ARITMÉTICA 6 Y 7

1. HISTORIA DE LOS NÚMEROS RACIONALES.
FRACCIONARIOS.
FRACCIONES EQUIVALENTES.
AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES.
ORDEN DE LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS.
SUMA Y RESTA DE NÚMEROS FRACCIONARIOS.
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE NÚMEROS FRACCIONARIOS.
NÚMEROS DECIMALES.
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONARIOS.
DIVISIÓN DE FRACCIONARIOS.
COMPONENTES DE LOS NÚMEROS DECIMALES.
DIVISIÓN EN POTENCIAS DE 10.
VALOR POSICIONAL.

2. ORDEN DE LOS NÚMEROS DECIMALES.
DIVISIÓN EN POTENCIAS DE 10.
DECIMALES INFINITOS PERIÓDICOS.
CONVERSIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓN Y VICEVERSA.
SUMA Y RESTA DE NÚMEROS DECIMALES.
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES.
DIVISIÓN DE ENTEROS CON RESULTADO DECIMAL.
DIVISIÓN DE DOS NÚMEROS DECIMALES.

3. HISTORIA DE LOS NÚMEROS RACIONALES (Q)
Los babilónicos utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60, mientras que los egipcios usaron, sobre todo, las fracciones con numerador igual a 1.
En la escritura, la fracción la expresaban con un óvalo, que significaba parte o partido, y debajo, o al lado, ponían el denominador; el numerador no se ponía por ser siempre 1.
Los griegos y romanos usaron también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la época medieval.
En el siglo XIII, Leonardo de Pisa, llamado Fibonacci, famoso, entre otras cosas por la serie de Fibonacci, introdujo en Europa la barra horizontal para separar numerador y denominador en las fracciones.
A principios del siglo XV, el árabe Al Kashi fue el que generalizó el uso de los números decimales tal y como los conocemos hoy.
A finales del siglo XVI, Simon Stevin desarrolló y divulgó las fracciones decimales que se expresaban por medio de números decimales: décimas, centésimas, milésimas, etc., pero los escribía de una forma complicada; así para 456, 765 escribía 456 (0) 7(1) 6(2) 5(3).
A principios del siglo XVII, los números decimales ya aparecieron tal y como los escribimos hoy, separando con un punto o una coma la parte entera de la parte decimal.
Los números decimales se impusieron, en casi todos los países, al adoptarse el Sistema Métrico Decimal, en el siglo XVIII,

4. concretamente en 1792. (Definición tomada de : http://marysoler.galeon.com/nenteros.htm)
Este conjunto de los números se pueden expresar como el cociente de dos números enteros. 푎 푏 ,푏≠0
Donde “a” es el numerador y “b” el denominador. Los números racionales están compuestos por:
● Enteros.
● Fraccionarios.
● Decimales finitos.
● Decimales infinitos periódicos puros y mixtos.

5. FRACCIONARIOS
Los componentes de una fracción son: el numerador, denominador y línea divisora. 푎 푏
CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES
Fracción propia: Es aquella donde el numerador es menor que el denominador.
45 Es propia por que 4<5
Fracción impropia: Es aquella donde el numerador es mayor que el denominador.
73 Es propia por que 7>3
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Los fraccionarios se pueden representar por medio de esquemas o en la recta numérica, el denominador nos indica las partes en que se debe partir la unidad el numerador nos indica las partes que se toman después de partirse la unidad.
Numerador
Denominador
Línea Divisora

6. El numerador son las veces que pintamos o nos desplazamos, y el denominador las veces en que dividimos la unidad.
FRACCIONES EQUIVALENTES
Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad.
Una forma de saber si dos fracciones son equivalentes es multiplicar en cruz de la siguiente manera:
67
56
56
2024

7. Para facilitar las operaciones con los números fraccionarios se utiliza la amplificación y la simplificación.
AMPLIFICACIÓN
Consiste en multiplicar el numerador y denominador por un mismo número de tal manera que se encuentre otra fracción equivalente.
SIMPLIFICACIÓN
Consiste en dividir el numerador y denominador por un mismo número de tal manera que se encuentre otra fracción equivalente. En muchas ocasiones hay que simplificar fraccionarios para facilitar las operaciones y esto se logra hallando el máximo común divisor entre el numerador y denominador.
Ejemplo: simplificar al máximo la siguiente fracción.

