LIMITE DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE. Definiciones y gráficos.

1. D E F I N I C I O N E S
Límite de funciones de una variable

2. Límite en el infinito Límite en un punto
Límite de funciones de una variable

 )x(fim
x
)x(fim
x



 )x(fim
xx 0
Aclaración Aclaración
(finito)
(finito)
(finito)

3. En la figura se observa que a medida
que aumentan los valores de x la función
va tomando valores tan grandes como se
quiera.
Fijado un número K, arbitrariamente
grande, la función asume a partir de un
cierto punto del dominio, valores f(x)
mayores que K. Ese punto depende de K
y por ello se llama K .
Gráficamente , trazada una recta
horizontal a una altura K, se determina un
punto K, a partir del cual la curva se
muestra por encima de dicha recta, es
decir, para x > K resulta f(x) > K.
Límite en el infinito
K
K
f(x ) > K
x > K
x
y
y=f(x)
KxfxKxfim KK
x
)(:,)(
)x(fim
x


4. Límite en el infinito
x
K
K
f(x )< K
x > K
y
y=f(x)
)x(f
x
im
KxfxKxfim KK
x
)(:,)(
En la figura se visualiza que a medida
que aumentan los valores de x la
función va tomando valores tan pequeños
como se quiera.
Fijado un número K, arbitrariamente
grande, la función asume a partir de un
cierto punto del dominio, valores f(x)
menores que K. Ese punto depende de
K y por ello se denota K .
Gráficamente, trazada una recta
horizontal a una altura K, se determina
un punto K, a partir del cual la curva se
muestra por debajo de dicha recta, es
decir, para x > K resulta f(x) < K.

5. En la figura se advierte que a medida
que aumentan los valores de x la
función va tomando valores cuya
distancia de l se hace arbitrariamente
pequeña.
Fijado un número > 0 arbitrariamente
pequeño, la función asume a partir de un
conveniente , valores f(x) alcanzados
entre l - y l + .
Gráficamente, trazadas las rectas
horizontales y =l- e y = l+ , se
determina un punto , a partir del cual la
curva se muestra dentro de la “franja
horizontal” determinada por dichas
rectas , o sea, para x > resulta l - <
f(x) < l + .
Límite en el infinito
x >
f(x) - l <
x
y
l
l+
l -
y=f(x)
 )x(fim
x
 )(:,0)( xfxxfim
x
l - < f(x) < l +

6. f(x )> K
xK
K
x < K
y
y=f(x)
Límites en el infinito : x- , f(x)
Límite en el infinito
)x(f
x
im
KxfxKxfim KK
x
)(:,)(
En la figura se observa que a medida
que disminuyen los valores de x la
función va tomando valores tan grandes
como se quiera.
Fijado un número K, arbitrariamente
grande, la función asume a partir de un
cierto punto del dominio, valores f(x)
mayores que K. Ese punto depende de K
y por ello se llama K .
Gráficamente, trazada una recta horizontal
a una altura K, se determina un punto K,
a partir del cual la curva se muestra por
encima de dicha recta , es decir, para x <
K resulta f(x) >K.

7. x
K
K
f(x )< K
x < K
y
y=f(x)
Límites en el infinito
)x(f
x
im
KxfxKxfim KK
x
)(:,)(
En la figura se puede observar que a
medida que disminuyen los valores de x
la función va tomando valores tan
pequeños como se quiera.
Fijado un número K, arbitrariamente
grande, la función asume, a partir de un
cierto punto del dominio, valores f(x)
menores que K. Ese punto depende de
K y por ello se llama K .
Gráficamente, trazada una recta horizontal
a una altura K, se determina un punto K,
a partir del cual la curva se muestra por
debajo de dicha recta, o sea, para x < K
resulta f(x) < K.

8. x <
y
f(x) - l < l
l+
l-
x
y=f(x)
En la figura se advierte que a medida
que disminuyen los valores de x la
función va tomando valores cuya
distancia de l se hace arbitrariamente
pequeña.
Fijado un número >0, arbitrariamente
pequeño, la función asume a partir de un
conveniente , valores f(x) alcanzados
entre l - y l + .
Gráficamente, trazadas las rectas
horizontales y = l - e y = l + , se
determina un punto , a partir del cual la
curva se muestra dentro de la “franja
horizontal” determinada por dichas rectas
, o sea, para x < resulta l - < f(x) < l
+ .
Límite en el infinito
 )x(f
x
im
 )(:,0)( xfxxfim
x
l - < f(x) < l +

