1. Los “Elementos” de Euclides
por
Juan Navarro Loidi (Instituto de Bachillerato a Distancia de
Guipuzcoa), jnavarrolo@euskalnet.net
´
El tratado de geometr´a titulado los Elementos se cree que fue escrito alrededor
ı
del a˜ o 300 a. de C, por un griego llamado Euclides que ense˜ aba matem´ ticas
n n a
en Alejandr´a (actualmente Egipto). Pese a su antig¨ edad, su inter´ s no es s´ lo
ı u e o
hist´ rico. Hoy en d´a todav´a se nota su influencia en los manuales de matem´ ticas.
o ı ı a
Adem´ s, sigue siendo una referencia obligada cuando se discute sobre el origen de
a
determinados conceptos en geometr´a o en teor´a de n´ meros, o cuando se escribe
ı ı u
sobre axiomatizaci´ n o l´ gica matem´ tica.
o o a
El t´tulo “Elementos” resume bien el contenido de la obra. La palabra “Elemento”
ı
(στ oιξεια) ten´a dos significados en Grecia, como explicaba Proclo de Licia (siglo
ı
V):
“El Elemento se compone de dos modos, como dice Menecmo, porque lo que
construye es el elemento de lo construido [...]. /
Tambi´ n se dice, adem´ s, que elemento es lo m´ s sencillo en que se resuelve lo
e a a
complejo, siendo elementos las cosas m´ s primitivas que se establecen para un
a
resultado” [Fuente : Vera, 1970, v. II p.1159/1160].
1
1
Las referencias completas de los libros citados se encuentran al final en la bibliograf´
ıa.
51

2. 52 Los elementos de Euclides
Estos dos sentidos que daba Proclo a la palabra “elemento” vienen a coincidir con
las dos acepciones que tiene ese t´ rmino actualmente en castellano. Los elementos
e
son los conocimientos b´ sicos que sirven para construir una teor´a cient´fica. Son por
a ı ı
lo tanto los fundamentos de una rama del saber humano. Pero, al mismo tiempo, en
espa˜ ol, una cuesti´ n elemental es una informaci´ n sencilla que se supone conocida
n o o
por todo el mundo.
En estas l´neas se va a describir el contenido de los Elementos y se va a comentar la
ı
forma en la que se introducen las distintas materias. Se mencionar´ n tambi´ n algunas
a e
pol´ micas que ha habido sobre la correcci´ n de los planteamientos de Euclides; pero
e o
no se va a profundizar en ellas. Nadie les puede negar su inter´ s, pero entrar en esas
e
discusiones nos alejar´a del objeto de este escrito, que es sencillamente exponer lo
ı
que escribi´ Euclides hace veintitr´ s siglos.
o e
4.1 Organizaci´ n y metodolog´a de los “Elementos”
o ı
El texto de los Elementos, en las versiones que se ajustan mejor al texto original,
tiene las siguientes partes:
Libro Defini- Proposi- Porismas Lemas Postulados Nociones
ciones ciones comunes
I 23 48 0 0 5 5
II 2 14 0 0 0 0
III 11 37 1 0 0 0
IV 7 16 1 0 0 0
V 18 25 2 0 0 0
VI 3 33 3 0 0 0
VII 22 39 1 0 0 0
VIII 0 27 1 0 0 0
IX 0 36 1 0 0 0
X 16 115 4 11 0 0
XI 28 39 1 1 0 0
XII 0 18 2 2 0 0
XIII 0 18 2 3 0 0
Total 130 465 19 17 5 5

3. Un Paseo por la Geometr´ 2002/2003
ıa 53
Es decir, se divide en trece cap´tulos, llamados “libros”, que se diferencian entre s´ por
ı ı
su contenido. Los seis primeros estudian la geometr´a del plano. Los tres siguientes
ı
tratan de la teor´a de n´ meros. El libro d´ cimo es sobre los inconmensurables, o
ı u e
irracionales y los tres ultimos son sobre la geometr´a del espacio.
´ ı
Cada libro est´ dividido en apartados que pueden ser de seis tipos diferen-
a
tes: definiciones, proposiciones, porismas, lemas, postulados y nociones comunes.
Antes de comenzar a detallar el contenido de esos trece libros conviene precisar lo
que significan esos t´ rminos.
e
Definiciones
Una definici´ n es una frase que sirve para introducir un concepto matem´ tico. En
o a
ella, normalmente, se define la nueva noci´ n relacionando unos t´ rminos m´ s gene-
o e a
rales ya definidos. Por ejemplo, en el libro primero se puede leer:
“20. De las figuras tril´ teras, el tri´ ngulo equil´ tero es el que tiene los tres lados
a a a
iguales; el is´ sceles el que tiene dos lados iguales y uno desigual; y el escaleno, el
o
que tiene los tres lados desiguales2 ”.
En esta definici´ n se parte de la idea de tri´ ngulo (definici´ n 19 del libro primero) y de
o a o
la noci´ n de segmentos iguales para obtener, uni´ ndolas, los conceptos de tri´ ngulo
o e a
equil´ tero, is´ sceles y escaleno. Esta manera de introducir los nuevos t´ rminos se
a o e
suele relacionar con las doctrinas de Arist´ teles. Pero los objetos matem´ ticos no
o a
siempre son tan f´ ciles de introducir. Las primeras definiciones, en particular, no se
a
pueden presentar de esa forma. Por ejemplo:
“1. Un punto es lo que no tiene partes” o “4. Una recta es una l´nea que yace
ı
por igual respecto de todos sus puntos.” [Puertas, 1991, v. I, p. 192]
¿Por qu´ “punto” es lo que no tiene partes y no el corte de dos l´neas o la
e ı
extremidad de una l´nea? Probablemente porque Euclides no quiso usar la l´nea,
ı ı
concepto m´ s complejo, para definir el punto, que es m´ s sencillo, seg´ n recomenda-
a a u
ba Arist´ teles. Pero, ¿por qu´ la recta es la l´nea “que yace por igual” y no es la l´nea
o e ı ı
“m´ s corta de todas las que tiene los mismos extremos” como defin´a Arqu´medes?
a ı ı
Parece dif´cil encontrar la raz´ n por la que Euclides prefiri´ elegir como fundamento
ı o o
para la definici´ n de la l´nea recta la idea de direcci´ n constante, en lugar de la de
o ı o
distancia m´nima.
ı
2
Los textos de los Elementos que se citan pueden proceder de varias versiones castellanas,
pero cuando se ha simplificado la redacci´n, como en este caso, no se indica ninguna fuente.
o

4. 54 Los elementos de Euclides
En los Elementos las definiciones son siempre unas frases breves y precisas.
Este tratado no tiene explicaciones, ni ejemplos. Adem´ s, la definici´ n de un objeto
a o
matem´ tico no implica su existencia. Por ejemplo, en la definici´ n 20 del libro
a o
I se introducen los tri´ ngulos equil´ teros, pero s´ lo se utilizan despu´ s de haber
a a o e
demostrado que se pueden construir en la proposici´ n 1 de dicho libro.
o
Se incluyen definiciones en muchos libros. En el libro I se introduce la mayor´a ı
de los t´ rminos que se utilizan en la geometr´a plana, aunque tambi´ n se insertan
e ı e
varios m´ s en los cinco libros posteriores. En el libro VII est´ n todas las definiciones
a a
correspondientes a la aritm´ tica, en el X las de los irracionales y en el XI las de la
e
geometr´a del espacio. Las definiciones suelen estar colocadas al comienzo del libro,
ı
excepto en el d´ cimo, que las tiene en tres lugares distintos.
e
Postulados y Nociones Comunes
Los postulados y los axiomas o nociones comunes son dos series de propiedades
de los objetos matem´ ticos que se acepta sin discusi´ n. No se diferencian mucho
a o
entre s´ y en el texto no se explica por qu´ una afirmaci´ n se considera axioma y
ı e o
no postulado, lo que tampoco debe extra˜ ar porque, como se ha dicho, Euclides
n
enuncia y justifica, pero no explica nada.
Las nociones comunes, o axiomas, son afirmaciones generales, v´ lidas en todas
a
las ciencias, cuya evidencia las hace generalmente aceptables. Las que incluye
Euclides en esta obra son en concreto:
1. Cosas iguales a una tercera son iguales entre s´.
ı
2. Si a cosas iguales se a˜ aden cosas iguales, los totales son iguales.
n
3. Si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales.
4. Las cosas que coinciden entre s´ son iguales entre s´.
ı ı
5. El todo es mayor que su parte.
Los postulados como las nociones comunes se admiten sin demostraci´ n. Pero
o
no son tan evidentes, por eso se postulan, es decir se pide que se acepten. Son
propiedades espec´ficas de la geometr´a. Los postulados que se incluyen en los
ı ı
Elementos son:
1. Post´ lese que se pueda trazar una unica recta entre dos puntos distintos
u ´
cualesquiera.

