1. ESCUELA SUPERIOR
POLITECNICA DE
CHIMBORAZO “ESPOCH”
TRABAJO DE PROBABILIDADES Y
ESTADISTICA
NOMBRE: LUIS ALLAUCA
CODIGO: 967
FACULTAD: MECANICA
ESCUELA: ING DE MANTENIMIENTO
Riobamba-2013

2. Regla del producto (cálculo)
En análisis matemático, la regla del producto o regla de Leibniz para la derivación de
un producto, gobierna la derivación del producto de funciones derivables.
Puede declararse informalmente como "la derivada de la primera por la segunda sin
derivar más la primera sin derivar por la derivada de la segunda" o matemáticamente:
O usando la notación de Leibniz:
.
Demostración
Se puede demostrar la regla usando las características del límite y la definición de la
derivada como el límite del cociente de la diferencia.
Sea
con g y h continuas y diferenciables en la variable x. Entonces
Como
se tiene

3. Distribuyendo ahora el limite entre la suma y los productos (ver propiedades), obtenemos
que
Como h es continua en x, se tiene
y por la definición de la derivada, y la diferenciabilidad de h y g en x, se tiene también
y
Por tanto,
lo cual termina la prueba.
Ejemplo
Suponiendo que se quiere derivar:
Usando la regla del producto, se obtiene la derivada:
ya que la derivada de
es
y la derivada de
es
.

4. Regla generalizada del producto ( o formula de Leibnitz de la derivada n-esima)
Esta regla puede ser generalizada para la obtención del término de una derivación
sucesiva de producto. Sean f y g funciones n-veces diferenciables. La derivada enésima
del producto
viene dada por:
donde
es llamado coeficiente binomial.
Distribución conjunta
En probabilidad, dados dos eventos aleatorios X e Y, la distribución conjunta de X e Y
es la distribución de probabilidad de la intersección de eventos de X e Y, esto es, de los
eventos X e Y ocurriendo de forma simultanea. En el caso de solo dos variable aleatorias
se denomina una distribución bivariada, pero el concepto se generaliza a cualquier
número de eventos o variable aleatorias.
Caso discreto
Para variables aleatorias discretas, la función de probabilidad conjunta está dada por:
Dadas esas probabilidades, se tiene que:
Caso continuo
De forma similar que para las variables aleatorias discretas, la función de densidad de
probabilidad conjunta puede ser escrita como fX,Y(x, y) teniendo:
Donde fY|X(y|x) y fX|Y(x|y) dan la Probabilidad condicionada de Y dado X = x y de X dado
Y = y respectivamente, y fX(x) y fY(y) dada la distribución marginal para X y Y
respectivamente.
De nuevo, dado que son distribuciones de probabilidad:

5. LA VARIABLE ALEATORIA
Uno de los problemas que enfrenta el estadístico es el de evaluar funciones de
distribución o densidad de probabilidad de alguna variable aleatoria y=u(x1,x2,…,xn), lo
que requiere técnicas especiales mediante las cuales se puedan transformar éstas de forma
que los resultados sean objetivos. Se aplicarán varios métodos, pero recomendamos al
lector estar atento al método de la función de generación de momentos, el cual no siendo
aplicado correctamente conduce a errores importantes, cuando no hay completa
linealidad en el modelo o función escogida
Variable Aleatoria. Repasando, es una variable numérica cuyo valor no puede predecirse
con certeza antes de la ocurrencia del experimento. Y su comportamiento se describe
mediante una ley de Probabilidad. Sea el experimento y S el espacio muestral asociado.
Una función X que asigna a cada uno de los elementos un número real X(s), se llama
Variable Aleatoria
Sea un experimento y S su espacio muestral asociado. Sea X una variable aleatoria
definida en S, y Rx su recorrido. Sean B un suceso respecto a Rx, esto es, . Sea A definida
como . Entonces, A y B son sucesos equivalentes.

