La descripción precisa del concepto de límite no es un objetivo de este curso, sí que es necesario tener una idea del concepto de límite de una función en un punto. El límite de una función en un valor determinado de x es igual a un número al que tiende la función cuando la variable tiende a dicho valor (pero nunca llega a serlo).
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Limites, Continuidad y Derivadas
1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
TECNOLÓGICA Y UNIVERSITARIA
DEPARTAMENTO DE ARQUITECTURA
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
PROFESOR:
BELTRAN, PEDRO.
BACHILLER:
VILLARROEL, PIERINA
BARCELONA, MARZO 2019
2. INTRODUCCIÓN
La descripción precisa del concepto de límite no es un objetivo de este curso, sí que es
necesario tener una idea del concepto de límite de una función en un punto. El límite de una
función en un valor determinado de x es igual a un número al que tiende la función cuando la
variable tiende a dicho valor (pero nunca llega a serlo).
Sin embargo se dice que la función es continua en dicho punto porque el valor del límite
tiende al valor de la función en el punto. una función es continua si lo es en todos y cada uno
de los valores de su dominio. Los puntos en los que una función no es continua se
denominan discontinuidades de la función. Es sencillo detectarlos, ya que son puntos en los
que la gráfica se "rompe". Dicho de otra manera, una función es continua si puede dibujarse
de un solo trazo. Así, la función del ejemplo anterior es, evidentemente, continua.
3. Límite y Continuidad de una función
Continuidad
Una función es continua en un punto a si el límite de la función cuando la variable tiende a es igual al valor de la
función en ese punto a. Es decir, si f(a)=b, la continuidad en a se expresa así:
Algunas propiedades son:
● Si existe la derivada en a, la función es continua en a. Aclarar que el recíproco no se cumple, siendo un ejemplo
de ello la función valor absoluto en el 0.
● Si dos funciones F y G son continuas, las funciones F + G, F . G y F/G (para el cociente, siempre que G no sea
0).
4. Límite
La noción de límite de una función en un número (un punto de la recta real) se presentará mediante el siguiente
ejemplo: Supongamos que se nos pide dibujar la gráfica de la función
Para analizar un límite de la forma lim x→a f(x) o lim x→±∞ f(x) numéricamente:
● Haga una tabla de los valores de f(x) usando valores de x que se acerca a a por ambos lados.
● Si el límite existe, los valores de f(x) se acercarán al límite a medida que x se acerca a a por ambos
lados.
● Cuanto más exacto desea estimar este límite, más cercano a a deberá elegir los valores de x.
● Para un límite cuando x → +∞, use valores positivos de x que se vuelven arbitrariamente grande.
● Para un límite cuando x → -∞, use valores negativos de x cuyas magnitudes se vuelven
arbitrariamente grande.
5. Ejercicios
Para que una función F(x) sea continua
en X = C se deben cumplir las siguientes
condiciones:
● Que F(c) exista.
● Que el Lim F(x) exista X C.
● Que el Lim F(x) = F(c) Exista X
C.
Ejercicio 1
10. Ejercicio 2
Derivación de Funciones de Varias Variables
Sea una función de dos variables z = f(x, y), se definen las derivadas parciales:
11. Para la derivada de z "respecto de x" consideramos a la variable "y" como si fuera una constante, mientras que al hacer
la derivada de z "respecto de y" consideramos a la variable "x" como si fuera constante.
Veamos, como ejemplo, las dos derivadas parciales de la función:
Para ello recordemos que la derivada de la función z = eu es: z’ = u’ . eu , siendo u en nuestro caso: x2 + y2 ,
entonces la derivada de u respecto x es 2x (con la Y constante), mientras que la derivada de u respecto y es 2y (con la
x constante). Así tenemos:
12. Otras formas de expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a x son:
Mientras que para expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a y :
Esta definición de derivada se extiende a funciones de tres o más variables, por ejemplo, para una función de
tres variables w = f(x,y,z) sus tres derivadas parciales son:
13. Segundo
● Las derivadas de primer orden son aquellas en la que la función se ha derivado una vez.
● Las derivadas de segundo orden son aquellas en las que la función se ha derivado dos veces.
● Las derivados de tercer grado son aquellas en la que la función se ha derivado tres veces.
● Las derivadas de enésimo orden son aquellas en que la función se ha derivado N veces.
Tercero
● En la derivación de funciones con varias variables independientes se usan las mismas fórmulas, que en el caso
de una sola variable independiente.
● Supongamos que la función que tenemo depende de las dos variables independiente X e Y.
● La derivada parcial de la función con respecto a X con variable y la Y se trata como una constante.
● La derivada parcial de la función con respecto de Y se deriva considerando la Y como variable y la X se trata
como constante.
14. Cuarto
Dada la función Z = F (x , y) a continuación indicamos distintas formas de expresar las diversas derivadas parciales de
primero y segundo orden:
22. CONCLUSIÓN
La noción de límite de una función en un número (un punto de la recta real) se
presentará mediante el siguiente ejemplo: Supongamos que se nos pide dibujar la
gráfica de la función
En general, para todo punto x ≠ 1 podemos trazar la gráfica por los métodos conocidos
por todos nosotros. Ahora, para tener idea del comportamiento de la gráfica de f cerca
de x=1, usamos dos conjuntos de valores x, uno que se aproxime al 1 por la izquierda
y otro por la derecha. La siguiente tabla muestra los correspondientes valores de f (x).
