Este documento describe los pasos para resolver problemas de programación lineal. Explica que la programación lineal involucra maximizar o minimizar una función objetivo sujeta a restricciones. Luego presenta cuatro ejemplos que ilustran cómo formular los problemas matemáticamente identificando la función objetivo, variables, restricciones y región factible, y encontrar la solución óptima evaluando la función en los vértices de la región.

1. Matemática Superior
4. PROGRAMACIÓN LINEAL
4.1. INTRODUCCIÓN
La programación lineal fue desarrollada por George B. Dantzig al final de la década
de 1940, y la Fuerza Aérea de Estados Unidos fue quien la utilizó primero, esto
como ayuda en la toma de decisiones. Actualmente tiene una amplia aplicación en
los análisis industrial y económico.
El objetivo es que maximizar o minimizar una función (costos, utilidad); sujeta a
algunas limitaciones (o restricciones) que presentan las industrias o empresas.
MOTIVACIÓN
Podremos resolver problemas como el siguiente:
En un comedor se debe dar un desayuno con una
composición mínima de 15 u. de proteínas y otras 15 de
carbohidratos. Por convenio con la Municipalidad sólo
se cuentan dos clases de alimentos : el tipo X con una
composición de una unidad de proteínas y cinco de
carbohidratos, y el tipo Y, con una composición de cinco
unidades de proteínas y una de carbohidratos. El precio del tipo X es de $1000
y el del tipo Y es de $3000. Se pregunta: ¿Qué cantidades se han de comprar
de cada tipo para cubrir las necesidades con un costo mínimo?
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2. Matemática Superior
4.2. DESARROLLO DE SUBCONTENIDOS.
Los problemas de Programación Lineal pueden presentarse en la forma
matemática, dando la función objetivo y las restricciones, como lo hemos visto
hasta ahora, o bien plantearlos mediante un enunciado. Si éste es el caso, puede
seguirse el camino que se indica en el siguiente ejemplo.
4.2.1. PASOS PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE
PROGRAMACIÓN LINEAL.
Ejemplo 1.
En un almacén se guarda aceite de girasol y de oliva. Para atender a los clientes se
han de tener almacenados un mínimo de 20 bidones de aceite de girasol y 40 de
aceite de oliva y, además, el número de bidones de aceite de oliva no debe ser
inferior a la mitad del número de bidones de aceite de girasol. La capacidad total
del almacén es de 150 bidones. Sabiendo que la utilidad es la misma para los dos
tipos de aceite (1.00 soles). ¿Cuántos bidones de cada tipo habrá que almacenar
para que la utilidad de la mercadería almacenada sea máxima?
Paso 1º:
Leer detenidamente el enunciado: determinar el objetivo, definir las variables y
escribir la función objetivo.
El objetivo es: hallar cuántos bidones de cada tipo hay que almacenar para
maximizar la utilidad.
Suponemos que tal objetivo se consigue almacenado: x bidones de aceite de
girasol e
y de aceite de oliva
Cómo cada bidón de aceite de girasol genera una utilidad de 1 sol y lo mismo para
uno de aceite, la utilidad total será: x + y
Luego, la función objetivo es: Z = f(x,y) = x + y
Función que se debe maximizar.
Paso 2º: Reordenar los datos del problema y a partir de las cantidades decididas,
x e y, escribir el sistema de inecuaciones que determinan las restricciones.
 Un mínimo de 20 bidones de aceite de girasol: x 20
 Un mínimo de 40 bidones de aceite de oliva: y 40
 El número de bidones de aceite de oliva no debe ser inferior a la mitad del
número de bidones de aceite de girasol: y x/2
 La capacidad total del almacén es de 150 bidones: x + y 150
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3. Matemática Superior
Además, los números de bidones deben ser cantidades positivas: x 0;y 0
Paso 3º: Expresar el problema en la forma estándar.
Siguiendo con el ejemplo, sería:
Z = f(x,y) = x +
Maximizar:
y
sujeto a: x+y 150
y x/2
x 20 ; y 40
Aquí termina el planteamiento del
problema. Para su resolución hay que continuar con:
Paso 4º: Representar gráficamente las restricciones y marcar claramente la región
factible.
