1. I.E.S. Mediterráneo de Málaga Julio 2014 Juan Carlos Alonso Gianonatti
OPCIÓN A
Ejercicio 1.- En un partido de baloncesto femenino, el equipo de la Universidad de Oviedo ganó al de otra
universidad española con un marcador 64 a 48. El marcador obtenido por el equipo ganador se consiguió
mediante canastas de dos puntos, triples (canastas de tres puntos) y tiros libres (canastas de un punto). El
número de tiros libres fue dos más que cinco veces el número de triples. Además, el número de canastas de
dos puntos fue dos más que el número de tiros libres.
a) Plantee el sistema de ecuaciones resultante de lo anterior. (1 punto)
b) Escriba la matriz ampliada del sistema obtenido en a). (0,5 puntos)
c) ¿Cuántas canastas de cada tipo metió el equipo de la Universidad de Oviedo? (1 punto)
a)
Llamando D a las canastas de dos puntos, T a las de tres puntos y L a las canastas libres
( )
( ) ( )canastasTLDSoluciónD
DLLTT
c
adoDeterCompatibleSistemaincógnitasdeNúmeroArang
b
TLD
LD
TL
LTD
LD
TL
3,17,19,,19
217172353
18
54
5418
54
2
2
1800
011
510
60
2
2
330
011
510
)
min3
64
2
2
312
011
510
)
6432
2
25
6432
2
25
=⇒⇒=
⇒=−⇒=⇒=⋅−⇒==⇒=⇒
−
−
≡
−
−
⇒==⇒
−
−
=++
=−
=−
⇒
=++
+=
+=
Ejercicio 2.- Considere las rectas: 0:1 == zxr y
=+−
=++
132
5
:2
zyx
zyx
r
a) Estudie la posición relativa de 1r y 2r . (1,25 puntos)
b) Encuentre, si es posible, un plano paralelo a 1r y que contenga a 2r . (1,25 puntos)
a) Analizaremos si las rectas tienen un punto común, si el sistema que resulta, de igualar sus coordenadas,
es compatible determinado son secantes, si es compatible indeterminado las rectas coinciden
Si el sistema es incompatible y hay igualdad o proporcionalidad entre los vectores directores las rectas son
paralelas, de no serlo las rectas se cruzan en el espacio.
( )3,1,41,
3
1
,
3
4
3
3
42
:
3
1
35
3
4
2
3
4
2463643
0
0
:
2
1
1
−≡
−=
=
+=
−=
⇒+=⇒=++−⇒−=⇒−=⇒=+
=
=
=
rv
z
y
x
rzyzyzzxzxzx
z
y
x
r
µ
µ
µ
λ
1
2. I.E.S. Mediterráneo de Málaga Julio 2014 Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación del Ejercicio 2 de la opción A
b) El plano π queda determinado por lo vectores directores de la rectas 1r y 2r y por el vector PG, siendo P
un punto cualquiera de la recta 2r (tomaremos el indicado en su ecuación) y G el punto genérico del plano
buscado. Como los tres vectores, que tienen que ser coplanarios, determinan el volumen de un
paralelepípedo, que se calcula como el producto mixto de los tres, que tiene que ser nulo y la ecuación
pedida.
