INTELECTUM 2 3 4.pdf

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. . . .
Temas de la unidad
"""'""�
1.0NGITIJO
Forma, movimiento y localización
Desempeños---.....
Competencia
• Identifica los diferentes conceptos
geométricos.
• Diferencia las notaciones de una
semirrecta y de un rayo. Las representa
gráficamente.
• Segmentos
• Ángulos
• Triángulos
OEMEl<ICO
,..
·I· .
...... :..
t-
........--r,=:=:;:;::
....:::::::
....--==-
-' .. --===-
- .. "::=: "
.... ·===-
- ..
--�-
-'
..
"d'
'....
• Efectúa diversas operaciones utilizando
segmentos.
• Clasifica los ángulos según los distintos
criterios desarrollados.
• Aplica correctamente las propiedades
básicas de los ángulos.
• Calcula la medida de ángulos
complementarios y suplementarios.
• Identifica fas principales líneas notables
en el triángulo.
• Relaciona la longitud de los lados de un
triángulo aplicando la clasificación de
estos por la medida de sus lados.
• Resuelve problemas que implican la
utilización de las líneas notables en el
triángulo .
... .. .. . - .. ;_ ---- ..:. - : . - .. --·. - -- .. - - - - . - .
' ' '
Enfoque transversal ---..
• Inclusivo o de atención a la diversidad

En una cuerda con nudos, si la distancia del nudo B al Ces el triple del nudo
Cal D, determina la distancia del nudo C al D.
• Según la imagen y el enunciado, tenemos lo siguiente:
AB = 15 cm AD = 55 cm BC:::: 3CD
• Entonces: AS+ BC + CD = AD
15 + 3CD + CD = 55 - 4CD = 40
CD= 10 cm
Ejemplo 1
Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos P, Q, R y S. Si PS = 34 y
QR = 2 PQ = 20, calcula la medida de RS.
Resolución:
Del enunciado:
Se tiene el gráfico
10
y PS = 34
_/ Observación
--�
Solo bastan dos puntos
para definir una recta.
�l,
AEl¡ y BEL¡
=, L1 <> AB
Tenemos
10 + 20 +X= 34
X+ 30 = 34
x=4
Por lo tanto, RS mide 4.
X
R S
20
Q
PQ= 10
p
QR = 20,
>---- 34 -----,
_/Ten en cuenta
---
Resolución:
Ejemplo 2
Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Si By C son puntos
medios de AC y AD, respectivamente; además, BC mide 7, calcula AD.
A 8
7
c D
La longitud del segmento
siempre será un número
real positivo.
�
A�
Como B es punto medio de AC, entonces AB = 7 => AC = 14.
Análogamente, e es punto medio de AD, entonces: AC = CD => 14 = CD
Por lo tanto, AD = AC + CD = 14 + 14 = 28.
Ejemplo 3
En una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C y D, tal que
AC = 5, BD = 7 y AD= 9. Calcula BC.
Resolución:
Graficamos y escribimos los datos.
f--- 5 -----<
Ejemplo 4
En una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C, D y E. B es
punto medio de AC, y O de CE. Halla
BD si AE = 100.
Resolución:
Sea el siguiente gráfico:
Notación:
AB = Q: se lee la longitud
del segmento AB
es igual a t �
;
,.
.........................,�ftttl �
/ El punto medio de j
j un segmento es l
: aquel que lo divide I!!
: i
: en dos segmentos -ti
. t •
:. congruen es. i
e
"
Del dato: x + x +y+ y = 100
2(x +y)= 100
X+ y= 50
Según el gráfico:
BD =X+ y
� BD = 50
SiAB=CD=�""' AB ;;;CD
1•
Segmentos congruentes
Son aquellos segmentos
que tienen igual longitud.
<
..........................,�ftttl ui
j
E
y
D
y
e
X
8
X
A
A B C O
>------9--------<
>------ 7 -----<
Del gráfico, observamos que
AB = 9-7 � AB = 2
Luego: AB + BC = AC
2 + BC = 5
=> BC = 3
@ Libro de actividades 1.er año

Resolución:
Se tiene el gráfico:
1- a --+- m - a --tm - bt--- b ---j
Ejemplo 5
Sobre una línea recta se ubican los
puntos consecutivos A, B, C y D, tal que
Mes punto medio de AD (M está entre
By C).
A B M e D
m m
AB+CD 4
=
BM-MC 3
a+b = 4
(m - a)- (m - b) 3
a+b = 4
b-a 3
los puntos colineales
son aquellos puntos
que pertenecen a una
misma recta.
E
D
CE= 2(8()
CE= 2(2x)
CE= 4x
e
f----1050 m ----<
A B
x 2x t--- 4x --------1
Resolución:
Del enunciado:
AB = x BC = 2(AB)
BC = 2x
Sea el siguiente gráfico:
Ejemplo 6
Se tiene un segmento de 1050 m
dividido en los puntos colineales y
consecutivos A, B, C, D y E. Si la distancia
entre B y C es el doble de la distancia
entre A y B, además, la distancia entre
C y E es el doble de la distancia entre B
y C, halla la distancia entre By E.
si AB+CD = 4
BM-MC 3.
Calcula R = �g
3a + 3b = 4b - 4a
7a = b
a 1
=
b 7
Nos piden
R = AB =-ª. => R = 1.
CD b 7
Ejemplo 7
Sobre una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C y D. Calcula BC si
At = 83( = CJ y AD= 27 cm.
Resolución:
� AB = BC = CD = k
z 2 3 4
Tenemos
x + 2x + 4x = 1050
7x = 1050
x= 150 m
Piden
BE= 6x = 6 (150 m) = 900 m
Ejemplo 8
Se tienen los puntos colineales y
consecutivos A, B, C, D y E. Además,
�� = ; y Ces punto medio de BD.
Halla AB si BD = 6 y AE = 17.
Resolución:
Del enunciado:
__/Ten en cuenta
Si graficamos los puntos
colineales A, M y B
en el mismo orden en
el que están escritos,
estos puntos serán
consecutivos.
Piden AB = 2k- 6 = 2(4)-6 = 2
AD 2k
=
CE 3k
Como C es punto medio de BD,
entonces BC = CD= 3
Se tiene el gráfico:
f---3k---a
la mínima distancia
entre dos puntos es la
longitud del segmento
de recta que los une.
E
3k- 3
3 3
A B C D
f-- 2k---l
Del dato:
AE = 17
2k+(3k-3)=17
5k= 20=> k=4
A B C D
e---- 27 cm-----,
2k 3k 4k
Entonces:
2k + 3k + 4k = 27 cm
9k = 27 cm
k = 3 cm
Piden BC = 3k = 3(3 cm)= 9 cm.
Se tiene el siguiente gráfico:
AB = 2k
BC = 3k
CD =4k
J•
1
f¡
j
u
<
"
j
Geometría - UNIDAD 1 @

