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Trigonometría
                 SEMANA 8
     CIRCUNFERENCIA                                         RESOLUCIÓN
     TRIGONOMÉTRICA                                         Si: " "  III C   1  sen   0

1.   ¿Qué valores puede tomar “x”                                           1  2x        1  2x
                                                            Como: sen             1         0
     para que se cumpla:                                                       3             3
                 x 2 x 1                                                           3  1  2x  0
     Sen                        siendo    
                   3    2                                                            4  2x  1
     un arco del tercer cuadrante?                                                                1
                                                                                         2x
                                                                                                  2
        1 3               1 2                 1
     A)  ;             B)   ;        C) 1;                                                  1
        5 5               5 5                 5                                   "x"        ;2
                                                                                             2
           2                 3
     D) 0;             E) 0;
           5                 5
                                                                                           RPTA.: C

     RESOLUCIÓN                                       3.    Indique el producto de los
             x  2 x  1 5x  1                             valores mínimo y máximo de la
     Sen             
               3     2     6                                expresión:
                                                            Q  4  3 cos 2   2 sen 3  ;   
     Como:   III C  1  Sen   0
                                                            A) 18           B) 36           C) 9
          5x  1                                            D) 40           E) 20
     1          0
            6
     6 <5x  1 > 0                                         RESOLUCIÓN
     5 <5x < 1
                                                            Sabemos:
                1
     1 < x <                                               0  cos 2   1  0  3 cos 2   3 ….(i)
                5
                                                             1  sen 3   1  2  2sen 3   2 .(ii)
                 1
     x   1;                                              (i) + (ii):
                 5
                                    RPTA.: C
                                                             2  3 cos 2   2sen 3   5
2.   Si: sen  
                     1-2x
                           "  "  IIIC ;                  2  4  3 cos 2   2sen 3   9
                       3
     Halle la variación de “x”                              QMínimo         “Q”             QMàximo
            1                   1
     A)  ;2            B)  2;
            2                   2
                                                           Qmínimo  máximo  18
          1
     C)     ;2          D) 2;2
          2
     E) 1;1                                                                              RPTA.: A




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Trigonometría
4.     Determine la veracidad (V) o                                                                     A) VVFV                      B) VFVF
       falsedad (F) de c/u de las                                                                       C) VVVF                      D) VFFV
       siguientes proposiciones                                                                         E) VFFF
       (I) sen2 > sen1 > sen3 (                                                      )
       (II) sen 6 > sen4 > sen5 (                                                    )                  RESOLUCIÓN
       (III) cos 6  cos1  cos5 (                                                   )
                                                                                                                             
       (IV) cos 2  cos 4  cos3 (                                                   )
                                                                                                                    x2       2

       A) FFVV                                       B) VVFF
                                                                                                             x1
       C) VVFV                                       D) FVFV
       E) VFVF
                                                                                                             

       RESOLUCIÓN
                                                     
                                                        1,57
                                                     2
                         2
                                 cos 2                         1
                                                                                                 I.     sen x,  sen x 2             (V)
                                             cos 1
                                                                                                 II.    cos ( x1 )  cos( x 2 )    (F)
                         sen 2




                                                                                                 III.   tg x1  tg x 2               (F)
                                                       sen 1




       3        cos 3                                                                            IV.    ctg (1)  ctg ( x 2 )      (F)
           sen 3                                                               O
   314                                                                       2  6,28                                                   RPTA.: E
                                                                   sen 6
             sen 4




                                                      cos 6
                                                                           6
                                                                                                 6.     Halle     el     mínimovalor de:
                                            sen 5




                                                                                                        E  5 cos a  3sen b siendo “a” y
                     cos 4                                                                                                       2
             4

                                         cos 5
                                                                                                        “b” ángulos diferentes.
                                 3              5
                                     4,71
                                 2
                                                                                                        A) -4            B) -5             C) -6
       Según la C.T. las proposiciones                                                                  D) -7            E) -8
       serán:
       (I)       (V)                                                                                   RESOLUCIÓN
       (II)      (V)
       (III)     (F)                                                                                   Como:       E  5 cos a  3 sen2 b
       (IV)      (F)                                                                                               Mín    Mín      Máx
                             RPTA.: C
                                                                                                        EMin  5  1  3(1)
              
