Ruta Matemática por Toledo para 2º ciclo de ESO
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Ruta Matemática Toledo Segundo ciclo

  1. 1. Ruta Matemática por Toledo para 2º ciclo de ESO ©2010/2011. Grupo de Trabajo de Rutas del IES Alfonso X “El sabio” de Toledo Toledo 2011 RUTA MATEMÁTICA POR TOLEDO 2º CICLO DE ESO
  2. 2. Ruta Matemática por Toledo para 2º ciclo de ESO ©2010/2011. Grupo de Trabajo de Rutas del IES Alfonso X “El sabio” de Toledo Contenido Contenido ...............................................................................................................2 Ruta 2º ciclo de ESO. Ruta semítica por Toledo ......................................................3 Descripción de la actividad.....................................................................................3 Ideas clave: ....................................................................................................................3 Características:...............................................................................................................3 Material necesario .........................................................................................................4 Tiempo de realización ....................................................................................................4 Recorrido .......................................................................................................................4 Actividades .............................................................................................................5 Actividad 0. Repasa la ruta con Google Maps ................................................................5 Volúmenes y capacidades ..............................................................................................6 Volúmenes y Áreas de otros elementos del mobiliario urbano......................................8 Problemas del día a día ..................................................................................................9 Cálculo de Porcentajes. ................................................................................................10 Determinando el norte usando la Geometría...............................................................11 Trabajando con proporcionalidad y porcentajes..........................................................13 ¡Cómo están los precios!..............................................................................................15 El huerto.......................................................................................................................17 Altura del Puente de San Martín..................................................................................18 El número de oro..........................................................................................................19 Cálculo aproximado de la altura de la torre de la puerta del Cambrón. .......................20 Inecuaciones en el Puente de San Martín ....................................................................23 Encuesta sobre turismo................................................................................................25 Juega a ser adivino con ayuda de la Probabilidad ........................................................30
  3. 3. Ruta Matemática por Toledo para 2º ciclo de ESO ©2010/2011. Grupo de Trabajo de Rutas del IES Alfonso X “El sabio” de Toledo Ruta 2º ciclo de ESO. Ruta semítica por Toledo Las dos únicas sinagogas que permanecen en pie actualmente inducen a llamar el barrio donde se encuentran, la Judería, donde se supone hubo mayor concentración de la población hebrea, aunque en realidad en la ciudad llegó a haber un total de diez sinagogas repartidas por todo su emplazamiento. Su límite sería la desaparecida parroquia de San Martín en las proximidades de la Puerta del Cambrón y los restos de construcciones defensivas por encima del Puente de San Martín, llamadas tradicionalmente el Castillo de los Judíos, siguiendo la línea ascendente casi recta de la calle del Ángel. Aquí podemos encontrar la Puerta del Judío del siglo XII al inicio de la cual existen casas con restos de las mikwa, baños rituales, en sus sótanos. También la zona de la calle de Comercio y el solar ocupado desde el siglo XIV por el claustro catedralicio era conocida como la Judería o Alcanáa. El comercio era una de las actividades principales de los judíos, que vivían encima de sus tiendas y talleres. No se puede descartar que no hubiera judíos en la calle de la Plata, pues eran reconocidos plateros, o en cualquier otra parte de la ciudad. Descripción de la actividad Vais a iniciar un recorrido en grupo por las calles y plazas de Toledo con la intención de ver y apreciar como las materias que se imparten en el aula, no son “bichos raros”, no se restringen al entorno del instituto, sino que están presentes por todas partes. Queremos que os pongáis en disposición de ver de una forma distinta el mundo que os rodea y descubráis las aplicaciones reales de los contenidos que trabajáis en clase. Y ¡ADELANTE! Ideas clave La ciudad es un espacio educador. La ciudad puede verse con una mirada educadora. Las materias que se imparten en el aula forman parte de la vida cotidiana. Las distintas asignaturas que trabajan están en la base de la actividad humana. los contenidos que se trabajan no sólo se aprenden en el espacio cerrado del aula. Características a) Destinatarios: El material va dirigido al alumnado de segundo ciclo de ESO, por lo que sus contenidos se adecuan al currículo establecido para estos niveles. b) Estructura: La ruta recorre itinerarios singulares por la ciudad de Toledo: Puente de San Martín, San Juan de los Reyes, Sinagoga la Blanca, Sinagoga del Tránsito, Iglesia de Santo Tomé, donde verás un cuadro del Greco… En el inicio de la ruta se incluye una parte del plano de la ciudad que la localiza y los elementos singulares en los que se basan las actividades propuestas. En la ruta se propone un número de actividades dirigidas a diferentes núcleos de contenidos: a) La percepción visual b) Patrimonio histórico y cultural de Castilla La Mancha c) Entender cómo se producen las sombras. d) Comprensión de los fundamentos de la cultura judía y conocimiento y valoración de su legado artístico.