IreMA , .Segmentos
Usa estrategias rocedimientos: 1-2; 4-7; 9
1. Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B, C,
O y E: Bes punto medio de AC y O es punto medio de
BE. Halla DE si AC + 2CE = 36.
Argumento cffrrnccrones: 3; 8; 10
A) 12
D) 15
8) 10
E) 9
C)B
2. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, B,
CyD.Halla8CsiAB=2,CD=3 y i.s + i.o =le.
A)3
D) 4
8) 2
E) 5
C) 1
3. En la figura mostrada, AB = 4 y AC = 14. ¿Cuanta es
la distancia de A al punto medio de BC?
A) 10
D) 6
A B
8) 9
E) 7
e
C)B
4. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, �
;
8, C, D, E y F, tal que ,.
AC+BD+CE+DF=42 y�� =t- d
�
Calcula BE. ,
l
A) 15 8) 16 C) 17 '
�
D) 14 E) 13
1
e
"
<
a
s. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A,
i
8 y C, tal que 7A8 = BBC y AC = 60. Calcula BC. •
"
"
'
A) 23 8) 27 C) 28
�
"
w
D) 26 E) 35 •

6. En una recta se ubican los puntos consecutivos
� N y P s, MP + MN = 26, y Res punto medio de
NP, calcula MR
A) 13
O) 11
B) 15
E) 14
C) 12
7. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos
A, B, P, C y D. Si 2AB = CD, BP = PC y AP = 12,
calcula BD.
A) 20
O) 25
B) 22
E) 26
C)24
8. En la figura mostrada, si C es punto medio de AD;
además, AD= 24, ¿cuál es el valor de x?
A s x e D
A) 1
O) 4
B) 2
E) 5
C)3
9. Se tienen los puntos consecutivos A, By C. Halla MN
si Mes el punto medio del segmento AB, y N, el punto
medio del segmento BC; además, AC = 14.
�
o
z
'o
A)5
O) 8
B) 6
E) 9
C) 7
f.---' ----4
f-- 7-----,
>-----17-----1
¡
�
1 O. De la fig1ura, ¿cuál es el valor de x?
._: · ,W 1 .W 1#1#1#1
u G I SELA
<
..,
J•
A) 15
O) 14
B) 10
E) 12
C)13
8 -e
3 .,
50101)�
Geometría - UNIDAD 1 0

CAPACIDADE&----------._
Modela objetos: 30
Comunica su comprensión: 1-2; 11-12; 21
Usa estrategias y procedimientos: 3-8; 13-17; 19-20; 22-29
Argumenta afirmaciones: 9-10; 18
1-x-+ (x-1) +-x-+--8---1
C A R L Y
22
•:@••--------
1. Escribe V (verdadero) o F (falso), según corresponda.
Por un punto pasan infinitas rectas.
Por dos puntos pasan dos rectas
Un rayo es lo mismo que una recta.
6. Halla x.
A)5
O) 3
8) 4
E)8
C) 6
A)WF
O) FVF
8) VFF
E)VFV
C)FW
7. Calcula x,
47
2. Completa la notación correspondiente. K 2x A (2x + 1) T 6 Y
recta L
rayoAB
A)10
0)9
8)8
E) 4
C) 12
segmento CD 8. Determina el valor de x.
3. Halla x.
1- 2 -+-3-+-X-+-X-I
P I U R A
r----17
A)8
O) 6
8) 4
E) 5
C) 7
A) 14
O) 15
X
1-- 4 --+--2-+- 6 --<
R A T O
18
8)8 C)9
E) 16
1-- 2-+-- m--+-- 5--+- n --;
9. ¿Cuanto es el valor de (m + n)?
10. ¿Cuántoeselvalorde(a+b)?
1- (a+ 1)-+-- 7--+- (b + 1) ---1
A B C O
>-----18-----<
d
l'
1
"
<
a
j
1•
E
C) 7
D
8)5
E)9
B
A e
f-----13-----a
A)6
0)8
A) 6 8) 7 C) 5
O) 10 E) 4
5. Calcula el valor de x.
f--X x--+(x+ 1)+-(x+ 1H
T u K E R
42
4. Determina el valor de x.
1- 10 --+-(x-1)+(x + 1)---1
P E R U
>------ 24 -----<
A)6
O) 10
8) 12
E) 5
C) 8 A) 11
O) 8
8) 12
E)9
C) 10

