Enunciado y demostración de los Teoremas de Rolle, Cauchy y Lagrange.

1. MATEMATICA II
1
APUNTE:
TEOREMAS DE LAS FUNCIONES DERIVABLES
I. Teorema de Rolle.
Sea f(x) continua en [a,b], y derivable por lo menos en (a,b). Si f(a) = f(b), entonces existe en (a,b) por lo menos un
punto c tal que f ´(c) = 0.
Expresión simbólica:
[ ]
( ) ( )   
  
Tesis
cfbac
bfaf
f
f
0)(:,
)()(
ba,enderivable
ba,encontinua
Hipotesis
=′∋∃⇒





=
Demostración:
Por el teorema de Weierstrass (teoremas de las funciones continuas) la función f(x) admite m y M en [a,b].
• Si m y M se obtienen en los extremos de [a,b], entonces, siendo por hipótesis f(a) = f(b) , resulta m = M, lo
que significa que la función es constante y por lo tanto f´(x) = 0 en todo punto de [a,b].
• Si uno de los valores m o M se obtiene en un punto interior c, entonces c resulta un punto interior de mínimo
o máximo relativo, de modo que necesariamente f ´(c ) = 0.
Ver gráficos:
Interpretación geométrica: En (a,b) existe por lo menos un punto interior en el cual la recta tangente es
paralela al eje x (es horizontal).
II. Teorema de Cauchy.
Sean f(x), g(x) continuas en [a,b], y derivables por lo menos en (a,b) y sea siempre g´(x) 0≠ en (a,b). Entonces
existe en (a,b) por lo menos un punto c tal que
)(
)(
)()(
)()(
cg
cf
agbg
afbf
′
′
=
−
−
.
(La razón de los incrementos es igual a la razón de las derivadas calculadas en un punto conveniente interior.)
Simbólicamente.
M=m
m
M

2. [ ]
( )
( )
    
TesisHipótesis
ba,enderivablegy
ba,encontinuagy
)c(g
)c(f
)a(g)b(g
)a(f)b(f
:b,ac
f
f
′
′
=
−
−
∋∃⇒



Demostración: (optativa)
Consideramos un función auxiliar:
[ ] [ ] )x(f)a(g)b(g)x(g)a(f)b(f)x( −−−=ϕ
Esta función cumple con la hipótesis del Teorema de Rolle:
 La función ϕ es continua y derivable en (a,b) porque es una combinación lineal de funciones
continuas y derivables.
 Por otra parte: )b()a( ϕ=ϕ
[ ] [ ]
).a(f)b(g)a(g)b(f
)a(f)a(g)a(f)b(g)a(g)a(f)a(g)b(f)a(f)a(g)b(g)a(g)a(f)b(f)a(
−=
+−−=−−−=ϕ
[ ] [ ]
).b(g)a(f)a(g)b(f)b(f)a(g)b(g)a(f
)b(f)a(g)b(f)b(g)b(g)a(f)b(g)b(f)b(f)a(g)b(g)b(g)a(f)b(f)b(
−=+−=
+−−=−−−=ϕ
Entonces por el Teorema de Rolle debe existir un punto c interior al intervalo (a,b) tal que 0=ϕ′ )c( , o sea,
La función derivada es:
[ ] [ ] )x(f)a(g)b(g)x(g)a(f)b(f)x( ′−−′−=ϕ′
Luego resulta:
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ] )c(g
)c(f
)a(g)b(g
)a(f)b(f
)c(f)a(g)b(g)c(g)a(f)b(f
)c(f)a(g)b(g)c(g)a(f)b(f
)c(
′
′
=
−
−
′−=′−
=′−−′−
=ϕ′
0
0
Se debe hacer notar que no hace falta exigir que 0≠− )a(g)b(g y 0≠′ )c(g porque si fuese así )x(g′ se
anularían en algún punto del intervalo y esto contradice la hipótesis del teorema.
III. Teorema de Lagrange. También se llama Teorema del valor medio.
Si la f(x) es continua en [a,b] y derivable por lo menos en (a,b), entonces existe en (a,b) por lo menos un punto c tal
que )(
)()(
cf
ab
afbf
′=
−
−
Simbólicamente:
[ ]
( )
( )
    
TesisHipótesis
ba,enderivable
ba,encontinua
)c(f
ab
)a(f)b(f
:b,ac
f
f
′=
−
−
∋∃⇒



Demostración:

3. En el teorema de Cauchy se puede poner xxg =)( , ya que resulta 01)( ≠=′ xg .
Resulta en este caso:
  1
)()()(
)()(
cf
ab
afbf
agbg
′
=
−
−
, o sea,
)(
)()(
cf
ab
afbf
′=
−
−
También se puede escribir:
( ) )c(f.ab)a(f)b(f ′−=−
El incremento de la función es igual al incremento de la variable independiente multiplicado por el valor de la
derivada en un conveniente punto interior.
Interpretación geométrica: Hay un punto interior al intervalo (a,b) en el cual la recta tangente a la curva es
paralela a la recta secante porque f tiene la misma pendiente que la recta.
f(a)
f(b)
a bc