1. Trigonometría
SEMANA 8
CIRCUNFERENCIA RESOLUCIÓN
TRIGONOMÉTRICA Si: " "  III C   1  sen   0
1. ¿Qué valores puede tomar “x” 1  2x 1  2x
Como: sen    1  0
para que se cumpla: 3 3
x 2 x 1  3  1  2x  0
Sen    siendo 
3 2  4  2x  1
un arco del tercer cuadrante? 1
2x
2
1 3 1 2 1
A) ; B) ; C) 1; 1
5 5 5 5 5  "x"  ;2
2
2 3
D) 0; E) 0;
5 5
RPTA.: C
RESOLUCIÓN 3. Indique el producto de los
x  2 x  1 5x  1 valores mínimo y máximo de la
Sen    
3 2 6 expresión:
Q  4  3 cos 2   2 sen 3  ;   
Como:   III C  1  Sen   0
A) 18 B) 36 C) 9
5x  1 D) 40 E) 20
1  0
6
6 <5x  1 > 0 RESOLUCIÓN
5 <5x < 1
Sabemos:
1
1 < x < 0  cos 2   1  0  3 cos 2   3 ….(i)
5
 1  sen 3   1  2  2sen 3   2 .(ii)
1
 x   1; (i) + (ii):
5
RPTA.: C
 2  3 cos 2   2sen 3   5
2. Si: sen  
1-2x
 "  "  IIIC ; 2  4  3 cos 2   2sen 3   9
3
Halle la variación de “x” QMínimo “Q” QMàximo
1 1
A)  ;2 B)  2;
2 2
 Qmínimo  máximo  18
1
C) ;2 D) 2;2
2
E) 1;1 RPTA.: A
Página 134

2. Trigonometría
4. Determine la veracidad (V) o A) VVFV B) VFVF
falsedad (F) de c/u de las C) VVVF D) VFFV
siguientes proposiciones E) VFFF
(I) sen2 > sen1 > sen3 ( )
(II) sen 6 > sen4 > sen5 ( ) RESOLUCIÓN
(III) cos 6  cos1  cos5 ( )

(IV) cos 2  cos 4  cos3 ( )
x2 2
A) FFVV B) VVFF
x1
C) VVFV D) FVFV
E) VFVF

RESOLUCIÓN

 1,57
2
2
cos 2 1
I. sen x,  sen x 2 (V)
cos 1
II. cos ( x1 )  cos( x 2 ) (F)
sen 2
III. tg x1  tg x 2 (F)
sen 1
3 cos 3 IV. ctg (1)  ctg ( x 2 ) (F)
sen 3 O
  314 2  6,28 RPTA.: E
sen 6
sen 4
cos 6
6
6. Halle el mínimovalor de:
sen 5
E  5 cos a  3sen b siendo “a” y
cos 4 2
4
cos 5
“b” ángulos diferentes.
3 5
 4,71
2
A) -4 B) -5 C) -6
Según la C.T. las proposiciones D) -7 E) -8
serán:
(I)  (V) RESOLUCIÓN
(II)  (V)
(III)  (F) Como: E  5 cos a  3 sen2 b
(IV)  (F) Mín Mín Máx
RPTA.: C
EMin  5  1  3(1)

5. Si:  x2  x1   ; analizar la EMin  8
2
RPTA.: E
verdad (v) ó falsedad (F) de las
siguientes proposiciones:
7. Calcule el valor máximo que
I. senx1  senx2
toma la expresión:
II. cos(x1 )  cos(x2 )
III. tgx1  tgx2 4 sen x  3
E
IV. ctg(x1 )  ctg(x2 ) 4  sen x
Página 135

3. Trigonometría
7 1 2 9. Calcule el intervalo de
A) B) C)
3 5 5 y  (2senx  1)(2senx  1)
7 3
D) E)
4 5 A)  2; 3 B) 0; 3
C)  1; 3 D)  1; 4
RESOLUCIÓN E)  1; 2
Como:
4 sen x  3 RESOLUCIÓN
E 44
4  sen x Como: y  4 sen 2 x  1
 19 Pero: 0  sen 2 x  1
E 4
4  sen x 0  4 sen 2 x  4
1  y  3
Pero:  1  sen x  1 y   1; 3
3  4  sen x  5 RPTA.: C
1 1 1
 