Para las restricciones anteriores debemos representar las rectas:
x + y = 150 ,
y = x/2,
x = 20,
y = 40,
Obteniéndose la región factible que en la figura se encuentra coloreada.
Paso 5º: Hallar las coordenadas de los vértices del polígono obtenido.
Resolviendo los sistemas: se obtienen los vértices:
{ x = 20, y = 40 } , A(20,40)
{ y = x/2 , y = 40 } , B(80,40)
{ y = x/2 , x + y = 150} , C(100, 50)
{ x + y = 150, x = 20}; D(20,130)
Paso 6º: Sustituir las coordenadas de esos puntos en la función objetivo y hallar
el valor máximo o mínimo.
Sustituyendo en f(x,y) = x + y, se tiene: f(A) = f(20,40) = 60 ,
f(B) = f(80,40) = 120 ,
f(C) = f(100, 50) = 150 ,
f(D) = f(20,130) = 150
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4. Matemática Superior
Como el valor máximo se obtiene en los puntos C y D, puede optarse por
cualquiera de los dos, o por cualquier punto perteneciente al segmento que los
une.
Así, por ejemplo, se obtendría la misma utilidad con 40 bidones de aceite girasol y
110 bidones de aceite de oliva; o 90 y 60 respectivamente.
Paso 7º: También es conveniente representar las rectas de nivel para comprobar
que la solución gráfica coincide con la encontrada. Esta conveniencia se convierte
en necesidad cuando la región factible es no acotada.
En nuestro caso, puede comprobarse que las rectas de nivel tienen la misma
pendiente que la recta límite de la restricción x + y 150; por tanto, hay múltiples
soluciones.
Paso 8º: Por último, como en la resolución de todo problema es necesario criticar
la solución: cerciorarse de que la solución hallada es lógica y correcta.
En este ejemplo, no todos los puntos del segmento CD son soluciones válidas, ya
que no podemos admitir valores de x e y no enteros, como ocurriría en el punto
(90.5, 59.5) .
Nota: Si un problema en la forma estándar no indica que se debe realizar por el
método analítico o gráfico , seguiremos para su resolución los pasos del 4º al 8º
Ejemplo 2
Las restricciones pesqueras impuestas por el Ministerio obligan a cierta empresa a
pescar como máximo 2000 toneladas de anchoveta y 2000 toneladas de pota,
además, en total, las capturas de estas dos especies no pueden pasar de las 3000
toneladas. Si el precio de la anchoveta es de 1000 soles/ton y el precio del pota es
de 1500 soles/ton, ¿qué cantidades debe pescar para obtener el máximo beneficio?
Sean : x = número de toneladas de anchoveta
y = número de toneladas de pota
Del enunciado deducimos las restricciones:
 Como máximo 2000 toneladas de anchoveta: x 2000
 Como máximo 2000 toneladas de pota: y 2000
 Las capturas de estas dos especies no pueden pasar de las 3000 toneladas:
x+y 3000
La función objetivo que da el beneficio en miles de soles y que hay que maximizar
viene dada por:
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5. Matemática Superior
f(x,y) = 1000x + 1500y
Representando las rectas: x = 2000,
y = 2000 ,
x + y = 3000
correspondientes a las fronteras de las restricciones
obtenemos la región factible:
Donde los vértices obtenidos son: A(2000,0) ;
B(2000, 1000) ;
C(1000, 2000) ,
D(0,2000) y
O(0,0)
Al sustituir sus coordenadas en la función objetivo f resulta:
f(A) = 2000 millones de soles. ;
f(B) = 3500 millones de soles;
f(C) = 4000 millones de soles ;
f(D) = 3000 millones de soles y
f(O)= 0 soles.
La función objetivo alcanza su máximo en el vértice C, por lo que las cantidades a
pescar son 1000 toneladas de merluza y 2000 toneladas de pota
Ejemplo 3.