5.     Si:       x2  x1   ;                         analizar                         la             EMin  8
              2
                                                                                                                                           RPTA.: E
       verdad (v) ó falsedad (F) de las
       siguientes proposiciones:
                                                                                                 7.     Calcule el valor máximo que
       I.    senx1  senx2
                                                                                                        toma la expresión:
       II.   cos(x1 )  cos(x2 )
       III.          tgx1  tgx2                                                                             4 sen x  3
                                                                                                        E
       IV.           ctg(x1 )  ctg(x2 )                                                                    4  sen x



                                                                                         Página 135
Trigonometría
        7             1                  2            9.     Calcule              el      intervalo       de
     A)            B)              C)
        3             5                  5                   y  (2senx  1)(2senx  1)
        7             3
     D)            E)
        4             5                                      A)  2; 3                   B) 0; 3
                                                             C)  1; 3                   D)  1; 4
     RESOLUCIÓN                                              E)  1; 2
     Como:
        4 sen x  3                                          RESOLUCIÓN
     E             44
         4  sen x                                           Como: y  4 sen 2 x  1
            19                                              Pero: 0  sen 2 x  1
     E            4
        4  sen x                                                     0  4 sen 2 x  4
                                                                      1  y  3
     Pero:  1  sen x  1                                            y   1; 3
     3  4  sen x  5                                                                           RPTA.: C
     1       1      1
                 
     5 4  sen x 3                                    10.    Halle       los       valores                de
       7       1           1                                 cos  x  30 , si x  0;30
       E   Emáx 
       3       5           5
                                 RPTA.: B                          1                               3
                                                             A)      ;1                    B)        ;1
                                                                   2                              2
                                         3a  1
8.   Si:    x  IV C      y    cos x 
                                           4                 C)
                                                                      1 3
                                                                       ;                   D)
                                                                                                  3 1
                                                                                                   ;
     Entre que límites está “a”                                       2 2                        2 2
                                                             E)  1;1
           1
     A)  ;1               B)  1;1
           3
                                                             RESOLUCIÓN
            1                  1
     C)  ;1               D)  ;1
            2                  4                             Como:                0  x  30
     E)  1; 2
                                                                                  30  x  30  60
                                                            C.T.
     RESOLUCIÓN
     Como: 0  cos x  1
               3a  1                                       cos 60º
                                                                          O 60º
           0         1
                 4
             1
             a 1
             3
                                                                                       O 30º
                 1
           a  ;1                                          cos 30º
                 3
                                  RPTA.: A
                                                             cos x  30 
                                                                                   1 3
                                                                                    ;
                                                                                   2 2
                                                                                                 RPTA.: C
                                              Página 136
Trigonometría
                                     sen  2                  RESOLUCIÓN
11.   Si     II C       y    csc 
                                     sen  1                     2 sen   1   3 1
                                                               1             
      determine           la   variación de                            2         2
      “ csc 2  ”                                              1            3
                                                                 sen 
                                                               2           2
           9                             3 2
      A)     ;10               B)         ;                     2
           2                            5 5
                                                                 3
             3 3                    3 7                       5
      C)      ;                D)    ;                        6
                                                                O
            4 4                     5 5
           9
      E)     ;4
           4

      RESOLUCIÓN                                                                          C.T.
                      1
      csc  1                                                    2 5
                sen   1                                       ;
                                                                  3 6
      Como   II C
                                                                                                 RPTA.: C
     0  sen  1 1  sen   1 2


      1
        
              1           3
                    1  1 
                                    1
                                           2           13.    En la figura mostrada halle las
      2 sen   1         2      sen   1                     coordenadas del punto “P”
                                                                                      y
                                    csc 
                                                                            
               9
      Luego:      csc 2   4                                                     1               C.T.
               4
               9
     csc 2   ; 4                                                         1              1      A
               4                                                                                          x
                                                                                  O
                                     RPTA.: E
                                                                                                 P(x,y)
12.   Determine la extensión de “  ”
      que cumple con:
                    2 sen  1   3 1
             1            
      2                  2         2
                                                               A) P  sen ;  cos  
          2 5                   2 5                     B) P  sen ;  cos 
      A)  ;                   B)     ;
          3 6                     3 6                     C) P  sen ; cos 
           5                     2 5                      D) P  cos ; sen 
      C)     ;                 D)  ;
           3 6                     3 6                        E) P  sen ; cos 
           2 5
      E)     ;
            3 6


