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1. 1.- INTRODUCCIÓN:
EL PROBLEMA DE TRANSPORTE
Problemas de distribución de la PROTRAC:
(Envío de maquinaria desde los puertos a las plantas)
La PROTAC tiene cuatro plantas ensambladoras en Europa. Están
ubicadas en Leipzig, Alemania Oriental (1); Nancy. Francia (2); Leija,
Bélgica (3), y Tilburgo. Holanda (4). Las máquinas ensambladoras
usados en esas plantas se producen en Estados Unidos y se
embarcaran a Europa. Llegaron o los puertos de Amsterdam (A).
Amberes (B) y El Havre (C).
Los planes de producción del tercer trimestre (Julio a septiembre) ya
han sido formulados. Los requerimientos (la demanda en destinos) de
motores diesel E-4 son los siguientes:
Planta Cantidad de
Motores
(1) Leipzing 400
(2) Nancy 900
(3) Leija 200
(4) Tilburgo 500
2000
La cantidad disponible de máquinas E-4 en los puertos (la oferto en
orígenes) a tiempo para usarse en el tercer trimestre se muestran
enseguida.
Puerto Cantidad de
Motores
(A) Amsterdam 500
(B) Amberes 700
(C) El Havre 800
2000

2. Nótese que éste es un problema balanceado en el sentido de que la
oferta total de máquinas disponibles iguala al número total requerido.
La figura 1 ilustra el problema.
En esta figura el número que está arriba de los puertos indica la oferta
disponible y el que esté arribo de las plantas indica la cantidad
demandada. Las líneas indican las rutas de distribución posibles.
PROTAC debe decidir cuántas máquinas enviará de cada puerto a
cada planta.
Las máquinas se envían a través de los transportes comunes y se
paga un cargo por máquina. Los costos pertinentes se muestran en la
figura 2. Para facilitar la presentación nos referiremos o los puertos
mediante letras y a Las plantas por números, como se indica en la
información anterior de oferta y demanda.
Figura 2
Costo del transporte de un motor desde un origen hasta un destino.
Desde él Al Destino
Origen 1 2 3 4
A 12 13 4 6
B 6 4 10 11
C 10 9 12 4

3. Actualización de la tabla
1. La asignación de 200 unidades a la ruta A3 reduce la oferta de A
y la demanda a 3. La oferta queda en 300 y la demanda es ahora
de 0.
2. Puesto que la demanda de 3 ya ha sido satisfecha, no se
enviarán más motores o este destino. Se ha sombreado la
columna 3 para indicar que los costos de esta columna no deben
usarse para calcular nuevas penalidades. Por lo tanto, las rutas
de esta columna 3 se considerarán ahora como “no disponibles”
3. En este cuadro se calculan las penalidades de columnas y
renglones como antes. Por ejemplo, puesto que en el primer
renglón la ruta disponible más barata es A4. Con un costo de $6.
y la que él sigue es A1, ruta disponible con un costo de $12, la
penalidad para el renglón A es $12 - $6 = $6. Nótese también
que dado que sé ha retirado del uso de una columna (la columna
3) para cálculos posteriores, el valor de las penalidades de
columna no cambiaron de la primera a la segunda tabla para tas
columnas restantes.
Entonces, en síntesis, vemos que se ha usado un proceso de cuatro
pasos al pasar de la primera tabla a la segunda. En particular, el MAV.
1. Identifica el renglón o columna con la máxima penalidad.
2. Coloca la máxima asignación posible a la ruta no usada que
tenga menor costo en el renglón o columna seleccionada en el
paso 1. (Los empates se pueden resolver arbitrariamente).