  4. 4. Ruta Matemática por Toledo para 2º ciclo de ESO ©2010/2011. Grupo de Trabajo de Rutas del IES Alfonso X “El sabio” de Toledo e) La educación ambiental y la cultura f) Razones y proporciones g) Funciones y gráficas h) Inecuaciones i) Probabilidad j) Estadística k) Trigonometría l) ….. La realización de las actividades propuestas necesitará la monitorización del profesorado, aunque cuentan con la ayuda de explicaciones, estrategias, ejemplos y contenidos específicos. Habrás de hacer estimaciones, conjeturas, lecturas, observaciones, dibujos o esquemas, cálculos…, e, incluso, algunas fotografías. Hay actividades que deberás realizar en un punto concreto del recorrido y otras durante todo él; algunas actividades habrás de hacerlas en el mismo momento, y otras, posteriormente, en clase. Material necesario Se recomienda a los alumnos que lleven el siguiente material: Calculadora de bolsillo, regla, metro Lapicero o bolígrafo Cuaderno de notas Cámara de fotos Tiempo de realización Las actividades propuestas en cada ruta deben ser realizadas en un tiempo máximo de tres horas, con el fin de que puedan ser programadas dentro del horario escolar. Recorrido El recorrido que vamos a realizar discurrirá por alguno de los siguientes emplazamientos, todos ellos con un marcado carácter judío: Puerta del Cambrón Monasterio de San Juan de los Reyes Sinagoga de Santa Mª la Blanca Museo Victorio Macho Sinagoga del Tránsito Museo Sefardí Museo de El Greco Iglesia de Santo Tomé > El Entierro del Señor de Orgaz Mirador de la Virgen de Gracia Puente de San Martín
  5. 5. Ruta Matemática por Toledo para 2º ciclo de ESO ©2010/2011. Grupo de Trabajo de Rutas del IES Alfonso X “El sabio” de Toledo Actividades A continuación se detallan las distintas actividades que os proponemos para esta ruta Actividad 0. Repasa la ruta con Google Maps No queremos perder a nadie en el camino. Quizás alguno no conozcáis bien Toledo, incluso puede que sea la primera vez que vayáis allí solos, así que antes de ponernos en camino, vamos a realizar la ruta de manera virtual. Vamos a acercarnos al aula de informática y vamos a realizar el recorrido usando una potente herramienta a nuestra disposición. Vamos a usar Google Maps y su función de StreetView para hacer el recorrido total de la ruta como si estuviésemos allí, a pie de calle. Sigue las indicaciones del profesor en el aula para hacer todo el recorrido, de esta forma, cuando lleguemos a Toledo podréis ir identificando los sitios por los que hemos pasado cuando hicimos la ruta virtualmente.
  6. 6. Ruta Matemática por Toledo para 2º ciclo de ESO ©2010/2011. Grupo de Trabajo de Rutas del IES Alfonso X “El sabio” de Toledo Volúmenes y capacidades A. Capacidad de la fuente de la Plaza del ayuntamiento Vamos ahora a acercarnos al ayuntamiento, junto a la fuente. Responde: ¿Qué forma tiene la fuente? ………………………………………………… ¿A qué cuerpo geométrico se asemeja? ……………………….. Si miramos la fuente desde arriba, justo encima de ella, ¿Qué figura geométrica veremos? ………………………………. Vamos a calcular la cantidad de agua que cabría en la la fuente si se llenara hasta el borde. Para ello, debes calcular el volumen del cuerpo geométrico del recipiente, o sea, el lugar que se llena de agua. Explica la estrategia que vas a seguir: ¿Cómo calcular la superficie de un círculo a partir de la longitud de su circunferencia? Mediciones: Circunferencia exterior: …………………………………………. Grosor de la pared exterior de la fuente: ……………….. Anchura de la cubeta: ……………………………………………. Altura de la cubeta: ……………………………………………….. Cálculos: Resultados: Volumen: ……………………………………………… Capacidad (en litros): ……………………………
  7. 7. Ruta Matemática por Toledo para 2º ciclo de ESO ©2010/2011. Grupo de Trabajo de Rutas del IES Alfonso X “El sabio” de Toledo B. Volumen y área de las Papeleras En Toledo hay varios tipos de papeleras. ¿Cuál es la forma geométrica que dirías que tienen las de la imagen?: ……………………………………… ……………………………………... Calcula la superficie lateral que tienen las papeleras que son como la que aparece en la foto de derecha, para ello usa el desarrollo que te mostramos aquí. La superficie lateral de esa figura coincide con la superficie del rectángulo. Imagina que con ese mismo rectángulo, fabricáramos otra papelera en forma de prisma con base cuadrada, ¿cuál de las dos papeleras tendría mayor volumen? (ten en cuenta que los rectángulos que componen las áreas laterales de ambas papeleras, queremos que sean iguales) Compara con otra de base hexagonal. Calcula la superficie de los fondos de cada una de ellas. ¿Cuál resulta, por tanto, más económica de fabricar?
  8. 8. Ruta Matemática por Toledo para 2º ciclo de ESO ©2010/2011. Grupo de Trabajo de Rutas del IES Alfonso X “El sabio” de Toledo Volúmenes y Áreas de otros elementos del mobiliario urbano Como puedes observar, la ciudad está plagada de elementos con formas geométricas. En la fotografía puedes apreciar dos de esos elementos. ¿Qué formas geométricas conocidas dirías que tienen? ………………………………….. ¿Qué datos necesitas medir de cada una de ellas para poder calcular su volumen o su área? …………………………………….. Para poder construirlos es necesario saber calcular estas magnitudes, para hacer los pedidos de hierro o de granito. Imagina que el ayuntamiento de Toledo quiere hacer un pedido de 850 pivotes y de 425 mojones de piedra. Si cada metro cúbico de piedra cuesta 600€ y el de hierro sale por 450€. ¿Cuánto va a costar el pedido de ambas cosas? En las actividades anteriores puedes encontrar ayuda sobre la fórmula del volumen que necesitas para el cálculo relativo al pivote, la del mojón es más fácil de calcular, pero si necesitas ayuda, pregunta a los profesores. Volumen de cada Pivote: …………………………………………………………………….. Volumen de todos los Pivotes: ………………………………………………………………. Precio total: ……………………………………………………………………………………. Volumen de cada Mojón: ……………………………………………………………………. Volumen de todos los Mojones: ..…………………………………………………………… Precio total: …………………………………………………………………………………….