Dos pinturas A y B tienen ambas dos tipos de pigmentos p y q; A está compuesto
de un 30% de p y un 40% de q, B está compuesto de un 50% de p y un 20% de q,
siendo el resto incoloro. Se mezclan A y B con las siguientes restricciones:
La cantidad de A es mayor que la de B. Su diferencia no es menor que 10 gramos y
no supera los 30 gramos. B no puede superar los 30 gramos ni ser inferior a 10
gramos.
a. ¿Qué mezcla contiene la mayor cantidad del pigmento p?
b. ¿Qué mezcla hace q mínimo?
Sean: x los gramos de la pintura A
y los gramos de la pintura B que aparecen en la mezcla.
Traduzcamos a inecuaciones las restricciones a las que se han de someter esas
cantidades.
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6. Matemática Superior
 La cantidad de A es mayor que la de B: x>y
 Su diferencia no es menor que 10 gramos y no supera los 30 gramos: 30
x-y 10
 B no puede superar los 30 gramos ni ser inferior a 10 gramos: 30 y
10
 Además sabemos que : x 0,y 0.
Veamos las cantidades de pigmento de cada tipo:
Cantidad de pigmento de tipo p: Fp (x, y) = 0.3x + 0.5y
Cantidad de pigmento de tipo q: Fq (x, y) = 0.4x + 0.2y
La región factible es la mostrada.
Sus vértices son: A(20,10) ,
B(40,10),
C(60,30)
D(40,30)
a) La mayor cantidad de pigmento p, se produce para 60 gramos de la pintura A y
30 de la B:
Fp (20,10) = 0.3·20 + 0.5·10 = 11 ;
Fp (40, 10) = 17;
Fp (60, 30) = 33
Fp (40,30) = 27 ;
b) La menor cantidad de pigmento q, se produce para 20 gramos de la pintura A y
10 de la B:
Fq (20, 10) = 0.4·20 + 0.2·10 = 10 ;
Fq (40, 10) = 18 ;
Fq (60, 30) = 30
Fq (40, 30) = 22;
Ejemplo 4. Problema del transporte
Una empresa dedicada a la fabricación de componentes de ordenador tiene dos
fábricas que producen, respectivamente, 800 y 1500 piezas mensuales. Estas
piezas han de ser transportadas a tres tiendas que necesitan 1000, 700 y 600
piezas, respectivamente. Los costos de transporte, en soles por pieza son los que
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7. Matemática Superior
aparecen en la tabla adjunta. ¿Cómo debe organizarse el transporte para que el
costo sea mínimo?
Tienda A Tienda B Tienda C
Fábrica I 3 7 1
Fábrica II 2 2 6
En este tipo de problemas se exige que toda la producción sea distribuida a los
centros de ventas en las cantidades que precisa cada uno; por tanto, no pueden
generarse stocks del producto ni en las fábricas ni en los centros de ventas.
En consecuencia, los 800 artículos producidos en la fábrica I deben distribuirse en
las cantidades x, y, z a A, B y C, de manera que: x + y + z = 800.
Pero, además, si desde la fábrica I se envían x unidades a A, el resto, hasta las
1000 necesarias en A, deben ser enviadas desde la fábrica II; esto es, (1000 – x)
unidades serán enviadas desde II a A.
Del mismo modo, si desde la fábrica I a B se envían y, el resto necesario, (700 –
y), deben enviarse desde II.
Y lo mismo para C, que recibirá z desde la fábrica I y (600 – z) desde II.
En la siguiente tabla de distribución se resume lo dicho:
a la tienda A a la tienda B a la tienda C
Envíos
(1000) (700) (600)
Desde la fábrica I (
x y 800 - x - y
800)
Desde la fábrica II
1000 - x 700 - y x + y - 200
(1500)
La última columna la hemos obtenido de la siguiente forma:
Como x + y + z = 800 ,
se tiene que z = 800 - x - y,
de donde, 600 - z = 600 - (800 - x - y) = x + y - 200.
Ahora bien, todas las cantidades anteriores deben ser mayores o iguales que cero.
Por tanto, se obtienen las siguientes desigualdades:
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x 0; 1000 - x 0;
y 0; 700 – y 0;
800 - x - y 0 ; x + y - 200 0
Simplificando las desigualdades anteriores, se obtienen las siguientes inecuaciones:
1000 x 0;
700 y 0;
800 x+y 0
Recordemos que nuestro objetivo es abaratar al máximo los costos de transporte.