                                                Página 137
Trigonometría
         RESOLUCIÓN                                                                             Del gráfico:
                                            y                                                        2 cos   cos  
                            
                                                                                                S                      sen 
       cos ;sen                                          C.T.                                           2          
                                
                                                                                                     3 cos  
                                                                                                S            sen 
                                                                    x                                   2    
                                        O
                                                                                                    3 cos  
 sen ;cos                                           P  sen ;cos                        S             sen  
                                                                                                        2    
                                                              RPTA.: E                          S  1,5 sen  cos  2
                                                                                                                                           RPTA.: A
14.       En        la       circunferencia
          trigonométrica mostrada halle                                                 15.     En       la   figura           halle          PR ,       si:
          el área de la región sombreada.                                                                     5
                                    y                                                           sen  
                                                                                                              7
                                                                                                                      y

                                    1
                                                                                                                                   P
                   1                            1                                                                 1
                                                                        x
                            O                                                                                                         A
                                                                                                    R
                                                                                                                                                     x
                                                                                                                      1
   C.T.

                                                                                                                                       C.T.

         A)   1,5.sen .cos  2
         B)   1,5.sen .cos  2
                                                                                                A)
                                                                                                   7
                                                                                                                      B)
                                                                                                                               7
                                                                                                                                           C)
                                                                                                                                                 11
         C)   3.sen  .cos                        2                                             11                         10                 7
         D)    3.sen .cos  2                                                                    10
                                                                                                D)                    E) 2
         E)   sen .cos                      2                                                   7

                                                                                                RESOLUCIÓN
         RESOLUCIÓN
                                                                                                                      y
                                                y
                                                                                              C.T.
              C.T.                                                                                                                 P
                                                                                                                                                5
                                                                                                                           1       sen  
                                                                                                     R            O                            7
                                                                            x                                                                        x
                                        O                                                                             cos  M
                                                                                                         1
                                                cos 

                        sen 
                                                    S
                                                    2 cos 

                                                                                Página 138
Trigonometría
                                                                 RESOLUCIÓN
                             2
                        5
            PMO : 1     cos                                                y
                     2                2

                        7                                           cos 
                24
     cos 2  
                49                                                                                  cos 
           PMR : PR  PM  MR
                     2      2      2
                                                                                                       2
      PR  sen   2 cos  
           2        2            2


      PR  sen 2   4 cos 2 
           2


           25        24                                       sen 
      PR       4
        2

           49        49
           121                                                                      B’
      PR 
        2

            49
              11
       PR                                                                   ()        (+)
               7
                                                                          cos  sen           1
                                      RPTA.: C                    S  2                      
                                                                                  2            2
                                                                                              
16.   En         la      circunferencia                               sen . cos  2
      trigonométrica determine el                                 S               .u
                                                                           2
      área de la región en término de                                                          RPTA.: B
      “  “ siendo OP  PB .
                    y
                                 ´                       17.      Del gráfico mostrado calcule el
                                                                  área       del     cuadrilátero
                                                                  sombreado. y
               M                  Q
        
                    o
                                      A

                        P
                                          C.T.                                                               x
                        B’
                                                                       
            sen              sen cos 
      A)                    B)
         2 cos   1                2
                 2
          2 cos               sen cos 
      C)                    D)
         2 sen   1            2sen  1                        A) 0,5 sen   cos  
         1  2 cos  .sen                                       B) 0,5  sen   cos 
      E)
                sen 
                                                                 C) 0,5  cos   sen 
                                                                 D) 0,5  sen   cos 
                                                                 E) 0,5sen  cos 

                                                 Página 139
Trigonometría
      RESOLUCIÓN                                                          RESOLUCIÓN
      S  S1  S 2                                                                             y

      Calculamos                                                                         2
                                                                                                             C.T.
                                                                            cos 135º  
                                                                          135º           2


                                                                                  cos 


                                                                           cos180º  1
                                                               180º                                                 x