11. En la s1gu1ente figura, Mes punto medio de AB. Completa con
=o:;; según corresponda.
17. Calcula BC.
f------ 6 -+- (2x + 1 ) --+--- 2x --j
A 8 C O
27
18. ¿Cuanto es el valor de AB + CD?
A
AMO MB
AMO MB
AMO AB/2
A) 10
O) 9
B) 13
E)7
C) 11
f--- 40 ------<
f--- 28 -----<
12. Escribe V (verdadero) o F (falso) teniendo en cuenta el
siguiente gr.3fico:
• A) 24
0)28
A B
8) 14
E)8
e
C) 18
D
t; es secante a�·
� es paralela a L2.
I; es paralela a L2.
A)VW
O) FFF
B)WF
E)FVF
C)VFF
19. Determina el valor de AB + CD.
f----37---�
A B C D 8 E
1--19
13. Halla x.
A) 21
D) 17
8)20
E)27
C) 24
f----17 ------<
f---- (2x.- 3) Jx-f-
A B e 20. Calcula 80
si A8 = 8C y CD = 2(8C).
f-4---<
A) 1 B) 2 C) 3 O) 4 E) 2,5
A B e D
14. Determina el valor de x.
C) 20
8) 15
E) 12
A) 13
D) 14
21. Escribe V (verdadero) o F (falso) según corresponda.
1�®§1..... _
C) 9
B) 12
E) 11
1-- X 18 ---1
A M 8 C
f---24
A) 10
O) 13
�
o
z
'o
1
J_ 15. Calcula m.
( 1
( 1
( 1
/" es una semirrecta.
A
/B es un rayo.
A
¿a es un segmento.
E) 7
o
s
G
O) 5
20
C) 3,5
E
u
B) 3
f--m- 3�6--+-m + 1-+-8�
E
f-----19----f-
T X
F
A)2
¡
j
u
<
"
j
J 16. Calcula x.
. �--�------�
f---- (2x + 6) -------<
A) 12
O) 13
B) 14
E) 11
C) 10 A)VFV
D)WF
8) FFF
E)VW
C)FW

22. Calcula AC si BC = 2(AB).
f--6----,
27. Calcula MN, donde M y N son puntos medios de AB y CD,
respectivamente.
A) 16
O) 20
A B
B) 14
E) 13
e
C) 18
A)16
O) 15
1-------12 -+-- 4
A B C
B) 14
E) 18
16
C) 20
o
23. Halla AC.
f- (n + 1)-+- (n + 2) -+-- 7-----,
A B C D
26-------j
28. Dados los puntos colineales y consecutivos A, B, C, y D,
calcu�a longitud del segmento que une los puntos medios de
AB y CD siAB = 8; BC = 12 y CD= 24.
A) 14
O) 19
B) 18
E)20
C) 15 A) 24
0)25
8)28
E)26
C) 23
Dados los puntos couneaies y consecutivos A, By C, calcul�
longitud del segmento que une los puntos medios de AB y BC
siAC = 28yAB = 18.
24. Calcula BD.
>-(x + 1)-+-x-+--4-+--6----,
A B C O E
f------31------,
29.
A) 12
D) 18
8) 16
E) 14
C) 15
A) 14
O) 16
25. Calcula x.
8)12 C)10
E) 18
f-- X -----l
A M B N C
f---- 60 -----,
30. En una misma calle se ubican
Yisela, úrsula, Lourdes e Inés como
se muestra en el gráfico. Si Eder
se ubica equidistante de Yisela
y Úrsula, además, Soledad se
encuentra equidistante de Lourdes
e Inés, ¿qué distancia separa a Eder
de Soledad?
>----- 20 m ----+8 m-16 m!
A) 16
O) 30
B) 15
E)20
C) 25
y u L
f-- X --+-- 13 ------i
l-a-+-a-+-(2a + 1)--t-a-l
A M B C D
d
l'
1
"
<
a
j
1•
C) 18 m
8 .•
ee
-e
8 .,
l 13/IN
501101)�
8) 20 m
E) 23 m
3 ·u
V -e
•••
Z í3/IN
A) 21 m
D)24m
8 ·sl
8 •tl
a·n
3 ·z:l
8 "6�
a ·s�
:J ".H
8 ·9�
C) 5
3 -ee
:J 'zz
e ·�z
li: 131IN
B) 6
E) 9
v ·9r,
a -sz
'v' ·i,r,
a -ce
'v' -cc
3 -ee
8 "82:
3 -ce
A)8
O) 10
26. Halla x.

En una competencia de billar, uno de los Jugadores hizo un curioso
movimiento para poder ubicar la bola amarilla. Según se indican
las trayectorias y tos ángulos, ccuál fue el ángulo, respecto al
borde de la mesa, con el que se inició el movimiento?
• Se observa que la última trayectoria de la bola blanca con el
borde horizontal de la mesa es perpendicular, así que esta es
paralela al borde vertical. Entonces, por propiedad, se cumple
lo siguiente:
X + 17° = 68°
� X = 51 o
Resolución:
Graficamos los ángulos consecutivos.
• Externos
(l y w
p y z
• Externos
(l y z
Pvw
• Internos
0yx
yyt
• Internos
e v t
yyx
w '
' L,
Ángulo alternos
(tienen la misma medida)
Sea l¡//li y 4 secante a
ambas rectas.
Ángulos correspondientes
(tienen ta misma medida)
a.yx yyz
Pvt 0yw
L,
Ángulos conjugados
(son suplementarios)
a � L
...--'=l.,R,c----+-+' •
o y
Las medidas de un
ángulo pueden variar
desde Oº hasta 180º
(ángulo convexo} y,
también, desde los
180º hasta 360º (ángulo
cóncavo).
_/ Importante
---
_/ Observación
---
•
e
B
X
p
Resolución:
QP es la bisectriz del ángulo AOC.
mL:POB = x
Graficamos.
A
Del dato, mL:AOB - mL:BOC = 70'.
Reemplazamos los ángulos.
(a + x) - (a - x) = 70'
a.+x-a.+x=70º
2x ;::; 70º � X = 35º
Resolución:
De las propiedades:
38' + 3x + 2x = 180'
Sx = 142'
X= 28,4'
Ejemplo 2
De la figura, calcula x.
Ejemplo 2
Se tienen los ángulos consecutivos AOB
y BOC. Luego, se traza la bisectriz OP
del ángulo AOC.
Si mLAOB - mLBOC = 70º, calcula
mL:POB.
B
M
62'
X
Reemplazamos los ángulos en la
siguiente ecuación:
rn Z BOC - m Z AOC = 42º
IP +al-lP-al =42'
p + a - p +a= 42'
2a = 42º �a= 21º
Nos piden mLCOM.
mL:COM =a= 21' � m Z COM = 21'
De la figura, calcula x.
Resolución:
De las propiedades:
X+ 90' + 62' + 90' = 360'
X + 242' = 360'
X= 118'
A
�� Ángulo plano
Ejemplo 1
Se tienen los ángulos consecutivos AOC
y COB. Si OM es bisectriz del LAOS y
mL:BOC - mLAOC = 42°, calcula la
mL:COM.
¡
j
u
<
"
j
J•
·¡ �� Propiedades básicas de los ángulos
J Ejemplo 1
�
o
z
'o