Estos costos se hallan multiplicando las cantidades enviadas a desde cada fábrica a
cada tienda por los respectivos costos de transporte unitario.
Se obtiene: Z = f(x,y) = 3x + 2(1000 - x) + 7y + 2(700 - y) + (800 - x - y) +
6(x + y - 200)
= 6x + 10y + 3000
En definitiva, el programa lineal a resolver es:
Minimizar: Z = 6x + 10y + 3000
sujeto a: 1000 x 0
700 y 0
800 x+y 0
La región factible es la mostrada:
Sus vértices son: y el costo, el valor de Z es:
A(200,0) ; en A, 4200
B(800,0) ; en B, 7800
C(100,700) ; en C, 10600
D(0,700) en D, 10000
E(0,200). en E, 5000
El mínimo se da en A , cuando x = 200 y y = 0.
Luego, las cantidades a distribuir son:
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9. Matemática Superior
a la tienda A a la tienda B a la tienda C
Envíos
(1000) (700) (600)
Desde la fábrica I (
200 0 600
800)
Desde la fábrica II
800 700 0
(1500)
Ejemplo 5. Problema de la dieta
En un comedor se debe dar un desayuno con una composición mínima de 15 u. de
proteínas y otras 15 u. de carbohidratos. Por convenio con la Municipalidad sólo se
cuentan dos clases de alimentos : el tipo X con una composición de una unidad de
proteínas y cinco de carbohidratos, y el tipo Y, con una composición de cinco
unidades de proteínas y una de carbohidratos. El precio del tipo X es de $1000 y el
del tipo Y es de $3000. Se pregunta:¿Qué cantidades se han de comprar de cada
tipo para cubrir las necesidades con un costo mínimo ?
El problema se llama así porque en sus orígenes consistió únicamente en
determinar la dieta humana más económica.
En su forma industrial más corriente, el problema consiste en saber cómo mezclar
de la forma más económica posible las materias primas que constituyen un
producto de fórmula química conocida.
Podemos organizar la información mediante una tabla:
Unidades Proteínas Carbohidratos Costo ($)
Alimento X x x 5x 1000x
Alimento Y y 5y y 3000y
1000x +
Total 15 15
3000y
La función objetivo del costo total, f, si se emplean x kg del alimento X e y kg del
alimento Y, es :
Z = f(x,y) = 1000x + 3000y
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10. Matemática Superior
El conjunto de restricciones es: x 0,y 0;
x + 5y 15 ;
5x + y 15 .
Con estos datos representamos la región factible y las rectas
de nivel de la función objetivo.
De todas las rectas de nivel que tocan a la región factible,
hace que el costo Z sea mínimo la que pasa por el vértice
A(2.5,2.5).
La solución óptima se obtiene comprando 2.5 unidades de X y 2.5 unidades de Y.
El costo total es : Z = f(2.5,2.5) = 1000·2.5 + 3000·2.5 = $10000
Ejemplo 6.
Una compañía produce dos tipos de artículos, manuales y eléctricos. Cada uno
requiere para su fabricación del uso de tres máquinas, A, B y C. Cada artículo
manual requiere del uso de las máquina A durante 2 horas, de la máquina B por 1
hora y de la máquina C otra hora. Un artículo eléctrico requiere 1 hora de la
máquina A, 2 horas de la B y 1 hora de la C. Además, supongamos que el número
máximo de horas disponibles por mes para el uso de las máquinas A, B y C es de
180, 160 y 100 respectivamente. La utilidad por cada artículo manual es de $4 y
por cada artículo eléctrico es de $6. Si la compañía vende todos los artículos que
puede producir, ¿Cuántos artículos de cada tipo debe producir con el fin de
maximizar la utilidad mensual?
Establezcamos que x y y son el número de artículos manuales y eléctricos,
respectivamente, fabricados en un mes. Además el número de artículos producidos
no es negativo,
x0 y y  0 (condiciones de no negatividad)
Utilidad /
A B C unidad
Manual 2 hr 1 hr 1 hr $4
Eléctrico 1 hr 2 hr 1 hr $6
Horas disponibles 180 160 100
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11. Matemática Superior
Para la máquina A el tiempo necesario para trabajar sobre x artículos manuales es
2x horas y el tiempo para trabajar sobre y artículos eléctricos es 1y horas.
