Cinco ejemplos del cálculo de asíntotas de una función.

1. Calcular las asíntotas de las siguientes
funciones.
a)

La posible asíntota vertical es x=3, pues es el valor
que solo anula al denominador.

Calculamos lo límites laterales.
Como al menos uno de los límites es infinito, la función
presenta una asíntota vertical en x=3.
Calculamos el límite cuando x tiende a infinito, para ver
si tiene asíntota horizontal.
Cómo el límite en el infinito es 2, significa que la función
posee una asíntota horizontal en y=2.
f x=
2x−1
x−3
lim
x  3−
2x−1
x−3
=
5
0−
=−∞ lim
x 3
2x−1
x−3
=
5
0
=∞
lim
x →∞
2 x−1
x−3
=∞
∞=
2
1
=2
- 6 - 4 - 2 2 4 6 8 1 0 1 2
- 1 4
- 1 2
- 1 0
- 8
- 6
- 4
- 2
2
4
6
8
1 0
1 2
1 4
x
y
x = 3
y = 2

2. b)

La posible asíntota vertical es x=1, pues es
el valor que solo anula al denominador.

Calculamos lo límites laterales.
Como al menos uno de los límites es infinito, la
función presenta una asíntota vertical en x=1.
Estudiamos el límite en el infinito, para ver si
tiene asíntota horizontal.
Luego no tiene asíntota
horizontal, estudiamos si tiene asíntota oblicua:
Luego la asíntota oblicua es y=x+1
f x=
x2
x−1
lim
x →1−
x2
x−1
=
1
0−
=−∞ lim
x →1+
x2
x−1
=
1
0+
=+∞
m=lim
x→∞
x2
x−1
x
=∞
∞=lim
x→∞
x2
x2
−x
=∞
∞=1
lim
x →∞
x2
x−1
=∞
∞=∞
n= lim
x →∞
x2
x−1
−x= lim
x →∞
x2
−x2
+ x
x−1
=lim
x →∞
x
x−1
=∞
∞=1
-6 - 4 - 2 2 4 6 8 1 0 1 2
- 1 4
- 1 2
- 1 0
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
1 0
1 2
1 4
x
y
x = 1
y = x + 1

3. c)
Los valores que anulan al denominador son
x= -1 y x= +1 , pero descartamos x= -1, porque
también se anula el numerador.

Estudiamos para x=1:
Como al menos uno de los límites es infinito, la
función presenta una asíntota vertical en x= 1.
Calculamos el límite cuando x tiende a infinito,
para ver si tiene asíntota horizontal.
Cómo el límite en el infinito es 0, significa que la
función posee una asíntota horizontal en y=0.
f x=
x1
x2
−1
lim
x →1−
x+1
x2
−1
=
2
0−
=−∞ lim
x 1
x1
x2
−1
=
2
0
=∞
lim
x →∞
x+1
x2
−1
=∞
∞=0
- 8 - 6 - 4 - 2 2 4 6 8 1 0
- 1 4
- 1 2
- 1 0
- 8
- 6
- 4
- 2
2
4
6
8
1 0
1 2
1 4
x
y
x = 1
y = 0

4. d)

La posible asíntota vertical está en x=0, en
x=+1 también anula al numerador, por lo
que descartamos.

Estudiamos para x=0
Para x=0, tiene una asíntota vertical.
Calculamos el límite cuando x tiende a infinito,
para ver si tiene asíntota horizontal.
Cómo el límite en el infinito es 1, significa que la
función posee una asíntota horizontal en y=1.
f x=
x2
−1
x x−1
lim
x →∞
x2
−1
x(x−1)
=∞
∞=1
lim
x 0−
x2
−1
xx−1
=
−1
0
=−∞ lim
x 0
x2
−1
xx−1
=
−1
0−
=∞ -8 - 6 -4 -2 2 4 6 8 1 0
-1 4
-1 2
-1 0
- 8
- 6
- 4
- 2
2
4
6
8
1 0
1 2
1 4
x
y
x = 0
y = 1

5. e)
• La posible asíntota vertical es x=-1, pues es el
valor que solo anula al denominador.
• Calculamos lo límites laterales.
Como el grado del numerador excede en 1 al grado
del denominador, va a tener asíntota oblicua, no
tiene horizontal, porque el límite en el infinito es
infinito.
La asíntota oblicua será de la forma y=mx+n
La asíntota oblicua sera de ecuación y=x-1.
f x=
x2
x1
m= lim
x→+∞
x2
x+1
x
= lim
x→+∞
x2
x(x+1)
= lim
x→+∞
x2
x2
+x
=1
n= lim
x →+∞
x2
x+1
−1· x= lim
x→+∞
x2
x+1
−
x2
+x
x+1
= lim
x→+∞
−x
x+1
=−1
lim
x →−1−
x2
x+1
=
1
0−
=−∞ lim
x →−1+
x2
x+1
=
1
0+
=+∞
- 8 - 6 - 4 - 2 2 4 6 8
- 1 4
- 1 2
- 1 0
- 8
- 6
- 4
- 2
2
4
6
8
1 0
1 2
x
y
x = - 1
y = x - 1

6. e)
• La posible asíntota vertical es x=-1, pues es el
valor que solo anula al denominador.
• Calculamos lo límites laterales.
Como el grado del numerador excede en 1 al grado
del denominador, va a tener asíntota oblicua, no
tiene horizontal, porque el límite en el infinito es
infinito.
La asíntota oblicua será de la forma y=mx+n
La asíntota oblicua sera de ecuación y=x-1.
f x=
x2
x1
m= lim
x→+∞
x2
x+1
x
= lim
x→+∞
x2
x(x+1)
= lim
x→+∞
x2
x2
+x
=1
n= lim
x →+∞
x2
x+1
−1· x= lim
x→+∞
x2
x+1
−
x2
+x
x+1
= lim
x→+∞
−x
x+1
=−1
lim
x →−1−
x2
x+1
=
1
0−
=−∞ lim
x →−1+
x2
x+1
=
1
0+
=+∞
- 8 - 6 - 4 - 2 2 4 6 8
- 1 4
- 1 2
- 1 0
- 8
- 6
- 4
- 2
2
4
6
8
1 0
1 2
x
y
x = - 1
y = x - 1