  9. 9. Ruta Matemática por Toledo para 2º ciclo de ESO ©2010/2011. Grupo de Trabajo de Rutas del IES Alfonso X “El sabio” de Toledo Problemas del día a día 1.- Cuentan que en la antigüedad había un olivo en el Valle que tenía un tronco del que brotaban 7 ramas. De cada una nacían 7 ramas, de las que otras 7 brotaban para nacer en cada una 7 ramas de las que otros 7 brotes nacían para dar vida a otras 7 ramas con 7 olivas cada una. ¿Cuántas olivas daba el olivo? 2.- Imagina que todos los toledanos y toledanas (¡tod@s!) participan en una marcha festiva. Caminan un poco apretados: 4 personas por metro cuadrado. La avenida por la que transcurre la manifestación mide 20m. ¿Qué distancia aproximada habrá de la cabeza de la marcha a la cola, si tenemos en cuenta que en el último padrón publicado (01.01.2006), éramos en Toledo 77640 habitantes? 3.- Ya que estamos en el barrio judío, cómo no hacer una pequeña referencia a uno de los símbolos de los judíos (aunque no es cierto del todo ya que era conocida mucho antes). Se trata de la estrella de seis puntas o estrella de David. Es la unión de dos triángulos equiláteros, considerados como dos triángulos perfectos. Estos dos triángulos a su vez forman 6 triángulos, que incrementan a 12 aristas interior o exteriores alrededor de la estrella. Forma parte de la bandera de Israel. Representa la unión de lo masculino con lo femenino, la materia con el espíritu, el cielo con la tierra. Esto último referido a que las estrellas se encuentran en el cielo y que se unen a nosotros en la tierra. Es considerado equivalente al yin y yang taoísta. El triángulo hacia arriba es yang y el que tiene la punta hacia abajo es yin. Pero nosotros, más preocupados por las matemáticas, deseamos hallar cuánto miden todos los ángulos que aparecen y los ejes de simetría de la figura.
  10. 10. Ruta Matemática por Toledo para 2º ciclo de ESO ©2010/2011. Grupo de Trabajo de Rutas del IES Alfonso X “El sabio” de Toledo Cálculo de Porcentajes. Nos dirigimos ahora a la Calle Comercio. Una de las calles donde tradicionalmente se han establecido los comercios más importantes de Toledo. Ve a …………………, allí podrás ver en el escaparate un cartel anunciando descuentos en los precios de los artículos. Ayúdame con algunos cálculos: 1. Me he comprado una camisa que marcaba 45€ y dos pares de pantalones, que marcaban 30€ cada uno. ¿cuál será el precio que me habrán cobrado realmente? Datos: Resultado: ………………………….. 2. Un amigo que venía conmigo, pagó 75€ por un traje. ¿Cuánto costaba el traje antes de haberle efectuado la rebaja correspondiente? Datos: Resultado: ………………………….. Seguimos y bajamos ahora a la calle de las pescaderías, ¿por qué crees que es famosa esta calle? De nuevo necesito ayuda para saber cuánto me va a costar comprar los “apaños” para la paella. Necesito: 300gr de gambas, 4 3 Kg de calamares, medio kilo de mejillones, un cuarto de atún 200gr de chirlas y para ir abriendo boca, vamos a hacer 4,5kg de sardinas a la barbacoa. Apunta los precios de cada uno de los productos que necesito y por favor dime cuánto dinero tengo que llevar para comprar todo esto. Datos: Resultado: …………………………..
  11. 11. Ruta Matemática por Toledo para 2º ciclo de ESO ©2010/2011. Grupo de Trabajo de Rutas del IES Alfonso X “El sabio” de Toledo Determinando el norte usando la Geometría ¿Sabes dónde está el norte? Si tuviésemos una brújula, sería bastante fácil, pero hay varios métodos para poder determinar dónde está el norte sin necesidad de tenerla, algunos más precisos que otros, pero bastante fiables. Vamos a explicaros algunos de estos métodos y vamos a ver si coinciden entre ellos, y comprobar cuáles de ellos son o no fiables. Tienes que usar al menos tres de los métodos que te mostramos seguidamente. Una vez aplicados los distintos métodos, deberás marcar en las fotos que te ves a continuación, con números, donde os ha salido que estaría el norte, así podremos ver si coinciden o no. Método 1 del palo de sombra: Este método funciona en cualquier momento del día que haya sol y en cualquier latitud. Es bastante fiable. -Debéis colocar un palo vertical en un terreno o zona llana. -Ahora observar donde cae la sombra y marcar el extremo con una señal, piedra o palo (a). -Una vez hecho esto, tendréis que esperar 15 minutos y marcar la nueva punta de la sombra (b). -Finalmente tenéis que unir estos dos puntos y se obtendrá la dirección este-oeste, siendo el oeste la primera marca. Método 1 del palo de sombra Método 2. Plantas indicadoras: -La mayoría de plantas tienden a crecer hacia el sol, así que sus flores y follaje más abundante suele orientarse hacia el sur en el hemisferio norte, y hacia el norte en el hemisferio sur. -Los troncos de los árboles suelen presentar el musgo más verde y abundante hacia el norte, el lado contrario del tronco presentará un aspecto amarillento o marrón. -Los árboles con corteza granulada presentan el grano más apretado en el lado del tronco que mira hacia el norte.
