1. Aplicaciones de las
ecuaciones diferenciales
de segundo orden:
Modelos de movimiento
vibratorio

2. Ley de Hooke
Sistema Resorte – Masa
F =−kx
Resorte x(t) < 0
2ª Ley de Newton
s
sin estirar
m
x(t) = 0
x(t) > 0
F=ma
m
Posición de d2 x
equilibrio W =mg=m dt 2
d2x
2
+ω x= 0
2
ω = km
2
dt

3. d2 x
Ejemplo 2
+16x=0 x =0 x
(0) ′(0)=0
dt
x
Masa debajo de la
10 posición de equilibrio
π/2
5
t
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-5
Masa arriba de la
posición de equilibrio
-10
x(t) = 10 cos 4t

4. Ejemplo
Una masa que pesa 1kg estira un resorte 15
cm. Dicha masa se suelta en t=0 desde un punto
que se encuentra a 20 cm de su posición de
equilibrio, con una velocidad dirigida hacia
arriba de 30 cm/s. Determine la función x(t) que
describa el movimiento resultante.

5. Forma alternativa de x(t)
Cuando c1y c2,la amplitud real A de las oscilaciones
libres es un número mayor que la posición de equilibrio.
Por lo tanto, a menudo conviene transformar la solución en
una forma más simple:
x(t) = Asin(ωt + φ)
donde 2
c1 +
2
c
2 c
2
2 2
A= c 1 +c 2 φ
y donde φ es un ángulo de fase definido por c1
c1 c2 c1
sinφ = cosφ = tanφ =
A A c2

6. Movimiento amortiguado
En los estudios de mecánica, se supone que las
fuerzas de amortiguación que actúan sobre un cuerpo
son proporcionales a una potencia de la velocidad
instantánea. En particular, en el estudio que se sigue se
supondrá que es una fuerza que está dada por un
múltiplo constante de dx/dt. Cuando no actúan otras
fuerzas exteriores sobre el sistema, se tiene por la
segunda ley de Newton, que
m
d2x dx (1)
m dt2 =−kx−β
dt
donde β es una constante de amortiguación positiva y el
signo negativo se debe a la fuerza amortiguadora que
actúa en dirección opuesta al movimiento.

7. Movimiento amortiguado...
Dividiendo (1) entre la masa m, se obtiene la
ecuación diferencial del movimiento libre
amortiguado:
d 2 x β dx k x=
2 + 0
dt m dt m
o bien d2 x dx
2
+2λ +ω x
2
0= (2)
dt dt
donde
β 2 k
2λ= ω =
m m

8. Movimiento amortiguado...
El símbolo 2λ se usa sólo por conveniencia
algebraica puesto que la ecuación auxiliar es
m2+2λm+ω2= 0 y por lo tanto las correspondientes
raíces son
m1 = −λ + λ 2 −ω 2 m2 = −λ − λ 2 −ω 2
Según el signo algebraico de λ2 - ω 2 se pued
distinguir tres casos posibles. Puesto que cada solución
contiene el factor de amortiguación e-λt, siendo λ>0, los
desplazamientos de la masa se vuelven insignificantes
para valores de tiempo grandes.

9. Caso 1: λ2 - ω2 > 0.
Sistema sobreamortiguado
Esto es debido a que el coeficiente de
amortiguamiento β es grande comparado con la
constante k del resorte. La correspondiente solución de
(2) es:
m1t m2t
x())= 1 +cc2e
(3)
=e −λt
(1 λ 2 −ω 2 t −λ
+cc2e
2
−ω 2 t
)
Esta ecuación representa un movimiento suave y no
oscilatorio.

10. Caso 2: λ2 - ω2 = 0.
Sistema críticamente amortiguado
En este caso una pequeña fuerza de amortiguación
produciría un movimiento oscilatorio. La solución es:
m1t m1t
x(t)= 1 +c2te
(4)
= e−λt (c1+c2t )
Esta ecuación muestra también que la masa puede pasar
a lo más una vez por su posición de equilibrio.

11. Caso 3: λ2 - ω2 < 0.
Sistema subamortiguado
Puesto que el coeficiente de amortiguación es
pequeño comparado con la constante del resorte. Las
raíces m1 y m2 son complejas:
m1 =−λ+ λ 2
−ω 2 i m2 = −λ − λ 2 −ω 2 i
y por tanto la solución es:
−λt⎡
x(t)=e c1 cos(ω 2
−λ 2 )t+csin(ω
)t⎦ 2
2
−λ 2 (5)
⎣
El movimiento descrito por esta ecuación es
oscilatorio, pero debido al coeficiente , las amplitudes
de la oscilación → 0 cuando t → ∞.