5. Un Paseo por la Geometr´ 2002/2003
ıa 55
2. Y que un segmento rectil´neo pueda ser siempre prolongado.
ı
3. Y que haya una unica circunferencia con un centro y un radio dados.
´
4. Y que todos los angulos rectos sean iguales.
´
5. Y que si una secante corta a dos rectas formando a un lado angulos interiores
´
cuya suma es menor que dos rectos, las dos rectas, prolongadas indefinidamente, se
corten en el lado en que est´ n los angulos menores que dos rectos.
a ´
Basta con leer los postulados para comprobar que el postulado quinto, o de las
paralelas, tiene una redacci´ n diferente a la de los dem´ s. Ese enunciado tan largo
o a
m´ s parece el de un teorema que el de un postulado. Pero la discusi´ n sobre la forma
a o
en que Euclides plantea el paralelismo en los Elementos se va a comentar m´ s tarde,
a
al presentar el contenido del libro primero.
Proposiciones
Las proposiciones son las aserciones que se logran demostrar partiendo de las
proposiciones anteriores, las reglas aceptadas en axiomas y postulados y las pro-
piedades que se suponen en las definiciones. Pueden ser de dos tipos: teoremas y
problemas. Las que indican propiedades de los entes matem´ ticos se suelen llamar
a
teoremas. Las que explican como se construyen esos objetos se llaman problemas.
En muchas versiones de Los Elementos se diferencian claramente los dos tipos de
proposiciones; pero se cree que Euclides no lo hac´a. La unica diferencia que tienen
ı ´
los teoremas y los problemas en las versiones m´ s antiguas consiste en que los teo-
a
remas acaban con la frase “como quer´amos demostrar” y los problemas con “como
ı
quer´amos hacer”.
ı
De las 465 proposiciones que hay en los Elementos s´ lo 93 son problemas, que
o
se reparten m´ s o menos por igual en los trece libros. Las excepciones son el libro
a
IV, que s´ lo tiene problemas, y los libros V y IX, que s´ lo tienen teoremas.
o o
Partes de las proposiciones
Las proposiciones suelen tener las siguientes partes:
Enunciado: frase en la que se declara lo que se quiere demostrar o lo que se quiere
construir.
Exposici´ n: apartado en el que se concretan los datos del enunciado en un dibujo o
o
se exponen los objetos que van a intervenir en los pasos posteriores.

6. 56 Los elementos de Euclides
Especificaci´ n: frase en la que se concretan las condiciones que deben cumplir los
o
datos del enunciado.
Construcci´ n: parte en la que se completa el dibujo a˜ adi´ ndole las l´neas o circun-
o n e ı
ferencias que se necesiten para poder demostrar la afirmaci´ n del enunciado.
o
Prueba: apartado dedicado a justificar los pasos l´ gicos necesarios para deducir la
o
tesis buscada o para construir la figura deseada a partir de los resultados anteriores.
Conclusi´ n: ultimo p´ rrafo de la proposici´ n. En el se repite la parte del enun-
o ´ a o ´
ciado que indica lo que se quer´a lograr y se termina diciendo “Como quer´amos
ı ı
demostrar”, o “c.q.d.”, en los teoremas y “Como quer´amos hacer”, o “c.q.h.”, en
ı
los problemas, o se acaba con otra frase equivalente. A veces se ponen las siglas en
lat´n, “q.e.f.” (quod erat faciendum), o “q.e.d.”.
ı
Tanto en la construcci´ n como en la demostraci´ n, el autor justifica los pasos
o o
que da, indicando entre par´ ntesis la propiedad que utiliza.
e
La “especificaci´ n” no es frecuente. S´ lo aparece en las proposiciones en las
o o
que se necesita exigir alguna condici´ n a los datos. Por ejemplo, en la proposici´ n
o o
22 del libro primero se dice:
“22. Construir un tri´ ngulo con tres rectas que son iguales a tres rectas dadas.
a
Pero es necesario que dos de las rectas tomadas juntas de cualquier manera sean
mayores que la restante” [Puertas, 1991, v. I, p. 227].
A partir de “Pero...” se indica en el enunciado la condici´ n que deben cumplir los
o
segmentos, que en este caso es la conocida desigualdad triangular entre los lados.
Posteriormente, en la exposici´ n, se vuelve a repetir esta especificaci´ n y en la
o o
construcci´ n se toman segmentos que la cumplen.
o
Las proposiciones ocupan la mayor parte de la obra. En ellas es sorprendente
el cuidado que pone Euclides en justificar los pasos que da, tratando que el razona-
miento sea inatacable. No suele mencionar exhaustivamente todas las propiedades
utilizadas. Por ejemplo, las nociones comunes o los postulados no suelen figurar
expl´citamente como justificaciones, a partir del primer libro, porque se suponen
ı
conocidas. Pese a ello, considerando solamente las referencias que aparecen men-
cionadas se constata f´ cilmente que esta obra es una verdadera red en la que resulta
a
dif´cil quitar o a˜ adir algo sin cambiar todo el libro.
ı n
Por ejemplo, si se considera el teorema de Pit´ goras (proposici´ n 47 del libro
a o
primero, es decir I. 47), se observa que para justificar su demostraci´ n se citan, al
o

7. Un Paseo por la Geometr´ 2002/2003
ıa 57
menos, la noci´ n com´ n 2 (NC 2) y las proposiciones 4, 14, 41 y 46 (I.4, I.14, I.41
o u
y I. 46). Pero para justificar esas proposiciones se citan otras. Por ejemplo en la
I.46 se mencionan las I. 34, I. 31 y I. 29: En estas, a su vez, aparecen otras. Por
ejemplo en la I.29 se utilizan como pruebas las NC1 y 2, el postulado 5 (P 5) y las
proposiciones I.13 y I. 15. Este proceso se puede seguir hasta encontrar todas las
justificaciones que se precisan utilizar, directa o indirectamente, en la demostraci´ n.
o
En este caso, para justificar el teorema de Pit´ goras se necesitan las cinco nociones
a
comunes, los cinco postulados y las proposiciones n´ mero 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10,
u
11, 13, 14, 15, 16, 22, 23, 26, 27, 29, 31, 34, 35, 37, 41 y 46 del libro primero. Por
otra parte, observando donde aparece citado la I.47 se puede asegurar que si este
teorema desapareciera faltar´a una justificaci´ n en las proposiciones I.48; II.9, II.
ı o
10, II. 11, II. 12, II 13, y II.14; III 14 III 35 y III 36; IV 12; X.13 (lema), X 33,
X 34 y X 35; XI 23 y XI 35; XII 17, XIII 14, XIII 15 y XIII 17, por lo que estas
proposiciones no ser´an v´ lidas, lo que invalidar´a a su vez otras proposiciones que
ı a ı
est´ n basadas en ellas.
a
Porismas o Corolarios
En Los Elementos un porisma es una conclusi´ n interesante que se deduce de una
o
proposici´ n demostrada, pero que no es necesaria para el desarrollo posterior del
o
libro. En algunas versiones se les llama corolarios. Por ejemplo, en la proposici´ n
o
15 del libro primero se dice:
“15. Si dos rectas se cortan, hacen los angulos opuestos por el v´ rtice iguales
´ e
entre s´ [...] Porisma: Si dos rectas se cortan los angulos de la intersecci´ n suman
ı ´ o
cuatro rectos.”
Hoy en d´a se cree que este corolario no lo escribi´ Euclides sino que fue a˜ adido
ı o n
despu´ s, aunque Proclo en el siglo V lo admit´a como original. No es extra˜ o que
e ı n
haya sido incorporado posteriormente porque el n´ mero de porismas aument´ mucho
u o
con el paso del tiempo. No era raro que los traductores o copistas introdujeran nuevos
corolarios que consideraban interesante para sus lectores en las reproducciones que
realizaban.
Lemas
Los lemas son teoremas que se suponen ciertos al demostrar una proposici´ n, pero
o
que una vez probada esta se deben demostrar a su vez. Es decir, son afirmaciones
´
que si se justificaran por completo cuando se emplean en una demostraci´ n har´an
o ı

8. 58 Los elementos de Euclides
perder al lector el hilo del razonamiento general. Por eso se declaran como algo
sabido en la proposici´ n en la que se utiliza, pero luego se enuncian como lemas y
o
se demuestran.
Los lemas s´ lo aparecen en los ultimos libros, que son los que tienen las de-
o ´
mostraciones m´ s largas.
a
4.2 Contenido de los Elementos
En cada libro de los Elementos se trata una materia diferente, por lo que estudi´ ndolos
a
sucesivamente se puede conocer de una forma ordenada el contenido de esta obra.
Libro I
Al comienzo del libro I se encuentran las definiciones de los conceptos b´ sicos de la
a
geometr´a plana y, a continuaci´ n, se enumeran todos los postulados y axiomas. Por
ı o
eso en este principio se exponen los fundamentos de la geometr´a seg´ n Euclides.
ı u
Las definiciones son en total 23. Las nueve primeras dicen:
“1. Un punto es lo que no tiene partes.
2. Una l´nea es una longitud sin anchura.
ı
3. Las extremidades de una l´nea son puntos.
ı
4. Una recta es una l´nea que yace por igual respecto de todos sus puntos.
ı
5. Una superficie es lo que s´ lo tiene longitud y anchura.
o
6. Las extremidades de una superficie son l´neas.
ı
7. Una superficie plana es una superficie que yace por igual sobre todas las l´neas
ı
que contiene.
8. Un angulo plano es la inclinaci´ n mutua de dos l´neas que se encuentran en
´ o ı
un plano y no forma l´nea recta.
ı
9. Y cuando las l´neas que comprenden el angulo son rectas, el angulo es
ı ´ ´
rectil´neo” [Puertas, 1991, v. I, p. 192].
ı
En las siguientes definiciones se introduce el concepto de perpendicularidad, y
se explica lo que son los angulos obtusos y agudos. Se prosigue con el c´rculo y
´ ı
el di´ metro para continuar con los pol´gonos. Se definen los tri´ ngulos equil´ tero,
a ı a a