  12. 12. Ruta Matemática por Toledo para 2º ciclo de ESO ©2010/2011. Grupo de Trabajo de Rutas del IES Alfonso X “El sabio” de Toledo Método 3. Orientación por el reloj: Se comienza retrasando el reloj una hora para ponerle con el horario solar. Se coloca el reloj horizontalmente, de modo que la manecilla pequeña, que marca las horas apunte al sol. La bisectriz del ángulo que forma la manecilla pequeña con las 12, nos indicara el Sur.
  13. 13. Ruta Matemática por Toledo para 2º ciclo de ESO ©2010/2011. Grupo de Trabajo de Rutas del IES Alfonso X “El sabio” de Toledo Trabajando con proporcionalidad y porcentajes Estamos en la zona de Toledo que se llama la Juderia, en ella vivía la mayoría de los judíos que habitaban en Toledo en esa época. La judería ocupaba una décima parte de la ciudad amurallada hacia el Oeste. El arrabal de los judíos o judería se emplazó primeramente en el barrio de San Martín, entre la puerta del Cambrón y el río Tajo. Fue el lugar asignado por los árabes tras la conquista de Toledo; y en el año 920, levantaron la muralla de esa parte de la ciudad para la protección de los judíos. En un primer momento la colonia judía trabajaba en tareas agrícolas. Al incrementarse la vida ciudadana se convirtieron en clase urbana y se dedicaron al comercio, a las labores administrativas y a la recaudación de impuestos. Algunos desempeñaron cargos importantes como ministros y tesoreros de reyes tanto musulmanes como cristianos. También los había que se dedicaron al préstamo con interés. Estos constituían las clases altas, mientras que las clases bajas se dedicaban a labores artesanales: peleteros, sastres, zapateros, joyeros, plateros, boticarios, especieros... La medicina era una profesión típica de judíos. Hubo grandes médicos y científicos, matemáticos, astrónomos. Eran especialistas en la fabricación de instrumentos de cálculo como relojes, astrolabios, cuadrantes etc. Samuel ha-Leví Abulafia fue un famoso funcionario público, Oidor de la Audiencia y Tesorero Real del Rey Pedro I de Castilla. En su época en Castilla había cinco sistemas monetarios distintos. La moneda de cambio en Castilla era el maravedí (mrs) es decir, era la moneda que se utilizaba para marcar el valor de las otras. Samuel consiguió el permiso del rey para construir otra sinagoga (a pesar de la prohibición de crear nuevas sinagogas), conocida hoy como "El Tránsito". Samuel encargó la construcción a un famoso arquitecto de la época. Ese arquitecto vas a ser tú y para ello tendrás que resolver varias situaciones que te voy a presentar a continuación: Lo primero que tendrás que hacer es un pedido del mejor mármol italiano de la época para la sala de oración de la mezquita. Para ello te informas y compruebas que para otras sinagogas con 7 ventanales lobulados, necesitarías 2275 losetas de marmol. Si en los planos ves que se pretende que la sinagoga tenga 12 ventanales, ¿Cuántas losetas tendrás que encargar? Las losetas se traen desde Carrara, en Italia, donde se extrae uno de los mejores mármoles del mundo. Carrara, está a una distancia de 355 leguas. La legua es una antigua unidad de longitud que expresa la distancia que una persona, a pie, o en cabalgadura, pueden andar durante una hora. La legua castellana se fijó originalmente en 5.000 varas castellanas, es decir, 5,5727 km o unas 2,6 millas romanas, o 20.000 pies castellanos. ¿A cuántos km está Carrara de Toledo?. Para traer el mármol, vas a usar barcos hasta Valencia y desde allí los traerás por caminos. Sabes que si usas burros para traer la mercancía, recorren 12 leguas/día, sin embargo si usas carretas y caballos, éstos son capaces de recorrer 18 leguas/días. Si los burros tardan 6 días en llegar, ¿cuánto tardarías si usases caballos?
  14. 14. Ruta Matemática por Toledo para 2º ciclo de ESO ©2010/2011. Grupo de Trabajo de Rutas del IES Alfonso X “El sabio” de Toledo Para comenzar a construir debes calcular las personas que vas a necesitar. Por tu experiencia sabes que para acabar la primera parte de la obra necesitarías 18 obreros trabajando durante 72 días en turnos de 7h. Sin embargo, Samuel te pide que quiere enseñar los primeros resultados al rey en sólo 54 días, ya que en esas fechas volverá a Toledo, pero para eso te proporcionará 3 obreros más. ¿Será suficiente con ese aumento del número de obreros, o tendrás que modificar el número de horas en cada turno? Debido al esfuerzo que le vas a tener que pedir a los obreros para acabar la obra en el plazo previsto, has solicitado poder pagar más dinero a los obreros y has conseguido un aumento de sus sueldos del 8% para cada uno. Si ahora cada obrero cada día 5 reales y un cuarto (y cada real equivale a 34 maravedíes y un cuarto equivale a 4 maravedíes). ¿cuántos maravedíes cobrará cada obrero a partir de ahora? A ti, sin embargo, te dice que en vez de cobrar 180 pillastras o reales de a ocho (que equivalen a 8 reales) por la primera parte de la obra, te van a pagar 207 ¿Cuál será el porcentaje de aumento que te han aplicado a ti? Samuel, para afrontar todos los pagos que le va a acarrear la construcción, ha tenido que pedir un préstamo un prestamista judío que le ha dejado un muy buen interés para esa época, el 5%. Ha pedido 12500 doblones a este prestamista y quiere devolvérselo en un plazo de 15 meses ¿Cuánto tuvo que pagar cada mes?