12. Ejemplos
.d2 x dx
2
+5 +4x=0 x(0)=0 x ′(0)=1
dt dt
Un peso de 8 lb estira un resorte 2 pies. Supóngase que una
fuerza de amortiguación numéricamente igual a dos veces la
velocidad instantánea actúa sobre el sistema; determine la
ecuación de movimiento si el peso se suelta desde la posición de
equilibrio con una velocidad hacia arriba de 3 pies/s.
Un peso de 16 lb se sujeta a un resorte de 5 pies de largo. En
estado de equilibrio, el resorte mide 8.2 pies. Si el peso se
empuja hacia arriba y se suelta, a partir del reposo, desde un
punto que está 2 pies sobre la posición de equilibrio, determinar
los desplazamientos x(t) sabiendo además que el medio ofrece
una resistencia numérica igual a la velocidad instantánea.

13. Forma alternativa de la solución x(t)
La solución
−λt⎡
x(t)=e c1 cos(ω 2
−λ 2 )t+csin(ω 2
−λ 2
⎣ 2 )t⎤
se puede escribir en forma alternativa:
x(t) = Ae−λ t ⎧sin ⎡ (ω2−λ
⎨
2
) t+φ ⎦⎤⎫ (6)
⎬
⎩ ⎣ ⎭
donde A= c 12 + 2 2 c
y el ángulo de fase φ se determinan de las ecuaciones
c1 c2 c1
sinφ= cosφ= tanφ=
A A c2

14. Movimiento forzado
Supóngase que ahora consideramos
además una fuerza exterior f(t) que actúa
sobre una masa oscilante sujeta a un
F resorte. Por ejemplo, f(t) podría
representar una fuerza impulsora que
causa un movimiento oscilatorio vertical
del resorte. Al incluir f(t) en la
formulación de la segunda ley de
m Newton se obtiene la siguiente ecuación
diferencial del movimiento forzado
d2x dx
m dt 2 =−kx−β +f t)
dt

15. Movimiento forzado...
O bien d2 x dx 2
dt 2 +2λ dt +ω x = Ft )
Donde
β
2λ= ω2 = k F ( f t ( )=t )
m m m
Para resolver esta última ecuación diferencial lineal de segundo
orden no homogénea se puede utilizar indistintamente el
método de coeficientes indeterminados o variación de
parámetros.
Ejemplo
Interpretar y resolver el problema de valor inicial
1d 2 x dx 1
2
+1.2 +2x=5 cos 4t x(0)= x ′(0)=0
5dt dt 2

16. Términos transitorio y de estado estacionario
La solución del ejemplo anterior es
−3t ⎛38 86 ⎞ 25 50
x(t)=e ⎜ cos t− sint⎟− cos 4t+ sin 4t
⎝51 51 ⎠ 102 51
Nótese que la función complementaria
−3t ⎛38 86 ⎞
xc(t)=e ⎜ cos t−51 sint⎟
⎝51 ⎠
tiene la propiedad de que lim xct)=0
t→∞
Se dice que xc(t) se hace insignificante (es decir tiende a cero)
cuando t→∞, se dice que es un término transitorio o una
solución transitoria. Así para valores grandes de tiempo, los
desplazamientos del peso en el problema anterior se aproximan
grandemente por la solución particular xp(t). Esta última función
se llama solución en estado estacionario. Cuando F(t) es una
función periódica, tal como F (t) = F0sin γt = F0cos γt la solución
general consiste en
F (t) = respuesta transitoria + respuesta permanente

17. Movimiento forzado sin amortiguación (β=0)
Resonancia Pura
En ausencia de una fuerza de amortiguación, no habrá
término transitorio en la solución del problema. Además, veremos
que la aplicación de una fuerza periódica de frecuencia cercana, o
igual, a la frecuencia de las oscilaciones libres no amortiguadas
puede causar un problema serio en cualquier sistema mecánico
oscilatorio.
Ejemplo. Resolver el problema de valor inicial
d2x
dt 2
+ω 2 x=Fsinγt
0 x (0)
=0 x ′(0)=0
donde F0 es una fuerza constante. Analizar el caso en que γ → ω
por medio del teorema de L Hôpital.

