Este documento contiene varios ejercicios sobre parábolas. Calcula vértices, ejes de simetría, puntos de intersección y pertenencia a parábolas. También representa gráficamente algunas parábolas.

1. Calcula el vértice y el eje de simetría de la parábola y = 3x  6x + 1.
2
1
Solución:
El vértice viene dado por:
V ( x, y )  (1  2)
,
y el eje de simetría es la recta x = 1.
2
2 Calcula el eje de simetría de la parábola y = x + 2 y los puntos simétricos con respecto de éste eje de (1, 3)
y (0, 2).
Solución:
El eje de simetría de la parábola es la recta x = 0, por tanto los puntos pedidos son (1, 3) como punto simétrico del
primero, y el propio (0, 2) como simétrico del segundo, puesto que éste es el vértice.
2
3 Calcula los puntos de intersección de las rectas y = 3 e y = 1 con la parábola y = x + 1.
Solución:
Los puntos de intersección de y = 3 con y = x2  1 son ( 2,3) y (  2,3).
El punto de intersección de y = 1 con y = x2  1 es (0, 1).
Comprueba si los puntos (2, 1), (1, 3) y (1, 3), pertenecen a la parábola y = 2x + 1.
2
4
Solución:
2
Los puntos pertenecerán a y = 2x + 1 si verifican la ecuación.
(2,  1) no pertenece a la parábola, ya que  1  2  4  1
(1, 3) sí pertenece a la parábola porque 3  2  12  1
(  1, 3) también pertenece a la parábola, ya que 3  2  (1)2  1
Calcula el vértice de la parábola y = x 6x y observa cómo son entre sí
2
5
los puntos (0, 0) y (6, 0) pertenecientes a dicha parábola.
Solución:
El vértice de la parábola es:
V ( x, y )  (3,  9)
Por tanto, los puntos señalados son simétricos respecto del eje de simetría que es la recta x = 3.
6 Estudia el crecimiento y decrecimiento de la siguiente parábola y señala qué ocurre en el punto (0, 4).

2. Solución:
 ,0 0, 
Esta curva es decreciente en el intervalo , y creciente en el intervalo .
(0,4)
El punto es el vértice y en él la parábola pasa de ser decreciente a ser creciente.
Calcula la imagen mediante la parábola y = x + 1 de x = 2, x = 1 y x = 2.
2
7
Solución:
La imagen de 2 es 5.
La imagen de 1 es 2.
La imagen de 2 es 5.
Calcula los puntos de las parábolas y = x 4 e y = x + 2, que cortan el eje de abscisas.
2 2
8
Solución:
Para la primera de las parábolas los puntos de corte con el eje de abscisas son (2, 0) y (2, 0).
2
La segunda parábola no corta el eje de abscisas, ya que la ecuación x + 2 = 0, no tiene solución en los números
reales.
9 Indica cuáles de las siguientes ecuaciones representan parábolas:
yx 1
y  x2  x  1
y  x2
y  2x  3
Solución:
y  x 1 RECTA
y  x2  x  1 PARÁBOLA
y  x2 PARÁBOLA
y  2x  3 RECTA
10 Dibuja, aproximadamente, la parábola que tiene (2, 1) como vértice y que pasa por el punto (4, 1) y por su
simétrico con respecto del eje de simetría.
Solución:

3. 11 Calcula los puntos de corte con los ejes coordenados de la parábola y = x2 + 2x + 3.
Solución:
El punto de corte con el eje de ordenadas es (0, 3).
Los puntos de corte con el eje de abscisas, tienen como primeras coordenadas las soluciones
de la ecuación x + 2x + 3 = 0, es decir, x = 1 y x = 3.
2
Los puntos son (1, 0) y (3, 0).
12 Indica cuáles de las siguientes parábolas están abiertas hacia arriba y cuáles hacia abajo:
y  x  3  x2
y  3  x2  x
y  2x  2x 2
Solución:
y  x  3  x2 Abierta hacia arriba
y  3  x2  x Abierta hacia abajo
y  2x  2x 2 Abierta hacia abajo
13 Sabemos que la parábola y = 2x2 + bx + c tiene como vértice (2, 1) y que pasa por el punto (1, 0). Averigua
b y c.
Solución:
Los dos puntos dados como dato, tienen que cumplir la ecuación de la parábola.
Tenemos, por tanto, un sistema de ecuaciones cuyas soluciones son:
5 11
b yc
3 3
14 Escribe la ecuación de la parábola en cada uno de los casos siguientes:
a) Su vértice es (0, 1) y tiene las ramas hacia arriba.
b) Su eje de simetría es x = 2 y tiene las ramas hacia abajo.
Solución:

