El documento contiene 21 problemas de matemáticas resueltos. Los problemas incluyen ecuaciones, combinatoria, probabilidad y otros temas. Se proporcionan las soluciones detalladas para cada problema.
1. 1 Vx, 2 VR x ,2 66.
Resuelve la ecuación
Solución:
11
Vx,2 VRx,2 66 x( x 1) x 2 66 2x 2 x 66 0 x 6, x .
2
La única solución válida es x = 6.
2 La final de 1500 de la Olimpiada la corren 12 atletas. Calcular como pueden repartirse las medallas de oro,
plata y bronce.
Solución:
V12,3 12 11 10 1320.
3 Pn 6Pn 2 .
Resuelve la ecuación
Solución:
Pn 6Pn 2 n! 6(n 2)! n(n 1) 6 n 2 n 6 0 n 3, n 2
La única solución valida es n = 3.
4 Un quinielista tiene una corazonada y cree que en una cierta jornada van a salir 5 unos,4 equis y 6 doses.
Calcula cuántas apuestas ha de validar para asegurarse el pleno al quince.
Solución:
15!
PR15
5,4,6
630630
5!4!6!
qapuestas.
5 Calcula cuantos números naturales menores que mil hay con tres cifras distintas.
Solución:
Son todos, excepto los que empiezan por 0.
V10,3 V9,2 10 9 8 9 8 720 72 648
números.
6 Vx ,2 Vx 2,2 Vx 4,2 98
Resuelve la ecuación .
Solución:
Vx,2 Vx 2,2 Vx 4,2 98 x( x 1) ( x 2)( x 3) ( x 4)( x 5) 98
x 2 x x 2 5x 6 x 2 9x 20 98
3 x 2 15 x 72 0 x 2 5 x 24 0 x 8, x 3.
La única solución válida es x = 8.
7 Calcula de cuántas formas pueden ordenarse 4 monedas de 1 euro y 4 monedas de 2 euros.
Solución:
8! 8765
PR8
4,4
70.
4!4! 4 3 2 1
8 Calcula cuántos coches pueden matricularse con el nuevo sistema europeo de matriculación, consistente
en 4 cifras y 3 consonantes.
Solución:
2. VR10,4 VR20,3 104 203 80.000.000
Pueden matricularse coches.
9 Calcula cuantos números de 7 cifras son capicúas.
Solución:
Es el mismo problema que calcular cuantos números hay de 4 cifras, por tanto habrá
VR10,4 VR10,3 104 103 10000 1000 9000
capícuas de 7 cifras.
10 Una peña quinielística quiere asegurarse el pleno al 15. ¿Cuántas apuestas han de jugar?
Solución:
VR3,15 315 14348907
Han de jugar apuestas.
11 Calcula cuántos números de 5 cifras pueden formarse con 1 y 2 siempre con dos cifras consecutivas
iguales.
Solución:
5
Son todos, excepto 12121 y 21212, por tanto hay VR2,5 = 2 - 2 = 32 - 2 = 30 números.
12 Una liga de fútbol la juegan 5 equipos con jornadas de ida y vuelta. Calcula cuántas jornadas hay que jugar.
Solución:
V5,2 5 4 20
partidos. Como cada jornada se pueden jugar dos partidos, entonces se juegan 10 jornadas.
13 A una pista de baile acuden 5 chicos y 7 chicas. Calcula cuántos bailes distintos, 5 chicos y 5 chicas,
pueden darse.
Solución:
Fijamos a las cinco chicas. Se trata de distribuir a los 7 chicos entre las 7 chicas. Por tanto habrá
V7,5 7 6 5 4 3 2520
bailes distintos.
6 7
14 Calcula todos los números comprendidos entre 10 y 10 que pueden formarse utilizando 3 veces el 4, dos
veces el 6 y dos veces el 0.
Solución:
Se calculan todos los números que se pueden formar con esas cifras y se restan los que empiezan por 0, por tanto
habrá
7! 6!
PR7 PR6
3,2,2 3,2
210 60 150
3!2!2! 3!2!
números diferentes.
15 De todas las reordenaciones de la palabra ABRACADABRA, calcula cuántas tienen las 5 A juntas.
Solución:
En primer lugar vamos a ver cuantos casos genéricos hay con las 5 A seguidas. Hay 7 casos. Si fijamos un caso,
6!
PR 2,2 180
6
2!2!
tendremos palabras. En total, 1260 palabras.
16 ¿Cuántas palabras con las letras de ISABEL pueden formarse sin vocales ni consonantes juntas?
Solución:
Como hay 3 vocales y 3 consonantes, sólo hay 2 posibilidades: vcvcvc o cvcvcv. La respuesta será
2 3!3! 2 6 6 72.
3. 17 Calcula los números mayores que un millón que se pueden formar con las cifras 0, 2, 2, 3, 3 y 4.
Solución:
5!
PR5
2
60
2!
Empiezan por 2 números.
5!
PR5 60
2
2!
Empiezan por 3 números.
5!
PR 2, 2
5 30
2!2!
Empiezan por 4 números.
En total, 150 números.
18 Calcula la suma de todos los números de cuatro cifras distintas que se pueden formar con las cifras 1, 2, 3,
4 y 5.
Solución:
V5,4 5 4 3 2 120
Son números.
De estos números hay V4, 3 = 4 · 3 · 2 = 24 que acaban en 1. Lo mismo ocurre para los que terminan en 2, 3, 4 y 5 y
con las cifras de las decenas, centenas y unidades de millar.
La suma de todos los números será:
Unidades: 24 · (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 24 · 15 = 360
Decenas: 24 · (1 + 2+ 3 + 4 + 5) = 24 · 15 = 360
Centenas: 24 · (1 + 2+ 3 + 4 + 5) = 24 · 15 = 360
Unidades de millar: 24 · (1 + 2+ 3 + 4 + 5) = 360
Total suma: 330 + 10 · 360 + 100 · 360 + 1000 · 360 = 399960
19 ¿De cuántas maneras pueden ordenarse 10 libros de distinto tamaño con la condición de que el mayor y el
menor estén siempre separados?
Solución:
Hay que quitar los casos en los cuales el libro mayor y el menor estén juntos, que pueden estarlo en 18 posiciones.
Por tanto pueden ordenarse de 10! - 18 · 8! = (90 - 18) · 8! = 72 · 8! = 2903040 formas.
20 ¿En cuántos ceros acaba 80! ?
Solución:
Hay que calcular los múltiplos de 5 que hay en 80!. Hay 16 múltiplos de 5, pero también hay 3 múltiplos de 25.
Entonces habrá 19 ceros.
21 Calcula cuántos números de 3 cifras distintas pueden formarse con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 con la
condición de que sean múltiplos de 6.
Solución:
Tiene que ser múltiplo de 3 y par. Para ser múltiplo de 3 siempre la suma de las cifras debe ser múltiplo de 3.
Si la última cifra es 2, las otras dos pueden ser 1 o 3; por tanto hay 2 múltiplos de 6 que terminan en 2.
Si la última cifra es 4, las otras dos pueden ser 1 o 3, 2 o 3, 3 o 4. En total 6 númros.
Hay 8 múltiplos de 6.