18. Tarea 12
En el caso de oscilaciones subamortiguadas demostrar
que la solución de la ecuación diferencial
d 2x dx
+2λ +ω 2 x= Fsin γt
0
dt 2 dt
es
F0
x(t)=Ae −λ t
sin (ω2−λ2t+φ )+ sin(γt +θ ) (a)
2 2
(ω−γ )+ 4λγ
2 2 2
donde
c1 c2
sin φ = cosφ = A= c 12 + 2
2
c
A A
−2λγ ω 2 −γ 2
sinθ= cosθ=
(ω−γ 2 )2+4λ
2 2
γ2 ( ω−γ 2 )2+4λγ 2
2 2

19. Tarea 12...
La inspección de la ecuación (a) muestra que xc(t) es
transitorio cuando se presenta amortiguación, y por lo tanto para
valores grandes de tiempo la solución se aproxima muy
cercanamente por la solución de estado estacionario
x(t) = g(γ )sin(γt + θ )
Donde se define F0
g(γ)=
( ω −γ 2 )2 +4λ 2γ 2
2
Aunque la amplitud de xp está acotada a medida que t→∞,
demostrar que las oscilaciones máximas que presenta este
sistema está dada por γ = ω 2 − 2λ2 . Así, cuando la frecuencia de
la fuerza externa es
ω2−2λ 2
2π
se dice que el sistema se encuentra en resonancia.

20. Circuitos eléctricos
Si i(t) representa la corriente
en el circuito RLC en serie
i entonces la caída de voltaje a
L
E(t) R través de la resistencia, la
C inductancia y la capacitancia
es
Inductor Resistor Capacitor
InductanciaL: henrys (h) ResistenciaR: ohms (Ω) CapacitanciaC: farads (h)
di Caída de voltaje :iR 1
Caída de voltaje : L Caída de voltaje : q
dt C
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff, la suma de los voltajes
es igual al voltaje E(t) suministrado al circuito; esto es,
di 1
L +Ri+ q = Et )
dt C

21. Circuitos eléctricos...
Pero la carga q(t) en el capacitor está relacionada con la
corriente i(t) mediante i=dq/dt, y así la ecuación (1) se
convierte en una ecuación diferencial de segundo grado
d 2q dq 1
L dt 2 +R + q = Et )
dt C
La nomenclatura usada en este análisis de circuitos es similar a
la que se usó para describir los sistemas masa-resorte.
Si E(t)=0, las oscilaciones eléctricas del circuito se dice
que son libres. Puesto que la ecuación auxiliar para (2) es
1
Lm2 +Rm+ =0
C

22. Circuitos eléctricos...
existirían tres formas de la solución cuando R≠0, dependiendo del
valor del discriminante R2 – 4L/C. Se dice que el circuito está
sobreamortiguado R2 – 4L/C > 0
críticamente amortiguado R2 – 4L/C = 0
subamortiguado R2 – 4L/C < 0
Para cada uno de los tres casos, la solución general de (2)
contiene un factor Exp(-Rt/2L) y así q(t)→0, cuando
t→∞. En el caso subamortiguado cuando q(0)=q0 , la
carga en el capacitor oscila a medida que ésta decae; en
otras palabras, el capacitor se está cargando y descargando
a medida que t→∞. Cuando E(t)=0 y R=0, se dice que el
circuito no está amortiguado y las oscilaciones eléctricas
no tienden a cero a medida que t se incrementa sin tener
una cota; la respuesta del circuito es armónica simple.

23. Tarea 13
Demuestre que la solución de estado estacionario qp(t) y la
corriente del estado estacionario de un circuito RLC en serie
cuando el voltaje que se le aplica es E(t)=E0senγt.
d2q dq 1
L dt 2 +R + q = E0sin γt
dt C
es q p ( γt
t Bcos)= A sin γ t +
donde
E0 Lγ−1/Cγ)
( ER
A= B= 0
⎡ 2 2 2 L1 2⎤ ⎡ 2 2 2 L 1 2⎤
−γ ⎢ Lγ − + 2 2
+R ⎥ −γ ⎢ Lγ − + 2 2
+R ⎥
⎣ C Cγ ⎦ C Cγ
⎣ ⎦

24. Tarea 13...
Es conveniente expresar A y B en términos de algunos nuevos
símbolos
X =Lγ −1/Cγ ⇒ X 2
= 2 2
Lγ2 − +L 1
C Cγ 2 2
Z=X 2
+R 2 ⇒ Z 2 =Lγ2 2
− 2 + L 2 +R 1 2
C C 2γ
Por lo tanto EX0 ER0
A= B=
−γZ 2 −γZ 2
así la carga en estado estacionario es
⎛E0X ⎞ ⎛ E0R⎞
qp(t) =− ⎜ 2 ⎟
cosγt
sin γ 2⎟ t−
⎜
⎝ γZ −γZ
⎠ ⎝ ⎠

25. Tarea 13...
Demuestre que la corriente de estado estacionario
está dada por i(t)=q p(t):
E 0 ⎡⎛R⎞ ⎛ X⎞ ⎤
ip(t)= ⎢ sin γt− cosγ ⎥ t
Z ⎣⎝Z⎠ ⎝Z⎠ ⎦
Las cantidades definidas
X =Lγ −1/Cγ Z= X 2
+R 2
se llaman reactancia e impedancia del circuito,
respectivamente. Tanto la reactancia como la
impedancia se miden en omhs ( Ω).