9. Aclaración 1
 )x(fimy)x(fim xx
Para los límites infinitos cabe aclarar:
Cuando el límite para x  sea el mismo que para x  - , se puede hablar del límite para x  .
Por ejemplo,
Análogamente ,si el límite, en vez de ser un número finito l, es o - .
 )x(fx:0,)x(fimx
Esto significa:
Límite en el infinito
equivale)x(fimx


10. La figura muestra que para valores
suficientemente próximos a xo (por
derecha y por izquierda) la función va
tomando valores tan grandes como se
quiera.
Fijado un número K arbitrariamente
grande, existe un K>0 tal que para todo
punto x del dominio ( x0) cuya distancia
de x0 sea menor que K, resultan valores
de f (x) mayores a K.
Gráficamente , trazada una recta
horizontal, a una altura K, se muestra el
trazo de la curva que corresponde al
intervalo (x0- , x0+ ) con x x0 por
encima de dicha recta, es decir, para
x x0 y x0- K< x <x0+ K resulta f(x) >K.
Límite en un punto
K
f(x) > K
x0 - k < x < x0+ K
x
y
y=f(x)
x0
x0+ Kx0- K
)x(fim
xx 0

KxfxxKxfim KK
xx
)(0:0,)( 0
0

x x0 y x0 - <x< x0+
Interesa el comportamiento de los
puntos cercanos a x0, pero no en
dicho punto, donde la función
puede tener un valor cualquiera o
no estar definida.

11. En la figura se visualiza que para valores
suficientemente próximos a xo (por
derecha y por izquierda) la función va
tomando valores tan pequeños como se
quiera.
Fijado un número K arbitrariamente
grande, existe un K>0 tal que para
todo punto x del dominio ( x0) cuya
distancia de x0 sea menor que K ,
resultan valores f (x) menores a K.
Gráficamente , trazada una recta
horizontal a una altura K, se muestra el
trazo de la curva que corresponde al
intervalo (x0- , x0+ ) con x x0 por
debajo de dicha recta, o sea, para x0- K
< x < x0+ K y x x0 resulta f(x) < K.
Límite en un punto
K
f(x ) < K
x0 - k < x < x0+ K
x
y
y=f(x)
)x(fim
xx 0

KxfxxKxfim KK
xx
)(0:0,)( 0
0

x x0 y x0- <x< x0+
Interesa el comportamiento de los
puntos cercanos a x0, pero no en
dicho punto, donde la función
puede tener un valor cualquiera o
no estar definida.
x0 x0+ Kx0- K

12. La figura muestra que para valores
suficientemente próximos a xo (por
derecha y por izquierda) la función va
tomando valores cuya distancia de l se
hace arbitrariamente pequeña.
Gráficamente , significa que dentro de la
“franja horizontal” entendida entre las
rectas y = l - e y = l + , se muestra
el trazo de la curva que corresponde al
intervalo (x0 - , x0+ ) con x x0; o
sea, para x0- < x < x0+ y x x0
resulta l - < f(x) < l + .
Límite en un punto
l
l -
x0
x0-
f(x )-l <
x
y
y=f(x)
l+
x0+
x0 - <x < x0+
 )x(fxx:,)x(fimxx 0
0
000
 )x(fim
xx 0
l - < f(x) < l +
x x0 y x0 - < x< x0+
Interesa el comportamiento de los
puntos cercanos a x0, pero no en
dicho punto, donde la función
puede tener un valor cualquiera o
no estar definida.

13. Aclaración 2
)x(fim
xx 0

Para límite en un punto, cabe las siguientes aclaraciones.
La definición de límite en un punto x0 supone valores próximos a x0 tanto por la derecha como por la izquierda
determinado los correspondientes límites laterales.
• Si x se aproxima a xo por la derecha entonces en la definición del límite se exige que x quede a la derecha de
x0, o sea, x – x0 > 0 y la escritura x – x0 equivale a x – x0. Luego, arribamos a lo que se llama límite lateral
derecho de la f(x) en x0 y se denota :
• Si x se aproxima a xo por la izquierda entonces en la definición del límite se exige que x quede a la izquierda de
x0, o sea, x – x0 < 0 y la escritura x – x0 equivale a x0 – x. Luego, llegamos a lo que se llama límite lateral
izquierdo de la f(x) en x0 y se denota :
)x(fim
xx 0

La condición necesaria y suficiente para la existencia de límite l (finito o no) en un punto x0, es que en xo existan
tanto l + como l- y sean iguales entre sí.
Límite en un punto

14. Ana Ma. OLACHEA
Agosto 2013