Este documento presenta varias identidades trigonométricas de ángulos triples y sus aplicaciones. Incluye fórmulas para seno cúbico, coseno cúbico y tangente cúbica en términos de seno, coseno y tangente de un ángulo. También presenta 27 problemas propuestos para aplicar estas identidades y fórmulas.

1. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2018-II
TRIGONOMETRÍA
“IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS TRIPLES’’
Docente: Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez
ÁNGULOS TRIPLES
Sen3x = 3Senx − 4Sen3
x
Cos3x = 4Cos3
x − 3Cosx
Tan3x =
3Tanx − Tan3
x
1 − 3Tan2x
APLICACIÓN 1
1. Simplificar la expresión:
E =
Cos3
θ − cos3θ
Cosθ
a) 2Sen2
θ b) 3Sen2
θ c) 2Senθ
d) 4 e) Cos2θ
Formulas especiales:
Sen3x = Senx(2Cos2x + 1)
Cos3x = Cosx(2Cos2x − 1)
Tan3x = Tanx (
2Cos2x + 1
2Cos2x − 1
)
APLICACIÓN 2
2. Calcular ‘‘k’’ en:
Sen9°
Sen3°
+
Cos9°
Cos3°
= 2kCos3k°
a)-1 b) √2 c) 2
d)
√2
2
e) ½
Degradación:
4Sen3
x = 3Senx − Sen3x
4Cos3
x = 3Cosx + Cos3x
Propiedades:
4Senx. Sen(60° − x). Sen(60° + x) = Sen3x
4Cosx. Cos(60° − x). Cos(60° + x) = Cos3x
Tanx. Tan(60° − x). Tan(60° + x) = Tan3x
Tanx + Tan(60° − x) + Tan(60° + x) = 3Tan3x
APLICACIÓN 3
3. Calcular el valor de:
E = sen10°sen50°sen70°
a) 1 b) 1/3 c)1/8
d)1/5 e) -1
Observación:
4
15
36Cos
4
15
18Sen




Triángulo Notable de 18º y 72º
Triángulo Notable de 36º y 54º
4
72º
18º
5 – 1
10+ 2 5
4
36º
5 + 1
10 – 2 5
Semana Nª 10

2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
2
PROBLEMAS PROPUESTOS
1) Reduzca la siguiente expresión.
(4𝑐𝑜𝑠2
9º − 3)(4𝑐𝑜𝑠2
27º − 3)
A) tan9º B) cot6º C) tan27º
D) cot9º E) tan6º
2) Si
𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝑐𝑜𝑡2𝑥
𝐶𝑜𝑡2 𝑥 − 3
= 𝑛
Calcule
2𝑛𝑐𝑜𝑠3𝑥 – 𝑠𝑒𝑛3𝑥.
A) n+1 B) ½ C) 2n D) 1 E) 0
3) Si
𝑡𝑎𝑛3
𝜃 = 2
Calcule
2𝑐𝑜𝑠3𝜃 + 𝑠𝑒𝑛3𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃 − 2𝑐𝑜𝑠𝜃
A) 1 B) 2 C) 3 D) ½ E) 1/3
4) Calcule el equivalente de la expresión
2√2 (𝑐𝑜𝑠3
𝐴
2
+ 𝑠𝑒𝑛3
𝐴
2
)
+ 𝑐𝑜𝑠 (135º −
3𝐴
2
)
A) 2 𝑠𝑒𝑛 (45º +
𝐴
2
)
B) 3sen(45º – A)
C) 2sen(45º – 2A)
D) 3𝑠𝑒𝑛 (
𝐴
2
)
E) 3𝑠𝑒𝑛 (45 º +
𝐴
2
)
5) Si
𝑀 = 𝑐𝑜𝑠2
6𝑥 – 𝑐𝑜𝑠8𝑥
la expresión
𝑁 =
2𝑀
𝑐𝑜𝑠4𝑥 − 1
+ 1
es igual a
A) 2sen4x
B) 2cos4x
C) cos8x
D) 2cos8x
E) sen8x
6) Calcule el valor de la siguiente
expresión. 4𝑐𝑜𝑠20º − √3 𝑐𝑜𝑡 20º
A) 2 B) – 1 C) 2 D) – 2 E) 1
7) Reduzca la siguiente expresión.
8𝑠𝑒𝑛5
𝑥 – 4𝑠𝑒𝑛3
𝑥 + 3𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥
+ 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥
A) Sen6x B) sen5x C) cos6x
D) cos5x E) sen3x
8) De la siguiente igualdad
1
sec2x + 1
=
tan66 º
tan 84º
; 𝑥 ∈ 〈0º; 90º〉,
Calcule 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
2
) +
1
4
A)
√5
2
B)
√2
4
C)
√5
4
D)
√3
2
E)
√5
8
9) Si
𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0
𝑐𝑜𝑠3𝛼 + 𝑐𝑜𝑠3𝛽 + 𝑐𝑜𝑠3𝜃 = 𝑥𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽𝑐𝑜𝑠𝜃
Calcule el valor de x.
A) 10 B) 8 C) 12 D) 3 E) 9
10) Si
𝑎3
+ 𝑏3
= 3𝑎𝑏2
Calcule la medida del ángulo agudo 𝜃.
A) 20º B) 10º C) 6º D) 30º E) 12º
11) Si
𝜃 =
𝜋
28
calcule 8(𝑐𝑜𝑠2𝜃 +
𝑐𝑜𝑠60º)(𝑐𝑜𝑠6𝜃 – 𝑐𝑜𝑠120º)(𝑐𝑜𝑠18𝜃 – 𝑐𝑜𝑠240º)
A) – 1 B) ½ C) 1 D) 2 E) 1/3
12) Calcule el equivalente de la
expresión