8. Luego dividimos arriba y abajo por el máximo común divisor.
ORDEN DE LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS
Para determinar si una fracción es menor o mayor que otra se debe tener en cuenta lo siguiente:
Igual denominador: Es menor el que tiene menor numerador.
54< 74 Por que 5<7.

9. Igual Numerador: Es menor el que tiene mayor numerador.
76< 74 Por que 4<6.
Numeradores y denominadores distintos: se deben volver homogéneos amplificándolos.

10. SUMA Y RESTA DE NÚMEROS FRACCIONARIOS
Para sumar fraccionarios se debe tener en cuenta si las fracciones son homogéneas (que tienen el mismo denominador) o heterogéneas (que tienen diferente denominador).
Homogéneas:
Cuando dos fracciones son homogéneas, se suman y se deja el mismo denominador, ejemplo:
36+ 76= 3+76= 116
Heterogéneas:
Cuando dos fracciones son heterogéneas se amplifican de tal manera que las fracciones se vuelvan homogéneas y se hace el proceso anterior, Ejemplo:
32− 25= 3(5) 2(5) − 2(2) 5(2) = 1510− 410= 15−410= 1110

11. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONARIOS
Para multiplicar fracciones se multiplican numeradores y denominadores entre sí.
Hay dos formas de resolver una multiplicación de fraccionarios.
Simplificando antes: ( 23)( −65)( 74)=
Se organizan los numeradores y denominadores y como la cantidad de negativos es impar: =− (2)(6)(7) (3)(5)(4)
Se simplifica.

12. =− (2)(6)(7) (3)(5)(4) =− (6)(7) (3)(5)(2) =− (3)(7) (3)(5) =− 75
Simplificando después: ( 23)( −65)( 74)=
Se organizan los numeradores y denominadores y como la cantidad de negativos es impar el resultado es negativo, se simplifica y se multiplica. =− (2)(6)(7) (3)(5)(4) =− 8460=− 4230=− 2115=− 75

13. DIVISIÓN DE NÚMEROS FRACCIONARIOS
Para multiplicar se utiliza la ley de extremos y medios, también conocida como la ley de la oreja.
Se multiplican los extremos generando el numerador y los medios generando el denominador =− (2)(6) (3)(5) =− 1215
Se simplifica la respuesta. =− 1215=− 45

14. POTENCIACIÓN DE NÚMEROS FRACCIONARIOS
La potenciación es un proceso que sale de la multiplicación de un mismo número una cantidad de veces. =( 32) 4=( 32)( 32)( 32)( 32)= 3424
La potenciación cumple con las mismas propiedades de la potenciación de números enteros.
Potencia de una división: Se eleva al numerador y denominador a la misma potencia. ( 푎 푏 ) 푐 = 푎푐 푏푐
División de bases iguales: Se restan los exponentes y se coloca la misma base. 푎푏 푎푐=푎푏−푐

15. RADICACIÓN DE NÚMEROS FRACCIONARIOS
La radicación es una operación inversa a la potenciación, y se puede expresar como una potencia donde el exponente es un fraccionario con denominador diferente de “1”. √푎푏푐 =푎 푏 푐⁄
Las propiedades de la radicación con números fraccionarios son:
Raíz de una división: se coloca la raíz al numerador y al denominador. √ 푎 푏 푐 = √푎푐 √푏푐
División de raíces con bases iguales: se convierte a exponentes fraccionarios y se restan los exponentes. √푎푏푐 √푎푑푒= 푎 푏 푐⁄ 푎푑 푒⁄ =푎( 푏 푐 − 푑 푒)