La suma de estos tiempos no puede ser mayor que 180, de modo que
2x + y  180
Las restricciones para las máquinas B y C dan
x + 2y  160
x + y  100
La utilidad P es una función de x y y, y está dada por la función de utilidad
P = 4x + 6y
En resumen, queremos maximizar la función objetivo
P = 4x + 6y
sujeta a las condiciones de que x y y deben ser soluciones del sistema de
restricciones
2x + y  180
x + 2y  160
x + y  100
x0
y0
La región que satisface de manera
simultánea las restricciones está
sombreada.
Cada punto en esta región representa una
solución factible, y dicha región se llama
región factible.
Aunque existe un número infinito de soluciones factibles, debemos encontrar una
que maximice la función de utilidad.
El problema se ha reducido a un ejercicio de Programación Lineal, que se resolvió
en el Ejemplo 1 de los Ejercicios de Programación Lineal.
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12. Matemática Superior
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
Lee detenidamente, analiza y plantea tu solución. No te olvides que, el
objetivo es obtener la solución óptima.
1. Un agricultor va a comprar fertilizantes que contienen tres nutrientes: A, B y
C. Los mínimos necesarios son 160 unidades de A, 200 unidades de B y 80
unidades de C. Existen dos marcas muy aceptadas de fertilizantes en el
mercado. Crece Rápido cuesta $8 una bolsa, contiene 3 unidades de A, 5
unidades de B y 1 unidad de C. Crece Fácil cuesta $6 cada bolsa, contiene 2
unidades de cada nutriente. ¿Cuántas bolsas de cada marca debe comprar
para que el costo sea mínimo?
2. Una empresa de productos de papelería dispone de 270 metros cuadrados
de cartón y 432 metros de cinta de goma para la fabricación de dos tipos de
carpetas: tamaño folio y tamaño cuartilla. Para una del primer tipo necesitan
0,20 metros cuadrados de cartón y 30 centímetros de cinta de goma y se
venden a 1,40 euros la unidad. Para una carpeta del segundo tipo se
necesitan 0,15 metros cuadrados de cartón y 27 centímetros de cinta de
goma y se vende a 1,10 euros la unidad.
a) Representa la región factible.
b) ¿Cuántas carpetas de cada tipo interesa fabricar para que el beneficio que
se obtiene con su venta sea lo más grande posible?
c) Calcula ese beneficio máximo.
Sol.: 900 carpetas tamaño folio y 600 tamaño cuartilla
3. Para la temporada de rebajas, un comerciante decide poner a la venta 70
camisetas, 120 camisas y 110 pantalones en dos tipos de lotes. El lote A
formado por 2 camisas, 1 pantalón y 1 camiseta se venderá a 60 euros,
mientras que el lote B, formado por 1 camisa, 2 pantalones y 1 camiseta se
vendrá a 70 euros. ¿Cuántos lotes ha de hacer de cada clase para obtener el
máximo de recaudación y cuánto dinero ingresará?
Sol.: 4 600 euros haciendo 30 lotes de tipo A y 40 de tipo B
4. Una compañía fabrica y vende dos tipos de lámparas A y B. Para su
fabricación necesita un trabajo manual de 10 minutos para el modelo A y de
20 minutos para el modelo B; u un trabajo de máquina de 20 minutos para
el modelo A y de 10 minutos para el modelo B. Se dispone para el trabajo
manual de 6 000 minutos al mes y para el de máquina de 4 800 minutos al
mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 € para el modelo A y de
10 € para el modelo B, planificar la producción mensual para obtener el
máximo beneficio y calcular éste.