5 4  sen x 3 10. Halle los valores de
7 1 1 cos  x  30 , si x  0;30
  E   Emáx 
3 5 5
RPTA.: B 1 3
A) ;1 B) ;1
2 2
3a  1
8. Si: x  IV C y cos x 
4 C)
1 3
; D)
3 1
;
Entre que límites está “a” 2 2 2 2
E)  1;1
1
A)  ;1 B)  1;1
3
RESOLUCIÓN
1 1
C)  ;1 D)  ;1
2 4 Como: 0  x  30
E)  1; 2
30  x  30  60
C.T.
RESOLUCIÓN
Como: 0  cos x  1
3a  1 cos 60º
O 60º
0 1
4
1
  a 1
3
O 30º
1
a  ;1 cos 30º
3
RPTA.: A
cos x  30 
1 3
;
2 2
RPTA.: C
Página 136

4. Trigonometría
sen  2 RESOLUCIÓN
11. Si   II C y csc 
sen  1 2 sen   1 3 1
1 
determine la variación de 2 2
“ csc 2  ” 1 3
  sen 
2 2
9 3 2
A) ;10 B) ; 2
2 5 5
3
3 3 3 7 5
C) ; D) ; 6
O
4 4 5 5
9
E) ;4
4
RESOLUCIÓN C.T.
1
csc  1   2 5
sen   1    ;
3 6
Como   II C
RPTA.: C
 0  sen  1 1  sen   1 2

1

1 3
 1  1 
1
2 13. En la figura mostrada halle las
2 sen   1 2 sen   1 coordenadas del punto “P”
y
csc 

9
Luego:  csc 2   4 1 C.T.
4
9
 csc 2   ; 4 1 1 A
4 x
O
RPTA.: E
P(x,y)
12. Determine la extensión de “  ”
que cumple con:
 2 sen  1 3 1
     1 
2 2 2
A) P  sen ;  cos  
 2 5  2 5  B) P  sen ;  cos 
A)  ; B) ;
 3 6   3 6  C) P  sen ; cos 
 5  2 5 D) P  cos ; sen 
C) ; D)  ;
3 6  3 6 E) P  sen ; cos 
2 5
E) ;
3 6
Página 137

5. Trigonometría
RESOLUCIÓN Del gráfico:
y  2 cos   cos  

S  sen 
 cos ;sen   C.T.  2 

 3 cos  
S  sen 
x  2 
O
  3 cos  
 sen ;cos   P  sen ;cos   S   sen  
 2 
RPTA.: E  S  1,5 sen  cos  2
RPTA.: A
14. En la circunferencia
trigonométrica mostrada halle 15. En la figura halle PR , si:
el área de la región sombreada. 5
y sen  
7
y
1
P
1 1 1
x
O  A
 R
x
1
C.T.
C.T.
A) 1,5.sen .cos  2
B) 1,5.sen .cos  2
A)
7
B)
7
C)
11
C) 3.sen  .cos   2 11 10 7
D) 3.sen .cos  2 10
D) E) 2
E) sen .cos   2 7
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
y
y
C.T.
C.T. P
5
1 sen  
R O  7
x x
O cos  M
 1
cos 
sen 
S
2 cos 
Página 138

6. Trigonometría
RESOLUCIÓN
2
5
PMO : 1     cos   y
2 2
7 cos 
24
 cos 2  
49  cos 
PMR : PR  PM  MR
2 2 2
2
PR  sen   2 cos  
2 2 2
PR  sen 2   4 cos 2 
2
25 24 sen 
PR   4
2
49 49
121 B’
PR 
2
49
11
 PR  () (+)
7
 cos  sen   1
RPTA.: C S  2  
 2  2
 