16. NÚMEROS DECIMALES
Las antiguas civilizaciones no utilizaban las fracciones decimales. Los egipcios se centraron en las fracciones unitarias y los babilonios utilizaban un sistema sexagesimal manejando fracciones cuyos denominadores eran potencias de 60.
Aunque las fracciones decimales y, por tanto, los números decimales eran conocidos y utilizados por árabes y chinos, se atribuye generalmente al científico y matemático belga Simón Stevin (1548- 1620), la introducción de los decimales en el uso común a través de sus obras la Thiende y la Disme.
Stevin no utilizó nuestro actual sistema de notación sino un sistema propio un tanto enrevesado. Así, donde nosotros escribimos 923,456, él lo hacía: 923(0) 4(1) 5(2) 6(3) simbolizando 923 unidades donde el cero sería nuestra coma; 4 décimas, representadas por el número uno; 5 centésimas, representadas por el número dos; 6 milésimas, representadas por el número tres, y así sucesivamente.
Más tarde, el suizo Jobst Bürgi (1552-1632) simplificó esa notación eliminando la mención del orden de las unidades decimales consecutivos y poniendo junto a la cifra de las unidades el signo °. Así, el número 923,456 se escribía como: 923°456.
En lo que respecta a nuestra coma decimal no se popularizó su uso hasta que no fue utilizada por el escocés John Napier (1550-1617).
Actualmente, en los países anglosajones se utiliza un punto para separar la parte entera del decimal. Así el número anterior se representa 923.456, que por otra parte es la notación que nosotros utilizamos en muchas ocasiones, por ejemplo en la calculadora. Se cree que este forma de representar los decimales comenzó en 1616

17. con la traducción de una obra de Napier al inglés realizada por E. Wright. (http://aulastic.com/jluisfb/mate/decimales.pdf)
COMPONENTES DE LOS NÚMEROS DECIMALES
Los componentes de los números decimales son:
Los números decimales son aquellos que salen de la división por potencias de “10”, y se pueden escribir de las siguientes maneras:
DIVISIÓN DE POTENCIAS DE 10
Movemos los espacios desde la última cifra de derecha a izquierda, la misma cantidad que tenga en ceros la potencia de 10 ubicada en el denominador. Ejemplo:

18. Para representar decimales en la recta numérica se dividen la unidad según el valor posicional o denominador en potencias de 10.
EJEMPLO:
Se divide la unidad en “10” y se mueven los espacios según la parte decimal
VALOR POSICIONAL
Cada dígito tiene un valor posicional según la posición que ocupen en el número dado. Ejemplo: ubicar el siguiente número según su valor posicional.

19. ORDEN DE LOS NÚMEROS DECIMALES
Para saber si un número decimal es mayor se pueden presentar varios casos.
 Si tienen diferente signo es mayor el positivo.
 Si tienen el mismo signo y son positivos se deben alinear las comas y comparar dígito por dígito de derecha a izquierda, si son positivos es mayor el que tenga mayor valor posicional y si son negativos es mayor el que tenga menor valor posicional.

20. DECIMALES INFINITOS PERIÓDICOS
Son aquellos que no tienen fin pero tienen un periodo, y el denominador no se puede amplificar obteniendo una potencia de 10, Estos se pueden clasificar en periódicos puros y periódicos mixtos.
PUROS: son aquellos que después de la coma decimal se repite su periodo, y se representa con un arco o línea arriba del periodo.
13=0,3333⋯=0,3̅ 211=0,181818⋯=0,18̅̅̅̅ 323=0,230769230769⋯=0,230769̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
MIXTOS: son aquellos que después de la coma decimal hay un número antes de repetir su periodo, y se representa con un arco o línea arriba del periodo. 16=0,16666⋯=0,16̅ 512=0,416666⋯=0,416̅ 524=0,2083333⋯=0,2083̅

21. CONVERSIÓN DE DECIMALES INFINITOS PERIÓDICOS A FRACCIONARIOS.
PUROS:
EJEMPLO: convertir en forma de fracción 7,32̅̅̅̅
Lo igualamos a “n”.
푛=7,32̅̅̅̅; Ecuación “1”
Se multiplica por “100” a ambos lados de la ecuación, debido a que el periodo es de “2” cifras.
100푛=732,32̅̅̅̅ ; Ecuación “2”
Se resta la ecuación “1” de la ecuación “2”
100푛=732,32̅̅̅̅ 푛=7,32̅̅̅̅
99푛=732; Ecuación “3”
Se despeja la ecuación “3”. 푛= 73299
MIXTOS:

22. EJEMPLO: convertir en forma de fracción: 3,1234̅̅̅̅
Se iguala a “n”.
푛=3,1234̅̅̅̅
Se vuelve puro multiplicando por “100”.
100푛=312,34̅̅̅̅ Ecuación “1”
Se multiplica por “100”a ambos lados de la ecuación, debido a que el periodo es de “2” cifras.
10000푛=31234,34̅̅̅̅ Ecuación “2”
Se resta la ecuación “2” con la ecuación “1”.
9900푛=30922 Ecuación “3”
Se despeja la ecuación “3” 푛= 309229900

23. SUMA DE NÚMEROS DECIMALES
Para sumar decimales, se alinean las comas y se operan colocando el que tenga mayor valor absoluto arriba y aplicando las propiedades de los números enteros.
Ejemplo: 31,54 + 7,2891.
Se alinean las comas y se organiza el que tenga la parte entera más grande arriba sin tener en cuenta los signos (aunque la suma es conmutativa).
Los espacios se reemplazan por ceros, luego se suma o se resta según los signos.

24. RESTA DE NÚMEROS DECIMALES
Para la resta se hace de la misma manera que la suma.
Ejemplo: 73,54 -107,123
Se organiza el que tenga la parte entera más grande arriba sin tener en cuenta los signos.
Los espacios se reemplazan por ceros y se hace la operación, aplicando las propiedades de los enteros
No olvide que en la resta el resultado lleva el signo del mayor.
-33,583

25. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
Para multiplicar decimales se hace de la misma forma que se multiplican los enteros, teniendo en cuenta la cantidad de números decimales en ambos para ubicar la coma en el producto.
EJEMPLO: 3,32 x 0,02
Se organiza sin comas como una multiplicación de números enteros.
Ahora se ubica la coma contando los espacios de izquierda a derecha según el número de decimales que tengan ambos números.

26. DIVISIÓN DE ENTEROS CON RESULTADO DECIMAL
Para dividir enteros con resultados decimales, se hace igual a la división de enteros hasta llegar al residuo, a este se le agrega un cero y al cociente una coma decimal y así sucesivamente hasta agotar o repetir un periodo en caso de ser infinito periódico.
Ejemplo: 435÷25
Se divide hasta llegar al residuo.
Ahora se coloca un punto decimal y el primer cero.

27. Y se sigue resolviendo hasta agotar el residuo.
DIVISIÓN DE DOS NÚMEROS DECIMALES
Cuando los dos números son decimales nos fijamos en el número que tenga más cantidad de decimales y multiplicamos por una potencia de “10” que tenga la misma cantidad de ceros como de decimales.
Ejemplo: 3,289÷2,32
Se multiplica por “1000” y se resuelve como en el ejemplo anterior.

29. BIBLIOGRAFÍA  Richard Stallman. Enciclopedia universal. 1999. disponible en: www.wikipedia.com  Juan Carlos Fernández Gordillo. Matemáticas. Valencia España. Edifesa, Disponible en: www.vitutor.com  Chad Hurley. Steve Chen. Jawed Karim. Reproductor de video online. 15 de febrero de 2005. Disponible en http://www.youtube.com
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 Matemática básica. Comparación y Orden de Fracciones. 2013. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=Gsm- QOLjd-k
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 El numérico. Comparación y Orden de Números Decimales. 2012. Disponible en:

31. https://www.youtube.com/watch?v=1s9zz1LuUSk&spfreload=1 .  Rainier Castañeda Luna. Conversión de fracciones a decimales y viceversa. 2013. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=Uf0FLH3nB-E
 Julio Alberto Ríos Gallego. Suma y resta de números decimales. 2012. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=_qrNvRnyXe8
 Julio Alberto Ríos Gallego. Multiplicación de números decimales. 2012. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=q8NJK9ksVN4
 Julio Alberto Ríos Gallego. División de números decimales. 2012. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=wCTG8ILpkcA