Sol.: 4200 € fabricando 120 unidades del modelo A y 240 del B
5. Una constructora dispone de 90 000 m2 para construir viviendas en parcelas
de 300 m2 y de 500 m2. Los beneficios obtenidos son de 20 000 € por cada
parcela de 300 m2 y de 30 000 € por cada parcela de 500 m2. Teniendo en
cuenta que el número máximo de parcelas de 500 m2 es de 120 y que el
número máximo de parcelas de 300 m2 es de 150, determinar:
a) ¿Cuántas parcelas de cada tipo deberá construir par obtener unos
beneficios máximos?
b) ¿Cuál será el valor de dichos beneficios máximos?
Sol.: El beneficio máximo será de 5 700 000€ construyendo 150 parcelas de
300 m2 y 90 de 500 m2
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13. Matemática Superior
6. Un empresario fabrica dos productos A y B. La fabricación de un kilogramo
de A necesita 4 horas de trabajo y un gasto de 60 euros en material
obteniéndose un beneficio de 45 euros. La fabricación de un kilogramo de B
necesita 8 horas de trabajo y un gasto de 48 euros en material,
obteniéndose un beneficio de 33 euros.
Cada semana dispone de 200 horas de trabajo. Además, firmó un contrato
que le obliga a fabricar un mínimo de 15 kg de A y de 10 kg de B. Si no
puede gastar más de 1920 euros en material, ¿cuántos kilogramos por
semana debe fabricar de cada producto para obtener el mayor beneficio
posible? Sol.: Debe fabricar 24 kg de A y 10 kg de B
7. Se disponen de 60 cuadernos, 50 carpetas y 40 rotuladores que se agrupan
en dos tipos de lotes, los del tipo I, con 2 cuadernos, 1 carpeta y 2
rotuladores, que se venden a 4 euros, y los de tipo II, con 3 cuadernos, 1
carpeta y 1 rotulador, que se venden a 5 euros. Si se venden todos los lotes
que se hagan:
a) ¿Cuántos de deben hacer de cada tipo para ganar lo máximo posible?
b) ¿Sobrarán rotuladores, carpetas o cuadernos después de vender todos los
lotes?
Sol.: Se deben hacer 15 lotes del tipo I y 10 del tipo II. No sobrará ni
cuadernos ni rotuladores, pero sí 25 carpetas
8. Una fabrica de productos químicos considera la posibilidad de producir dos
sustancias A y B cuyos beneficios unitarios son 4 y 6 soles, respectivamente.
Cada unidad de A requiere 2 horas de trabajo, 2 horas de control de calidad
y una de materia prima. Cada unidad de B necesita 1 hora de trabajo, 2
horas de control de calidad y 3 unidades de materia prima. Si dispone de 18
horas de trabajo, 24 unidades de materia prima y 20 horas de control de
calidad, ¿cuántas unidades de cada sustancia han de fabricar para maximizar
los beneficios?
i) Plantea el problema
ii) Resolución gráfica
iii) Analiza gráficamente qué ocurre si el beneficio de B se reduce a 2 euros.
Sol.: Hay que fabricar 3 unidades de A y 7 de B. Si se reduce a S/.2 será
(8,2) y (9,0)
9. Una tienda de moda está preparando su pedido de trajes para la próxima
temporada. Para que cierto proveedor le haga unos precios especiales, el
pedido debe incluir al menos 10 trajes de fabricación nacional y no
sobrepasar los 20 trajes de ese tipo. Además, el número de trajes de
fabricación nacional deberá ser al menos la tercera parte del número de
trajes de importación. Por otro lado, el beneficio que la tienda obtendría por
la venta de cada traje de fabricación nacional sería de 120 soles y de 200
soles por la venta de cada uno de importación, y la tienda quiere que el
beneficio total que se pueda alcanzar vendiendo todo el pedido sea como
mínimo de 3 600 soles
Sol.: Se debe pedir 10 trajes de fabricación nacional y 12 de importación
10. Una empresa edita un libro en dos tipos de formato, “normal” y de “bolsillo”.
De un ejemplar del primer formato se obtiene un beneficio de 5 unidades
monetarias y de un ejemplar del segundo 3. La producción de un ejemplar
normal requiere 8 unidades de materia prima y 4 unidades de tiempo y la de
bolsillo 4 unidades de materia prima y 3 de tiempo, disponiendo para ello de
800 unidades de materia prima y 480 unidades de tiempo.
a) ¿Cuántos ejemplares de cada formato se han de editar para que el
beneficio total sea máximo?