�� Ángulos complementarios y suplementarios
Ejemplo 1 Ejemplo 2
La suma del complemento con el
suplemento de un ángulo es igual a
200º. Determina el ángulo.
Resolución:
Sea a el ángulo, entonces:
e« + sª = 200°
90º - a + 180º - a= 200·
270º - 2a = 200·
70º = 2a
a= 35º
Un ángulo menos su complemento
es igual a la cuarta parte de su
suplemento. Halla dicho ángulo.
Resolución:
Sea x el ángulo, planteamos.
x-C =.!.s
x 4 '
x - (90º - x) =} (180º - x)
4(2x - 90º) = 180º - X
8x-360º = 180º - X
9x = 540º =X= 60º
/ Atención
---
Para u v B
complementarios
eª se lee "complemento
de u".
� Cu=90º-a
.'. ca=�
Para ay�
suplementarios
Sa se lee "suplemento
de a".
� sª = 180º - a
:.Sa=�
d
l'
1
"
<
a
j
1•
.....,�tttl
w
'
y
[a+�+O=a+b+c+d)
�
,,---"-l.C...----+
[x=a+�)
[a+� +0+ w+ y+$= 180')
l. L1 +----s:r,0¡---+
Si se tienen dos rectas paralelas
(�//�), se cumplen las siguientes
propiedades:
111. L1----=•.-------+
Resolución:
Por propiedad:
40º + 25º + 30º =X+ 35º + 20º
95º =x+ 55º � X ;40º
En (1):
X= 2(a + 0) = 2(60º)
::, X = 120º
Resolución:
Por propiedad:
x = 2a + 29 = 2(a + 9) ... (1)
__,3,eO__¡:,t__-
� L,
Ejemplo 4
Si¡:;// L,, halla X.
35º
25'
Por ángulos conjugados internos:
(2a +a)+ (20 + 0) = 180º
3(a + 0) = 180º
a+9=60º
x
Ejemplo 2
En la figura, si L, // L2, calcula x.
o
M
M
e
e
p
e
30
p
Ejemplo 3
Halla a si¡:;// L2•
Resolución:
Del gráfico, tenemos
Resolución:
Por propiedad, sabemos
a +a+ 90º +a +a= 180º
4a = 90º =a= 22,5º
Por ángulos internos: mLPST= mLTDC
Entonces: mL. PST = 60º
::, e = 90º - Goº = 30º
�� Otras propiedades
Ejemplo 1
En la figura PS // CM, calcula 9.

lo aprendido
jreMA 2.Ángulos
Argumento cñr-moctones: 1-3
1. S1 los ángulos (2x + 7°) y (3x - 29º) están opuestos por
el vértice, ¿cuánto vale x?
Usa estrategias y procedimientos: 4-10
A) 35º
O) 36º
B) 34º
E) 33º
C) 37º
2. Se tienen los ángulos AOB y BOC adyacentes y
suplementarios. ¿Cuánto mide e! ángulo que forman
sus bisectrices?
A) 60º
O) 70º
B) 100º
E) 90º
C) 80º
3. Si el doble del complemento de un ángulo más
el triple del suplemento del mismo suman 500º,
¿cuánto es la medida del ángulo?
A) 46º
O) 48º
B) 45º
E) 42º
C) 44º
� 4. Calcula x.
o
z
'o A) 115º
1 B) 120º
o
� C)100º
? x O) 105º
¡
1
20 E)111º
e,
u
<
"
1
s. De la figura, calcula x.
o
•
' A) 112,5º
o
'
" B) 113º
ur
• C) 110º
0)112
E)111º
Geometría - UNIDAD 1 ®

6· Si�!! L2, calcula x.
+-773
0- ,
---L,
X
160°
+-------=:±$,.... L,
A) 75º
8) 80º
C)90º
D) 85º
E) 70º
7. Expresa 8 en función de a si l // l
1 1 ·
p a
L,
A) 13a
o
B) 12a
C)11et
Ju
D) 10a
4p E) 14a
L,
B. Si I; 11 L, y L3 11 L, ' halla X.
120º
L, A) 90º
B) 85º
C) 75º
145º D) 65º
L,
L, t,
E) 86º
9. Halla x si r 1/ L
1 2 ·
70º
'
A) 130º
L, 8)125º
C) 100º
50°
D) 110º
L, E)120º
1 O. Calcula o si L 11 L
1 1 ·
4a a L,
A) 72º
B) 85º
C) 75º
60º
D) 70º
o E) 80º
l.,
@ Libro de actividades 1 " -
. ano
d
l'
1
"

C'APACIDADE&�----------------------...
Modela objetos: 30 Comunica su comprensión: 1-3; 11-13; 21
Usa estrategias y procedimientos: 4-6; 8-10; 14-17; 19-20; 22-23; 25-29 Argumenta afirmaciones: 7; 18; 24
•:@••-------- 7. Si a la medida de un ángulo se le disminuye su suplemento,
resulta 40º. ¿Cuánto mide dicho ángulo?
1. Relaciona los conceptos y los valores.
l. Ángulo recto
11. Angulo nulo
111. Angulo llano
2. Completa los recuadros
o
)a=O
)a=180º
)a=90º
70º
A) 105º 8) 106º C) 112º
D) 118º E) 110º
8. Calcula 8 si L, JI L2.
o L,
290º
L,
o
Escribe V (verdadero) o F (falso) según corresponda.
A) 35º 8) 36º C) 42º
3. D) 43º E) 32º
l. Los ángulos alternos internos son congruentes.
11. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes. ( 9. Calcula x si L, 11 L2 .
111. El ángulo de una vuelta mide 270º sexagesimales.
X+ 8º
L,
A)VFF B)WF C)VW D)FW E) FFV
78º
4. Halla x.
X - 2º
L,
A) 32º 8) 34º C) 36º
D) 43º E) 46º
- P // a. halla x.
� A) 32º B) 29º C) 42º D) 18º E) 27° 10. Sil// M y
o
z
' 5. Calcula x. M L
o
.:.
1,
�
?
¡ 4x
a
1
2x 17º
A) 17° 8) 23º C) 19º
e,
u D) 18º E) 15º
<
" A) 20º B) 18º C) 23º D) 25º E) 26º
1
l�K!AE•
o 6. Halla x.
•
'o
' 11. Relaciona los conceptos y las desigualdades:
"
ur
• l. Ángulo agudo ) 180º<a<360º
11. Ángulo no convexo ) 90º <u e 180º
111. Angulo obtuso ) Oº <a<90º
A) 18º B) 17° C) 20º D) 23º E) 24º

