Este documento presenta conceptos básicos de trigonometría. Define las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo y explica cómo calcularlas en función de los lados del triángulo. También resuelve problemas aplicando estas definiciones y el teorema de Pitágoras.

1. Semana 5Semana 5
TrigonometríaTrigonometría

2. Material DidácticoAcademia ADUNI
El teorema de Pitágoras es el siguiente.
a
b
c
c2
= a2
+ b2
¡Recuerde que...!
Un cateto puede ser opuesto o adyacente
según el ángulo agudo que se considere.
a
b
c
α
θ
cateto
opuesto
cateto
adyacente
hipote-
nusa
1
respecto
al S q
a b c
respecto
al S a
b a c
Observación
semana
05
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
en el triángulo rectángulo
DEFINICIÓN
Es el cociente que se obtiene al dividir las longitudes de dos lados
de un triángulo rectángulo respecto a uno de sus ángulos agudos.
c
θ
a
bA
B
C
Elementos
a: cateto opuesto al ángulo q
b: cateto adyacente al ángulo q
c: hipotenusa
q: ángulo agudo (0° < q < 90°)
De la figura, se define
seno sen
cateto opuesto al
hipotenusa
θ
θ
= =
S a
c
coseno cosθ
θ
= =
cateto adyacente al
hipotenusa
S b
c
tangente tanθ
θ
θ
= =
cateto opuesto al
cateto adyacente al
S
S
a
b
cotangente cot θ
θ
θ
= =
cateto adyacente al
cateto opuesto al
S
S
b
a
secante secθ
θ
= =
hipotenusa
cateto adyacente al S
c
b
cosecante cscθ
θ
= =
hipotenusa
cateto opuesto al S
c
a

3. Anual Virtual ADUNI Trigonometría
Las razones trigonométricas de un ángu-
lo agudo no dependen de la longitud de
los lados, sino de la medida del ángulo.
A
B M
N
C
θ
• tanθ = =
AB
BC
NM
MC
• senθ = =
AB
AC
NM
NC
¡Sabía que...!
Se puede construir la mitad del ángulo
agudo de un triángulo rectángulo de la
siguiente manera.
θ
θ/2
θ/2
a
bcM A C
B
c
Observación
COVEÑAS NAQUICHE, Manuel.
Matemática 5: Educación secundaria.
Lima: Bruño, 2008.
Bibliografía
Problemas resueltos
1. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se cumple que
tan A =
9
40
. Halle M
C C
C C
=
+( )
+
41 sen cos
tan sec
.
Resolución
Construimos el triángulo rectángulo recto en B.
A B
C
41k=b
c=40k
a=9k
tan A
a
c
a k
b k
= = →
=
=



9
40
9
40
Por teorema
b2
=(9k)2
+(40k)2
→ b=41k
Piden
M
k
k
k
k
k
k
k
k
=
+




+
=
41
40
41
9
41
40
9
41
9
49
9
∴ =M
7
3
2. Si AB=DC, halle tanx – coty.
AD
B
C
x
y
Resolución
AD
B
C
x
y
n m
n
Sean AB=DC=n y AD=m.
Piden
tan cotx y
m
n
n m
n
m n m
n
− = −
+
=
− +( )
∴ tanx – coty= – 1

4. Material DidácticoAcademia ADUNI
Conociendo el valor de la razón trigo-
nométrica de un ángulo agudo, es posi-
ble calcular el valor de las demás razo-
nes trigonométricas.
¡Recuerde que...!
Si senθ =
2
5
; q ∈ 〈0°; 90°〉,
calcule 21 5tan cos .θ θ+( )
Resolución
θ
2 5
x
Por teorema de Pitágoras
(5)2
=(2)2
+x2
x = 21
M = +( )21 5tan cosθ θ
M
x
x
= + ⋅



21
2
5
5
M = +



21
2
21
21
M = 2 + 21
∴ M=23
Aplicación
3. Si el perímetro del triángulo rectángulo ABC, recto en C, es
90 m y tan A =
12
5
, calcule la longitud de la hipotenusa.
Resolución
Construimos el triángulo rectángulo ABC con la condición
tan A( ) =
12
5
C
x
B
5n
12n
A
Por teorema de Pitágoras
x=13n
Por dato
12n+5n+x=90
17n+13n=90
n=3
Por lo tanto, la longitud de la hipotenusa es
x=13n=13(3)=39 m
4. Si el área de la región sombreada es 8 u2
y tanθ =
1
4
, calcule el
valor de x.
x
θθ
Resolución
Por dato
tanθ = =
1
4 4
n
n
x
n
4n
θθ
Por teorema de Pitágoras
x2
=n2
+(4n)2
x n= 17 (I)
Por dato
S
n
= →
( )( )
=8
4
2
8
→ n2
=4
→ n=2
Reemplazamos n=2 en (I).
∴ x - 2 17