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) 06430423
0
314
010
32
,3,20,3,2,,
3,1,4
0,1,0
0,3,2 2
1
=−+≡⇒=+−
⇒=
−
−−
≡⇒
−−=−=
−=
=
⇒
zxzx
zyx
zyxzyxPG
v
v
PSiendo r
r
π
π
Ejercicio 3.- Sea la función: ( )
=
≠
−
=
0
0
1
xsik
xsi
x
e
xf
x
a) Determine razonadamente el valor del parámetro k para que la función sea continua para todos los
números reales.(1,25 puntos)
b) Estudie si esta función es derivable cuando x = 0, y en caso afirmativo halle f '(0). (1,25 puntos)
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
=
≠
−
=⇒=⇒==
⇒
=
=== →==
−
===
−+
−+
→→
→→→
01
0
1
1limlim0
0
1
1
lim
0
0
0
1
limlim
)
00
0
0
'
0
00
xsi
xsi
x
e
xfkxfxff
kf
e
ee
xfxfxf
a
x
xx
x
x
HopitalLAplicando
xx
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )0'
2
1
'lim'lim
00'
2
1
2
lim
2
lim
2
lim
0
0
0
10
'lim'lim
00
0
1
'
)
00
000
'
2
00
00
2
fxfxf
f
e
x
xe
x
eexeee
xfxf
xsi
xsi
x
exe
xf
b
xx
x
x
x
x
xxx
x
HopitalLAplicando
xx
xx
≠==
=
===
−+
= →==
+−⋅
==
⇒
=
≠
−−
=
−+
−+
→→
→→→→→
No es derivable en x = 0
2
3. I.E.S. Mediterráneo de Málaga Julio 2014 Juan Carlos Alonso Gianonatti
Ejercicio 4.- Calcule una primitiva de la función dx
x
xx
∫
+−
3
3
53
Kxxxxxxxxxxx
xxxxxxxdxxdxx
xdxxdxxdxxdx
x
x
dx
x
x
x
dx
dx
x
x
dx
x
x
+
+−=+⋅−⋅=+−=
=+⋅−=+
+
⋅−
+
=+−=
=
+−
+−=+−=+−
++
+−−
∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫
3 233 23 23 233 23 53 11
3 23
5
3
11
3 2
1
3
2
1
3
8
3
2
3
2
3
8
1
3
1
3 23 83
1
3
3
3
9
333
3
2
3
5
9
11
3
2
3
5
9
11
3
2
3
5
9
11
3
2
3
3
5
1
3
3
11
1
2
3
1
3
2
1
3
1
3
8
1
3
2
1
3
1
3
1
1
35353
3
4. I.E.S. Mediterráneo de Málaga Julio 2014 Juan Carlos Alonso Gianonatti
OPCIÓN B
Ejercicio 1.- Dados los números reales a, b, c, d, se considera la matriz
=
dc
ba
A . Pruebe que el
polinomio ( ) ( )2det xIAxp −= es ( ) ( ) ( )AxAtrazaxxp det2
+−= . (2,5 puntos)
Nota: traza(A) es la suma de los elementos de la diagonal de A.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
−++−=
−++−=−+−−=−−−=
−
−
=−=
++−=+−
−
−
=
−
=
⋅−
=−
bcadxdaxxp
bcxxdaadbcxdxaxadbcxdxa
xdc
bxa
xIAxp
dc
ba
xdaxAxAtrazax
xdc
bxa
x
x
dc
ba
x
dc
ba
xIA
2
22
22
det
det
0
0
10
01
Queda demostrado que es la misma expresión.
Nota: traza(A) es la suma de los elementos de la diagonal principal de A
Ejercicio 2.- Halle el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano x + y − 2z −1
= 0 con los ejes coordenados. (2,5 puntos)
El área del triángulo determinado por los puntos de corte A, B y C del plano con los ejes OX, OY y OZ
respectivamente es la mitad del módulo del producto vectorial de AB y AC
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
−⇒
−=
=
=
⇒−=⇒=−⋅−+⇒
=
=
=
≡⇒
=
⇒
⇒
=
=
=
⇒=⇒=−⋅−+⇒
=
=
=
≡⇒
=
⇒
⇒
=
=
=
⇒=⇒=−⋅−+⇒
=
=
+=
≡⇒
=
⇒
2
1
,0,0
2
1
0
0
2
1
012000
0
0,0,0
1,0,0
0,1,0
0
1
0
101020
0
0
0,0,0
0,1,0
0,0,1
0
0
1
101020
0
0
0
0,0,0
0,0,1
C
z
y
x
C
z
y
x
r
O
v
OZconCorte
B
z
y
x
B
z
y
x
r
O
v
OYconCorte
A
z
y
x
A
z
y
x
r
O
v
OXconCorte
OZ
OZ
OY
OY
OX
OX
δδ
δ
µµµ
λλ
λ
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2
2
4
6
2
6
2
1
2
6
4
6
4
1
1
4
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
01
011
2
1
2
1
,0,10,0,1
2
1
,0,0
0,1,10,0,10,1,0
uAACAB
jki
kji
ACABACABA
AC
AB
=⋅=⇒==++=
−++
−=∧
−+−=
−−
−=∧⇒∧⋅=⇒
−−=−
−=
−=−=
4
5. I.E.S. Mediterráneo de Málaga Julio 2014 Juan Carlos Alonso Gianonatti
Ejercicio 3.- a) Encuentre todas las funciones f (x) cuya segunda derivada es ( ) x
xexf ='' .
