03.02 Numeros Reales

1
Matemáticas
3º de ESO
2 Números reales
La expresión decimal es periódica mixta:
• Todo número fraccionario puede expresarse en forma decimal sin más que
efectuar la división entre el numerador y el denominador.
• Pueden entonces ocurrir los siguientes casos:
La expresión decimal es exacta:
9
4
=2,25
La expresión decimal es periódica pura: 5
3
=1,666...
17
6
=2,83333...
Cuidado: algunas calculadoras redondean
1. Expresión decimal de los números fraccionarios
MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 2. NÚMEROS REALES Javier Fernández

2
Matemáticas
3º de ESO
2 Números reales
Período: primer bloque.Anteperíodo Período: cuarto bloque.Parte entera
• Notación: reducimos la escritura. x = 2,47878.... =
x = 2‚ 4 78 78 78 78 …….
2.1 Partes de un decimal periódico
2,4 78

3
Matemáticas
3º de ESO
2 Números reales
•Pasos:
• Primero. 1000q = 2478,787878….
• Segundo. 10q = 24,78787878.…
• Tercero. Restamos 990q = 2478 - 24
• Cuarto. Despejamos q
2.2 Expresión fraccionaria de un número decimal
q=
2478−24
900
=
2454
990
=
409
165

4
Matemáticas
3º de ESO
2 Números reales
Las décimas, centésimas, milésimas, ... se obtienen mediante divisiones de la
unidad en 10, 100, 1000, ... partes iguales.
1 décima=
1
10
u=0,1u
1 centésima=
1
10
d=0,01u
1 milésima=
1
10
c=0,001u
•Una aproximación de un número decimal es otro número decimal que se obtiene
suprimiendo los decimales a partir de un orden dado.
•Formas de aproximar:
• Truncamiento. Se suprimen las cifras a partir del orden elegido.
• Redondeo. Se suprimen las cifras a partir del orden elegido
- Si la primera cifra suprimida es menor que 5,
dejamos igual la última cifra.
- Si la primera cifra es mayor o igual a 5,
aumentamos en una unidad la última cifra que se conserva.
2.3 Aproximación decimal de un número racional

5
Matemáticas
3º de ESO
2 Números reales
• Las expresiones decimales no periódicas se llaman números irracionales.
• Los números irracionales no se pueden escribir en forma de fracción.
• El conjunto de los números racionales e irracionales se llaman números reales.
• El conjunto de los números reales se designa por la letra R
• Ejemplos El número con 1000 cifras decimales
• 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406
28620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940
81284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461
28475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249
14127372458700660631558817488152092096282925409171536436789259036001133053
05488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931
05118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656
64308602139494639522473719070217986094370277053921717629317675238467481846
76694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249
53430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629
77477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859502445945534
69083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206
17177669147303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532
17122680661300192787661119590921642 ...
• Un número decimal cuya ley de formación es no periódica.
• 2,020020002000020000020000002000000020000000020000000002…...
•
3.1 Idea de número real


6
Matemáticas
3º de ESO
2 Números reales
-1
RR RR
0 1 21/2-2
-1-2
QQ
QQ
0 1 2-1-2 1/2
2
0 1 2ZZ
ZZ
NN NN
0 1 2
N⊂Z⊂Q⊂R
3.2 Ampliación de conjuntos

7
Matemáticas
3º de ESO
2 Números reales
• Para trabajar con números irracionales es necesario hacerlo con aproximaciones,
lo que genera errores.
• El error absoluto es la diferencia positiva entre valor verdadero y aproximación.
• El error relativo es el error por unidad, es decir el cociente entre el error absoluto
y el número.
• El error puede ser por defecto o por exceso según sea mayor o menor que el
número al que representa.
Si aproximamos π por 3,14 el error absoluto es:
3,14 – 3,14159265... = – 0,019265... ⇒ E = 0,019265
El error relativo será:
0,019265
3,1415926535897932384626433832795...
=0,00613223995733072728717509....
Se dice que al tomar π por 3,14 cometemos un error relativo menor que 0,006
3.3 Acercamiento al número real