9. Un Paseo por la Geometr´ 2002/2003
ıa 59
is´ sceles y escalenos y tambi´ n los tri´ ngulos rect´ ngulos, acut´ ngulos y obtus´ ngulos.
o e a a a a
Se dice lo que es un cuadril´ tero y se explica en qu´ se diferencian los cuadrados,
a e
rect´ ngulos, rombos, y romboides. La ultima definici´ n es la de rectas paralelas:
a ´ o
“23. Rectas paralelas son aquellas que, estando en un mismo plano, por m´ s
a
que se las prolongue en ambos sentidos nunca se encuentran”.
Aunque el tratamiento del paralelismo en los Elementos ha sido uno de los puntos
m´ s debatidos de esta obra, esta definici´ n no ha sido muy criticada. Sin embargo,
a o
no es raro que en algunas versiones de los Elementos se prefiera decir que las l´neas
ı
paralelas, son las rectas que distan igualmente entre s´ en todos sus puntos.
ı
La cr´tica moderna considera que las definiciones son la parte m´ s d´ bil de la
ı a e
teor´a eucl´dea. Se afirma, con raz´ n, que se basan en ideas intuitivas y que en ellas
ı ı o
se suponen propiedades que no se postulan ni se demuestran.
A las definiciones les siguen los postulados y los axiomas, que ya se han enumer-
ado con anterioridad. Los tres primeros postulados piden que se acepte la existencia
de rectas y c´rculos, y que se admita que esas figuras no est´ n acotadas. El cuarto
ı a
afirma que los angulos rectos valen lo mismo en todos los puntos, es decir que el valor
´
de un angulo no depende de su localizaci´ n. El 5o postulado se va a comentar m´ s
´ o a
adelante. Los axiomas indican varias propiedades de la igualdad. El m´ s discutido
a
es el cuarto que dice que dos cosas que coinciden son iguales. Este axioma viene
a definir la congruencia geom´ trica como un tipo de igualdad. La idea es bastante
e
evidente, pero su formulaci´ n rigurosa no es sencilla. ¿C´ mo se debe hacer para que
o o
dos figuras coincidan? Normalmente se coloca una encima de la otra; pero para eso
hay que mover, al menos, una de ellas. Y ¿c´ mo se mueven las cosas en geometr´a?.
o ı
Los griegos consideraban que el movimiento no era un buen m´ todo para desarrollar
e
las matem´ ticas. Euclides trata de evitarlo siempre que puede, pero necesita esta
a
noci´ n com´ n, al menos, para demostrar la proposici´ n I. 4, que es uno de los casos
o u o
de igualdad de tri´ ngulos.
a
Para los matem´ ticos que han comentado los Elementos la frontera entre pos-
a
tulado y axioma no est´ muy clara. En muchas versiones hay axiomas originales
a
que aparecen como postulados o viceversa. En general los estudiosos consideran
correcto introducir estos principios, pero frecuentemente han pedido que se ampl´e
ı
su n´ mero por razones l´ gicas y pedag´ gicas. Algunos ejemplos de axiomas que se
u o o
han propuesto son:
Siendo dado un grandor o cantidad: que se pueda tomar otra mayor o menor.

10. 60 Los elementos de Euclides
Si iguales se a˜ aden a desiguales dan desiguales.
n
Si iguales se substraen de desiguales dan desiguales.
Los dobles y las mitades de la misma cosa son iguales.
Tambi´ n se han propuesto postulados como:
e
Dos l´neas rectas no cierran superficie.
ı
Postular la existencia de puntos.
Alg´ n postulado de continuidad que asegure que las rectas o circunferencias que
u
se cortan tienen un punto com´ n.
u
Postular un orden dentro de la recta.
Postular la existencia de la cuarta proporcional (para el libro V).
Dos rectas no pueden limitar una superficie.
Dos rectas no pueden tener un segmento en com´ n y no coincidir.
u
Esas cr´ticas a las definiciones y a los axiomas y postulados llevaron a varios autores
ı
a proponer otras formas alternativas de introducir la geometr´a. Hasta el siglo XIX
ı
los planteamientos que se hac´an no se alejaban muchos de lo que hab´a propuesto
ı ı
veinte siglos antes Euclides. En ese siglo comenz´ a vislumbrarse una nueva base
o
axiom´ tica de la geometr´a, m´ s acorde con las exigencias del rigor matem´ tico. El
a ı a a
sistema m´ s difundido y aceptado fue el que propuso Hilbert en su obra Grundlagen
a
der Geometrie (1899). La teor´a hilbertiana fue un avance importante en la b´ squeda
ı u
de unos fundamentos rigurosos de la geometr´a. Pero, como ahora se sabe, por ese
ı
camino no se pueden superar los l´mites impuestos por el teorema de G¨ del.
ı o
Pese a esas cr´ticas a la axiom´ tica los Elementos, no deja de ser admirable
ı a
que 2200 a˜ os antes de que Hilbert publicara su propuesta, Euclides planteara una
n
axiomatizaci´ n tan completa de la geometr´a. Adem´ s, aunque no tengan suficiente
o ı a
rigor y profundidad, esta propuesta de los Elementos permite desarrollar una geo-
metr´a intuitiva, m´ s f´ cil de “ver” que la de Hilbert. Por eso sus ense˜ anzas no
ı a a n
han desaparecido del todo. Una buena parte de lo que expone Euclides en su obra
se sigue explicando en los manuales de geometr´a que se utilizan en la ense˜ anza
ı n
b´ sica.
a

11. Un Paseo por la Geometr´ 2002/2003
ıa 61
Las proposiciones
En la primera proposici´ n se indica c´ mo se puede construir un tri´ ngulo equil´ tero.
o o a a
Con este problema se demuestra que los tri´ ngulos equil´ teros existen, pero, sobre
a a
todo, se halla una construcci´ n necesaria para probar la proposici´ n segunda, que
o o
muestra como se trasladan los segmentos. Para a˜ adir, quitar o comparar segmentos
n
se necesita colocarlos juntos, por lo que esta segunda proposici´ n resulta fundamen-
o
tal para el desarrollo posterior del libro.
En estas dos proposiciones se suele criticar que en la construcci´ n se suponga
o
que existen puntos de corte entre rectas y circunferencias, sin haber postulado la
continuidad de la recta. Esa cr´tica es v´ lida, pero lo que m´ s sorprendente es que
ı a a
Euclides considere necesario explicar c´ mo se mueve un segmento. Podr´a haber
o ı
postulado que los movimientos isom´ tricos existen, o considerar que los desplaza-
e
mientos se pueden deducir de la noci´ n com´ n 4. Pero prefiere demostrar que las
o u
isometr´as se pueden deducir de su teor´a sin nuevas hip´ tesis.
ı ı o
En la proposici´ n siguiente se explica c´ mo se quita un segmento de otro y en
o o
las 4, 7, 8 y 26 se estudian los diversos casos de igualdad de tri´ ngulos.
a
La proposici´ n 5 es la primera que tiene una demostraci´ n larga y era conocida
o o
en las universidades de la Edad Media por el “Pons asinorum”, o el puente de los
asnos. El nombre le viene de la forma de su dibujo y de que a los malos alumnos les
costaba pasar de esta proposici´ n, como a los asnos les cuesta cruzar un puente. En
o
esa proposici´ n y en la siguiente se demuestra que en un tri´ ngulo a lados iguales
o a
les corresponden angulos iguales, y viceversa. Algo m´ s adelante se prueba que
´ a
a mayor angulo le corresponde mayor lado. En la proposici´ n 15 se demuestra la
´ o
igualdad de los angulos opuestos por el v´ rtice y, en las posteriores, hasta la 22,
´ e
diversas propiedades de los angulos y los lados de un tri´ ngulo. En la 23 se explica
´ a
como se pueden trasladar los angulos. Tambi´ n hay varias proposiciones dedicadas
´ e
a mostrar como se traza la bisectriz de un angulo, la I.9, la mediatriz de un segmento,
´
la I.10, o una perpendicular a una recta, las I.11 y I. 12.
Las proposiciones que van de la 27 a 33, junto con la 17, el quinto postulado y la
definici´ n de dos rectas paralelas, completan el n´ cleo de la teor´a de las paralelas
o u ı
en Los Elementos. Desde la Antig¨ edad hasta los trabajos de Gauss, Boylai y
u
Lobachewski, muchos opinaban que el quinto postulado se pod´a demostrar y que
ı
no era correcto plantearlo como una petici´ n. Esa idea se apoyaba en la redacci´ n
o o
del postulado de las paralelas y en que Euclides no emplea ese postulado hasta la
proposici´ n 29, que es la rec´proca de la 27:
o ı

