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Distribución muestral proporciones

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Distribución muestral proporciones

  1. 1. 1 Supongamos que con una terapia para tratar el miedo a los aviones se recupera el 80% de los pacientes. Si seleccionamos al azar 16 pacientes que han acudido a dicha terapia, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 12 se hayan recuperado y puedan tomar aviones? Solución: Pˆ seguirá una distribución normal:  1,0;8,0 16 2,08,0 ;8,0 )1( ; NN n pp pN                         6915,0)5,0(5,0 1,0 8,075,0 75,0ˆ         ZPZPZPPP 2 Un examen consta de 30 preguntas, cada una con 4 opciones de las sólo una es correcta. Si sabemos que 80 alumnos han respondido al azar a dichas preguntas, ¿qué proporción de alumnos cabe esperar que hayan contestado correctamente más de 10 preguntas? Solución: Pˆ seguirá una distribución normal:  048,0;25,0 80 75,025,0 ;25,0 )1( ; NN n pp pN                      0409,09591,01)74,1(174,1 048,0 25,0 3 1 3 1ˆ                      ZPZPZPPP 3 Lanzamos una moneda 200 veces. Calcular el intervalo, centrado en la media, que contenga al 99% de las proporciones de caras. Solución: Pˆ seguirá una distribución normal:  035,0;5,0 200 5,05,0 ;5,0 )1( ; NN n pp pN                    a-(0,50,035)N(0,5, P .01250,090,99 0,035 a Za)0,5Pˆ        aP El intervalo es (0,40875; 0,59125) 4 En una urna hay un 32% de bolas blancas.Tomamos muestras de 180 bolas Calcula el intervalo centrado en 0,32 en el que se encuentra el 99% de las proporciones de bolas blancas. Solución:
  2. 2. Pˆ seguirá una distribución normal:  035,0;32,0 180 68,032,0 ;32,0 )1( ; NN n pp pN                     995,0) 035,0 (99,0) 035,0035,0 (99,0)32,0ˆ32,0( k ZP k Z k PkPkP 090125,0575,2 035,0  k k El intervalo es (0,229875;0,410125) 5 Tenemos un dado y lo lanzamos 100 veces Calcular el intervalo característico correspondiente al 95% respecto la probabilidad teórica de un resultado elemental. Solución: 0,95.a)0,167Pˆa-p(0,167037)N(0,167,0, 6 1 p  0,072.0,95 0,037 a Zp        6 El porcentaje de aceptabilidad de una fabrica de copas, es del 96%. Se forman lotes de 500 copas. Calcula la probabilidad de que, al elegir un lote, la prporción de las copas aceptables sea superior a 0,97. Solución: Pˆ seguirá una distribución normal:  00876,0;96,0 500 04,096,0 ;96,0 )1( ; NN n pp pN                        1271,08729,01)14,1(114,1 00876,0 96,097,0 97,0ˆ         ZPZPZPPP 7 En cierta población, el 30% votaría al partido A si las elecciones se celebrasen hoy. Si seleccionamos aleatoriamente una muestra de 200 personas. a) Calcula la probabilidad de que voten al partido A más del 38%. b) Halla el porcentaje de personas que tienen que votar a A para que se separe del porcentaje poblacional más del 5%. Solución: Pˆ seguirá una distribución normal:  032,0;32,0 200 7,03,0 ;3,0 )1( ; NN n pp pN                   a) 0062,09938,01)5,2(1)5,2() 032,0 30,038,0 ()38,0ˆ(    ZPZPZPPP b)      1)56,1(·2)56,156,1() 032,0 3,035,0 Z 032,0 3,025,0 P()350,ˆ25(0, ZPZPPP
  3. 3. 8812,0140690,·2  1- 0,8812 = 0,1188 8 Supongamos que el 30% de las viviendas tienen más de un cuarto de baño. Para obtener información más precisa, tomamos una muestra de 400 viviendas. a) Calcula la probabilidad de que la proporción de viviendas de la muestra con más de un baño esté entre 0,25 y 0,32. b) Calcula la probabilidad de que el porcentaje de viviendas de la muestra con más de un baño supere el 33%. Solución: Pˆ seguirá una distribución normal:  023,0;3,0 400 7,03,0 ;3,0 )1( ; NN n pp pN                   a)           )870,Z72,1P( 023,0 0,30,32 Z 023,0 0,30,25 P0,32)ˆ(0,25 PP 7928,0985,018078,0)17,2(1)87,0()17,2()87,0(  ZPZPZPZP b) 0968,09032,01)3,1(1)3,1P(Z 023,0 0,330,3 ZP)30,3ˆ(         ZPPP 9 Una fabrica de copas, con un porcentaje de aceptabilidad del 96%. Se forman lotes de 500 copas. Encontrar un intervalo, centrado en 0,96, que contenga el 90% de las frecuencias obtenidas en los lotes. Solución: Pˆ seguirá una distribución normal:  00876,0;96,0 500 04,096,0 ;96,0 )1( ; NN n pp pN                    ) 0'00876 α Zp(0,9α)0,96Pˆα-p(0,960,00876)N(0,96,  0,0144.α0,9  10 En una urna hay un 32% de bolas blancas. Sacamos 180 bolas al azar. Calcula la probabilidad de que la proporción de bolas blancas esté comprendida entre 0,31 y 0,32. Solución: Pˆ seguirá una distribución normal:  035,0;32,0 180 68,032,0 ;32,0 )1( ; NN n pp pN                       )28,00()028,0(0)Z 035,0 32,031,0 P(0,32)ˆ(0,31 ZPZPPP 1103,05,06103,0)0()28,0(  ZPZP