2x + 15º
12. Completa los recuadros. 18. Si el suplemento de un angulo excede al doble de su
complemento en 40º, ¿cuánto mide el ángulo?
�
A) 30º 8) 60º C) 50º
D) 40º E) 36º
• Calcula (x + y) si [," 11 L2 .
• 19.
L,
13. Determina si cada enunciado es V (verdadero) o F (falso} 2x y
según corresponda.
l. Los ángulos alternos externos suman 180º.
11. Los ángulos conjugados internos son congruentes.
111. Los ángulos complementarios suman 90º. 147°
80°
L,
Luego, la alternativa correcta es
A) 68º 8) 63º C) 78º
A) FFF 8) VFF C)WF D) 73º E) 76º
D)FFV E)VW
14. Halla O.
20. Halla X si [,° JI L2 .
50 +40°
L,
A) 30º B) 50º C) 40º D) 35º E) 36º A)70º 8) 75º C)SOº D) 85º E) 68º
d
l'
1
"
<
a
j
1•
o
e
21. Completa los recuadros según corresponda.
22. Si la mLAOC = 85º, halla X.
1�®41.... _
E) 32º
B
C) 54º
D) 29º
2x + 10º
C) 18º
8) 61º
E) 57°
B) 26º
A)24º
A) 59º
O) 63º
A
17. Calcula la mLAOB.
16. Halla x,
15. Calcula a.
A) 120º
O) 145º
8) 125º
E) 115º
C) 135º A) 18º
D)24º
8) 17º
E) 15º
C) 23º

23. Halla x si la mLAOD = 98º.
27. Sit;" 11 L2,halla !+l
L,
A 28° 3x
B 48
78º
e
o 52º 24º L,
A) 20º 8) 19º C) 16º D) 21 º E) 17º
A)24º 8) 28º C) 36º
28. Si [," lf L2, halla x.
D) 26º E) 29º
47º 2a
L,
24. La suma de dos ángulos es el triple del complemento del doble
del suplemento de 170º, y la diferencia de los mismos, el doble 80º X
del suplemento del triple del complemento de 60º. ¿Cuánto
mide el mayor de los dos ángulos? a 28º L,
A) 195º 8) 190º C) 194º A)86º 8) 84º C)98º D) 96º E) 94º
D) 200º E) 192º
Expresa m en función den, si se sabe que L, 11 L2.
29.
25. Si L, ff L2, calcula x.
m L,
L,
120º
L,
X A)90º+n 8)90º-n C)180º-n
L,
D) n E)2n
A) 120º 8) 110º C) 115º
D) 105º E) 125º 30. Para cruzar un ria se construye un
extraño puente en dos tramos, tal
Si L, 11 L2, calcula a + e.
como se muestra en el grilfico. ¿Cuál
es el ángulo que forman ambos
L,
tramos del puente?
50°
a
L,
5x
7x
-1.•tramo
o
L,
2.º tramo
7x
A) 195º 8) 170º C) 180º
L,
D) 190º E) 200º
A) 161º 8) 203º C) 126º D) 140º E) 168º
� 26.
o
z
'o
1
f¡
j
u
<
"
j
J•
O -ec
s -ee
3 'az
8 ·¿z
a -sa
a -sz
'11 "tl
a -ee
a 'zz
""
€ 131IN
a 'ez
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8 ·s� -u
o .,.� Z 131IN
a·n o ·o�
.,. o -,
.,
.'
� 13/IN
S0AOl)s

Luciana elige una de sus escuadras con el propósito de hallar todos sus
ángulos internos tan solo rrudrendo uno de ellos con un transportador. Si uno
de los ángulos que obtuvo fue de 48°, ccuáles son los otros dos ángulos?
• Para este problema, se debe tener en cuenta que todas las escuadras se
fabrican considerando que uno de sus ángulos sea igual a 90º y forme un
triángulo rectángulo.
• Del dato, un ángulo es 48°, entonces 48° + 90° + x = 180°
X + 138° = 180º
X -= 42º
• Por lo tanto, los otros dos ángulos son 42° y 90°.
d
l'
1
"
<
a
j
1•
e
Teorema de la existencia
del triángulo
Para que un triángulo
pueda existir; un lado debe
ser mayor que la diferencia
de los otros dos lados y
menor que su suma.
e
�
8 , A
= [ b-a<c<a+b I;
b;?:a
Baricentro
Es el punto de intersección
de las tres medianas de un
triángulo.
A¡¿_-�1,--=c
M
Si AN; BM y CP son medianas
= Ges el baricentro.
Ortocentro
de las tres alturas de un
triángulo.
e
/ Importante
--�
.............................,�ttttl
AL__Ji._ _.:,,,.C
Si AH1; BH2 y CH3
son alturas = H es el
. ortocentro.
Entonces:
AC>AB
a>7
Además, por teorema de la existencia
del triángulo: 7 - 4 e a e 7 + 4
3 e a e 11
Pero a > 7 � 7 < a < 11
.'. a toma 3 valores: 8; 9 y 10.
Resolución:
Sea el triángulo ABC.
e+a+p+180'; 1080'
e +u +P; 1080' -180'
e +a +p; 900·
Por dato:
u e e
0+x;36D'}
u+ y; 360' +
p + z; 360'
0 +U+ P +X+ y+ Z; 3(360')
.___,.._..,
180º
Resolución:
Ejemplo 2
Calcula u +0 +p.
a
o�P
Por ángulos interiores:
x+y+z=180º
Además:
6 ABO: isósceles
� mLA= m LABD = 2x
2x 4x
D
2x
D
2x
B
�
A , e
B "1._---" C
A
Resolución:
De la figura:
A
Por lo tanto:
2x + 4x + 90' ; 180'
X; 15'
Por ángulo exterior: m L BDC = 4x
Asimismo, el D.DBC es isósceles.
� m LC=4x
Ejemplo 3
Si ce e 0, ¿cuántos valores enteros toma
a para que el triángulo exista?
�� Teoremas
Ejemplo 1
Halla x.