12. 62 Los elementos de Euclides
“27. Si un segmento corta a dos rectas haciendo los angulos alternos iguales
´
entonces las rectas son paralelas.
29. Una recta que corta a dos rectas paralelas hace los angulos alternos iguales,
´
los angulos exteriores iguales a los interiores y opuestos, y la suma de los angulos
´ ´
interiores por el mismo lado iguales a dos rectos.”
Es normal que al analizar este libro se piense que la proposici´ n 29 debe poderse
o
demostrar sin utilizar el quinto postulado, pues Euclides demuestra su rec´proca,
ı
la I.27, sin mencionarlo. Si eso pudiera hacerse el 5o postulado ser´a un corolario
ı
inmediato de la proposici´ n I. 29. Muchos matem´ ticos propusieron demostraciones
o a
a este postulado de las paralelas, algunas nada malas. Ahora se sabe que eso no es
posible y que se pueden aceptar otros postulados en lugar de este para desarrollar
otras geometr´as no eucl´deas. Antes eso no se sab´a, pero tambi´ n se hicieron
ı ı ı e
cr´ticas acertadas a esas “demostraciones” del 5o postulado. En general, se mostr´
ı o
que detr´ s de las mejores pruebas se escond´a la aceptaci´ n de alguna otra forma de
a ı o
esa propiedad. Algunos ejemplos de esos postulados alternativos que se propusieron
son:
La distancia entre dos rectas paralelas ni se expande ni se contrae.
Una l´nea equidistante de una l´nea recta es una recta.
ı ı
En un cuadril´ tero si tres de sus angulos son rectos lo es tambi´ n el cuarto.
a ´ e
Todos los angulos de un cuadril´ tero equil´ tero y equi´ ngulo son rectos.
´ a a a
Por un punto que no est´ en una recta pasa una paralela a ella.
e
Por tres puntos no colineales pasa una unica circunferencia.
´
La suma de los angulos de un tri´ ngulo vale dos rectos.
´ a
Este tema es muy interesante, pero supera ampliamente lo que se puede incluir en
una introducci´ n a los Elementos como esta3 .
o
Para algunos autores toda esa discusi´ n se produjo porque Euclides no utiliz´
o o
el quinto postulado en la demostraci´ n de la proposici´ n I. 17 como deber´a haber
o o ı
hecho:
3
Quien est´ interesado en las hip´tesis que hicieron y en las discusiones que tuvieron
e o
lugar pueden consultar R. Bonola, La Geometria Non-Euclidea [1906, Bologna]. Existe una
traducci´n espa˜ola.
o n

13. Un Paseo por la Geometr´ 2002/2003
ıa 63
“17. En cualquier tri´ ngulo, la suma de cualesquiera dos angulos es menor que
a ´
dos rectos”.
Dado que este teorema no se cumple en general para los tri´ ngulos esf´ ricos
a e
probablemente sea cierto. Pero como en otros casos lo m´ s sorprendente no es que
a
Euclides hace 2300 a˜ os cometiera ese fallo, sino que tuviera el acierto de incluir
n
el 5o postulado entre las peticiones. Las proposiciones siguientes tratan del area ´
de los paralelogramos y de los tri´ ngulos. En ellas se discute cuando tienen dos
a
paralelogramos igual area y se demuestra que la diagonal de un paralelogramo lo
´
divide en dos tri´ ngulos iguales. A continuaci´ n se estudian varios casos de igualdad
a o
entre las areas de dos tri´ ngulos. La proposici´ n 41 dice que el area del tri´ ngulo es
´ a o ´ a
la mitad de la del paralelogramo que tiene la misma base y altura. Las proposiciones
44, 45 y 46 tratan de la forma de dibujar rect´ ngulos o cuadrados que tengan un area
a ´
dada y cumplan alguna otra condici´ n, por ejemplo que dos lados formen un angulo
o ´
conocido.
Las dos proposiciones que quedan, I.47 y I.48, son el llamado teorema de
Pit´ goras y su rec´proco.
a ı
Libro Segundo
El libro segundo comienza con las definiciones de rect´ ngulo y de “gnomon”, que
a
es una especie de L obtenida al quitarle a un rect´ ngulo otro semejante m´ s peque˜ o
a a n
en un v´ rtice. Las once proposiciones iniciales tratan de relacionar el area de unos
e ´
cuadrados o rect´ ngulos que tienen por lados unos segmentos dados con la superficie
a
de otros cuadril´ teros que tienen por lados sumas o restas de dichos segmentos. Las
a
proposiciones 12 y 13 equivalen a la propiedad de los lados de un tri´ ngulo que
a
ahora se conoce por el “teorema del coseno”. En la proposici´ n ultima se explica la
o ´
manera de hallar un cuadrado cuya area sea igual a la de una figura rectil´nea dada.
´ ı
Las once primeras proposiciones de este libro se podr´an considerar propieda-
ı
des algebraicas, si en lugar de segmentos en el se hablara de cantidades. Con esa
´
orientaci´ n las proposiciones de este libro se podr´an indicar como:
o ı
II.1 a(b + c + d) = ab + ac + ad
II.2 (a + b)a + (a + b)b = (a + b)2
II.3 (a + b)a = ab + a2
II.4 (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

14. 64 Los elementos de Euclides
II.5 ab + a+b 2 a+b 2
2
−b = 2
II.6 (2a + b)b + a2 = (a + b)2
II.7 (a + b)2 + a2 = 2(a + b)a + b2
II.8 4(a + b)a + b2 = [(a + b) + a]2
II.9 a2 + b2 = 2 a+b 2 a+b 2
2
+ 2
−b
II.10 (2a + b)2 + b2 = 2[a2 + (a + b)2 ]
II.11 Problema a(a − x) = x2
II.12 y 13 Teorema del coseno de trigonometr´a
ı
II.14 Problema x2 = ab
Pero Euclides presenta todas estas proposiciones como cuestiones geom´ tricas.
e
Por ejemplo, el enunciado de la proposici´ n 9 es:
o
“9 Si se corta una l´nea recta en partes iguales y desiguales, los cuadrados de los
ı
segmentos desiguales de la (recta) entera son el doble del cuadrado de la mitad m´ s a
el cuadrado de la (recta situada) entre los puntos de secci´ n.” [Puertas, 1991, v. 1,
o
p. 279]
No s´ lo los enunciados, las demostraciones tambi´ n son puramente geom´ tricas.
o e e
Libro Tercero
En el libro tercero se estudia la circunferencia, junto con sus arcos cuerdas, tan-
gentes, segmentos y sectores, y tambi´ n los angulos que se pueden definir sobre
e ´
ella. Contiene once definiciones en las que se explica en que consisten esos objetos
matem´ ticos. De esas definiciones la unica extra˜ a es la de angulo de un segmento:
a ´ n ´
“7. Un angulo de un segmento es el comprendido por una recta y una circunfe-
´
rencia de un c´rculo” [Puertas, 1991, v. I, p. 292]
ı
Este angulo tiene un lado recto y el otro curvo, es por lo tanto mixtil´neo.
´ ı
En las cuatro primeras proposiciones se estudia como se halla el centro de una
circunferencia, y se demuestra que todas las cuerdas son interiores a la circunferencia.
Tambi´ n se prueba que un di´ metro la corta en dos partes iguales y que los di´ metros
e a a
perpendiculares a una cuerda la bisecan.