  15. 15. Ruta Matemática por Toledo para 2º ciclo de ESO ©2010/2011. Grupo de Trabajo de Rutas del IES Alfonso X “El sabio” de Toledo ¡Cómo están los precios! Ahora te vamos a pedir un trabajo de investigación para determinar cómo ha evolucionado el poder adquisitivo de los toledanos La investigación la puedes enfocar de la siguiente manera: a. Estima lo que puede ganar un albañil aquí en Toledo. b. Averigua alguno de los precios de los productos que aparecen en la lista anterior y colócalos en una tabla. En la época de Cervantes, se sabe que un albañil venía a ganar cinco reales por un día de trabajo, haz los cálculos para averiguar: a. ¿Cuántos días tenía que trabajar para poder comprar: un puerco, una arroba de aceite, una arroba de vino, un carnero, un colchón? b. Haz el mismo cálculo, pero aplicado al momento actual, y compara los resultados c. ¿Qué porcentaje del sueldo necesitaba el albañil de entonces para comprar: una gallina, una libra de carnero capón, una libra de vaca, una libra de garbanzos, una docena de huevos? Ya que hablamos de Cervantes, vamos a ver como aparecen en el Quijote las matemáticas. A lo largo del libro, Sancho está dispuesto a olvidarse de la ínsula que le ha prometido don Quijote a cambio de que le proporcione la receta del mágico licor de Fierabrás, pues ve que con ella resolverá su retiro (cap. X p.p.): El labrador bajó la cabeza y, sin responder palabra, desató a su criado, al cual preguntó don Quijote que cuánto le debía su amo. Él dijo que nueve meses, a siete reales cada mes. Hizo la cuenta don Quijote y halló que montaban setenta y tres reales, y díjole al labrador que al momento los desembolsase, si no quería morir por ello. […] luego me darás a beber solos dos tragos del bálsamo que he dicho, y verasme quedar más sano que una manzana. –Si eso hay –dijo Panza–, yo renuncio desde aquí el gobierno de la prometida ínsula, y no quiero otra cosa, en pago de mis muchos y buenos servicios, sino que vuestra merced me dé la receta de ese estremado licor; que para mí tengo que valdrá la onza adondequiera más de a dos reales, y no he menester yo más para pasar esta vida honrada y descansadamente. Pero es de saber agora si tiene mucha costa el hacelle. –Con menos de tres reales se pueden hacer tres azumbres –respondió. Ves que figuran dos unidades populares de medida que ya no se utilizan: onza y azumbre.
  16. 16. Ruta Matemática por Toledo para 2º ciclo de ESO ©2010/2011. Grupo de Trabajo de Rutas del IES Alfonso X “El sabio” de Toledo La primera es una unidad de peso equivalente a 28,755 gramos y la segunda es una unidad de volumen que equivale a 2,016 litros. Si mantenemos que en un gramo hay la misma cantidad de sustancia que en un centímetro cúbico, ¿cuántos reales de beneficio obtendrá Sancho con la venta del licor si los tres azumbres le cuestan tres reales y lo vende a dos reales la onza?
  17. 17. Ruta Matemática por Toledo para 2º ciclo de ESO ©2010/2011. Grupo de Trabajo de Rutas del IES Alfonso X “El sabio” de Toledo El huerto Samuel Ha Levi era bien conocido por ser el tesorero del rey Pedro I, el Cruel. Tenía una inmensa mansión donde está ahora la Casa Museo del Greco. Fue quien mandó construir la que ahora se conoce como Sinagoga del Tránsito. Después perdió el favor del rey y fue torturado para que contara donde guardaba sus riquezas, aunque no lo dijo. Frente la que era su casa se puede contemplar esta estatua en su honor: Bien, el problema que nos ocupa no va de calcular riquezas, sino de algo bien distinto. Frente a la famosa sinagoga están los Jardines del Tránsito. Piensa por un momento en un pequeño agricultor que le pide a Levi una pequeña parte de su huerto para arrendarlo. Sólo va a pagar 1 dobla pero Samuel le da una cuerda de 8 metros con la que bordeará la superficie elegida. La única consigna es que la superficie sea rectangular. ¿Qué medidas debió elegir el agricultor? Le merecería la pena insistirle para que la superficie arrendada fuera circular?
  18. 18. Ruta Matemática por Toledo para 2º ciclo de ESO ©2010/2011. Grupo de Trabajo de Rutas del IES Alfonso X “El sabio” de Toledo Altura del Puente de San Martín Nos situamos en el Puente de San Martín. En esta actividad necesitaremos un cronómetro. Los alumnos se agruparán en parejas. Un alumno de cada pareja se situará encima del puente y dejará caer piedras a lo largo de diferentes tramos del puente. Como las paredes del puente son más bien altas y para poder observar el momento en que cada piedra llega al agua o al suelo, habría que asomarse demasiado, con el peligro que eso conllevaría, el otro componente de la pareja se situaría como observador fuera del puente y con el cronómetro en mano para medir el tiempo transcurrido entre el momento en que se deja caer la piedra y el momento en que la piedra choca, bien con el agua, bien con la tierra. Se irán anotando los tiempos. Conocida la aceleración de la gravedad, hallaremos el espacio recorrido por la piedra y, en particular, las diferentes alturas del puente según el tramo en que nos encontremos. A su vez se puede calcular la velocidad con la que llega al final. Se trata de un movimiento uniformemente acelerado. Recordemos de la asignatura de física y química, Una función es lineal (en particular afín) y la otra, cuadrática. Podemos representarlas. ¿Es distinto el tiempo en caer si las piedras son de distinto tamaño?