ALL------',C'------LJ E
A-------C
Si AP1;BP2yCP3son
bisectrices � 1 es el incentro.
..-·······················..·A�tttti
lncentro
de las tres bisectrices
interiores de un triángulo.
B
4x
4x
B
60º
20·
20·
60º 60º
A="---=� C
Ejemplo 5
Halla x si el f::. ABC es equilátero.
B
Resolución:
o
o
X
35•
B
35•
Ejemplo 4
Halla x.
Resolución:
B
X
55• 65"
ALL-----"-"CLleCCL_LJ E
Del gráfico, completamos los ángulos.
Luego: 55• + x + 65º = 180º
X+ 120º = 180º = X = 60º
Como el triángulo es equilátero, sus
ángulos internos son 60ª. Luego, por
propiedad:
Goº + 20° = 4x _ A�ttti
4x = 80º Excentro
Ejemplo 2
Si O es excentro, determina 0.
B
E P,
circuncentro.
de dos bisectrices
exteriores y una interior.
P,
P,
Si BP1; cp2 son bisectrices
exteriores y AP3 es bisectriz
interior= E es el excentro.
L,
mediatrices = O es el
.............................,�fttti
Circuncentro
de tres mediatrices de los
tres lados de un triángulo.
B L,
' •'----nP"<::'"---""C
Resolución:
Como el baricentro es el punto de
intersección de las medianas, entonces
se cumple la siguiente relación:
AG =l.�.!!.=l.
GM 1 4 1
Por lo tanto, n = 8.
A
A C
Resolución:
Del gráfico, y es un ángulo formado
por dos bisectrices. Entonces, por
propiedad:
90º
y= -2- = y= 45•
Por ángulos suplementarios:
y+x=180º
45º +X= 180º � X= 135º
X:;;::: 20º
Ejemplo 3
Halla el valor de n si G es el baricentro
del L. ABC.
M
y X
o
Resolución:
De la propiedad:
20 = 90º - Q_
2
� = 90· = e = 36º
2
�� Líneas notables
Ejemplo 1
Halla el valor de x.
J•
�
.z
'o
1
f¡
j
u
<
"
j

jreMA 3.Triángulos
Usa estrategias y procedimientos: 1-8
1. Halla x.
8
50' 35'
A e
A) 16º B) 24º C) 25º
O) 15º E) 18'
2. Hallax.
B
x
Ar umento afirmaciones: 9-10
80'
A e
A) 80º B) 60º C) 10º O) 20º E) 30º
3. Halla el rnáximo valor entero de AC.
8
�
A C
A)9 B) 12 C) 11
O) 14 E) 13
4. Calcula x + y. �
;
8 ,.
80º
d
�
,
A e l
y
'
�
A)250º B) 240º C) 270º 1
O) 260º E) 280º
e
"
<
a
s. Halla x.
i
8 •
"
"
'
80°-a �
"
w
•
2x
40º+a
A e
A) 40º B) 30º C) 50º
O) 60º E) 38º

6. Si el triangulo ABC es equilátero, calcula x.
B
e ao· A
A) 10º B) 20º C) 30º
D) 40º E) 15º
7. Halla x.
80°
X
A) 50º B) 20º
D) 40º E) 30º
8. Halla a en la figura.
B
a
M
o 3a
A
A) 26º B) 36º
D) 24º E) 30º
C)60º
C) 33º
9. Si Ges baricentro, ¿cual es el valor de a?
B
�
.z
'o
A
6
G
a
M e
A) 1
D) 5
B) 2
E) 3
C) 4
E) 45º
e
D) 35º
so·
A
A) 40º B) 25º C) 50º
J•
¡
.¡g 1 O. Si BF es bisectriz del LABC, ¿cuanto mide a?
! B
u
<
"
j
3 ·o�
3 .,
ee
ov
50101)�

CAPACl'<DA�D�E&'e,.------------------,
Modela objetos: 30
Uso estrategias y procedimientos: 3-5; 8-10; 15-20; 24-29
Comunico su comprensión: 1-2; 11-12; 21-22
Argumenta cñrrnccrcnes: 6-7; 13-14; 23
1:@••--------
C) 25º
B) 15º
E) 20º
A) 10º
D) 22º
6. Si BM es bisectriz, ¿cuánto es el valor de x?
�
�
A M C
7. Según los ángulos indicados, ¿cuánto es (x + y)?
Vértices:
O:OYD
Ángulos externos:
O:DyD
e
o z
X
A a
1. Completa los recuadros con los símbolos de la figura.
Ángulos internos:
O:DyD
2. Relaciona los conceptos con las figuras: y 120º
( Triángulo escaleno 9
Triángulo equilátero
Triángulo isósceles
8.
A) 100º
D) 78º
Halla x.
X
B) 120º C) 98º
E) 110º
d
C) 30º
C) 20º
B
B) 10º
E) 25º
B) 18º
E) 15º
8
�
A H D C
A) 16º
D) 17º
A) 20º
D) 15º
l'
1
"
En la figura, 80 es bisectriz del ángulo ABC, y BH es altura. <
Calcula x. m
j
En la figura, BD es bisectriz del ángulo ABC y BH es altura.
Calcula x.
9.
A) 18º
B) 15º
C) 20º
70º
D) 25º 10.
e E) 30º
A) 40º
B) 20º
C) 30º
,,....,.____,_,
·'-''"-º
º-'--=-e D) 50º
8 E) 60º
8
3. Halla x.
A
4. Calcula x,
5. Halla a.
A
8
a+ 20º
70º 4a
"
'
�
"
A) 10º
w
•
B) 20º 10° 50º
C) 30º
A D H e
D) 40º A) 10º B) 20º C) 15º
E) 50º D) 37° E) 16º