15. Un Paseo por la Geometr´ 2002/2003
ıa 65
Las proposiciones 5 y 6 afirman que los c´rculos secantes o tangentes no pueden
ı
ser conc´ ntricos. A continuaci´ n se discute de la m´ xima y de la m´nima distancia
e o a ı
que puede haber entre un punto interior o exterior a una circunferencia y dicha circun-
ferencia. Las proposiciones siguientes, hasta la 13 se refieren a propiedades de los
c´rculos tangentes y secantes. Luego se hallan varias relaciones entre cuerdas de una
ı
misma circunferencia, para proseguir estudiando las tangentes. En la proposici´ n o
17, por ejemplo, se explica como se construye una tangente, demostrando con ello
que esas rectas existen. Se examinan tambi´ n los angulos inscritos en un c´rculo. En
e ´ ı
las proposiciones 23, 24 y 25 se indican algunas relaciones entre cuerdas y arcos y
se explica como se dibuja la circunferencia que tiene un arco dado. En las siguientes
proposiciones se comparan las cuerdas y los segmentos de dos c´rculos diferentes.
ı
En la 30 se explica c´ mo hacer la bisecci´ n de un arco y en las ultimas proposiciones
o o ´
se estudia la potencia de un punto respecto a una circunferencia.
Como Euclides acepta los angulos mixtil´neos, se ve obligado a considerar
´ ı
angulos que son m´ s peque˜ os que cualquier angulo agudo, sin ser cero, o mayores
´ a n ´
a cualquier angulo agudo, sin llegar a ser rectos. As´ en la proposici´ n 16 se afirma:
´ ı o
“Si en la extremidad de un di´ metro se levanta una perpendicular, tocar´ esta all´
a a ı
el c´rculo, quedando toda fuera de el; y entre ella, y la circunferencia otra cualquiera
ı ´
recta que se tirare, prolongada, entrar´ en el c´rculo; el angulo de medio circulo,
a ı ´
es mayor que cualquier angulo rectil´neo, y el restante menos.” Este “´ ngulo de
´ ı a
un semic´rculo” y el angulo mixto entre la tangente y el arco, llamado “´ ngulo de
ı ´ a
contingencia” o “´ ngulo en cuerno”, s´ lo los utiliza Euclides en esta proposici´ n. Su
a o o
empleo caus´ pol´ micas desde la antig¨ edad. Proclo los aceptaba como verdaderos
o e u
angulos, pero parece que no todo el mundo en Grecia lo hac´a. Los matem´ ticos de la
´ ı a
Antig¨ edad se dieron cuenta que es dif´cil considerar esos angulos como magnitudes
u ı ´
porque no se pueden ordenar, bisecar, o medir con facilidad. En el Renacimiento se
enfrentaron dos posturas claras. Una, encabezada por Pelletier, dec´a que no eran
ı
angulos. La otra, dirigida por el jesuita Clavius, pretend´a que s´ lo eran, aunque no
´ ı ı
lo fueran de la misma manera que los rectil´neos. Pelletier afirmaba que no se puede
ı
decir que una tangente tiene una inclinaci´ n con la curva que toca, porque para tener
o
un angulo debe haber un corte. Clavius dec´a que los angulos de contacto se pueden
´ ı ´
dividir o superponer, aunque aceptaba que carec´an de la propiedad arquimedeana.
ı
La discusi´ n acab´ a finales del siglo XVII cuando Wallis explic´ que lo que variaba
o o o
en los razonamientos de Clavius no era la magnitud del angulo mixto sino la curvatura
´
en el punto de contacto del lado curvil´neo.
ı

16. 66 Los elementos de Euclides
Libro IV
Este libro comienza con siete definiciones sobre figuras inscritas y circunscritas en
un c´rculo. Las proposiciones que tiene son diecis´ is. En la primera se explica como
ı e
inscribir un segmento en un c´rculo. Desde la segunda hasta la quinta se expone
ı
la manera de inscribir y circunscribir tri´ ngulos en c´rculos y viceversa. Desde la
a ı
sexta hasta la novena se estudia lo mismo, pero con cuadrados. En la proposici´ n o
d´ cima se explica como se construye un tri´ ngulo is´ sceles inscrito en un c´rculo
e a o ı
en el que los dos angulos iguales valgan el doble del desigual. Este tri´ ngulo se
´ a
necesita para inscribir y circunscribir pent´ gonos en c´rculos y viceversa, cuesti´ n a
a ı o
la que se dedican las proposiciones 11, 12, 13 y 14. En la proposici´ n 15 se trata de
o
la forma de inscribir un hex´ gono en un c´rculo y en la ultima proposici´ n se indica
a ı ´ o
la forma de inscribir un pentadec´ gono regular en un c´rculo.
a ı
Este libro es m´ s sencillo que los anteriores. En el Euclides describe como
a ´
se pueden construir pol´gonos regulares de 3, 4, 5, 6 y 15 lados. Aunque no lo
ı
mencione, a partir de esos pol´gonos son f´ ciles de dibujar los de 8, 10, 12, o 16
ı a ´
lados, ya que bastar´a con trazar las bisectrices de los angulos centrales de las figuras
ı ´
halladas. Faltan los pol´gonos regulares de 7, 9, 11, 13, 17, 19 etc. lados y los que se
ı
obtendr´an por bisecci´ n del angulo central a partir de ellos. Euclides nada dice de
ı o ´
esas figuras, pero ahora se sabe que esos pol´gonos no se pueden construir con regla
ı
y comp´ s. S´ lo hay una excepci´ n que encontr´ Gauss en 1796. Este matem´ tico
a o o o a
demostr´ que unicamente se pueden construir con regla y comp´ s los pol´gonos de
o ´ a ı
un n´ mero n impar de lados cuando los factores primos de n son n´ meros primos
u u
de Fermat diferentes. Es decir primos de la forma4 Fk = 22 + 1. En consecuencia
k
Euclides indica en este libro la forma de dibujar con regla y comp´ s todos los
a
pol´gonos regulares de 15 o menos lados para los que eso es posible. No explica la
ı
forma de trazar el pol´gono de 17 lados, (24 + 1), que Gauss demostr´ que se pod´a
ı o ı
dibujar tambi´ n con regla y comp´ s, pero no parece un fallo grave.
e a
Libro V
En el libro V se introduce la proporcionalidad entre segmentos, cuesti´ n necesaria
o
para poder definir figuras semejantes. En los libros anteriores s´ lo se discute sobre
o
figuras iguales mayores o menores. A partir de este libro se puede estudiar la
semejanza.
Las definiciones son 18. De ellas las m´ s interesantes son la cuarta y la quinta.
a
4
Como el 3 = 21 + 1, el 5 = 22 + 1 o el 257 = 28 + 1

17. Un Paseo por la Geometr´ 2002/2003
ıa 67
En la cuarta se indican las condiciones que deben cumplirse para que se pueda definir
una raz´ n entre dos magnitudes:
o
“4. Se dice que guardan raz´ n entre s´ dos magnitudes que al multiplicarse,
o ı
pueden exceder una a otra” [Puertas, 1994, v. II, p. 10].
Es decir, se pide que las magnitudes que se comparen sean del mismo tipo y se
excluyen las cantidades infinitas o infinitesimales. Pero no se exige que tengan una
unidad de medida com´ n por lo que pueden ser magnitudes inconmensurables. O
u
sea se aceptan las fracciones irracionales.
La definici´ n m´ s importante es la quinta, en la que se precisa la igualdad entre
o a
estas razones:
“5. Se dice que una primera magnitud guarda la misma raz´ n con una segunda
o
que una tercera con una cuarta, cuando cualesquiera equim´ ltiplos de la primera/ y
u
la tercera excedan a la par, sean iguales a la par o resulten inferiores a la par, que
cualesquiera equim´ ltiplos de la segunda y la cuarta respectivamente y tomados en
u
el orden correspondiente” [Puertas, 1994, v. II, p. 11/12].
La menci´ n a “cualesquiera equim´ ltiplos” hace que esta definici´ n sea equi-
o u o
valente a las que determinan una fracci´ n real como el l´mite de sucesiones con-
o ı
vergentes de fracciones racionales. Pero el inconveniente de este enunciado es que
resulta dif´cil de aplicar en la pr´ ctica. Por eso en muchas versiones antiguas de
ı a
los Elementos, aunque incluyen esta definici´ n, en las proposiciones del libro V se
o
limitan a probar las propiedades enunciadas para fracciones racionales.
La definici´ n de desigualdad entre razones tiene una redacci´ n parecida a la de
o o
igualdad. Tambi´ n se define en este libro lo que es antecedente y consecuente y
e
se dan distintos nombres a las igualdades entre razones que se obtienen a partir de
una dada cambiando antecedentes, o consecuentes. Seg´ n la forma de hacerlo a esa
u
operaci´ n se le llama alternancia, inversi´ n, composici´ n, separaci´ n, o conversi´ n.
o o o o o
Las proposiciones del libro V son 24 y generalizan las propiedades de las frac-
ciones num´ ricas, que se estudian en el libro VII, a cualquier tipo de razones. Las
e
seis primeras tratan de razones en las que antecedente y consecuente tienen una
unidad de medida com´ n, por lo que las demostraciones son sencillas.
u
En las proposiciones siguientes, desde la s´ ptima hasta la d´ cima se estudia
e e
como var´a la relaci´ n de igualdad y desigualdad entre dos razones cuando tienen
ı o
los antecedentes o consecuentes iguales. En la verificaci´ n de estas proposiciones,
o