6. X es una variable aleatoria del espacio S, Rx es el recorrido de X. Sea H una función real,
la variable aleatoria Y=H(X) con recorrido Ry. Para cualquier suceso se define . Por
tanto, la probabilidad de un suceso asociado con el recorrido de Y es la probabilidad del
suceso equivalente (en función de X)
Variable Aleatoria Discreta. Si el número de valores posibles de X es finito, esto es, se
pueden anotar los valores de X como,
Sea X una variable aleatoria discreta, entonces Rx consta de un número de valores de
como resultado posible de xi asociamos un número p(xi) = P(X=xi) llamado probabilidad
de xi, y se satisface,

7. donde, p es la probabilidad de la variable aleatoria X. La colección de pares es, algunas
veces, la distribución de probabilidad de X
Dadas las variables aleatorias X y Y y ocurre:
-
Caso 1: Si X es una variable aleatoria discreta, Y=H(x), entonces, Y es variable
aleatoria discreta
-
Caso 2: Si X es variable aleatoria continua, Y es variable aleatoria discreta, la función
de distribución de probabilidades de Y se determina el suceso equivalente que
corresponde a los valores de Y. Si se conoce la función de distribución de
probabilidad de X. En general, si {Y=yi} es equivalente a un suceso, sea x el
recorrido de X, entonces,
Variable Aleatoria Continua. La variable aleatoria continua es X, si existe una función f
o una función de densidad de probabilidad de X que satisface
Ahora bien, para cualquier a y b, tal que, , tenemos
Variables Aleatorias Bidimensionales. Sea un experimento
asociado S, X1=X1(s), ..., Xn=Xn(s)
con espacio muestral
X=X(s) y Y=(Ys) son dos funciones que asignan un número real a cada uno de los
resultados , entonces, (X,Y) es la variable aleatoria bidimensional

8. - En el caso discreto, (X,Y) tiene valores posibles finitos o infinitamente numerables
- En el caso continuo, (X,Y) puede tener todos los valores en un conjunto no numerable
del plano Euclidiano
Sea (X,Y) una variable aleatoria bidimensional con cada resultado posible (xi,yj)
asociamos un número p(xi,yj) que representa P(X=xi,Y=yj) que satisface
La función p definida para todo (xi,yj) en el recorrido de (X,Y) es la función de
probabilidad de (X,Y) y la terna (xi,yj,p(xi,yj)) es la distribución de probabilidad de (X,Y)
Sea (X,Y) una variable aleatoria continua que toma todos los valores de la región R del
plano Euclideo, la función de distribución de probabilidad conjunta f es la función que
satisface,
La función de distribución acumulada de F de la variable aleatoria (X,Y) está definida

9. Si F es la función de distribución acumulada de una variable bidimensional con función
Variables Independientes. Si función de distribución condicional es igual a función
de distribución marginal, entonces, X y Y son variables aleatorias
independientes
, entonces, X y Y son independientes.
Por lo tanto, lo siguiente es válido:
Si la función de densidad condicional es igual a la función de densidad marginal,
entonces, X y Y son variables aleatorias independientes. Mucho cuidado, la
dependencia funcional implica dependencia estocástica, pero ésta no
necesariamente implica la dependencia funcional.
- Discreta: Sea (X,Y) una variable aleatoria bidimensional, Y y Y son independientes, si
y solo sí, p(xi,yj)=p(xi)q(yj), para todo i,j
- Continua: f(x,y)=g(x)h(y), para todo (x,y), f es la función de distribución de
probabilidad conjunta y g y h son las funciones de probabilidad marginales de X y Y
respectivamente
(X,Y) es variable aleatoria discreta, X y Y son independientes si y solo sí,

10. Y si (X,Y) es continua, entonces,
Funciones de Variables Aleatorias. Sean B y C sucesos equivalente. Si B es el conjunto
de valores de X tales que , entonces,
Función de Distribución Acumulada.
Sea X una variable aleatoria discreta o continua, F es la función de distribución
acumulada de X se define como F(x)=P(X=x),
X es variable aleatoria discreta,
X es variable aleatoria continua,
Si F es no decreciente, esto es, , entonces,

11. para la función de densidad acumulada de variables aleatorias continuas con función de
densidad de probabilidad f
Sea X una variable aleatoria discreta con valores y son . Será F la función de distribución
acumulada de frecuencias, entonces,