11. Completa los recuadros según corresponda.
y
16. Halla x.
70º
X
100"
50º
A) 75'
B) 65'
C)85'
D) 60'
E) 80'
X
a o 17. Ca1culaa.
1 0+0+0=360"
11 O+O=Y
111 0+0+0= 180"
z A) 16º
B) 14º
C) 18'
D) 12'
E) 20'
A) 40'
B) 60'
C)80'
D) 50'
E) 48'
A) 32'
B) 35'
C) 36'
D) 38'
E) 40'
A) 16
B) 15
C) 14
D) 18
E) 17
B
70º 40º
v='-----+.M---'"'"-"S
"
l. Mediatriz
11. Ceviana exterior
111. Mediana
AL--o--M�-o�--':cC---"p
21. Si M�BP_ti)M son lineas notables del 6ABC, completa con
MO, BP y BM según corresponda.
o
20. Halla a si TM es bisectriz.
T
19. Calcula la suma del minimo y el máximo valor entero que toma
a, para que el triángulo exista.
18. Si BQ es bisectriz del ángulo ABC, calcula (a - p).
1�®41•--------
o
A) 90'
B) 100'
C) 110'
D) 120'
E) 130'
A) Acutángulo
B) Equilátero
C) Isósceles
D) Rectángulo
E) Obtusángulo
(11)
(IV)
20'
o o
20
80"
(111)
111
Halla O e indica qué tipo de triángulo es.
A) Isósceles
B) Equilátero
C) Rectángulo
D) Obtusángulo
E) Escaleno
68" 22"
Ai-=-----'"--'-->-c
13. ¿Qué tipo de triángulo es?
B
12. Rellena los recuadros con las letras G (baricentro),
H (ortocentro), O (circuncentro) e 1 (incentro), según corresponda.
¡
j
u
<
"
j
J 15. En la figura, calcula x.
•
�
o
z
'o
1
f 14.

22. Completa los recuadros según corresponda. 27. Calcula PQ si L1 11 AG.
B
A) 7
B) 3
C)4
D) 5
E) 6
L 0=90'+9
11 0+0=90'-0
1110
=º
. 2
28. Si BF es bisectriz, calcula x.
B
D
A) 30'
B) 40'
C) 35'
D) 45'
E) 25'
23. El segmento que parte del vértice de un triángulo y cae en
forma perpendicular al lado opuesto se denomina 29. Calcula x si BF es bisectriz.
d
l'
1
"
<
a
j
1•
A) 90'
B) 100'
C) 110'
D) 120'
E) 130'
-e
C) 30 cm
.'
� 13/IIN
S0AOl)s
3 'e
8 .,
3 -s
� -s
e
B) 40 cm
E) 28 cm
70'
F
8
-u
Z 131IN
a ·o�
8 -e
A
X
Julio tiene una percha de madera
para colgar sus camisas, con un
tomillo que se ajusta a diferentes
tamaños, tal como muestra el gráfico.
iCuál es la longitud entera máxima
de una cuerda que debe colocarse en
la base para hacer uso de la percha?
A) 32 cm
D) 31 cm
30.
A) 40'
B) 45'
C) 55'
D) 50'
E) 60'
{ "6�
v ·e�
8 "H
3 ·g�
A) 60'
B) 70'
C) 80'
D) 65'
E) 55'
A) 10'
B) 30'
C) 20'
D) 40'
E) 50'
C) bisectriz.
s 'ez
B) mediana.
E) mediatriz.
8 -se
3 -sz
o ·tz
V -ee
a ·01:
o -ee
v 'az
0 ·¿z
40
X
A =---'aF----"c
a
A O E
A) altura.
O) ceviana.
25. Calcula xsi AC = BC.
26. Calcula x si BF es bisectriz.
B
24. Calcula x.

¿Quién es la madre?
Hay dos mujeres en una habitación, sentadas una en frente de la otra, mientras que un niño pequeño juega en el
piso. Estudia bien la ilustración y responde las siguientes preguntas:
Pon a prueba tus
habilidades con
estos acertijos.
1111- ¿Quién crees que es la madre?
.... ¿Qué características observas en ella que te permitan determinar
que esa persona es la mamá?
Compara tus hipótesis
con las de tus
compañeros(as) !f
debatan al respecto.
Leonardo sostenía en la mano un anillo de oro, el cual iba a obsequiarle
a su enamorada Micaela. Mientras lo observaba, el aro cayó dentro de
una taza llena de café¡ sin embargo, este no se mojó. ¿Cómo es posible
ello?
Pen5>dmiento ldterdl
J•
�
o
z
'o
·§ .... ¿La posición del niño te da alguna pista al respecto?
f¡
j
u
<
"
j

Dibujamos ángulos
para La vida cotidiana
En el salón de clases, el profesor
pidió a sus alumnos que graficaran
un ángulo en sus cuadernos.
Daniel y Nicole dibujaron dos
ángulos suplementarios, tal como
se observa a continuación:
a
ángulo dibujado
por Daniel
ángulo dibujado
por Nicole
1. ¿Qué conocimientos vas a aplicar en este problema?
2. Si se sabe que uno de los ángulos es el cuádruple del otro, ¿cuánto mide el ángulo dibujado por Daniel?
�
;
3. Si ahora los ángulos que grafican son complementarios y, de igual manera, el ángulo dibujado por Daniel es �
el cuádruple del ángulo que diseñó Nicole, ¿cuánto mide el ángulo dibujado por Daniel?
d
l'
1
"
<
a
j
1•