18. 68 Los elementos de Euclides
que ya no se limitan al caso de magnitudes conmensurables, se necesita utilizar la
definici´ n quinta, por lo que sus demostraciones resultan m´ s complicadas. Las
o a
proposiciones 11 y 13 demuestran la transitividad de la igualdad y de la desigual-
dad de razones. En las 12 y 15 se relacionan varias razones con la suma de sus
antecedentes y de sus consecuentes o con sus m´ ltiplos. En la proposici´ n 14 se
u o
demuestra que si los consecuentes son iguales a mayor antecedente le corresponde
mayor raz´ n.
o
En las proposiciones que van desde la 16 hasta la 19 se demuestra que si dos
razones son iguales las que se obtienen a partir de ellas “separando”, “alternando”,
“invirtiendo” o “componiendo” tambi´ n lo son. Las proposiciones de la 20 a la 23
e
tratan de la comparaci´ n de dos series de magnitudes.
o
Tanto en los enunciados como en las demostraciones se trabaja con magnitudes
y equim´ ltiplos, nunca se mencionan n´ meros o fracciones. Los dibujos son siem-
u u
pre segmentos, aunque las propiedades sean v´ lidas para todo tipo de magnitudes
a
(segmentos, areas o vol´ menes).
´ u
Libro VI
En el libro VI se estudia la proporcionalidad entre segmentos y la semejanza entre
figuras planas. Contiene tres definiciones en las que se expone lo que son figuras
semejantes, lo que es la altura en una figura y lo que se entiende por dividir un
segmento en media y extrema raz´ n, es decir por divisi´ n aurea.
o o ´
Las primeras proposiciones tratan de la proporcionalidad en tri´ ngulos. La
a
primera dice que dos tri´ ngulos que tienen la misma altura “son entre s´ como sus
a ı
bases”, es decir que su area es proporcional a la longitud de la base. La segunda
´
afirma que trazando una paralela a la base de un tri´ ngulo los segmentos que se
a
determinan en los lados son proporcionales. Esta propiedad se suele dar ahora
en la ense˜ anza elemental como consecuencia del “Teorema de Thales”. En las
n
proposiciones siguientes, desde la cuarta hasta la s´ ptima se estudian los diversos
e
casos de semejanza de tri´ ngulos. En la octava se demuestra que en un tri´ ngulo
a a
rect´ ngulo se cumplen los teoremas de la altura y del cateto.
a
A continuaci´ n se trata de la divisi´ n de una l´nea en partes proporcionales,
o o ı
explic´ ndose como se obtiene la tercera proporcional de dos segmentos y la cuarta
a
proporcional de tres segmentos. Finalmente, en la proposici´ n 13 se indica la forma
o
de encontrar la media proporcional de dos segmentos. A estas proposiciones se les
puede encontrar una interpretaci´ n algebraica sencilla. Hallar el cuarto proporcional,
o

19. Un Paseo por la Geometr´ 2002/2003
ıa 69
por ejemplo, es hacer una regla de tres y la media proporcional es equivalente a
calcular la ra´z cuadrada, ya que si x = x se cumple que x2 = ab es decir que
ı a
√ b
x = a.b.
Pero en esta proposici´ n, como en las dem´ s, el procedimiento propuesto para
o a
hallar la media proporcional, utilizando una semicircunferencia auxiliar, es pura-
mente geom´ trico.
e
La proposici´ n 16 equivale a la conocida propiedad de las fracciones num´ ricas
o e
que dice que si a = d se verifica que a.d = b.c. Pero de nuevo el planteamiento es
c
geom´ trico. Su enunciado es:
e
b
“16 Si cuatro l´neas son proporcionales, el rect´ ngulo hecho de las extremas ser´
ı a a
igual al de las medianas; y si el de estas es igual al de las extremas, las cuatro l´neas
ı
ser´ n proporcionales.”
a
Las proposiciones siguientes, desde la 18 hasta la 23 tratan de la construcci´ n y las
o
propiedades de las figuras semejantes. La 19 por ejemplo dice que:
“19 Los tri´ ngulos semejantes guardan entre s´ la raz´ n duplicada de sus lados
a ı o
correspondientes.” [Puertas, 1994, v. II, p. 83].
En la proposici´ n 25 se estudia la construcci´ n de una figura igual en area a una
o o ´
dada y semejante en su forma a otra conocida.
En las proposiciones 27, 28 y 29 se mencionan propiedades de unos paralelo-
gramos construidos sobre un segmento dado, a los que se les a˜ ade o se les quita
n
otro paralelogramo semejante a uno conocido. Los enunciados resultan bastante
enrevesados y su utilidad no es evidente. Pero si se plantean como problemas alge-
braicos, se observa que los segmentos pedidos en las proposiciones 28 y 29 son las
soluciones de ecuaciones del tipo: ax − bx2 = c y ax + bx2 = c.
Estas proposiciones junto con la VI.13, la II.14 y las I.43, I.44 y I.45 permiten
resolver “geom´ tricamente” las ecuaciones de 2o grado.
e
En la proposici´ n 30 se explica como “dividir una recta finita dada en media y
o
extrema raz´ n”, es decir c´ mo hallar la raz´ n aurea.
o o o ´
La proposici´ n 31 es una generalizaci´ n del teorema de Pit´ goras en la que se
o o a
dibujan sobre los lados paralelogramos semejantes.

20. 70 Los elementos de Euclides
Libro VII
Los libros VII, VIII y IX de los Elementos est´ n dedicados a la aritm´ tica. En el
a e
primero de ellos se encuentran las 22 definiciones que Euclides propone en esta
materia. En dichas definiciones se introducen los conceptos de unidad y n´ mero.
u
Se explica cuando un n´ mero es parte (divisor) o partes (no divisor) de otro. Se
u
definen los n´ meros pares e impares, junto con otros n´ meros, como los parmente
u u
par, imparmente par, o imparmente impar, que ahora est´ n en desuso. Tambi´ n
a e
se informa de lo que son los n´ meros primos y compuestos. Se expone lo que
u
es multiplicar un n´ mero por otro y, partiendo de la idea de producto, se definen
u
los n´ meros planos, cuadrados, s´ lidos y cubos. Se terminan con la definici´ n de
u o o
n´ mero perfecto, que “es el que es igual a sus propias partes ”.
u 5
Es interesante la diferencia que se observa entre la definici´ n de unidad y n´ mero:
o u
1. Una unidad es aquello en virtud de lo cual cada una de las cosas que hay es
llamada una.
2. Un numero es una pluralidad compuesta de unidades.
Esta diferenciaci´ n era habitual en la Grecia cl´ sica. Para los pitag´ ricos la
o a o
unidad era la frontera entre los n´ meros y las partes y para Arist´ teles era una
u o
cantidad indivisible. En general para los griegos el uno era diferente a los dem´ sa
n´ meros.
u
Euclides no incluy´ postulados ni axiomas en este libro. Sin embargo, hubiera
o
sido normal incluir algunas peticiones espec´ficas de la aritm´ tica, como por ejemplo:
ı e
La sucesi´ n de n´ meros comienza en uno pero se puede aumentar indefinida-
o u
mente.
Si A divide a B y B divide a C, A divide a C.
En cuanto a las proposiciones, desde la 1 hasta la 3 se explica la manera de hallar
el m´ ximo com´ n divisor de dos o m´ s n´ meros. El m´ todo que se propone en la
a u a u e
proposici´ n 2 es el que todav´a se llama “de Euclides”.
o ı
Las siguientes proposiciones hasta la 19 exponen propiedades de la proporcio-
nalidad num´ rica y son bastante parecidas a las que se incluyen en el libro V para
e
las razones de segmentos. Por ejemplo la 19 dice que
5
Por ejemplo es perfecto el 6, al que dividen el 1, el 2 y el 3, adem´s del mismo 6, y
a
resulta que 1+2+3=6.

21. Un Paseo por la Geometr´ 2002/2003
ıa 71
“19. Si cuatro n´ meros son proporcionales el producto del primero y el cuarto
u
ser´ igual al del segundo y el tercero; y si el producto del primero y el cuarto es igual
a
al producto del segundo y el tercero, los cuatro n´ meros ser´ n proporcionales.”
u a
En las proposiciones siguientes se estudian los n´ meros primos y compuestos.
u
Esta serie de proposiciones acaban con la 32 que dice que “Todo n´ mero o es primo
u
o es medido por alg´ n n´ mero primo”. En las ultimas proposiciones se determina
u u ´
la forma de hallar el m´nimo com´ n m´ ltiplo de varios n´ meros, terminando con:
ı u u u
“Proposici´ n 39 Hallar un n´ mero que sea el menor que tenga unas partes dadas”
o u
[Puertas, 1994, v. II, p. 162].
Libro VIII
Este libro contiene 27 proposiciones que tratan mayoritariamente de n´ meros en
u
“proporci´ n continua”, es decir de cantidades en progresi´ n geom´ trica. En las
o o e
primeras proposiciones se estudian las progresiones que tiene de t´ rmino general un
e
n´ mero de la forma an bm y cuya raz´ n es igual a a . En las proposiciones 8, 9 y 10 se
u o
indica la forma de interpolar entre dos n´ meros dados varios medios en progresi´ n
u o
b
geom´ trica. En la siguiente se demuestra que entre dos n´ meros cuadrados s´ lo
e u o
se puede hallar un medio proporcional y que la raz´ n entre cuadrados es duplicada
o
a la que hay entre los lados. La proposici´ n 12 es similar pero est´ referida a
o a
los cubos. A continuaci´ n, hasta la proposici´ n 23, se indican propiedades de
o o
progresiones en las que los n´ meros son planos, cuadrados, s´ lidos o cubos. En las
u o
ultimas proposiciones del libro se explica que cuando la raz´ n entre dos n´ meros es
´ o u
igual a la raz´ n entre dos cuadrados si uno es cuadrado el otro tambi´ n debe serlo.
o e
Finalmente, se demuestra la misma propiedad con cubos y con n´ meros planos.
u
Libro IX
En este libro se comienza estudiando los n´ meros planos y s´ lidos, y las propiedades
u o
que tienen sus productos. Por ejemplo, la proposici´ n 4 afirma que si un n´ mero
o u
cubo se multiplica por otro cubo el producto ser´ tambi´ n un cubo. A partir de
a e
la proposici´ n octava se estudian progresiones geom´ tricas que comienzan en la
o e
unidad, demostr´ ndose en la decimocuarta que la descomposici´ n de un n´ mero en
a o u
factores primos es unica:
´
“14. Si un n´ mero es el menor medido por n´ meros primos no ser´ medido por
u u a
ning´ n otro n´ mero primo fuera de los que le med´an desde el principio.”
u u ı