8
Matemáticas
3º de ESO
2 Números reales
• • • • • • ••
-1 0 1 2 3 4 5 6
Aproximación entera:
Aproximación decimal: • •• • • • • • • • •
1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2
• •• • • • • • • • •1,4 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,5
Aproximación centesimal:
Y así sucesivamente…
está entre 1 y 2
está entre 1,4 y 1,5
está entre 1,41 y
1,42
23.4 Aproximación al número real

9
Matemáticas
3º de ESO
2 Números reales
Aproxim a cione s pa ra
De fe cto Exce s o Error < dife re ncia
1 ª a proxim a ción 1 2 1
2 ª a proxim a ción 1 ,4 1 ,5 0 ,1
3 ª a proxim a ción 1,4 1 1 ,4 2 0 ,0 1
4 ª a proxim a ción 1,1 4 2 1 ,4 1 3 0 ,0 0 1
… … … ...
4. Aproximaciones y errores para
2

13
Matemáticas
3º de ESO
2 Números reales
• Es imposible sumar exactamente dos números irracionales ya que tienen
infinitas cifras decimales.
• Se opera con ellos sustituyéndolos por números aproximados con un
número finito de cifras.
5.1 Operaciones con números reales

14
Matemáticas
3º de ESO
2 Números reales
• Es imposible multiplicar exactamente dos números irracionales ya que tienen
infinitas cifras decimales.
• Se opera con ellos sustituyéndolos por números aproximados con un número
finito de cifras.
2 10 2· 10
Por exceso 1,4143 3,1623 4,472440
Por defecto 1,4142 3,1622 4,471983
Error <
diferencia
0,0001 0,0001 0,000457
10=3,1622777... 2=1,4142135623...
5.2 Operaciones con números reales

15
Matemáticas
3º de ESO
2 Números reales
• Las operaciones con números irracionales se suelen dejar indicadas,
y si se necesita se escribe su valor con los decimales adecuados al problema.
• Las operaciones con números reales verifican las mismas propiedades
que las de los números racionales
La longitud de una circunferencia de diámetro 8 cm es: 8 cm.
La suma de3 y 7 se deja indicada: 3  7
Siempre que se pueda se debe simplificar la expresión obtenida:
3⋅7=21
8
2
=4=2
5.3 Operaciones indicadas con números reales


10
Matemáticas
3º de ESO
2 Números reales
Fijados un origen y una unidad de medida sobre la recta, dar un número real
equivale aseñalar un punto en la recta
1 u
1 u
1 u
2
3
3
2
2
6 Representación de números reales

11
Matemáticas
3º de ESO
2 Números reales
Para comparar números reales se pasan previamente a forma decimal
Luego se comparan los números decimales.
10
π
¿Cuál es menor?
10=3,16...
π=3,14...
Se deduce que10π o que π10
Una interpretación
7.1 Ordenación de números reales

12
Matemáticas
3º de ESO
2 Números reales
Se define el valor absoluto de un número real x de la siguiente forma:
Significado geométrico del valor absoluto de la diferencia de dos números
Longitud del segmento AB =distancia entre los puntos A y B = |b – a| = |a – b|
O
A
a
B
b
∣x∣=
{ x si x≥0
−x si x0 ∣
7.2 Valor absoluto de un número real

16
Matemáticas
3º de ESO
2 Números reales
Intervalo abierto: (a, b)
a b
Los extremos no pertenecen al conjunto
Intervalo cerrado: [a, b]
a b
Los extremos sí pertenecen al conjunto
8.1 Intervalo abierto y cerrado

17
Matemáticas
3º de ESO
2 Números reales
Intervalo abierto por la derecha: [a, b)
a b
Intervalo abierto por la izquierda: (a, b]
a b
El extremo izquierdo pertenece al conjunto; el derecho no.
El extremo izquierdo no pertenece al conjunto: el derecho sí.
8.2 Intervalo semiabierto y semicerrado

18
Matemáticas
3º de ESO
2 Números reales
a
a
El extremo izquierdo pertenece al conjunto.
El extremo izquierdo no pertenece al conjunto.
[a, +∞)
(a, +∞)
8.3 Semirrecta a la derecha

19
Matemáticas
3º de ESO
2 Números reales
(– ∞, b)
b
(– ∞, b]
b
El extremo derecho no pertenece al conjunto.
El extremo derecho sí pertenece al conjunto.
8.4 Semirrecta a la izquierda

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