(1,5 puntos)
b) De todas ellas determine aquella cuya gráfica pasa por los puntos A(0 , 2) y B(2 , 0). (1 punto)
a)
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) 842844
4
02
4
02022202
4220212020
)
2
'
22
00
+−−=⇒=⇒=+−
−=
⇒
=+
−=−−
⇒
=+⇒=+⋅+⋅−⋅⇒=
=+⇒=++−⇒=+⋅+⋅−⋅⇒=
⇒++−=+−−=+−=+−=
==⇒=
=⇒=
+−=−==
∫ ∫∫ ∫
∫
∫∫
xexexfCC
K
CK
CK
CKCKeef
CKCKCKeef
b
CKxexeKxeexedxKdxedxxedxKexexf
edxevdvdxe
dudxux
Kexedxexedxxexf
xx
xxxxxxxxx
xxx
xxxxx
Ejercicio 4.- Considere la función ( ) 2
3
x
b
axxf ++= .
a) Determine el valor de los números reales a y b para que en el punto de abscisa x =1 su gráfica admita
como tangente la recta y = 3x . (1,25 puntos)
b) Halle las asíntotas de la curva cuando a =1 y b = −1. (1,25 puntos)
( )
( )
( )
101
133
32
0
323
1
2
31'
0333
1
313131
2
'
)
3
2
3
=⇒=−
⇒−=⇒=−⇒
=−
=−−
⇒
=−⇒=−⇒=
=+⇒=++⇒=++⋅⇒=⋅=
−=
aa
bb
ba
ba
ba
b
af
baba
b
af
x
b
axf
a
( )
−∞→⇒∞=−+∞=
∞
−+−∞=
−+=
∞→⇒∞=−+∞=
∞
−+∞=
−+=
=⇒⇒⇒−=−+⋅=⇒=⇒=
−∞→
∞→
xcuandohorizontalasíntotaexisteNo
x
xy
xcuandohorizontalasíntotaexisteNo
x
xy
eshorizontalAsíntotas
xverticaltotaAsoluciónSinafxx
b
x
x
03
1
3
1
3lim
03
1
3
1
3lim
0sin
0
1
3
0
1
30000
)
2
2
2
2
5
6. I.E.S. Mediterráneo de Málaga Julio 2014 Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación del Problema 4 de la Opción B
( )
( )[ ]
( )
( )[ ]
−∞→+=
⇒=−=
∞
−=
−=
−−+=
⋅−
−+=−=
=−+=
∞−
−
∞−
+=−+=
−+
==
∞→+=
⇒=−=
∞
−=
−=
−−+=
⋅−
−+=−=
=−+=
∞
−
∞
+=−+=
−+
==
−∞→−∞→−∞→−∞→
−∞→−∞→−∞→
∞→∞→∞→∞→
∞→∞→∞→
xcuandoxyoblicuaasíntotaExiste
x
x
x
xx
x
xmxxfn
xxx
x
x
x
x
x
xf
m
xcuandoxyoblicuaasíntotaExiste
x
x
x
xx
x
xmxxfn
xxx
x
x
x
x
x
xf
m
oblicuasAsíntotas
ónContinuacib
xxxx
xxx
xxxx
xxx
3,
303
1
3
1
3lim
1
3lim1
1
3limlim
1001
13
1
13
lim
1
3
limlim
3,
303
1
3
1
3lim
1
3lim1
1
3limlim
1001
13
1
13
lim
1
3
limlim
)
222
3
2
222
3
2
6