4. 3. Reajusta la oferta y la demanda adecuados en vista de esta
asignación.
4. Elimina la columna en la que haya quedado una demanda 0 (o el
renglón con oferta 0), de consideraciones posteriores.
5. Calcula los nuevos costos de penalidad.
El MAV continúa aplicando este proceso en tormo sucesivo hasta que
se haya obtenido una solución inicial factible.
La aplicación de este proceso de cuatro pasos o la segunda tabla
produce el resultado que se muestra en la figura 11. Nótese que en
este caso la penalidad máxima, 6 unidades, correspondió al primer
renglón de la figura 10. Puesto que las 300 unidades restantes fueron
asignadas completamente a la ruta A4, el primer renglón queda
eliminado. El mismo procedimiento de cuatro pasos se aplica ahora a
la figura 11. Dado que ahora el destino 4 tiene la máxima penalidad
(7), se hará una asignación de 200 unidades a la ruta C4, la más
económica de ese renglón. La tabla siguiente se muestra en la figura
13.
En este momento ya sólo queda una vía posible para asignar las 600
unidades disponibles en C y obtener una solución factible. Debemos
asignar 400 unidades a C1 y 200 a C2. Esto produce la tabla final que
se muestra en la figura 14.
La solución inicial factible producida por el MAV se presenta y evalúa
en la figura 15. Queda claro que el MAV requiere mayor trabajo de
cálculo que la regla de la

5. esquina noroeste. Hay la esperanza de que produzca una mejor
solución inicial factible, es decir, una que esté cerca de la solución
óptima. En este caso vemos que el valor de la función objetivo es de
$12,000, comparado con el costo de $14,200 que produjo la solución
de la esquina noroeste (véase la figura 8). Hay una mejoría sustancial.
En realidad, si nos remitimos a la figura 3 vemos que el valor óptimo
de la función objetivo es de $12,000. Por lo tanto, en este caso el
método de aproximación de Vogel produjo la solución óptima. Pero
esto no ocurre frecuentemente. Hay dos puntos importantes a
considerar en este momento.
¿Será óptima la solución?
1. En general. ni el método de aproximación de Vogel ni la regla de
La esquina noroeste garantizan que se produzco directamente
una solución óptima. Simplemente producen una solución inicial
factible,
2. Aun aquellos casos en los que estos procedimientos produzcan
una solución óptima, no se sabrá que es óptima.
En consecuencia, resulta claro que necesitamos un procedimiento
mediante el cual podamos recorrer de una solución inicial factible a la
solución óptima, El método paso secuencia es dicho procedimiento. y
será nuestro siguiente tema por estudiar. Sin embargo, antes de
volvernos hacia otro tema, necesitamos sintetizar el material relativo a
la búsqueda de soluciones iniciales factibles.

6. 2.- OBTENCIÓN DE SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE INICIAL A
TRAVÉS DE LOS MÉTODOS DE ESQUINA NOROESTE, COSTO
MÍNIMO Y VOGUEL( MAV ):
SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE TRANSPORTE
Acabamos de usar un código de propósitos generales de
programación lineal basado en el algoritmo simplex, para resolver un
problema de transporte. El hecho de que funcione no es sorprendente.
yo que el algoritmo simplex puede usarse para resolver cualquier
problema de programación lineal y el problema de transporte lo es. Sin
embargo. debido a la estructura especial de este problema. Podemos
usar otro algoritmo que se ha diseñado para aprovechar las
características únicas de esta clase de problemas. En general, este
algoritmo hace posible resolver problemas muy grandes en una
fracción de tiempo que requerirá el algoritmo simplex.
En particular, analizaremos cuatro algoritmos específicos: la regla de
la Esquina Noroeste, Método de Mínimo Costo, el Método por
Aproximación de Vogel (MAV), el Método de Paso Secuencial y el
DIMO (método de distribución modificada). Estos algoritmos sirven a
dos propósitos diferentes. La regla de la esquina noreste y el método
de aproximación de Vogel son alternativas para encontrar una solución
inicial factible. El método de escalón y el DIMO son alternativas paro
proceder de una solución inicial factible a la óptima. Como esta
dirección sugiere, el primer paso de la solución del problema del
transporte consiste en encontrar una solución inicial factible. Una
solución factible, por definición, es cualquier distribución de ofertas
que satisfaga todas las demandas (o sea, un conjunto de las xij que
satisfaga todas las restricciones).

7. Una vez que se ha obtenido una solución inicial factible, el algoritmo
procede paso a paso. La finalidad en cada paso, es encontrar una
solución factible que tenga un valor mejor (menor) paro la función
objetivo. Cuando no se tenga disponible una solución factible mejor, se
habrá encontrado la solución óptima. La solución óptima es una
solución factible de costo mínimo. Entonces vemos que el algoritmo
del problema de transporte usa el mismo enfoque general del
algoritmo simplex ya examinado. En este caso, sin embargo. Los
cálculos son mucho más simples.

