El documento explica cómo un monopolista puede maximizar sus beneficios al igualar los ingresos marginales con los costes marginales. Se resuelve un ejercicio donde un monopolista enfrenta una demanda de P=720-3Q y costes de CT=Q3-102Q+900. La cantidad óptima es 30 unidades a un precio de 630, dando beneficios de 10000.

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Juancarlos.aguado.franco@gmail.com @juancaraguado juancarlos.aguado @urjc.es
Si necesita repasar los conceptos manejados en este ejercicio, puede ver los vídeos
correspondientes donde se explica la teoría en mi página:
http://microeconomiajuancarlosaguado.blogspot.com.es/p/videos.html
SOLUCIÓN:
a) La maximización de beneficios en el monopolio se consigue cuando se
produce una cantidad que hace que se igualen los ingresos marginales con los costes
marginales.
Para obtener los ingresos marginales debemos conocer cuáles son los ingresos
totales. Como es lógico, éstos proceden de multiplicar la cantidad producida por el
precio al cual se vende: IT = P · Q.
El precio al cual va a poder vender el monopolista será aquel que como máximo
estén dispuestos a pagar los consumidores, lo que nos indica la función de demanda.
Sustituimos por tanto dicha función en la igualdad anterior y nos queda:
IT = (720 – 3Q)·Q = 720Q – 3Q2
Ya podemos saber cuáles son los ingresos marginales, derivando los ingresos
totales respecto de Q:
I’ = = 720 – 6Q
Igualmente, obtenemos los costes marginales derivando los costes totales
respecto de Q:
C’= = 3Q2
– 102Q + 900
1.- Un monopolista se enfrenta a una función de demanda: P = 720 – 3Q.
Su función de costes totales responde a: CT = Q3
– 51Q2
+ 900Q + 800.
a) Indique qué cantidad deberá producir y a qué precio la venderá si
pretende maximizar beneficios.
b) Calcule qué beneficios obtendrá.
c) Represente gráficamente el equilibrio del monopolio.

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Para maximizar beneficios, I’ = C’:
720 – 6Q = 3Q2
– 102Q + 900;
3Q2
– 96Q + 180 = 0;
Q2
– 32Q + 60 = 0
A simple vista se puede apreciar que las dos raíces de esta ecuación son 2 y 30,
pues el término independiente es el producto de ambas raíces (2·30 = 60) y el que
acompaña a la Q es la suma de ambas con signo negativo (32 = 30 + 2).
Resolvemos no obstante para quienes no lo vean tan inmediato:
; ; las dos posibles soluciones por
consiguiente son Q = 2 y Q = 30.
El hecho de que salgan dos resultados proviene de que al derivar una función e
igualarla a cero obtenemos no sólo los máximos de dicha función sino también los
mínimos. Obsérvese –en el apartado c) está representado gráficamente el problema- que
hasta que se producen 2 unidades los costes marginales son siempre mayores que los
ingresos marginales; en ese caso estaríamos minimizando los beneficios –o lo que es lo
mismo, maximizando las pérdidas-. La solución que nos interesa, lógicamente, aquella
en la que consigue maximizar beneficios la empresa, es la de Q = 30.
b) Si la cantidad producida es Q = 30, el precio que los consumidores están
dispuestos a pagar es:
P = 720 – 6Q;
P = 720 – 6·30 = 630 u.m.
El beneficio que obtendrá por tanto es:
B = IT – CT = 630·30 – 303
+ 51·302
– 900·30 – 800 = 10000 u.m.