  19. 19. Ruta Matemática por Toledo para 2º ciclo de ESO ©2010/2011. Grupo de Trabajo de Rutas del IES Alfonso X “El sabio” de Toledo El número de oro. Esta actividad es más bien un conjunto de actividades. Ya que hemos introducido la estrella de seis puntas, centrémonos ahora en la estrella de cinco puntas, también conocida como estrella pitagórica, ya que fue Pitágoras quien observó su relación con el número áureo. En ciencia propiamente dicha la estrella pitagórica o pentagrama es un interesante diagrama que verifica varias leyes matemáticas: se le encuentra como representante en logaritmos, la sucesión de Fibonacci, la espiral logarítmica y por esto también en las fractales etc. Fijémonos a su vez en el triángulo que resulta si cogemos los dos vértices de abajo del pentágono junto al de más arriba. ¿Sabrías calcular los ángulos de este triángulo? La proporción entre las diagonales y el lado se llama número de oro. Cojamos ahora un segmento de longitud uno. Si tratamos de partirlo en dos partes tales que la longitud total dividida entre la parte mayor que resulte al partirlo sea igual a dicha parte mayor entre el trozo restante tendremos también el número aúreo. Trata de plantear la ecuación y resuélvela. Una de las sucesiones más conocidas en la Naturaleza es la de Fibonacci en la cual los dos primeros términos valen 1, y los restantes se forman por recurrencia sumando los dos anteriores. ¿Puedes hacerlo? Ahora divide cada término entre el anterior. ¿Hacia qué número nos aproximamos? Cierto, 1,618… al mismo número aúreo. Por eso este número siempre ha sido algo mágico y muchas construcciones se han hecho teniendo en cuenta esta proporción. Hoy en día hasta las tarjetas de crédito y el DNI guardan esta proporción. Ejemplo de ello también en Toledo es el famoso cuadro “El entierro del Conde Orgaz”.
  20. 20. Ruta Matemática por Toledo para 2º ciclo de ESO ©2010/2011. Grupo de Trabajo de Rutas del IES Alfonso X “El sabio” de Toledo Cálculo aproximado de la altura de la torre de la puerta del Cambrón. El objetivo de la experiencia es medir la altura de la torre de la puerta del Cambrón con distintos instrumentos y comparar la media de dichas mediciones con la altura real. Iniciamos la ruta en la Puerta del Cambrón, situada en el oeste de la ciudad de Toledo. La Puerta del Cambrón es una famosa entrada del siglo XII. Pero, en 1572 fue restaurada provocando que se la rebautizara con el nombre de la “puerta de Santa Leocadia”, patrona de la ciudad. Su origen es musulmán. Las reformas en el primer piso sirvieron de residencia del alcaide y para la guarnición. La fachada también se remodeló. Se colocó el escudo de Felipe II con las armas reales. Y en el interior, la bella imagen de Santa Leocadia, hecha por Berruguete. Su estructura busca tener una perfecta simetría. A las dos torres primitivas se añaden otras dos torres, dejando una pequeña plaza en el centro. Muy cerca de la puerta sobresale el lienzo de muralla o Torreón de los Abades. Este nombre se debe a la valiente defensa que realizó el Arzobispo D. Bernardo ante las pavorosas incursiones de los almorávides. La Puerta del Cambrón también conserva los duros portones forrados de hierro. Desde 1577 no se cerraban por la noche por pedido real. Actualmente es la única entrada al tráfico rodado. También se une al puente de San Martin, desde su puerta vieja de bisagra. La actual Puerta del Cambrón es de estilo arquitectónico renacentista. Alternativa 1: Medición usando el Teorema de Thales Bien, pues fíjate en la fotografía y en el esquema sobrepuesto, con los triángulos rectángulos que se forman cuando, con el brazo extendido sujetando una regla, lanzas una visual que haga coincidir la punta de la regla con la punta de la torre de la Catedral. En el recuadro se muestra la proporción resultante cuando dos triángulos se encuentran en „posición de Thales‟. Con estos conocimientos, y guiándote de las explicaciones y sugerencias de tu profesor/a, realiza las mediciones oportunas, forma la proporción y calcula la altura propuesta. Mediciones: AB = ……… DB = ……… DE = ……… Resultado: ……………………
  21. 21. Ruta Matemática por Toledo para 2º ciclo de ESO ©2010/2011. Grupo de Trabajo de Rutas del IES Alfonso X “El sabio” de Toledo Alternativa 2: Medición usando Trigonometría La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio. Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites. ¿Se puede medir la altura de un árbol sin subirse a él? ¡Pues sí! Ya no hace falta subirse al árbol para medir su altura, porque gracias a la trigonometría podemos hacerlo con tan sólo tener la medida de la distancia que nos separa del árbol (D), la altura desde donde se mide el ángulo o altura de la persona (A) y el ángulo α. ¿Qué razón trigonométrica te permite averiguar la altura del árbol? ……………………………………………………………………………………………………..