                 S1                                                         cos 210º  
                                                                                           3
                                                                210º                       2

  sen               S2


           cos 
                                                                          Se observa:
                                                                          Si: 135    210
                                                                                       2
                                                                          1  cos   
                                                                                      2
           1                                                               2  2 cos   1
      S1     (cos )
           2                                                              1  2  2cos   1  0
      S2 
           1
            2
              (sen )                                                         
                                                                          P  1 2 ; 0
      S  0,5(sen   cos )                                                                               RPTA.: D
                                           RPTA.: A

18.   Si       se      sabe        que:         “ ”      19.             Si: 2  sen   1  8  5cos  ,
       135; 210 ,      dar    la       variación                      halle: “ csc   sec  “

      de: P  2.cos   1                                                                               9               1
                                                                          A) 2                 B)           C) 
                                                                                                        4               4
         
                                 B) 1  2 ; 0
                  2                                                            9                    1
      A)  1;                                                           D)                   E)
         
                2                                                             4                    4

           
      C)  2 ;  1                     
                                 D) 1 2 ; 0                              RESOLUCIÓN
                                                                          Condición:
      E) 1 2 ; 0                                                         2  sen  1  8  5 cos

                                                                          Se observa que:
                                                                          sen 1  0  sen  1
                                                                          sen  1  sen  1  csc  1
                                                                          ¡Incompatible!
                                                                          Reemplazando en la condición:
                                                                          2  0  8  5 cos 

                                                  Página 140
Trigonometría
                  4                                                           1
        cos       csc  1                                           S  ( sen  cos  )
                  5                                                           2
                                                                          S  . 2 sen   
                          5    1                                              1
        csc  sec  1                                                                   4
                          4    4                                              2
                                            RPTA.: C                                 3
                                                                          Como:             
                                                                                      4
                            3                                                     3
20.      Si                  ; ,          de             la                 
                            4                                             2        4 4
         circunferencia trigonometrica                                      2             
                                                                               sen     1
         determina la variación de la                                      2              4
         región sombreada.                                                                   
                                                                          1     2                2
                                                                                 . sen    
                                                                          2 2                4 2
                        
                                                                               1 2
                                                                         S ;
                                                                               2 2
                                                                                                       RPTA.: A


                                                                    21.   Halle el área de la región
                                                                          sombreada en términos de
                                                                          “  ”.    y

              1 2                               2                                                    x2  y2  1
         A)    ;                  B) 0;
              2 2                              2
                 1                   1 2
         C) 0;                    D)  ;                                                                       x
                 2                   2 2
                                     
              1 3
         E)    ;
              2 2

         RESOLUCIÓN
                                                                          A) 1  cos          B) 1  sen 
        cos ;sen            sen                                      C) 1  sen          D) 1  cos 
                                       sen  ;  cos                   E) 2 sen
      cos 




         S
              1
                1 sen   cos  
              2

                                                            Página 141
Trigonometría
                 RESOLUCIÓN                                                    2b - a = 1...  
                                      y                                            
                                                                              3b = 2
                                                                                    2
                                                                               b
                           sen                                                     3
                                          
                                                                     x                  1
                                                                                a
      1 + Sen




                           cos                                                         3
                                                                                            a
                                                                                tg                 III C, tg  ()
                                                                                            b

                           1
                                                                                      1
                                                                                                 1
                                                                               tg   3  tg  
                                                                                      2          2
                                                                                      3
                 A = (1 + sen) x 1
                                                                                                                       RPTA.: C
                 A = 1 + sen
                                                          RPTA.: C
                                                                         23.   El siguiente gráfico es una
                                                                               circunferencia trigonométrica.
                                                                               Calcule el área del triángulo
22.              Calcule “ tg ” en el siguiente
                                                                               EBF.
                 circulo trigonométrico.
                                              y                                             y
                       2
                 A)                                                                             B
                      2
                 B) 2                                                                                   F
                    1                             1
                 C)                                          A                                             A
                    2
                                  =
                                      =




                                                                 x                                                 x
                       3                              
                 D)
                      2                                          C.T.                                               C.T.
                 E) 1                                                          E



                 RESOLUCIÓN
                 a + b = 1 …                                                A) cos                          B) 2 cos 
                 (     OBT) =                 BPR                              C) sen                          D) 2 sen
                  1 1 a                                                            1
                                                                              E)     sen 
                  1   b                                                             2
                  2