Distancias
Vania, Nadia, Mariam y Knstell son cuatro amigas
que se ubican en línea recta, en ese orden, a lo largo
de una vereda. Además, la suma de las distancias
entre Vania y Mariam, entre Nadia y Kristell y entre
Vania y Kristell es 36 m, mientras que la distancia
entre Nadia y Mariam es 5 m.
1. ¿Qué conocimientos vas a aplicar en este problema?
2. ¿Cuál es la distancia que hay entre Vania y Kristell?
�
o
z
'0 3. Si José se ubica equidistante de Vania y Nadia, mientras que Paul se encuentra equidistante de Mariam y
·§ Kristell, ¿cuál es la distancia entre José y Paul?
f¡
j
u
<
"
j
J•

con valores
¿A quién le compro?
Un padre camina con sus dos hijas adolescentes: Pierina tiene 13 años, y Antonella, 15. Cerca de un parque del
barrio, al acercarse a la esquina, observan a dos niños ambulantes que venden golosinas. Uno de ellos es extranjero
(llevaba un gorro con la bandera de su país y, además, tenía el acento característico), mientras que el otro era
peruano. Pierina se dirige a uno de ellos y le compra una galleta. Cuando regresa, su hermana le recrimina por no
haberle comprado al niño peruano: "Entre peruanos debemos apoyarnos". Su hermana le contesta: "Los extranjeros
migrantes están pasando por un mal momento, necesitan nuestra solidaridad". El papá les dice: "Cuando uno quiere
colaborar y desea ayudar a tas personas no debe importar la nacionalidad de estas".
Analiza la
situación real¡
reconoce la aplicación
ele valores !:I el
comportamiento
social ético.
� ¿Por qué hay niños y niñas ambulantes en las calles?
� ¿A qué niño le hubieras comprado tú? ¿Por qué?
� ¿Qué opinas de la postura que asume Antonella y de su frase "Entre peruanos
debemos apoyarnos"? ¿Estás de acuerdo?
� He parece que existe algún tipo de xenofobia por parte de Antonella? ¿Por qué?
� ¿Qué opinas de la reacción de Pierina y su frase: "los migrantes están pasando por
un mal momento, necesitan nuestra solidaridad"? ¿Estás de acuerdo?
� ¿Qué opinas de lo que dice el padre de ambas? ¿Por qué?
� ¿Quién tiene la razón: Pierina, Antonella o su papá?
Busca otros
puntos ele
vtstc se9ún los
eliferentes roles
9ue intervienen
en el suceso
narraclo.
d
l'
1
"
<
a
j
1•

Pruebas tipo
Los volantes
f-------- 22 m --------,
Cuatro amigos (Óscar, Marco, Ana y Rosa) se ubican a lo largo de una
avenida, en línea recta, para repartir volantes. Ellos están distribuidos tal
y como se muestra en el gráfico.
R
A
M
e------- 30 m ----------,
o
¿Cuál es la distancia que separa a Marco de Ana?
A) 8 m B) 16 m C) 20 m D) 18 m E) 14 m
14ii-fühM,P
Casa en el parque
C) 24 m
B) 32 m
E) 36 m
Tres amigas (Gina, Mayra y Lourdes) viven cerca una de la otra, tal y
como se muestra en la figura.
¿cuál es la diferencia entre la máxima y la mínima distancia entera
posible entre la casa de Glna y Lourdes?
�
o
z
' A) 28 m
O
D) 30 m
1
f¡
� lílii-h1
t9M,P
e,
u
<
"
j
J•

L,
Puntos colineales
A
Si {A, B, C, D} e L,
� A, B, C y D son colineales.
Si AB = CD� AB as CD
A�/D
B C
Segmentos congruentes
SEGMENTOS
'
Tema 1:
Porción de recta
limitada por dos puntos
D
e
B
• --- - -- -- - --- -- --- - -.---- - - Conceptos geométricos -- - -.-- --- -- --- - -- --- --·
' '
Recta Semirrecta Rayo
A
B
Notación
AB: recta AB
L1: recta L1
A
Notación
AB: semirrecta AB A
Notación
AB: rayo AB
Rectas secantes Rectas paralelas
L,
L,
Ángulo llano
.�.
a+p+e+y =180º
Propiedades básicas
A
''
Tema 2:
-
ÁNGULOS
Ángulo de una vuelta
B
y
a+ p +e+ y+$= 360º
Según su posición
·---------------------------
'
,,,
--------------------------------·',,
d
l'
1
"
<
a
j
1•
Según la suma de sus
medidas
��
Suplementarios
w.Complementarios
Opuestos por
el vértice
Consecutivos
clasificación
�
Adyacentes
Según sus medidas
�
Obtuso
.L. Agudo
LRecto

rema a
·------------------------------
'
TRIÁNGULOS
Clasificación
Escaleno Isósceles
B B
Por la medida p p
de sus lados e a a a
a y a a
A
b
e A
b
e
Equilátero
B
.A.
�
A a e
Acutángulo Rectángulo Obtusángulo
a Y
b
a< 90º; p < 90º; t« 90º
( c2 < a2 + b2)
n c 90º; p < 90º; y= 90º
( c2 ;:: ª2 + b2)
a a
a< 90º; p < 90º; y> 90º
( c2 > ª2 + b2)
e
y p
a
b
a
e
Por la medida
de sus ángulos
�
o
z
'o
1,
�
?
¡
1e,
u
< Líneas
"
1 notables
o
•
'o
'
"
ur
•
. -E - - - -A
f'-------!'-------------' e A L_---ecM��----" e AL.._ ,_H
L---'c
y
B
a
L,
B
(a+P=y)
Altura
Mediatriz
AL..-fl----�M!.---H-----"C
y
Mediana
B
a
( a + p + y= 360º )
B
y
e
BiseLL
A I B
Ceviana
a
(a+p+y=l80°)
Teoremas
L---

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