El documento define el producto cruz de dos vectores y explica cómo se calcula utilizando un determinante. Proporciona ejemplos numéricos de calcular el producto cruz de varios pares de vectores, así como ejemplos de cómo el módulo del producto cruz es igual al área del paralelogramo formado por los vectores. Finalmente, presenta ejercicios para practicar el cálculo del producto cruz y el área del paralelogramo.

1. CENTRO UNIVERSITARIO DEL PACÍFICO SUR
CAMPUS OMETEPEC
Clave de la Institución: 12MSU0001T
Clave del C.T.: 12PSU0104N Clave del C.T.: 12PSU0103N Clave del C.T.: 12PSU0130K
DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS SUPERIORES
DOCENTE: ING. JOSÉ LUIS TORRES MERINO
P R E S E N T A:

2. DEFINICIÓN:
 El producto cruz o producto vectorial de dos
vectores cuya dirección es perpendicular a
los dos vectores y su sentido sería igual al
avance de un sacacorchos al girar de u a v.
Su módulo es igual a:
𝑢 𝑥 𝑣 = 𝑢 𝑣 𝑠𝑒𝑛 𝜃

3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
𝑣
𝑢
𝑢 𝑥 𝑣
𝜃

4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
𝑣
𝑢
𝑣 𝑥 𝑢
𝜃

5. El producto cruz se puede expresar mediante un
determinante:
𝒖 𝒙 𝒗 =
i j k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
=
u2 u3
v2 v3
i −
u1 u3
v1 v3
j +
u1 u2
v1 v2
k

6. Ejemplo 1:
Calcular el producto cruz de los siguientes vectores
u= (1,2,3) y v=(-1,1,2).
Solución:
𝒖 𝒙 𝒗 =
i j k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
=
u2 u3
v2 v3
i −
u1 u3
v1 v3
j +
u1 u2
v1 v2
k
𝒖 𝒙 𝒗 =
i j k
1 2 3
−1 1 2
=
2 3
1 2
i −
1 3
−1 2
j +
1 2
−1 1
k
Respuesta: 𝒊 + 𝟓𝒋 + 𝟑𝒌

7. Ejemplo 2:
Calcular el producto cruz de los siguientes vectores
u= (2,2,3) y v=(1,3,2).
Solución:
𝒖 𝒙 𝒗 =
i j k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
=
u2 u3
v2 v3
i −
u1 u3
v1 v3
j +
u1 u2
v1 v2
k

8. Ejemplo 3:
Calcular el producto cruz de los siguientes vectores
u= (3,2,1) y v=(1,2,2).
Solución:
𝒖 𝒙 𝒗 =
i j k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
=
u2 u3
v2 v3
i −
u1 u3
v1 v3
j +
u1 u2
v1 v2
k

9. Ejemplo 2:
Calcular el producto cruz de los siguientes vectores
u= (3i –j +k) y v=(i, j, k).
Solución:
𝒖 𝒙 𝒗 =
i j k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
=
u2 u3
v2 v3
i −
u1 u3
v1 v3
j +
u1 u2
v1 v2
k
Respuesta?:

10. AREA DEL PARALELOGRAMO
 Geométricamente, el módulo del producto cruz
coincide exactamente con el área del paralelogramo
que tiene por lados a esos vectores.
𝑨 = 𝐮 ∙ 𝒉 = 𝐮 𝐯 𝐬𝐞𝐧 𝛉 = 𝐮 𝐱 𝐯

11. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
𝑨 = 𝐮 ∙ 𝒉 = 𝐮 𝐯 𝐬𝐞𝐧 𝛉 = 𝐮 𝐱 𝐯
𝑣
𝑢
ℎ
𝜃