                 2b = 1 + a



                                                                 Página 142
Trigonometría
RESOLUCIÓN                                   24.    Si:         2  3 tg x  1 ,     entonces
                                                    todos los valores de “x” en
                                                     0;   que   verifique    la
                  B
                                                    desigualdad, se                encuentran
                  
                      cos    F                     comprendido en:
              1
                                                                                
                                                    A)  ;                  B)   ; 
                                                       3 2                      4 3
                                                           2 3               
                                                    C)      ;             D)  ; 
                                                           3 2                6 3
       E                                            E) 0; 6

                                                    RESOLUCIÓN
           1
Área EBF  (2) cos                            1  2  3 tan x  1 3   3tg x  1
           2
Área EBF  cos                                    1           3         
                                                      tg x      x  ; 
                              RPTA.: A              3           3      6 3
                                                       3
                                                               3
                                                      3

                                                                                    RPTA.: D




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Semana 8 cs

  • 1. Trigonometría SEMANA 8 CIRCUNFERENCIA RESOLUCIÓN TRIGONOMÉTRICA Si: " "  III C   1  sen   0 1. ¿Qué valores puede tomar “x” 1  2x 1  2x Como: sen    1  0 para que se cumpla: 3 3 x 2 x 1  3  1  2x  0 Sen    siendo  3 2  4  2x  1 un arco del tercer cuadrante? 1 2x 2 1 3 1 2 1 A) ; B) ; C) 1; 1 5 5 5 5 5  "x"  ;2 2 2 3 D) 0; E) 0; 5 5 RPTA.: C RESOLUCIÓN 3. Indique el producto de los x  2 x  1 5x  1 valores mínimo y máximo de la Sen     3 2 6 expresión: Q  4  3 cos 2   2 sen 3  ;    Como:   III C  1  Sen   0 A) 18 B) 36 C) 9 5x  1 D) 40 E) 20 1  0 6 6 <5x  1 > 0 RESOLUCIÓN 5 <5x < 1 Sabemos: 1 1 < x < 0  cos 2   1  0  3 cos 2   3 ….(i) 5  1  sen 3   1  2  2sen 3   2 .(ii) 1  x   1; (i) + (ii): 5 RPTA.: C  2  3 cos 2   2sen 3   5 2. Si: sen   1-2x  "  "  IIIC ; 2  4  3 cos 2   2sen 3   9 3 Halle la variación de “x” QMínimo “Q” QMàximo 1 1 A)  ;2 B)  2; 2 2  Qmínimo  máximo  18 1 C) ;2 D) 2;2 2 E) 1;1 RPTA.: A Página 134