  4. 4. 11 El porcentaje de aceptabilidad de una fabrica de copas, es del 96%. Se forman lotes de 500 copas. Encuentra un intervalo, centrado en 0,96, que contenga el 90% de las frecuencias obtenidas en los lotes. Solución: Pˆ seguirá una distribución normal:  00876,0;96,0 500 04,096,0 ;96,0 )1( ; NN n pp pN                     ) 00876,0 (9,0) 00876,000876,0 (9,0)96,0ˆ96,0( k ZP k Z k PkPkP 00144,0645,1 00876,0  k k El intervalo es (0,9456;0,9744) 12 Una fábrica de bicicletas produce únicamente bicicletas de color azul y rojo, y aproximadamente vende la misma cantidad de cada color. ¿Cuál es la probabilidad de que entre las 200 últimas bicicletas vendidas más del 40% sean rojas? Solución: Pˆ seguirá una distribución normal:  035,0;5,0 200 5,05,0 ;5,0 )1( ; NN n pp pN                   9979,0)86,2()86,2P(Z 035,0 50,40, ZP)40,ˆ(         ZPPP 13 Se ha comprobado que en cierta región el 30% de los pisos están por debajo del límite de habitabilidad. Se ha tomado una muestra aleatoria simple de 40 hogares de esta región. Halla la probabilidad de: a) Como máximo el 50% esté por debajo del nivel de habitabilidad. b) Como mínimo lo esté el 25%. Solución: Pˆ seguirá una distribución normal:  072,0;3,0 40 7,03,0 ;3,0 )1( ; NN n pp pN                   a) 9973,0)78,2() 072,0 3,05,0 ()5,0ˆ(    ZPZPPP b) 7852,0)69,0()69,0() 072,0 3,025,0 ()25,0ˆ(    ZPZPZPPP
  5. 5. 14 Tenemos un dado y lo lanzamos 100 veces. Calcular la probabilidad de que la frecuencia relativa de el resultado “6” coincida con su probabilidad teórica en dos decimales. Solución: Pˆ seguirá una distribución normal:  037,0;167,0 200 833,0167,0 ;167,0 )1( ; NN n pp pN                   0,1072.0,08)Z(-0,19,17)0Pˆ,160(0,037),167;0N(  PP 15 En una urna hay un 32% de bolas blancas. Tomamos muestras de 180 bolas. Halla “a” para que el 85% de las proporciones de bolas blancas sea superior a “a”. Solución: Pˆ seguirá una distribución normal:  035,0;32,0 180 68,032,0 ;32,0 )1( ; NN n pp pN                         85,0) 035,0 32,0 (85,0) 035,0 32,0 (85,0)ˆ( a ZP a ZPaPP 2836,004,1 035,0 32,0   a a 16 Se ha comprobado que cierta asignatura la aprueba el 60% de los alumnos. Antes de empezar el curso de toma una muestra aleatoria simple de 100 alumnos. Halla: a) La probabilidad de que apruebe al menos el 20% de esta muestra. b) La probabilidad de que apruebe más del 50% de esta muestra. c) La probabilidad de que suspendan menos del 30% de esta muestra. Solución: Pˆ seguirá una distribución normal:  49,0;6,0 100 4,06,0 ;6,0 )1( ; NN n pp pN                     a) 7910,0)81,0()81,0() 49,0 6,02,0 ()20,0ˆ(    ZPZPZPPP b) 5793,0)2,0()2,0() 49,0 6,05,0 ()20,0ˆ(    ZPZPZPPP c) 4207,05793,01)2,0(1)2,0() 49,0 6,07,0 ()7,0ˆ(    ZPZPZPPP
  6. 6. 17 En el instituto A el 90% de los estudiantes son chicos, mientras que en el B lo son el 40%. Tenemos un sobre con los cuestionarios ya respondidos de 50 estudiantes elegidos al azar, pero no sabemos de qué instituto proceden. Comprobamos al abrirlo que contiene 25 cuestionarios de chicos y 25 de chicas. ¿Qué se puede hacer para considerar de qué centro procede? Solución: La probabilidad de que los cuestionarios sean del insituto A es 132525 1007,91,09,0 25 50)25(      pP La probabilidad de que los cuestionarios sean del insituto B es 0405,06,04,0 25 50)25( 2525     pP Es más probable que sean del intituto B. 18 Se desea estimar la proporción de individuos daltónicos de una población a través del porcentaje observado en una muestra aleatoria de individuos de tamaño n. Si el porcentaje de individuos daltónicos es del 30%, calcula n para que, con un nivel de confianza de 0,95, el error cometido en la estimación sea inferior al 3,1%. Solución: 839,48n0,031 n 0,3·0,7 1,96  Al menos 840 individuos.

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