3X2 + 4X3 = 6
4X1 + 5X2 + 10X3 = 16
4X1 + 8X2 + 2X3 = 2
Cuya matriz de coeficientes es: A=










284
1054
432
Y su factorización LU es:
L =










 122
012
001
y U =












200
210
432










 122
012
001










3
2
1
Z
Z
Z
=










2
16
6
por sustitución hacia adelante tenemos

14. Z1 = 6
Z2 = 16 - 2 Z1 = 4
Z3 = 2 + 2 Z2 - 2 Z1 = -2
Z =










 2
4
6
Ahora resolvemos Ux = Z












200
210
432










3
2
1
X
X
X
=










 2
4
6
Y obtenemos
X3 = 1
X2 = 4 - 2 X3 /-1 = -2
X1 = 6 - 4 X3 - 3 X2 / 2 = 4 Por lo tanto, la solución para el sistema en cuestión
:
X =











1
2
4

15. Una matriz A simétrica y positiva definida puede ser factorizada de manera
eficiente por medio de una matriz triangular inferior y una matriz triangular
superior. Para una matriz no singular la descomposición LU nos lleva a
considerar una descomposición de tal tipo A = LU; dadas las condiciones de A,
simétrica y definida positiva, no es necesario hacer pivoteo, por lo que ésta
factorización se hace eficientemente y en un número de operaciones la mitad
de LU tomando la forma , donde L (la cual podemos "verla" como la
raíz cuadrada de A) es una matriz triangular inferior donde los elementos de la
diagonal son positivos.
Para resolver un sistema lineal Ax = b con A simétrica definida positiva y dada
su factorización de Cholesky , primero debemos resolver Ly = b y
entonces resolver LT
x = y para lograr x.
Una variante de la factorización de Cholesky es de la forma , donde
R es una matriz triangular superior, en algunas aplicaciones se desea ver la
matriz en esa forma y no de otra.
Para encontrar la factorización A = LLT
, bastaría ver la forma de L y observar
las ecuaciones que el producto derecho nos conduce al igualar elementos:

16. 












nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
.......
.......
.......
21
22221
11211
=













021
2221
11
.......
0.......
0.......0
lll
ll
l
nn 














nn
n
n
l
ll
lll
.......00
.......0
.......
222
11211
Así obtendríamos que:
a11 = l11
2
 l11 = 11a
a21 = l21l11  l21 = a21 / l11,….ln1 =
11
1
l
an
a22 = l21
2 +
l22
2
 l22 = )( 2
21
22 la 
De manera general
Lii = )(
1
1
2




i
k
ikii la
Lji = 





 


1
1
i
k
ikjkji lla lii
Ahora bien, ya que A es simétrica y definida positiva, podemos asegurar que
los elementos sobre la diagonal de L son positivos y los restantes elementos
reales desde luego.
Una de las aplicaciones de la factorización de Cholesky es resolver las
ecuaciones normales de un problema de cuadrados mínimos, esas ecuaciones
son: AT
Ax = AT
b, en la que AT
A es simétrica y definida positiva.

17. SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Solución De Sistemas Lineales Utilizando Métodos Iterativos

18. Un método iterado de resolución del sistema Ax = b es aquel que genera, a
partir de un vector inicial x0, una sucesión de vectores x1, x2,. . . Xn...
Un método iterado se dirá que es consistente con el sistema Ax = b, si el límite
x de la sucesión (Xn), en caso de existir, es solución del sistema. Se dirá que el
método es convergente si la sucesión generada por cualquier vector inicial x0
es convergente a la solución del sistema. Es evidente que si un método es
convergente es consistente, sin embargo, el recíproco no es cierto.
Método De Gauss Seidel
El Método de Gauss Seidel emplea valores iniciales y después itera para
obtener estimaciones refinadas de la solución; es particularmente adecuado
para un gran número de ecuaciones, lo cual en cierto modo lo hace un método
más comúnmente usado. La fórmula utilizada para hallar los xi viene dada por
el despeje de cada una de las xi en cada una de las ecuaciones y se les da un
valor inicial a cada xi de cero. Observase que en el método de Gauss-Seidel
los valores actualizados de xi sustituyen de inmediato a los valores anteriores,
mientras que en el método de Jacobi todas las componentes nuevas del vector
se calculan antes de llevar a cabo la sustitución. Por contra, en el método de
Gauss-Seidel los cálculos deben llevarse a cabo por orden, ya que el nuevo
valor xi depende de los valores actualizados de x1, x2,..., x i - 1. La desventaja
del método de Gauss-Seidel es que no siempre converge a la solución exacta o
algunas veces los hace de manera muy lenta. Únicamente es confiable para
aquellos sistemas dominantes diagonalmente