4. 2
a) Como tiene las ramas hacia arriba, el coeficiente de x debe ser positivo. Una de las posibles soluciones es: y
= x  1.
2
2
b) Como tiene las ramas hacia abajo, el coeficiente de x debe ser negativo y si su eje de simetría es x = 2, el
vértice debe ser un punto con la primera coordenada igual a 2, por ejemplo (2, 0). Una posible solución es: y = x
2
+ 4.
15 Representa la parábola y = (x + 1) (x + 3).
Solución:
El vértice es el punto (2, 1), y corta al eje de abscisas en 3 y 1.
16 Calcula cuáles son los puntos de intersección de la recta y = x 2
y la parábola y = x + 4.
2
Solución:
Los puntos en común de estas dos funciones tienen que cumplir las dos ecuaciones, así, dichos puntos serán la
solución del sistema formado por las dos ecuaciones.
yx2  
  x  2  x  4  x  x  6  0  x  2,3
2 2
y   x  4
2

Los puntos de intersección son (2, 0) y (3, 5).
17 Halla los puntos de intersección de la recta x y + 1 = 0 y la parábola y = (x 2)2 + 1.
Solución:
Los puntos de intersección son las soluciones del sistema formado por las dos ecuaciones, es decir (1, 2) y (4, 5).
18 Calcula los puntos de la parábola y = x2 x 2 que tienen ordenada nula.
Solución:
Los puntos cuya ordenada es nula son los que tienen por abscisas las soluciones de la ecuación:
x 2  x  2  0, es decir, x = 2, x  1.
19 En un rectángulo, la base es el triple que su altura más tres metros. Calcula la función que nos da el área
del rectángulo en función de la longitud de su altura.
Solución:
2
A = 3x + 3x = 3x · (x + 1), con x en metros.

5. 20 El hombre bala del circo describe una trayectoria parabólica dada por la ecuación
1 2
y x  x . ¿Cuál será la altura máxima que alcance en dicha trayectoria?, ¿cuántos
10
metros habrá recorrido cuando vuelva a tocar el suelo?
Solución:
El punto más alto es el vértice de la parábola, por tanto, la altura máxima será la ordenada del vértice que es 5 m,
es decir 2,5 metros. El alcance máximo será la ordenada distinta de cero de los puntos de corte de la parábola con
y = 0, es decir, 10 m.
21 Calcula la ecuación de una recta horizontal que interseque a y = 2x2 + x 1 en un solo punto.
Solución:
Tiene que ser una recta horizontal que pase por el vértice, es decir, una recta que pase por:
 1  9
V( x, y )   , 
 4 8 
La recta pedida es:
9
y
8
22 Calcula la intersección con el eje de ordenadas de la parábola que contiene a los puntos(2, 1), (3, 0) y (0, 0).
Solución:
Los tres puntos deben cumplir la ecuación:
y  ax2  bx  c
Resolviendo el sistema obtenemos:
1 3
a ,b  yc0
2 2
Así la ecuación de la parábola que queríamos es:
1 2 3
y x  x
2 2
La intersección con el eje de ordenadas de nuestra parábola es, por supuesto (0, 0).
23 Halla la ecuación de una parábola que interseque a y = x2 + 4 en los puntos
(2, 0), (2, 0) y cuyo vértice esté a la misma distancia del origen de coordenadas que el vértice de la
parábola dada.
Solución:
El vértice de y = x + 4 es el punto (0, 4) que está a cuatro unidades de distancia del origen de coordenadas, por
2
tanto, el vértice de la parábola pedida es (0, 4) y la ecuación será: y = x 4.
2
24 Representa una parábola que pase por (2, 0) y (2, 0), con las ramas hacia arriba y cuyo vértice tiene como
ordenada 4.
Solución:

6. 25 Calcula la ecuación de una parábola que pasa por los puntos (0, 0), (1, 2) y (1, 2).
Solución:
2
La ecuación es: y = 2x .
26 1
Halla los puntos de la parábola y   x 2  2 x  1 cuya abcisa es x  .
2
Solución:
2
 1  1 1
y     2   1  
 2  2 4
27 Calcula la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto (1, 4) y pasa por (3, 0).
Solución:
Necesitamos un tercer punto para poder calcular la ecuación. La parábola es simétrica con respecto del eje x = 1,
así que el punto simétrico de (3, 0) es (1, 0).
La ecuación es: y = x 2x  3.
2
28 Halla el vértice y los puntos de corte con los ejes de la parábola y = (x + 2) (x 4).
Solución:
Desarrollando la expresión: y = x 2x 8
2
El vértice es el punto de abscisa:
 b 2
 1
2·a 2·1
.
Su segunda coordenada es: y = 1 2 · 1 8 = 9.
2
Por tanto, el vértice es el punto (1, 9).
Para calcular los puntos de corte con el eje OY se sustituye x por 0: y = (0 + 2) (0 4) = 8. Es el punto (0, 8).
Los cortes con OX se obtienen sustituyendo y por 0: 0 = (x + 2) (x 4)  x = 2, x = 4. Esos puntos son (2, 0) y
(4, 0).
29 Representa las parábolas y = 2x2 4x + 5 e y = 2x2 + 4x 3 y calcula su intersección.
Solución:

7. Sólo tienen el punto (1, 3) en común.
30 Calcula los puntos de intersección de las parábolas: y = x2 2 e y = x2 + 2.
Solución:
Serán las soluciones del sistema de ecuaciones:
y  x2  2 


y   x  2
2

Los puntos son:
 2,0 y  2,0 
31 Calcula las ecuaciones de las parábolas que pasan por los puntos (2, 3) y (2, 3) y cuya distancia del vértice
al origen de coordenadas es de cuatro unidades.
Solución:
La abscisa del vértice de cada una de ellas es 0, así que los vértices son (0, 4) y (0, 4).
Las ecuaciones son:
1 2
y x 4
4
7 2
y x 4
4
2
32 Calcula los puntos de corte con los ejes coordenados de la parábola: y = x + 2x.
Solución:
Con el eje de abscisas (0, 0) y (2, 0).
Con el eje de ordenadas (0, 0).
33 ¿Cuál es la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (1, 3), (1, 3) y el origen de coordenadas?
Solución:
2
La ecuación de la parábola pedida es: y = 3x
34 ¿Es posible que los puntos (0, 2), (1, 1) y (2, 4) pertenezcan a la misma parábola?

8. Solución:
Estos tres puntos están alineados, pertenecen a la recta y = 2 3x, por lo tanto no pueden pertenecer a la misma
parábola.
35 Un balón describe una trayectoria parabólica. Queremos calcular la ecuación de dicha trayectoria y para
ello averiguamos los siguientes datos: el balón alcanza su altura máxima a los 10 m de ser lanzado y ésta
es de 15 m. Además vuelve a tocar el suelo a 25 m de distancia del punto desde donde se lanzó. Calcula la
ecuación de la trayectoria descrita por el balón.
Solución:
La ecuación pedida es la de una parábola que pasa por los puntos: (0, 0), (10, 15) y (25, 0).
Por tanto será:
1 2 5
y x  x
10 2
.
36 Calcular el vértice y el eje de simetría de:
y  ax2  x a  R
.
Solución:
El vértice será:
  1  1
V( x, y )   , 
 2a 4a 
y el eje:
1
x , a  R  0
2a
37 Calcula los puntos de intersección de la curva y = 2x2 1 con la bisectriz del segundo cuadrante.
Solución:
La bisectriz del segundo cuadrante tiene como ecuación y = x.
Por tanto los puntos pedidos serán las soluciones del sistema
y  x 


y  2x  1
2

Los puntos son:
1 1
 2 ,  2  y ( 1 1)
,
 
.
38 Calcula el punto que pertenece a la parábola y = x2  2 y es simétrico al punto (1, 1) con respecto del eje
de ordenadas.
Solución:
2
Esta parábola es igual que y = x , pero trasladada dos unidades hacia abajo, por tanto, es simétrica con respecto al
eje de ordenadas. El punto simétrico de (1, 1) es el punto (1, 1).
39 ¿Cuál es el punto de intersección de y = x2 2 con el eje de simetría de y = x2 + 2? Comprueba que es el
mismo que su vértice, ¿qué quiere decir esto?

9. Solución:
El eje de simetría de y = x + 2 es x = 0, así que el punto de intersección de y = x  2 con este eje es el punto (0,
2 2
2),
que a su vez es el vértice. Esto quiere decir, que x = 0 es también el eje de y = x  2.
2
40 ¿Cuál es la expresión que nos da el área de cualquier triángulo rectángulo isósceles en función de la
longitud de sus catetos?. ¿Qué tipo de función es?
Solución:
Si llamamos x a la longitud de los catetos, la función pedida será:
1
A  x2
2
Esta función es una parábola.
41 Halla el área del rectángulo cuya diagonal es la que tiene como extremos los puntos de intersección de la
2
parábola y = x y la bisectriz del primer cuadrante.
Solución:
Los puntos de intersección son (0, 0) y (1, 1), por tanto el rectángulo es en realidad un cuadrado de lado 1, con
área 1 unidad cuadrada.
42 Calcula la ecuación de una parábola cuyos puntos de intersección con la recta
y = 2x 1 tienen como abscisas 1 y 1 y además pasa por el origen de coordenadas.
Solución:
Los puntos por los que pasa la parábola son (1, 1), (1, 3) y (0, 0), por tanto la ecuación de ésta será:
y = x + 2x.
2