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14. Matemática Superior
b) Si el beneficio de producir un ejemplar normal fuera 4 unidades
monetarias, ¿podría cambiar la solución del apartado anterior? Razonar la
respuesta.
Sol.: Se deben editar 60 ejemplares con formato normal y 80 de bolsillo. Si
cambia
11. Una empresa fabrica dos tipos de sillas, cada silla del modelo A requiere 0.3
m3 de madera y cada silla del modelo B requiere 0.4 m3 de madera: El
fabricante desea construir al menos 3 sillas del modelo A y, al menos, el
doble de sillas del modelo B que del A. Si se dispone de 6 m3 de madera y
los beneficios son 3 € y 2 € por cada silla del modelo A y del modelo B
respectivamente, ¿cuántas sillas de cada modelo ha de fabricar para
maximizar los beneficios?.
a) Plantea el problema
b) Resolución gráfica
c) ¿Y si los beneficios fueran 2 € y 1 € respectivamente?
Sol.: 6 sillas del modelo A y 12 del B c) La misma solución
12. a) Dibuja la región del plano determinada por las y  8
inecuaciones: 
x  y  0
x  y  4

b) Hallar el máximo de la función z = 2x + 3y en la región del apartado a)
c) Escribir una función que alcance su mínimo en un punto de la región del
apartado a)
Sol.: b) (8,8) . c) z = x - 2y
13. Un almacenista desea liquidar 2 toneladas de manzanas y 1 tonelada de
peras. Para ello lanza dos ofertas, la oferta 1 consiste en un lote de 10 kilos
de manzanas y 10 kilos de peras por 750 soles, la oferta 2 consiste en 30
kilos de manzanas y 10 kilos de peras por 1250 soles Se desea ofrecer al
menos 20 lotes de la oferta 1 y al menos 10 lotes de la 2. ¿ Cuántos lotes de
cada oferta ha de ofrecer para maximizar los ingresos ( suponiendo que se
venden todos?
Sol.: 50 lotes de cada oferta
14. Una empresa produce dos tipos de bolsos A y B. La producción de un bolso
de tipo A requiere 3 unidades de materia prima y 5 horas de trabajo. Por
otra parte, la producción de un bolso de tipo B requiere 2 unidades de
materia prima y 4 horas de trabajo. La empresa dispone cada día de 180
unidades de materia prima y 320 horas de trabajo. Sabiendo que cada bolso
de tipo A produce un beneficio de 4 unidades monetarias, cada bolso de tipo
B 3 unidades monetarias y que se vende todo lo que se produce, se pide:
a) ¿ Cuántos bolsos de cada tipo se han de producir diariamente para que el
beneficio sea máximo?
b) Suponer que cambian los beneficios producidos por cada tipo de bolso,
siendo el que produce uno de tipo A de 3 unidades monetarias y uno de tipo
B de 2, ¿varía la solución del problema del apartado a) ?. En caso en que
varíe, calcular la nueva solución.
Sol.: a) 40 bolsos de tipo A y 30 de B b) Además de la solución de a) 60 bolsos
de tipo A
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15. Matemática Superior
15. Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda
publicitaria. La empresa A le paga 5 soles por cada impreso repartido y la
empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 soles por impreso. El
estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y
otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es
capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el
estudiante es: ¿cuántos impresos habrá de repartir de cada clase para que
su beneficio diario sea máximo?