  22. 22. Ruta Matemática por Toledo para 2º ciclo de ESO ©2010/2011. Grupo de Trabajo de Rutas del IES Alfonso X “El sabio” de Toledo Bien. Y volviendo a nuestro problema inicial, utiliza ahora esa razón trigonométrica para averiguar la altura de la torre de la Puerta del Cambrón. El ángulo se puede medir con exactitud utilizando un teodolito (instrumento destinado a ubicar un objeto a cierta distancia mediante la medida de ángulos con respecto al horizonte y con respecto a los puntos cardinales). Pero también se puede hacer uno con un transportador de ángulos, cilindro hueco (podría ser la parte que recubre un lapicero) y una plomada (hecha con algún peso que colgaremos de un hilo). Se sujeta la plomada en el origen del transportador; luego fijamos el cilindro a lo largo de la base del transportador y se apunta con la base de éste hacia el tejado del edificio. El ángulo buscado es 90º menos el formado por el hilo de la plomada. ¿Cuál ha sido la altura obtenida para la torre usando trigonometría? ……………………….. Y para terminar elaboraremos una tabla final, comparando las dos mediciones con la altura real de la torre (debes buscarlo tú), calculando así el error absoluto y relativo de cada una. Altura real de la torre: Altura obtenida por Thales Altura obtenida por trigonometría Error absoluto Error relativo Error absoluto Error relativo Observaciones y dificultades encontradas:
  23. 23. Ruta Matemática por Toledo para 2º ciclo de ESO ©2010/2011. Grupo de Trabajo de Rutas del IES Alfonso X “El sabio” de Toledo Inecuaciones en el Puente de San Martín El Puente de San Martín se encuentra en la ciudad de Toledo, junto al Torreón de la Cava y con impresionantes vistas al Monasterio de San Juan de los Reyes y al casco histórico de la Ciudad Imperial. No se conoce fecha de construcción aunque ya se hace referencia a él en el año 1165. Realizado en sillería, salva la distancia entre dos orillas con cinco arcos de los que destaca el central, apuntado y con 27 metros de altura. En la baja Edad Media, aproximadamente en el siglo XIII, se modifica y se le añade una nueva estructura defensiva en su extremo, una puerta o torre, de planta hexagonal, que tuvo un diseño defensivo muy estudiado para evitar el acceso por la fuerza. En el siglo XVI, se añade otra torre en el extremo opuesto que empalma con la muralla. Es de estilo gótico y fue declarado Monumento Nacional en el año 1921. Matemáticas en el puente de San Martín.. Como puedes observar, los arcos del puente tienen forma de un tipo de función que ya hemos estudiado a lo largo del curso ¿De qué función se trata? …………………..................................................... ¿Cuál es su forma general? .............................................................................. Ahora te planteamos el reto de resolver las siguientes inecuaciones polinómicas, dibújalas y resuélvelas. RECUERDA: el dibujo tiene que recordar a los arcos del puente de San Martín!! -x2 +5x - 6 > 0 y - x2 + 4 < 0 Y ahora vamos con el torreón. La pared del torreón es rectangular, aunque también podría ser cuadrada. Si nos interesara saber el área de ambas figuras para calcular cuál de las dos es más económica.
  24. 24. Ruta Matemática por Toledo para 2º ciclo de ESO ©2010/2011. Grupo de Trabajo de Rutas del IES Alfonso X “El sabio” de Toledo Te planteamos lo siguiente: Determina los valores de x para que la pared rectangular tenga más área que la pared cuadrada.
  25. 25. Ruta Matemática por Toledo para 2º ciclo de ESO ©2010/2011. Grupo de Trabajo de Rutas del IES Alfonso X “El sabio” de Toledo Encuesta sobre turismo Como es bien conocido el entierro del Conde Orgaz fue pintado por “El Greco” en 1586 a 1588. El cuadro se encuentra situado en la Iglesia de Santo Tomé (Toledo). El origen del cuadro hay que situarlo en el encargo que Andrés Nuñez de Madrid (Párroco de Santo Tomé) realiza a El Greco en 1586 para que pinte un lienzo que iba a ir situado en una capilla lateral de la citada iglesia parroquial. Ese cuadro tendría que representar el milagro que en 1323 ocurrió en aquella iglesia cuando se iba a enterrar a Gonzalo Ruiz de Toledo, señor de Orgaz: En ese momento bajan del cielo San Agustín y San Esteban y lo entierran ellos mismos con sus propias manos. Por lo tanto el cuadro ha de representar esta escena con el fin de informar al visitante el hecho extraordinario que ocurrió en ese lugar. Las razones de que este encargo se realizase en 1586 habría que buscarse el pleito que años atrás mantuvo el párroco Nuñez con los vecinos de Orgaz al negarse éstos a continuar beneficiando a la iglesia de Santo Tomé, tal y como lo había dejado escrito su señor antes de morir; este pleito es ganado por Nuñez, quien a partir de ese momento decide levantar una capilla sobre la tumba y encargar un lienzo El Greco por tanto tiene que representar una pintura conforme al contrato y encargo de Nuñez. Bien, ya que El Greco fue pintor de renombre y “el entierro del Conde Orgaz” es una pintura de obligada visita para los turistas, aprovecharemos esta oportunidad para realizar una encuesta a diferentes turistas que hayan realizado la visita. La encuesta Nos situaremos en la puerta de la iglesia de Santo Tomé.