3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
3
𝑡𝑎𝑛𝑥 (
3
4
− 𝑠𝑒𝑛2
2𝑥) 𝑐𝑠𝑐3𝑥.
A)
1
4
𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑐𝑠𝑐2
𝑥
B)
1
2
𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑠𝑒𝑐2
𝑥
C)
1
4
𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑠𝑒𝑐2
3𝑥
D)
1
2
𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑐𝑠𝑐2
𝑥
E)
1
4
𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑠𝑒𝑐2 𝑥
13) Calcule el valor de la expresión
𝑐𝑜𝑡54º(4𝑐𝑜𝑠54º – 3𝑠𝑒𝑐54º)
A) – 2 B) 4 C) 2 D) – 1 E) – 4
14) De la siguiente identidad
8𝑐𝑜𝑡3𝑥
𝑐𝑜𝑡( 𝑥 + 60º) + 𝑐𝑜𝑡( 𝑥 − 60º)
= 𝐴 + 𝑀𝑐𝑜𝑡2 𝑥,
calcule 𝐴2
+ 𝑀2
.
A) 2 B) 10 C) 17 D) 5 E) 13
15) Si
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝐶𝑜𝑠3𝜃
+
𝑐𝑜𝑠𝛼
𝐶𝑜𝑠3𝛼
+
𝑐𝑜𝑠𝛽
𝐶𝑜𝑠3𝛽
= 5
Calcule
tan3θ
tanθ
+
tan3α
tanα
+
tan3β
tanβ
A) 13 B) 8 C) 11 D) 9 E) 12
16) Si
𝑐𝑜𝑠3𝑥𝑠𝑒𝑛3
𝑥 + 𝑠𝑒𝑛3𝑥𝑐𝑜𝑠3
𝑥
𝑠𝑒𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠2 𝑥
= 𝑚
calcule
𝑐𝑠𝑐4𝑥 + 𝑐𝑜𝑡4𝑥
A) m/3 B) 6m C) m/2 D) m/6
E) 3m
17) De la siguiente identidad
𝑆𝑒𝑛3𝑥
𝑆𝑒𝑐𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
+ (2𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 1) 𝑡𝑎𝑛𝑥
= 𝐴 𝑐𝑜𝑡(𝑀𝑥)
Calcule 𝐴2
+ 𝐵2
.
A) 36 B) 29 C) 50 D) 40 E) 41
18) Si
𝑡𝑎𝑛 (135º + 3𝑥) = 𝑐𝑜𝑠2𝑥,
calcule
𝑡𝑎𝑛𝑥
1+𝑡𝑎𝑛2 𝑥
A)
√15−2
6
B)
√17−1
8
C)
√15−3
9
D)
√19−4
11
E)
√17−2
11
19) De la siguiente identidad
𝑇𝑎𝑛3𝑥 =
32𝑐𝑜𝑠4
𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 − 4𝑠𝑒𝑛3
𝑥 − 11𝑠𝑒𝑛𝑥
4𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥
Calcule cos2x.
A) – 1 B) 0 C)
1
2
D)
√3
2
E) 1
20) Si 𝛼, 𝛽 𝑦 𝜃 ∈ 〈0; 𝜋〉 y se cumple que
𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0
𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 0
𝑐𝑜𝑠3𝛼 + 𝑐𝑜𝑠3𝛽 + 𝑐𝑜𝑠3𝜃 = 0
Calcule
𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑠𝑒𝑛𝛽 + 𝑠𝑒𝑛𝜃
A) 1/2 B) 0 C) 1 D) 2 E)
3√3
2
21) Del gráfico, calcule sen3x.
A)
√6
3
B)
√3
3
C)
√2
6
D)
√6
9
E) √6 −
4√3
3
22) Simplifique la siguiente expresión
𝑠𝑒𝑛3𝑥 + 𝑠𝑒𝑛3
𝑥
𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠3 𝑥
A) senx B) cosx C) – tanx
D) – cotx E) –1
23) Si la igualdad es una identidad,
calcule el valor de |A|+|B|.
4(𝑐𝑜𝑠3
𝑥 – 𝑠𝑒𝑛3
𝑥) + 3(𝑠𝑒𝑛𝑥 – 𝑐𝑜𝑠𝑥)
= 𝑠𝑒𝑛(𝐴𝑥) + 𝑐𝑜𝑠(𝐵𝑥)
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
24) Si
𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛2
𝜃
determine
𝑐𝑜𝑠2 𝜃
𝑆𝑒𝑛2 𝑥