5. Anual Virtual ADUNI Trigonometría
Práctica dirigida
1. En la construcción de una escalera se tiene
que los pasos miden 30 cm y los contrapasos
miden 15 cm. Halle la distancia de P hasta Q.
P
contrapaso
paso
QQQ
A) 60 5 cm
B) 30 5 cm
C) 20 5 cm
D) 10 5 cm
2. Considere el triángulo rectángulo formado
por la grúa, la vertical y la horizontal. Calcule
sena+cosa
15
17
α
A)
17
23
B)
23
17
C)
23
15
D)
17
8
3. El padre de Samuel tiene un huerto en forma
de un triángulo rectángulo y quiere cercarlo
con una malla. Aficionado a las matemáticas,
decide nombrar con las letras A, B y C los vér-
tices del huerto, siendo el triángulo recto en B.
Si tanA =
12
5
y a+c=34 m, determine la canti-
dad de malla que tiene que comprar.
A) 60 m B) 70 m C) 80 m D) 90 m
4. Desde dos puntos A y B a los lados de un poste
y distanciados 145 m, se observa la parte más
alta de dicho poste con ángulos a y q como
indica el gráfico. Si tanα =
2
5
y tanθ =
3
7
, halle
la altura del poste.
145 m
AA BB
α θ
A) 30 m B) 18 m C) 24 m D) 36 m
Práctica domiciliaria
1. Si un bambú de 10 m de altura se quiebra a
causa del viento de manera tal que la punta
toca al suelo a 8 m de distancia de la base, ¿a
qué altura a partir del suelo fue quebrado el
bambú?
10 m
8 m
A) 1,5 m B) 1,6 m C) 1,7 m D) 1,8 m

6. Academia ADUNI Material Didáctico
2. Se necesita construir una escalera para lavar
un tanque de agua que se encuentra a 6 m de
altura, además, la escalera será inclinada un
ángulo q tal que cot θ =
7
3
. ¿Cuánto debe me-
dir la escalera?
H2OH2O
θ
6
A) 12 m B) 15 m C) 8 m D) 7 m
3. A partir de la figura, considerando los cuadra-
dos idénticos, calcule tanx+coty.
y
x
A) 1 B) 2 C) 3 D) 1/2
4. Un mecánico utiliza cierta rampa en su taller
como se observa en la figura. Si el seno del án-
gulo agudo formado entre la rampa y la super-
ficie es 0,19 y H=0,57 m, determine la longitud
de la rampa.
HHH
ααα
rampa
A) 1 m B) 2 m C) 3 m D) 4 m
5. Un maestro de obra diseña una escalera y rea-
liza un encofrado con las medidas que se ob-
servan en la figura. Si cotθ=2, calcule la altura
de la escalera.
30 cm
30 cm
30 cm
30 cm
30 cm
30 cm
30 cm
30 cm
θ
h
A) 120 cm
B) 240 cm
C) 150 cm
D) 90 cm
6. El perímetro de un triángulo rectángulo es
120 m y el valor del seno de uno de sus ángu-
los agudos es
12
13
. Calcule la longitud del cateto
mayor.
A) 48 m B) 20 m C) 52 m D) 90 m
7. Para medir la altura de una montaña, un topó-
grafo realiza dos observaciones de la cima con
unadistanciade200mentreellas,enlínearecta
con la montaña (ver figura) tal que tanq=2 y
cot α =
1
6
. Calcule la altura de la montaña.
200 m200 m
1 m
θ α
A) 601 m B) 600 m C) 580 m D) 500 m

7. Anual Virtual ADUNI Trigonometría
8. Del gráfico mostrado, calcule sec cotθ θ+ 5 .
5
6
θ
4
A) 3/2 B) 7/2 C) 9/2 D) 5/2
9. En el gráfico, AOB es un sector circular. Si N es
punto medio de OB y OM=2(AM), halle cota.
A
α
M O
N
B
A)
2 3 3
2
-
B)
2 3 2
3
-
C)
3 3 4
3
-
D)
3 2 2
3
-
10. Si tanα = −5 1, donde a<90°, calcule
E = + −( )sec cos2 2
7 2 5α α
A) 7 2 5+
B) 8 2 5-
C) 8 2 5+
D) 7 2 5-
UNMSM 2017 - I
01 - D
02 - C
03 - A
04 - C
05 - A
06 - A
07 - A
08 - B
09 - C
10 - B