22. 72 Los elementos de Euclides
En las proposiciones siguientes se discurre sobre cuando se puede encontrar el
tercero o el cuarto proporcional entre unos n´ meros. La proposici´ n 20 dice que
u o
“hay m´ s n´ meros primos que cualquier cantidad propuesta de n´ meros primos”.
a u u
La manera de probarlo que propone Euclides es la misma que aparece todav´a enı
los libros de aritm´ tica.
e
Desde la proposici´ n 21 hasta la 34 se discute sobre la suma, resta, multiplicaci´ n
o o
o divisi´ n de n´ meros pares o impares, sobre sus mitades y sus dobles. En la
o u
proposici´ n 35 se indica la forma de hallar la suma de los t´ rminos de una progresi´ n
o e o
geom´ trica:
e
“35 Si tantos n´ meros como se quiera son continuamente proporcionales, y se
u
quitan del segundo y del ultimo n´ meros iguales al primero, entonces el exceso del
´ u
segundo es al primero, as´ el exceso del ultimo ser´ n a todos los anteriores.”
ı ´ a
Pese a que la forma de expresarlo no es la que actualmente se utiliza el resultado
es el correcto. La proposici´ n afirma que a2a1 1 = aSn−11 , es decir que Sn−1 = an−a1 ,
o −a n −a
a2
−a1
expresi´ n que poni´ ndola en funci´ n de la raz´ n es Sn−1 = a1r−1 .
o e o o r n −1
La proposici´ n 36 es famosa porque en ella se explica como se pueden obtener
o
los n´ meros perfectos:
u
“Si tantos n´ meros como se quiera a partir de una unidad se disponen en pro-
u
porci´ n duplicada hasta que su suma total sea un n´ mero primo y este total se
o u
multiplica por el ultimo el producto ser´ un n´ mero perfecto.”
´ a u
En todos estos libros aritm´ ticos los n´ meros se representan como segmentos,
e u
aunque se discuta sobre n´ meros planos, cuadrados o cubos. En la redacci´ n original
u o
no se inclu´an ejemplos con n´ meros, pero en muchas versiones se explican los
ı u
resultados con unos valores num´ ricos. El m´ todo utilizado por Euclides en sus
e e
demostraciones sigue teniendo el rigor de la parte dedicada a la geometr´a plana.
ı
Pero la aritm´ tica en los Elementos no tiene una estructura axiom´ tica como la
e a
geometr´a. Adem´ s no tuvo la misma utilidad para las matem´ ticas aplicadas que
ı a a
la parte dedicada a la geometr´a. No es extra˜ o, por lo tanto, que estos libros se
ı n
tradujeran menos a las lenguas vern´ culas o que en el Renacimiento se publicaran en
a
Europa muchos libros de aritm´ tica que no segu´an el desarrollo de los Elementos.
e ı
Esos manuales eran obras m´ s pr´ cticas, en las que se daba importancia a temas
a a
como la escritura simb´ lica de los n´ meros, las operaciones o las aplicaciones de la
o u
regla de tres al comercio que no aparecen en el texto de Euclides.
Se cree que se escribieron tambi´ n algunos textos de Elementos de Aritm´ tica en
e e

23. Un Paseo por la Geometr´ 2002/2003
ıa 73
Grecia, pero desgraciadamente se han perdido. Probablemente tampoco inclu´an una
ı
parte pr´ ctica, porque las matem´ ticas aplicadas en Grecia se consideraban propias
a a
de mercaderes y no de matem´ ticos, es decir de fil´ sofos amantes de la sabidur´a.
a o ı
Libro X
En el libro d´ cimo se estudian las magnitudes inconmensurables entre s´. Comienza
e ı
con cuatro definiciones en las que se explica lo que son los segmentos conmensu-
rables e inconmensurables, es decir racionales e irracionales. Tambi´ n se definen
e
cantidades “conmensurables en cuadrado” que son las que si se elevan al cuadrado
tienen una medida com´ n.u
Con 115 proposiciones este es el m´ s extenso de todos los libros de los Elementos.
´ a
Pero la mayor parte de sus proposiciones no tienen actualmente mayor inter´ s. Hoy
e
en d´a se conocen procedimientos mejores que los desarrollados en este libro para
ı
trabajar con n´ meros irracionales. La proposici´ n m´ s interesante es la primera que
u o a
afirma:
“1. Dadas dos magnitudes desiguales, si de la mayor se resta una magnitud
mayor que su mitad y de lo que queda otra magnitud mayor que su mitad y se
repite continuamente este proceso, quedar´ una magnitud menor que la menor de
a
las magnitudes dadas.”
Junto a la definici´ n V.4, esta proposici´ n indica que las magnitudes que estudia
o o
Euclides tienen una estructura arquimedeana. Adem´ s esta propiedad se necesita
a
en el libro XII para demostrar las proposiciones sobre areas y vol´ menes.
´ u
En la proposici´ n segunda se dice que dos cantidades son inconmensurables si al
o
tratar de hallar su m´ ximo com´ n divisor, por el proceso que se ha descrito en el libro
a u
VII, el algoritmo no tiene fin. Las proposiciones siguientes, hasta la 17 tratan de
propiedades generales de magnitudes conmensurables e inconmensurables. Desde
la proposici´ n 17 hasta la 21 se estudian las relaciones que hay entre la conmen-
o
surabilidad de los lados y la de los cuadrados o rect´ ngulos dibujados sobre ellos.
a
En la proposici´ n 21 se comienza el estudio de distintos tipos de irracionales con
o
la introducci´ n del segmento llamado “medial”, que es la media proporcional entre
o
dos segmentos conmensurables en cuadrado. Es decir, un medial es un irracional
√ √
de la forma aa b o a 4 b, con a y b fracciones num´ ricas. Las proposiciones
´ e
siguientes hasta la 35 relacionan los mediales con l´neas o rect´ ngulos y estudian
ı a
cuando son conmensurables en potencia. De la proposici´ n 36 en adelante se estu-
o

24. 74 Los elementos de Euclides
√ √
dian cantidades irracionales del tipo a + b, donde a y b son conmensurables.
Se llegan a definir hasta doce categor´as diferentes de irracionales de esta clase,
ı
llamados binomiales. Las proposiciones sobre binomial van desde la 36 hasta la
72 y a esas cantidades se les dedica tambi´ n seis definiciones, que est´ n colocadas
e a
detr´ s de la proposici´ n 47.
a o
√ √
Las expresiones similares, pero con una resta dentro de la ra´z,
ı a − b, se
les llama ap´ tomas y a ellas se dedican las proposiciones que van desde la 73 hasta
o
110. Tambi´ n hay seis definiciones sobre ap´ tomas que se encuentran detr´ s de la
e o a
proposici´ n 84.
o
La utilidad del estudio de estas propiedades y de estos n´ meros irracionales no
u
es evidente. Se cree que deb´an servir para la resoluci´ n de ecuaciones de segundo
ı o
grado o de ecuaciones bicuadradas, por m´ todos geom´ tricos. Pero la unica vez
e e ´
que se utilizan en los Elementos es en el libro XIII para encontrar los lados de
los poliedros regulares inscritos o circunscritos en una esfera. Las ap´ tomas, por
o
ejemplo, se utilizan en la proposici´ n XIII.17.
o
Este libro resulta dif´cil de estudiar. Por su complejidad y por la falta de apli-
ı
caciones claras el matem´ tico e ingeniero flamenco Simon Stevin (1548-1620) dijo
a
de el que : “La difficult´ du dixiesme Livre d’Euclide est a plusieurs devenue en
´ e `
horreur, voire jusque a l’appeler la croix des math´ maticiens, mati` re trop dure a
` e e `
digerer, et en la quelle n’aper¸ oivent aucune utilit´ ”. Desde entonces a este libro se
c e
le llama “la cruz de los matem´ ticos”.
a
Libro XI
Los tres libros restantes, XI, XII y XIII, de los Elementos est´ n dedicados a la
a
geometr´a del espacio. Sus definiciones van agrupadas al comienzo del libro XI.
ı
Son 28 en total y en ellas se precisan objetos y relaciones habituales de la geometr´a
ı
del espacio, como rectas y planos; paralelismo y perpendicularidad; angulos diedros
´
y poliedros; pir´ mide, prisma, esfera, cono, cilindro, cubo, octaedro, icosaedro y
a
dodecaedro.
Es interesante observar que en esta parte no le importa al autor utilizar el
movimiento en las definiciones. Por ejemplo de la esfera dice que:
“14. Cuando el di´ metro de un semic´rculo permanece fijo y el semic´rculo gira
a ı ı
hasta volver a la posici´ n de la que empez´ a girar, la figura formada es una esfera”
o o