4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
4
A) 2 B) 4 C) 6 D) ½ E) ¼
25) Reduzca la expresión.
𝑡𝑎𝑛3𝑥 −
8𝑡𝑎𝑛3
𝑥
1 − 3𝑡𝑎𝑛2 𝑥
A) tanx B) 2tanx C) 3tanx
D) cotx E) 3cotx
26) Elimine 𝜃 de las siguientes
condiciones.
𝑐𝑜𝑠3𝜃 + 𝑠𝑒𝑛3𝜃 = 𝑥 … (𝐼)
𝑐𝑜𝑠𝜃 – 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑦 … (𝐼𝐼)
𝐴) 𝑥– 3𝑦 = 𝑦3
𝐵) 𝑥 + 3𝑦 = 𝑦 3
𝐶) 𝑥– 3𝑦 = 2𝑦3
𝐷) 𝑥 – 2𝑦3
= 3𝑦
𝐸) 𝑥 + 2𝑦3
= 3𝑦
27) De la siguiente igualdad
𝑠𝑒𝑛6𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃
=
𝑐𝑜𝑠𝜃
2
calcule 𝑐𝑜𝑠4𝜃.
A)−
3
8
B) −
1
8
C)
3
8
D) −
1
8
E) −
3
4
28) Del gráfico,
3(𝐹𝐸) = 2(𝐶𝐷)
Calcule 𝑠𝑒𝑛3𝜃 · 𝑐𝑠𝑐𝜃.
A)
5
3
B)
10
3
C)
2
3
D)
7
3
E)
4
3
29) Reduzca la expresión.
𝑐𝑜𝑠3𝑥𝑠𝑒𝑐𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
A) – secx B) secx C) cosxD) 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 E) – cosx
30) Si
4𝑡𝑎𝑛3𝑥 – 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 0
Calcule: cos2x.
A)−
6
5
B)
6
5
C)−
5
6
D)
1
6
E) −
1
6
31) Calcule
5𝑐𝑜𝑠20º𝑐𝑜𝑠37º𝑐𝑜𝑠40º𝑐𝑜80º
A) 1 B) 2 C)
1
4
D)
1
3
E)
1
2
32) De la igualdad, calcule el valor que
asume 𝜃𝜖〈0; 45º〉.
𝑠𝑒𝑛(60º − 𝜃) 𝑠𝑒𝑛(60º + 𝜃) =
𝑠𝑒𝑛2
45º𝑐𝑜𝑠2
45º
2𝑠𝑒𝑛𝜃
A) 20º B) 10º C) 5º D) 60º E) 25º
33) Si: 3Sen - 2 = 0;
Calcule el valor de: Sen3
A) 2 B) -2 C)
27
7
D)
27
7
 E)
27
22
34) Calcule el valor de:
 15Sen415Sen3Q 3
A)
2
1
B)
2
6
C)
2
2
D)
2
3
E)
2
2

35) Si:
4
3
Cos  ; Calcule el valor de:
Cos3
A)
4
9
B)
16
9
C)
16
9
 D)
9
4
 E)
9
4
36) Simplifique:



Cos
Cos3Cos
Z
3
A) 3Sen2 B) –3Sen2 C) 3Cos2
D) –3Cos2 E) 3Tan2
37) Reduce:
   secCo3SenSen4E 3
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
38) Simplifique:






Cos
3Cos
Sen
3Sen
J
A) 6 B) –4Cos2 C) 4Cos2 D) 1 E) 2