Sol: 50 de A y 100 de B
16. En una fábrica de bombillas se producen dos tipos de ellas, las de tipo
normal valen 450 soles y las halógenas 600 soles. La producción está
limitada por el hecho de que no pueden fabricarse al día más de 400
normales y 300 halógenas ni más de 500 en total. Si se vende en toda la
producción, ¿cuántas de cada clase convendrá produccir para obtener la
máxima facturación? (Universidad de Murcia.Junio 1996) Sol: 200 normales
y 300 halógenas
17. Un pastelero tiene 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 27’5 kg de
mantequilla para hacer dos tipos de pasteles P y Q. Para hacer una docena
de pasteles de tipo P necesita 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 de
mantequilla y para hacer una docena de tipo Q necesita 6 kg de harina, 0’5
kg de azúcar y 1 kg de mantequilla. El beneficio que obtiene por una docena
de tipo P es 20 y por una docena de tipo Q es 30. Halla, utilizando las
técnicas de programación lineal, el número de docenas que tiene que hacer
de cada clase para que el beneficio sea máximo. (Universidades de Castilla y
León. Septiembre 1997)
Sol: 5 docenas de pasteles del tipo P y 22. 5 docenas de pasteles del tipo Q
18. Una empresa fabrica dos tipos de rotuladores, de la clase A a 200 soles la
unidad y de la clase B a 150 soles En la producción diaria se sabe que el
número de rotuladores de la clase B no supera en 1000 unidades a los de la
A; además, entre las dos clases no superan las 3000 unidades y la de la
clase B no bajan de 1000 unidades por día. Hallar el costo máximo y mínimo
de la producción diaria. (La Laguna. 1992)
Sol: La solución óptima mínima es producir 1000 rotuladores de clase B y
ninguno de la clase A,
siendo el costo mínimo diario de 150000 soles.
La solución óptima máxima es producir 2000 rotuladores de la clase A y 1000
de la clase B,
siendo el costo máximo de 550000 soles
19. Cada mes una empresa puede gastar. Como máximo, 1.000.000 soles en
salarios y 1.800.000 soles en energía (electricidad y gasoil). La empresa sólo
elabora dos tipos de productos A y B. Por cada unidad de A que elabora gana
80 soles y 50 soles por cada unidad de B. El coste salArial,MS Sans
Serif,Helvetica y energético que acarrea la elaboración de una unidad del
producto A y una del B aparece en la siguiente tabla:
A B
Coste salArial,MS Sans Serif,Helvetica 200 100
Coste energético 100 300
Se desea determinar cuántas unidades de cada uno de los productos A y B
debe producir la empresa para que el beneficio sea máximo.(Universidades
Andaluzas. Septiembre 1997).
Sol: 2400 unidades del producto A y 5200 del producto B
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16. Matemática Superior
20. Una persona tiene 500.000 soles para invertir en dos tipos de acciones A y
B. El tipo A tiene bastante riesgo con un interés anual del 10% y el tipo B es
bastante seguro con un interés anual del 7%. Decide invertir como máximo
300.000 soles en A y como mínimo 100.000 soles en B, e invertir en A por lo
menos tanto como en B. ¿Cómo deberá invertir sus 500.000 soles para
maximizar sus intereses anuales?
Sol: 300000 soles en acciones del tipo A y 200000 soles en acciones del tipo B
21. Una industria vinícola produce vino y vinagre. El doble de la producción de
vino es siempre menor o igual que la producción de vinagre más cuatro
unidades. Por otra parte, el triple de la producción de vinagre sumado con
cuatro veces la producción de vino se mantiene siempre menor o igual a 18
unidades. Halla el número de unidades de cada producto que se deben
producir para alcanzar un beneficio máximo, sabiendo que cada unidad de
vino deja un beneficio de 800 soles y cada unidad de vinagre de 200 soles
(Universidades Andaluzas. Junio 1996)
Sol: 3 unidades de vino y 2 de vinagre
22. Un hipermercado necesita como mínimo 16 cajas de langostino, 5 cajas de
nécoras y 20 de percebes. Dos mayoristas, A y B, se ofrecen al
hipermercado para satisfacer sus necesidades, pero sólo venden dicho
marisco en contenedores completos. El mayorista A envía en cada
contenedor 8 cajas de langostinos, 1 de nécoras y 2 de percebes. Por su
parte, B envía en cada contenedor 2, 1 y 7 cajas respectivamente. Cada
contenedor que suministra A cuesta 210.000 soles, mientras que los del
mayorista B cuestan 300.000 soles cada uno. ¿Cuántos contenedores debe
pedir el hipermercado a cada mayorista para satisfacer sus necesidades
mínimas con el menor coste posible?
Sol: 3 contenedores al mayorista A y 2 al mayorista B
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