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c) Representación gráfica del equilibrio del monopolista
630
P
Q
C’
I’
CTMe
30
D

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Si necesita repasar los conceptos manejados en este ejercicio, puede ver los
vídeos correspondientes donde se explica la teoría en mi página:
http://microeconomiajuancarlosaguado.blogspot.com.es/p/videos.html
SOLUCIÓN:
a) La maximización de beneficios en el monopolio se consigue cuando se
produce una cantidad de producto que haga que se igualen los ingresos marginales con
los costes marginales.
Para obtener los ingresos marginales debemos conocer cuáles son los ingresos
totales. Como es lógico, éstos proceden de multiplicar la cantidad producida por el
precio al cual se vende: IT = P · Q.
El precio al cual va a poder vender el monopolista será aquel que como máximo
estén dispuestos a pagar los consumidores, lo que nos indica la función de demanda. Lo
sustituimos por tanto en la igualdad anterior y nos queda:
IT = (5000 – 4’5Q)·Q = 5000Q – 4’5Q2
Ya podemos saber cuáles son los ingresos marginales (I’), derivando los
ingresos totales respecto de Q:
I’= = 5000 – 9Q
Igualmente, obtenemos los costes marginales (C’) derivando los costes totales
respecto de Q:
C’= = 9Q2
– 468Q + 5450
Para maximizar beneficios, I’ = C’:
5000 – 9Q = 9Q2
– 468Q + 5450;
9Q2
– 459Q + 450 = 0;
Q2
– 51Q + 50 = 0
A simple vista se puede apreciar que las dos raíces de esta ecuación son 1 y 50,
pues el término independiente es el producto de ambas raíces y el que acompaña a la Q
es la suma de ambas con signo negativo.
2.- Un monopolista se enfrenta a una función de demanda: P = 5000 – 4’5Q.
Su función de costes totales responde a: CT = 3Q3
– 234Q2
+ 5450Q + 76250.
a) Indique qué cantidad deberá producir y a qué precio la venderá si
pretende maximizar beneficios.
b) Calcule qué beneficios obtendrá.
c) Represente gráficamente el equilibrio del monopolio.

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Resolvemos no obstante para quienes no lo vean tan inmediato:
; ; las dos posibles soluciones, por
consiguiente, son Q = 1 y Q = 50.
Aunque matemáticamente obtengamos dos resultados, sólo uno es el que nos
hará maximizar beneficios –el otro, por el contrario, es el que nos haría minimizar
beneficios-.
Como se puede apreciar gráficamente, los costes marginales son mayores que
los ingresos marginales para cantidades inferiores a 1, por lo que en ese caso se estarían
minimizando beneficios –o maximizando pérdidas-. Si queremos elegir la solución sin
recurrir al análisis gráfico, bastaría con elegir aquel valor de Q que se corresponda con
el tramo creciente de los costes marginales, que lógicamente es el de Q = 50.
b) Si la cantidad producida es Q = 50, el precio que los consumidores están
dispuestos a pagar es:
P = 5000 – 4’5Q;
P = 5000 – 4’5·50 = 4775 u.m.
El beneficio que obtendrá por tanto es:
B = IT – CT = 4775·50 – 3·503
+ 234·502
– 5450·50 – 76250 = 100000 u.m.
c) La representación gráfica sería la siguiente:
Para calcular el valor en ordenadas del coste total medio que hemos puesto en el
gráfico (2775 u.m.) tenemos dos posibilidades.
I’
IT
CT
4775
2775
P
Q
C’
CTMe
50
D

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La primera consiste, simplemente, en sustituir el valor 50 en el coste total medio
de la empresa –que como sabemos es el resultado de dividir el coste total por la
cantidad-.
CTMe = =
–
;
CTMe(Q = 50) = =
–
= 2775 u.m.
La segunda proviene de que ya conocemos cuál es el valor de los beneficios
(100000 u.m.), y sabemos que los ingresos totales se calculan como el producto del
precio de equilibrio por la cantidad producida: IT = 4775·50 = 238750 u.m.
Los costes totales son por tanto la diferencia entre el beneficio y los ingresos
totales: CT = B – IT = 238750 – 100000 = 138750.
Para una cantidad producida Q = 50, el coste total medio será:
CTMe = = 2775 u.m.
Si necesita repasar los conceptos manejados en este ejercicio, puede ver los
vídeos correspondientes donde se explica la teoría en mi página:
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