  • 2. Trigonometría 4. Determine la veracidad (V) o A) VVFV B) VFVF falsedad (F) de c/u de las C) VVVF D) VFFV siguientes proposiciones E) VFFF (I) sen2 > sen1 > sen3 ( ) (II) sen 6 > sen4 > sen5 ( ) RESOLUCIÓN (III) cos 6  cos1  cos5 ( )  (IV) cos 2  cos 4  cos3 ( ) x2 2 A) FFVV B) VVFF x1 C) VVFV D) FVFV E) VFVF  RESOLUCIÓN   1,57 2 2 cos 2 1 I. sen x,  sen x 2 (V) cos 1 II. cos ( x1 )  cos( x 2 ) (F) sen 2 III. tg x1  tg x 2 (F) sen 1 3 cos 3 IV. ctg (1)  ctg ( x 2 ) (F) sen 3 O   314 2  6,28 RPTA.: E sen 6 sen 4 cos 6 6 6. Halle el mínimovalor de: sen 5 E  5 cos a  3sen b siendo “a” y cos 4 2 4 cos 5 “b” ángulos diferentes. 3 5  4,71 2 A) -4 B) -5 C) -6 Según la C.T. las proposiciones D) -7 E) -8 serán: (I)  (V) RESOLUCIÓN (II)  (V) (III)  (F) Como: E  5 cos a  3 sen2 b (IV)  (F) Mín Mín Máx RPTA.: C EMin  5  1  3(1)  5. Si:  x2  x1   ; analizar la EMin  8 2 RPTA.: E verdad (v) ó falsedad (F) de las siguientes proposiciones: 7. Calcule el valor máximo que I. senx1  senx2 toma la expresión: II. cos(x1 )  cos(x2 ) III. tgx1  tgx2 4 sen x  3 E IV. ctg(x1 )  ctg(x2 ) 4  sen x Página 135
  • 3. Trigonometría 7 1 2 9. Calcule el intervalo de A) B) C) 3 5 5 y  (2senx  1)(2senx  1) 7 3 D) E) 4 5 A)  2; 3 B) 0; 3 C)  1; 3 D)  1; 4 RESOLUCIÓN E)  1; 2 Como: 4 sen x  3 RESOLUCIÓN E 44 4  sen x Como: y  4 sen 2 x  1  19 Pero: 0  sen 2 x  1 E 4 4  sen x 0  4 sen 2 x  4 1  y  3 Pero:  1  sen x  1 y   1; 3 3  4  sen x  5 RPTA.: C 1 1 1   5 4  sen x 3 10. Halle los valores de 7 1 1 cos  x  30 , si x  0;30   E   Emáx  3 5 5 RPTA.: B 1 3 A) ;1 B) ;1 2 2 3a  1 8. Si: x  IV C y cos x  4 C) 1 3 ; D) 3 1 ; Entre que límites está “a” 2 2 2 2 E)  1;1 1 A)  ;1 B)  1;1 3 RESOLUCIÓN 1 1 C)  ;1 D)  ;1 2 4 Como: 0  x  30 E)  1; 2 30  x  30  60 C.T. RESOLUCIÓN Como: 0  cos x  1 3a  1 cos 60º O 60º 0 1 4 1   a 1 3 O 30º 1 a  ;1 cos 30º 3 RPTA.: A cos x  30  1 3 ; 2 2 RPTA.: C Página 136
  • 4. Trigonometría sen  2 RESOLUCIÓN 11. Si   II C y csc  sen  1 2 sen   1 3 1 1  determine la variación de 2 2 “ csc 2  ” 1 3   sen  2 2 9 3 2 A) ;10 B) ; 2 2 5 5 3 3 3 3 7 5 C) ; D) ; 6 O 4 4 5 5 9 E) ;4 4 RESOLUCIÓN C.T. 1 csc  1   2 5 sen   1    ; 3 6 Como   II C RPTA.: C  0  sen  1 1  sen   1 2  1  1 3  1  1  1 2 13. En la figura mostrada halle las 2 sen   1 2 sen   1 coordenadas del punto “P” y csc   9 Luego:  csc 2   4 1 C.T. 4 9  csc 2   ; 4 1 1 A 4 x O RPTA.: E P(x,y) 12. Determine la extensión de “  ” que cumple con:  2 sen  1 3 1      1  2 2 2 A) P  sen ;  cos    2 5  2 5  B) P  sen ;  cos  A)  ; B) ;  3 6   3 6  C) P  sen ; cos   5  2 5 D) P  cos ; sen  C) ; D)  ; 3 6  3 6 E) P  sen ; cos  2 5 E) ; 3 6 Página 137
  • 5. Trigonometría RESOLUCIÓN Del gráfico: y  2 cos   cos    S  sen   cos ;sen   C.T.  2    3 cos   S  sen  x  2  O   3 cos    sen ;cos   P  sen ;cos   S   sen    2  RPTA.: E  S  1,5 sen  cos  2 RPTA.: A 14. En la circunferencia trigonométrica mostrada halle 15. En la figura halle PR , si: el área de la región sombreada. 5 y sen   7 y 1 P 1 1 1 x O  A  R x 1 C.T. C.T. A) 1,5.sen .cos  2 B) 1,5.sen .cos  2 A) 7 B) 7 C) 11 C) 3.sen  .cos   2 11 10 7 D) 3.sen .cos  2 10 D) E) 2 E) sen .cos   2 7 RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN y y C.T. C.T. P 5 1 sen   R O  7 x x O cos  M  1 cos  sen  S 2 cos  Página 138