8. Método de aproximación de Vogel.
El método de aproximación de Vogel (MAV) usa la información de
costos mediante el concepto del costo de oportunidad para determinar
una solución inicial factible. Por ejemplo, considérese el origen A. La
ruta más barato que sale del origen A es la que va al destino 3, que
tiene un costo de $4 por motor, La que le sigue en precio es la que va
al destino 4, con un costo de $6 por motor. Entonces, a grandes
rasgos, coda motor de A que no sea enviado a 3 incurrirá en un costo
adicional de por lo menos $2 = $6 - $4.
En consecuencia, el MAV asigno un costo de penalidad (costo de
oportunidad) de $2 al primer renglón (origen A). Recalcamos que ésta
es la penalidad por no usar la mejor ruta en este renglón. Para cada
renglón y cada columna se calcula el costo de penalidad de manera
similar. Los resultados de estos cálculos se muestran en la figura 9.
El procedimiento del MAV consiste en intentar evitar grandes
penalidades. El primer paso consiste en localizar la mayor de todas las
penalidades grandes. Vemos en este caso que la tercera columna
(destino 3) tiene la penalidad mayor (6 en concreto).
Para evitarla, debemos usar la ruta disponible más económica de esa
columna (encuéntrese el mejor origen). Entonces, asignamos tantas
unidades como sea posible a A3, la ruto más económica de la
columna 3. Dado que la demanda en 3 es de 200 y la oferta en A es
de 500. podemos surtir 200 a la ruta A3, Esta asignación se
representa en la figura 10. Los pasos siguientes consisten en ajustar
os valores de la oferta, la demando y las penalidades, tomando en
cuenta la asignación que acabamos de hacer de 200 unidades para
A3

9. Método de aproximación de Vogel
1. Para cada renglón con una oferta disponible y cada columna con
una demanda insatisfecha calcule un costo de penalidad
restando el dato menor del que le sigue en valor.
2. identifique el renglón o columna que tengan el mayor costo de
penalidad. (Los empates se resuelven arbitrariamente).
3. Asigne a máxima cantidad posible o la ruta disponible que tenga
el costo más bojo en el renglón o columna elegido en el paso 2.
4. Reduzca la oferto y la demanda adecuados en la cantidad
asignada en el paso 3.
5. Descarte cualesquier renglón con oferta disponible cero y
columnas con demanda insatisfecha cero, para consideraciones
ulteriores.
6. Regrese al paso 1.

10. Figura 9
Penalidades de renglones y columnas
Destino
O
r
i
g
e
n
1 2 3 4 Oferta
Penalidades
de renglón
A
12 13 4 6
500 2
B
6 4 10 11
700 2
C
10 9 12 4
800 5
Demanda 400 900 200 500
Penalidades
de columna 4 5 6 2
Mínimo del
renglón A
Segundo Mínimo
del renglón A
Calculado
como: 6-4
Penalidades
Máxima

11. Figura 10
Asignación de nuevas penalidades
Destino
O
r
i
g
e
n
1 2 3 4 Oferta
Penalidades
de renglón
A
12 13 4 6
500 300 6
200
B
6 4 10 11
700 2
C
10 9 12 4
800 5
Demanda 400 900 200 0 500
Penalidades
de columna 4 5 0 2
Asignación máxima posible a
la celdilla de costo mínimo
Nueva penalidad del
renglón

12. Figura 11
Dos asignaciones
Destino
O
r
i
g
e
n
1 2 3 4 Oferta
Penalidades
de renglón
A
12 13 4 6 500 300
0200 300
B
6 4 10 11
700 2
C
10 9 12 4
800 5
Demanda 400 900
200
0
500
200
Penalidades
de columna 4 5 7

13. Figura 12
Tres asignaciones
Destino
O
r
i
g
e
n
1 2 3 4 Oferta
Penalidades
de renglón
A
12 13 4 6 500 300
0200 300
B
6 4 10 11
700 2
C
10 9 12 4
800 600 1
200
Demanda 400 900
200
0
500
200 0
Penalidades
de columna 4 5