16. En la circunferencia  sen . cos  2
trigonométrica determine el S .u
2
área de la región en término de RPTA.: B
“  “ siendo OP  PB .
y
´ 17. Del gráfico mostrado calcule el
área del cuadrilátero
sombreado. y
M Q

o
A
P
C.T. x
B’

 sen  sen cos 
A) B)
2 cos   1 2
2
2 cos  sen cos 
C) D)
2 sen   1 2sen  1 A) 0,5 sen   cos  
1  2 cos  .sen  B) 0,5  sen   cos 
E)
sen 
C) 0,5  cos   sen 
D) 0,5  sen   cos 
E) 0,5sen  cos 
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7. Trigonometría
RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN
S  S1  S 2 y
Calculamos 2
C.T.
cos 135º  
135º 2
 cos 
cos180º  1
180º x
S1 cos 210º  
3
210º 2
sen  S2
  cos 
Se observa:
Si: 135    210
2
  1  cos   
2
1   2  2 cos   1
S1  (cos )
2 1  2  2cos   1  0
S2 
1
2
(sen )  
P  1 2 ; 0
S  0,5(sen   cos ) RPTA.: D
RPTA.: A
18. Si se sabe que: “ ” 19. Si: 2  sen   1  8  5cos  ,
 135; 210 , dar la variación halle: “ csc   sec  “
de: P  2.cos   1 9 1
A) 2 B)  C) 
4 4

B) 1  2 ; 0
2 9 1
A)  1;  D) E)

 2 4 4

C)  2 ;  1 
D) 1 2 ; 0 RESOLUCIÓN
Condición:
E) 1 2 ; 0 2  sen  1  8  5 cos
Se observa que:
sen 1  0  sen  1
 sen  1  sen  1  csc  1
¡Incompatible!
Reemplazando en la condición:
2  0  8  5 cos 
Página 140

8. Trigonometría
4 1
 cos     csc  1 S  ( sen  cos  )
5 2
S  . 2 sen   
5 1 1
 csc  sec  1    4
4 4 2
RPTA.: C 3
Como:   
4
3   3
20. Si  ; , de la   
4 2 4 4
circunferencia trigonometrica 2  
 sen     1
determina la variación de la 2  4
región sombreada. 
1 2  2
 . sen    
2 2  4 2

1 2
 S ;
2 2
RPTA.: A
21. Halle el área de la región
sombreada en términos de
“  ”. y
1 2 2  x2  y2  1
A) ; B) 0;
2 2 2
1 1 2
C) 0; D)  ; x
2 2 2

1 3
E) ;
2 2
RESOLUCIÓN
A) 1  cos  B) 1  sen 
 cos ;sen  sen  C) 1  sen  D) 1  cos 
 sen  ;  cos   E) 2 sen
cos 
S
1
1 sen   cos  
2
Página 141

9. Trigonometría
RESOLUCIÓN 2b - a = 1...  
y     
 3b = 2
2
b
sen 3

x 1
 a
1 + Sen
cos  3
a
 tg     III C, tg  ()
b
1
1
1
tg   3  tg  
2 2
3
A = (1 + sen) x 1
RPTA.: C
A = 1 + sen
RPTA.: C
23. El siguiente gráfico es una
circunferencia trigonométrica.
Calcule el área del triángulo
22. Calcule “ tg ” en el siguiente
EBF.
circulo trigonométrico.
y y
2
A) B
2
B) 2 F
1 1
C) A  A
2
=
=
x x
3 
D)
2 C.T. C.T.
E) 1 E
RESOLUCIÓN
a + b = 1 …   A) cos  B) 2 cos 
( OBT) = BPR C) sen D) 2 sen
1 1 a 1
 E) sen 
1 b 2
2
2b = 1 + a
Página 142

10. Trigonometría
RESOLUCIÓN 24. Si: 2  3 tg x  1 , entonces
todos los valores de “x” en
0; que verifique la
B
desigualdad, se encuentran

cos  F comprendido en:
1
     
A)  ;  B)   ; 
3 2   4 3
 2 3   
C)   ;  D)  ; 
 3 2 6 3
E E) 0; 6
RESOLUCIÓN
1
Área EBF  (2) cos   1  2  3 tan x  1 3   3tg x  1
2
Área EBF  cos  1 3   
  tg x   x  ; 
RPTA.: A 3 3 6 3
3
3
3
RPTA.: D
Página 143