trigonométrica de decimo

1. Teoremas del seno y coseno
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Dado un triangulo
rectángulo cualquiera la
proyección de uno de
sus vértices sobre la
arista opuesta lo separa
en dos triángulos
rectángulos.
Como se puede apreciar
la altura proyectada
corresponde al producto
del segmento C por el
seno de α y por lo tanto
la base b se puede
separar en la suma de el
prducto del segmento C
por el coseno de α y su diferencia con la medida de b , ( )( )cosb c α− ⋅ .
Aplicando el teorema de Pitágoras se puede determinar que el segmento a es
equivalente a la raíz de la suma de los cuadrados de los lados de los catetos
correspondientes, por ende
( )( ) ( )( )
2 22
cosa c sen b cα α= ⋅ + − ⋅
Es decir
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2
2 cos cosa c sen b bc cα α α= + − +
Ordenando la idea
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
1
cos 2 cos
cos 2 cos
a c sen c b bc
a c sen b bc
α α α
α α α
= + + −
= + + −
De donde
( )2 2 2
2 cosa c b bc α= + −
Del mismo modo, por las correspondientes proyecciones se determina que
( )2 2 2
2 cosb a b ab β= + −
Y
( )2 2 2
2 cosc a b ab γ= + −
Queda al estudiante desarrollar estos dos casos

2. Teoremas del seno y coseno
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Analicemos el siguiente caso
La altura h se puede escribir como ( )c sen α y como ( )a sen γ por ende ambas
expresiones son iguales
( ) ( )a sen c senγ α=
Entonces
( ) ( )
a c
sen senα γ
=
Aplicando la misma lógica se llega a que las relaciones entre los lados y los
ángulos pertinentes se puede escribir como
Comprueba esto al relacionar las alturas de cada vértice por separado.
( ) ( ) ( )
ba c
sen sen senα β γ
= =

3. Teoremas del seno y coseno
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Ejercicios y ejemplos
Sabemos que
( )2 2 2
2
12 30 2 12 30cos 60
144 900 360
684
x
x
x
= + − ⋅ ⋅ °
= + −
=
En este caso la situación es similar
( )2 2 2
2
40 15 2 15 cos 60
1600 225 15
x x
x x
= + − ⋅ ⋅ ⋅ °
= + −
Ordenando la idea se plantea una
cuadrática
2
15 225 1600 0x x− + − =
Es decir
2
15 1375 0x x− − =
Al resolver llegamos a que
2
15 225
1375
2 4
x
⎛ ⎞
− = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
Es decir
2
15 5500 225
2 4
x
+⎛ ⎞
− =⎜ ⎟
⎝ ⎠
Luego
15 5725 15 5725
2 4 2
x
±
= ± =
Claramente se descarta la solución negativa, por carecer de aplicación en el
problema

4. Teoremas del seno y coseno
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¿Y los ángulos?
Simplemente relacionamos los
ángulos en base al teorema del seno.
Para la primera figura podemos
afirmar que, conocido el valor de x
684x =
Se plantea la igualdad
( ) ( )
684 12
60sen sen α
=
entonces
( )
( ) ( )112 60 12 60
684 684
sen sen
sen senα α −⋅ ⋅⎛ ⎞
= ⇒ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Recuerda que el arcoseno en tu calculadora se obtiene aplicando la función
inversa del seno