25. Un Paseo por la Geometr´ 2002/2003
ıa 75
[Vera, 1970, v. I, p. 919]
Es posible que estas definiciones est´ n tomadas de alg´ n libro anterior y que
e u
Euclides no las corrigiera con tanto rigor como las del primer libro. Eso podr´a ı
explicar tambi´ n que se defina una divisi´ n de los conos en rectos, obtus´ ngulos y
e o a
acut´ ngulos, que luego no se usa.
a
En las primeras proposiciones se demuestra que una recta no puede tener seg-
mentos en dos planos paralelos y que dos rectas que se cortan determinan un plano.
En la tercera se afirma que dos planos que se cortan definen una recta. A continuaci´ n
o
van varias proposiciones dedicadas a estudiar el paralelismo y la perpendicularidad
entre rectas, entre rectas y planos, y entre planos. Desde la proposici´ n 20 hasta
o
la 26 se estudian los angulos s´ lidos y desde la proposici´ n 27 hasta la ultima los
´ o o ´
paralelep´pedos y los prismas. La proposici´ n 34, por ejemplo, afirma que si dos
ı o
paralelep´pedos son iguales, es decir tienen el mismo volumen, sus bases son inver-
ı
samente proporcionales a sus alturas. De estas ultimas proposiciones varias sirven
´
para preparar los lemas que aparecen en el Libro XII.
Libro XII
El Libro XII est´ dedicado a la obtenci´ n del area del c´rculo y los vol´ menes de
a o ´ ı u
los s´ lidos m´ s corrientes. Las proposiciones 1 y 2 sirven para demostrar que los
o a
c´rculos son proporcionales al cuadrado de sus di´ metros. En las 3, 4 y 5 se demuestra
ı a
que las pir´ mides de igual altura y base triangular tiene el volumen proporcional
a
a sus bases. En las proposiciones que van desde la 6 hasta la 9 se relacionan los
vol´ menes de los prismas y de las pir´ mides. La proposici´ n 10 muestra que el
u a o
volumen de un cono es un tercio del de un cilindro que tiene la misma base y altura.
En las proposiciones siguientes, hasta la 16, se estudia la relaci´ n entre el volumen
o
y las bases o las alturas en los conos y en los cilindros. En la proposici´ n 18 se da
o
el volumen de una esfera:
“18. Las esferas son entre s´ como las razones triplicadas de sus di´ metros”
ı a
[Vera, 1970, v. I, p. 958].
Como se puede ver la forma de introducir las areas y los vol´ menes en Los
´ u
Elementos es diferente a la que se usa actualmente. No se indica una f´ rmula para
o
el volumen, como V = 3 πR , sino que se determina la proporcionalidad entre las
4 3
magnitudes que intervienen.
La dificultad principal de este libro est´ en las demostraciones. Actualmente
a

26. 76 Los elementos de Euclides
las areas y los vol´ menes se hallan por medio de integrales. Pero eso supone saber
´ u
trabajar con m´ todos infinitesimales. En la antigua Grecia no se ten´a una definici´ n
e ı o
rigurosa de l´mite y las demostraciones que empleaban infinit´ simos no se aceptaban
ı e
por basarse en conceptos imprecisos. Se conoc´a, sin embargo, un procedimiento
ı
que permit´a demostrar con rigor el volumen o el area de una figura curvil´nea si
ı ´ ı
se sab´a de antemano el resultado. A ese m´ todo, que es un caso particular del de
ı e
reducci´ n al absurdo, se le llama “m´ todo de exhausci´ n”.
o e o
Supongamos, por ejemplo, que se quiera demostrar que el area de un c´rculo
´ ı
es proporcional a su di´ metro al cuadrado, proposici´ n XII.2. Se sabe por la
a o
proposici´ n anterior que las areas de los pol´gonos regulares inscritos en un c´rculo
o ´ ı ı
cumplen esa propiedad. Para demostrar que esa proporcionalidad la cumplen
tambi´ n las esferas se supone que no es cierto, es decir se da por bueno que:
e
d2 areaP
´ areaC
´
= = [1]
d 2 areaP
´ S
donde S = area de C . En primer lugar se considera que S es menor que el area
´ ´
del c´rculo C . Se observa que si se inscriben en un c´rculo primero cuadrados,
ı ı
luego oct´ gonos, y se contin´ a duplicando el n´ mero de lados de los pol´gonos,
o u u ı
el area comprendida entre el pol´gono y el c´rculo se va reduciendo en m´ s de la
´ ı ı a
mitad en cada paso. Por la proposici´ n X.1, se sabe que continuando el proceso
o
esa diferencia puede ser menor a cualquier cantidad dada y en particular menor que
area de C − S. Supongamos que eso comience a suceder para el pol´gono Pi . Eso
´ ı
implicar´a que para ese pol´gono area de Pi > S. Pero si en la igualdad de razones
ı ı ´
[1] el denominador de la segunda fracci´ n es mayor que el de la tercera el numerador
o
tambi´ n lo debe ser para que las fracciones sean iguales. Por lo tanto area de Pi >
e ´
area de C. El pol´gono inscrito tiene un area mayor a la del c´rculo en el que se
´ ı ´ ı
inscribe, lo que es absurdo. Luego S no puede ser menor. Con un razonamiento
parecido se demuestra que S no puede ser mayor que el area de C , y se concluye
´
que las areas de los c´rculos deben ser proporcionales a sus di´ metros al cuadrado
´ ı a
pues cualquier otra posibilidad es absurda.
Las demostraciones por el m´ todo de exhausci´ n son siempre largas. Adem´ s,
e o a
es necesario conocer con antelaci´ n la dependencia buscada. Pero, utilizando ese
o
procedimiento en las proposiciones 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 16, 17 y 18, Euclides logra
demostrar con rigor el area del c´rculo y el volumen de pir´ mides, conos, cilindros
´ ı a
y esferas.

27. Un Paseo por la Geometr´ 2002/2003
ıa 77
Libro XIII
El objetivo del libro XIII es la construcci´ n de los cinco s´ lidos regulares. Consta
o o
de 18 proposiciones. Se comienza con seis proposiciones que estudian cuestiones
sobre l´neas cortadas en media y extrema raz´ n. En la s´ ptima se examinan los
ı o e
pent´ gonos equiangulares. En la proposici´ n octava se afirma que las diagonales
a o
de un pent´ gono se cortan en la raz´ n aurea. Desde la proposici´ n novena hasta
a o ´ o
a la duod´ cima se halla la raz´ n entre los lados de los pent´ gonos, hex´ gonos y
e o a a
dec´ gonos regulares inscritos en una misma circunferencia y tambi´ n la raz´ n entre
a e o
el di´ metro de esa circunferencia y dichos lados.
a
Los problemas planos que se resuelven en estas primeras proposiciones sirven de
base a las construcciones posteriores. Finalmente, en la proposici´ n 13 se muestra
o
como inscribir un tetraedro en una esfera, en la siguiente un octaedro, en la 15 un
cubo, en la 16 un icosaedro, y en la 17 un dodecaedro. La ultima proposici´ n est´
´ o a
dedicada a comparar entre s´ los lados de las cinco figuras regulares y en ella se
ı
demuestra que no hay m´ s s´ lidos regulares que esos cinco.
a o
Algunos autores han afirmado que Euclides era partidario de la filosof´a de ı
Plat´ n y que escribi´ Elementos para ense˜ ar como se construyen los cinco s´ lidos
o o n o
plat´ nicos. Es posible que estuviera influido por esa escuela filos´ fica, pero no
o o
es justo decir que los Elementos se redactaron para hallar esos cuerpos regulares.
La mayor parte de las materias que se tratan en esta obra nada tienen que ver con
esos s´ lidos. Por los temas que se estudian y por la forma en que se analizan los
o
Elementos son un tratado de matem´ ticas, que toca muchas materias fundamentales
a
de geometr´a y de aritm´ tica, con una precisi´ n y una claridad inesperadas en una
ı e o
obra escrita hace 2300 a˜ os. Este ultimo cap´tulo no parece tener un peso especial
n ´ ı
en el conjunto de la obra.
4.3 Transmisi´ n, tutor´a y origen de los elementos
o ı
Los Elementos son un texto valioso de geometr´a, pero lo que hace que sea una obra
ı
admirable es la antig¨ edad que tiene. Por eso es conveniente explicar por qu´ se
u e
puede estar seguro de que el texto que ahora se atribuye a Euclides coincide con lo
que un matem´ tico del siglo III a. de C. escribi´ .
a o
Desgraciadamente los libros en la epoca de Euclides se sol´an escribir en unas
´ ı
l´ minas obtenidas a partir de las hojas de los papiros. Esa materia aguanta bien
a
en climas calurosos y secos, pero en climas fr´os o h´ medos se descompone con
ı u