  26. 26. Ruta Matemática por Toledo para 2º ciclo de ESO ©2010/2011. Grupo de Trabajo de Rutas del IES Alfonso X “El sabio” de Toledo Para realizar la actividad necesitaremos realizar el siguiente cuestionario a 10 turistas anotando las respuestas de cada uno en la siguiente tabla: Pregunta Tu 1 Tu 2 Tu 3 Tu 4 Tu 5 Tu 6 Tu 7 Tu 8 Tu 9 Tu 10 ¿De qué país proceden? ¿Qué edad tienen? ¿Es la primera vez que visitan Toledo? ¿Les ha gustado el cuadro? ¿Cuántos días van a estar en Toledo? ¿Conocen alguna otra ciudad de España? ¿Qué significan estos datos? ¿Sabemos obtener conclusiones viendo los datos? ¿Sabríamos contestar a las siguientes preguntas?: 1) ¿Cuál es la edad media de los turistas?
  27. 27. Ruta Matemática por Toledo para 2º ciclo de ESO ©2010/2011. Grupo de Trabajo de Rutas del IES Alfonso X “El sabio” de Toledo 2) ¿Qué número de días los turistas están en Toledo con mayor frecuencia? 3) ¿A qué porcentaje de turistas les ha gustado el cuadro? Nos han encargado realizar un estudio estadístico orientado a extraer información para realizar anuncios publicitarios de Turismo en diferentes medios y enfocados a el publico adecuado. Para empezar con el estudio estadístico deberemos realizar una tabla de frecuencias para cada pregunta que consiste en ordenar cada una de las respuestas, anotando el número de veces que aparece llamado frecuencia absoluta. Tabla de frecuencias 1: ¿De qué país proceden? Variable if : Nº Veces que aparece la respuesta en la encuesta Respuesta 1 España Respuesta 2:Bélgica Respuesta 3: Italia …etc Tabla de frecuencias 2: ¿Qué edad tienen? Variable if :Nº Veces que aparece la respuesta en la encuesta Respuesta 1 20 Respuesta 2:21 Respuesta 3: 31 …etc Tabla de frecuencias 3: ¿Es la primera vez que visitan Toledo? Variable if :Nº Veces que aparece la respuesta en la encuesta SI NO Tabla de frecuencias 3: ¿Les ha gustado el cuadro? Variable if :Nº Veces que aparece la respuesta en la encuesta SI NO
  28. 28. Ruta Matemática por Toledo para 2º ciclo de ESO ©2010/2011. Grupo de Trabajo de Rutas del IES Alfonso X “El sabio” de Toledo Tabla de frecuencias 4: ¿Cuántos días van a estar en Toledo? Variable if :Nº Veces que aparece la respuesta en la encuesta Respuesta 1: 3 días Respuesta 2: 4 días Respuesta 3: 6 días Etc Tabla de frecuencias 5: ¿Conocen alguna otra ciudad de España? Variable if :Nº Veces que aparece la respuesta en la encuesta SI NO 1) Ya que los anuncios deben ir orientados a un sector de la población, nos interesa saber ¿Cuál es la edad media de los turistas? Aplicando la siguiente definición de media en la tabla de frecuencias 2: N fx x i i i 1 , donde if $es la frecuencia absoluta calculada en las tablas anteriores y N el número total de turistas entrevistados. 2) ¿Qué número de días los turistas están en Toledo con mayor frecuencia? Si recordamos que la moda es el valor que aparece con una mayor frecuencia en una distribución estadística podremos mirar la tabla de frecuencias 4 para responder a la pregunta. 3) ¿A qué porcentaje de turistas les ha gustado el cuadro? Basándonos en la tabla de frecuencias 3 y aplicando una regla de tres podremos obtener el porcentaje. 4) Además nos han pedido realizar un reportaje donde nos interesa representar de forma gráfica e intuitiva la proporción de turistas que ha visitado más de una vez Toledo y cuantos conocen otra ciudad de España. Para ello vamos a realizar un Diagrama de sectores utilizando la tabla de frecuencias 3 y 5. Para ello deberéis rellenar la siguiente tabla:
  29. 29. Ruta Matemática por Toledo para 2º ciclo de ESO ©2010/2011. Grupo de Trabajo de Rutas del IES Alfonso X “El sabio” de Toledo A partir de esta información podremos representar los datos en un círculo como: Si conocen No conocen 5) Por último como el objetivo es realizar campañas publicitarias para promover el turismo de Toledo nos interesa saber de qué país proceden más turistas y de cual menos además de la cantidad de cada país. Este problema se resuelve con un diagrama de barras utilizando los datos obtenidos en la tabla de frecuencias 1. Recordemos que un diagrama de barras se realiza a partir de la tabla de frecuencias representando una barra para cada valor de la variable y la altura de la barra en función de la frecuencia absoluta. Resultará como: 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Belgica Italia Francia Espana ¿Conocen otra ciudad de España? if :Nº Veces que aparece la respuesta en la encuesta Angulo: N fiº360 SI NO Total Encuestados
  30. 30. Ruta Matemática por Toledo para 2º ciclo de ESO ©2010/2011. Grupo de Trabajo de Rutas del IES Alfonso X “El sabio” de Toledo Juega a ser adivino con ayuda de la Probabilidad A la vista de los datos obtenidos en las encuestas ¿sabríais decir si el próximo turista entrevistado es italiano? A través de las Matemáticas podemos calcular la probabilidad de que encontrarnos en este caso utilizando los datos obtenidos en la tabla de frecuencias 1. Para ello aplicareis la regla de Laplace que se utiliza en el cálculo de probabilidades y consiste en: PosiblesCasos favorablesCasos italianoesTuristaP )( donde los casos favorables es el número de turistas que son italianos obtenido en la tabla de frecuencia 1 y los casos Posibles son todos los turistas entrevistados. ¿Crees que es probable que ocurra este suceso a la vista del resultado?

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