14. Figura 13
Cuatro asignaciones
Destino
O
r
i
g
e
n
1 2 3 4 Oferta
Penalidades
de renglón
A
12 13 4 6 500 300
0200 300
B
6 4 10 11
700 0
700
C
10 9 12 4
800 600 1
200
Demanda 400
900
200
200
0
500
200 0
Penalidades
de columna 4 5

15. Figura 14
Solución Inicial Factible
Destino
O
r
i
g
e
n
1 2 3 4 Oferta
Penalidades
de renglón
A
12 13 4 6 500 300
0200 300
B
6 4 10 11
700 0
700
C
10 9 12 4 800 600
0400 200 200
Demanda
400
0
900
200 0
200
0
500
200 0
Penalidades
de columna

16. Figura 13.1
Tabla de transporte para problema de POTRAC
Destino
1 2 3 4 Oferta
O
r
i
g
e
n
A
12 13 4 6
500
B
6 4 10 11
700
C
10 9 12 4
800
Demanda 400 900 200 500 2,000

17. Figura 13.2
Primera asignación
Destino
1 2 3 4 Oferta
O
r
i
g
e
n
A
12 13 4 6 500
100400
B
6 4 10 11
700
C
10 9 12 4
800
Demanda
400
0
900 200 500
400 unidades
de A a 1
La oferta se
reduce en 400
La demanda se
reduce en 400

18. Figura 13.3
Tres asignaciones siguientes
Destino
1 2 3 4 Oferta
O
r
i
g
e
n
A
12 13 4 6 500 100
0400 100
B
6 4 10 11 700
0700
C
10 9 12 4 800
700100
Demanda
400
0
900
0
200 500

19. Figura 13.4
Solución Final Factible
Destino
1 2 3 4 Oferta
O
r
i
g
e
n
A
12 13 4 6 500 100
0400 100
B
6 4 10 11 700
0700
C
10 9 12 4 800
700--0100 200 500
Demanda
400
0
900
0
200
0
500
0

20. 3.- OBTENCIÓN DE SOLUCIÓN MEJORADA HASTA NIVEL ÓPTIMO
CON EL MÉTODO “PASO SECUENCIAL”, TAMBIÉN CONOCIDO
COMO PIEDRA RODANTE.
Figura 13.5
Solución Inicial Factible producida por el método de vértice noroeste
Destino
1 2 3 4 Oferta
O
r
i
g
e
n
A
12 - 13 + 4 6
500
400 100
B
6 4 10 11
700
700
C
10 + 9 - 12 4
800
100 200 500
Demanda 400 900 200 500
(b) La celdilla usada en este renglón
debe disminuir en 1. Equilibre la
oferta del renglón 1
Evalúese el costo de enviar una
unidad a la ruta A-3. el signo +
significa que aumenta el embarque
en 1, de 0 a 1
(c) La celdilla usada debe aumentar
en esta columna para satisfacer la
demanda
(d) La celdilla de este renglón debe
disminuir para equilibrar la oferta
en el renglón C

21. Figura 13.6
Costo marginal de las rutas usadas
Destino
1 2 3 4 Oferta
O
r
i
g
e
n
A
12 - 13 4 + 6
500
400 100 -12 -2
B
6 4 10 11
700
+3 700 +3 +12
C
10 + 9 12 - 4
800
+2 100 200 500
Demanda 400 900 200 500
2 1
3 4

22. Figura 13.7
Solución mejorada
Destino
1 2 3 4 Oferta
O
r
i
g
e
n
A
- 12 13 + 4 6
500
400 +12 100 +10
B
+ 6 - 4 10 11
700
-9 700 +3 +12
C
10 + 9 - 12 4
800
-10 200 100 500
Demanda 400 900 200 500
6 5
3 4
1
2

23. Figura 13.8
Solución óptima
Destino
1 2 3 4 Oferta
O
r
i
g
e
n
A
12 13 + 4 6
500
300 +2 200 0 .
B
6 - 4 10 11
700
+1 700 +13 +12
C
10 + 9 - 12 4
800
100 200 +10 500
Demanda 400 900 200 500