  • 6. Trigonometría RESOLUCIÓN 2 5 PMO : 1     cos   y 2 2 7 cos  24  cos 2   49  cos  PMR : PR  PM  MR 2 2 2 2 PR  sen   2 cos   2 2 2 PR  sen 2   4 cos 2  2 25 24 sen  PR   4 2 49 49 121 B’ PR  2 49 11  PR  () (+) 7  cos  sen   1 RPTA.: C S  2    2  2   16. En la circunferencia  sen . cos  2 trigonométrica determine el S .u 2 área de la región en término de RPTA.: B “  “ siendo OP  PB . y ´ 17. Del gráfico mostrado calcule el área del cuadrilátero sombreado. y M Q  o A P C.T. x B’   sen  sen cos  A) B) 2 cos   1 2 2 2 cos  sen cos  C) D) 2 sen   1 2sen  1 A) 0,5 sen   cos   1  2 cos  .sen  B) 0,5  sen   cos  E) sen  C) 0,5  cos   sen  D) 0,5  sen   cos  E) 0,5sen  cos  Página 139
  • 7. Trigonometría RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN S  S1  S 2 y Calculamos 2 C.T. cos 135º   135º 2  cos  cos180º  1 180º x S1 cos 210º   3 210º 2 sen  S2   cos  Se observa: Si: 135    210 2   1  cos    2 1   2  2 cos   1 S1  (cos ) 2 1  2  2cos   1  0 S2  1 2 (sen )   P  1 2 ; 0 S  0,5(sen   cos ) RPTA.: D RPTA.: A 18. Si se sabe que: “ ” 19. Si: 2  sen   1  8  5cos  ,  135; 210 , dar la variación halle: “ csc   sec  “ de: P  2.cos   1 9 1 A) 2 B)  C)  4 4  B) 1  2 ; 0 2 9 1 A)  1;  D) E)   2 4 4  C)  2 ;  1  D) 1 2 ; 0 RESOLUCIÓN Condición: E) 1 2 ; 0 2  sen  1  8  5 cos Se observa que: sen 1  0  sen  1  sen  1  sen  1  csc  1 ¡Incompatible! Reemplazando en la condición: 2  0  8  5 cos  Página 140
  • 8. Trigonometría 4 1  cos     csc  1 S  ( sen  cos  ) 5 2 S  . 2 sen    5 1 1  csc  sec  1    4 4 4 2 RPTA.: C 3 Como:    4 3   3 20. Si  ; , de la    4 2 4 4 circunferencia trigonometrica 2    sen     1 determina la variación de la 2  4 región sombreada.  1 2  2  . sen     2 2  4 2  1 2  S ; 2 2 RPTA.: A 21. Halle el área de la región sombreada en términos de “  ”. y 1 2 2  x2  y2  1 A) ; B) 0; 2 2 2 1 1 2 C) 0; D)  ; x 2 2 2  1 3 E) ; 2 2 RESOLUCIÓN A) 1  cos  B) 1  sen   cos ;sen  sen  C) 1  sen  D) 1  cos   sen  ;  cos   E) 2 sen cos  S 1 1 sen   cos   2 Página 141
  • 9. Trigonometría RESOLUCIÓN 2b - a = 1...   y       3b = 2 2 b sen 3  x 1  a 1 + Sen cos  3 a  tg     III C, tg  () b 1 1 1 tg   3  tg   2 2 3 A = (1 + sen) x 1 RPTA.: C A = 1 + sen RPTA.: C 23. El siguiente gráfico es una circunferencia trigonométrica. Calcule el área del triángulo 22. Calcule “ tg ” en el siguiente EBF. circulo trigonométrico. y y 2 A) B 2 B) 2 F 1 1 C) A  A 2 = = x x 3  D) 2 C.T. C.T. E) 1 E RESOLUCIÓN a + b = 1 …   A) cos  B) 2 cos  ( OBT) = BPR C) sen D) 2 sen 1 1 a 1  E) sen  1 b 2 2 2b = 1 + a Página 142
  • 10. Trigonometría RESOLUCIÓN 24. Si: 2  3 tg x  1 , entonces todos los valores de “x” en 0; que verifique la B desigualdad, se encuentran  cos  F comprendido en: 1       A)  ;  B)   ;  3 2   4 3  2 3    C)   ;  D)  ;   3 2 6 3 E E) 0; 6 RESOLUCIÓN 1 Área EBF  (2) cos   1  2  3 tan x  1 3   3tg x  1 2 Área EBF  cos  1 3      tg x   x  ;  RPTA.: A 3 3 6 3 3 3 3 RPTA.: D Página 143