12. Ejemplo 3:
 Dado los vectores u = (3,1,-1) y v= (2,3,4), hallar el
área del paralelogramo que tiene por los lados los
vectores u y v.
𝒖 𝒙 𝒗 =
i j k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
=
u2 u3
v2 v3
i −
u1 u3
v1 v3
j +
u1 u2
v1 v2
k
𝒖 𝒙 𝒗 =
i j k
3 1 −1
2 3 4
=
1 −1
3 4
i −
3 −1
2 4
j +
3 1
2 3
k

13. Ejemplo 4:
𝒖 𝒙 𝒗 =
i j k
3 1 −1
2 3 4
=
1 −1
3 4
i −
3 −1
2 4
j +
3 1
2 3
k
𝑨 = 𝑼 𝒙 𝑽 = 𝟕 𝟐 + 𝟏𝟒 𝟐 + 𝟕 𝟐 = 𝟏𝟕. 𝟏𝟓 𝒖 𝟐
𝒖 𝒙 𝒗 = 𝟕𝒊 − 𝟏𝟒𝒋 + 𝟕𝐤
 Dado los vectores u = (2,1,-1) y v= (2,-3,4), hallar
el área del paralelogramo que tiene por los lados los
vectores u y v.
𝒖 𝒙 𝒗 =
i j k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
=
u2 u3
v2 v3
i −
u1 u3
v1 v3
j +
u1 u2
v1 v2
k

14. Ejemplo 5:
𝒖 𝒙 𝒗 =
i j k
3 1 −1
2 3 4
=
1 −1
3 4
i −
3 −1
2 4
j +
3 1
2 3
k
𝑨 = 𝑼 𝒙 𝑽 = 𝟕 𝟐 + 𝟏𝟒 𝟐 + 𝟕 𝟐 = 𝟏𝟕. 𝟏𝟓 𝒖 𝟐
𝒖 𝒙 𝒗 = 𝟕𝒊 − 𝟏𝟒𝒋 + 𝟕𝐤
 Hallar el área del paralelogramo determinado por
los vectores u = (0,-1,-2) y v= (2,3,1),
𝒖 𝒙 𝒗 =
i j k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
=
u2 u3
v2 v3
i −
u1 u3
v1 v3
j +
u1 u2
v1 v2
k

15. Ejemplo 6:
𝒖 𝒙 𝒗 =
i j k
3 1 −1
2 3 4
=
1 −1
3 4
i −
3 −1
2 4
j +
3 1
2 3
k
𝑨 = 𝑼 𝒙 𝑽 = 𝟕 𝟐 + 𝟏𝟒 𝟐 + 𝟕 𝟐 = 𝟏𝟕. 𝟏𝟓 𝒖 𝟐
𝒖 𝒙 𝒗 = 𝟕𝒊 − 𝟏𝟒𝒋 + 𝟕𝐤
 Hallar el área del paralelogramo determinado por
los vectores u = (2,1,3) y v= (-3,3,2)

16. EJERCICIOS PARA EVALUAR
𝒖 𝒙 𝒗 =
i j k
3 1 −1
2 3 4
=
1 −1
3 4
i −
3 −1
2 4
j +
3 1
2 3
k
𝑨 = 𝑼 𝒙 𝑽 = 𝟕 𝟐 + 𝟏𝟒 𝟐 + 𝟕 𝟐 = 𝟏𝟕. 𝟏𝟓 𝒖 𝟐
𝒖 𝒙 𝒗 = 𝟕𝒊 − 𝟏𝟒𝒋 + 𝟕𝐤
 Calcular el producto cruz de los siguientes vectores
u= (-4,2,3) y v=(1,-2,2).
 Calcular el producto cruz de los siguientes vectores
u= (6,2,3) y v=(3,3,2).
 Hallar el área del paralelogramo determinado por
los vectores u = (1,1,3) y v= (1,3,2)
 Hallar el área del paralelogramo determinado por
los vectores u = (1,2,-3) y v= (4,3,2)
 Hallar el área del paralelogramo determinado por
los vectores u = (4,-6,7) y v= (-3,4,5)