UNMSM-Ciclo 2010-I

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2010-I
Habilidad Lógico Matemática
EJERCICIOS DE CLASE Nº 12
1. Supongamos que podemos sustituir cada recuadro de la figura por uno de los signos
, una sola vez en cada caso. Determine la suma de los valores mínimo y
máximo posible que se puede obtener.
, , ,   
6 12 10 6 8
A) 12 B) 16 C) 18 D) 14 E) 20
Solución:
1) Max 6 12 10 6 8 125,25     
Min 6 12 10 6 8 113,25      
2) 12 .Suma Max Min  
Clave: A
2. La figura muestra a un corredor que sale del punto M , punto medio de AD . Lleva en
sus manos cuatro banderas que debe colocar, de la forma siguiente: la primera debe
insertarla en el lado AB , la segunda en el lado BC , la tercera en el lado CD y la
última debe colocarla en el vértice A . Si es un rectángulo,ABCD 90AD m y
, ¿cuál es la longitud mínima que recorre el corredor para que realice lo
que se indica?
60DC m
A
CB
DM
A) 270 m
B) 250 m
C) 255 m
D) 265 m
E) 275 m
SOLUCIONARIOS Pág.1
Semana Nº 12 (Prohibida su reproducción y venta)

Solución:
1) Por simetría se tiene
A D
CB
D´A´
C´
9090 45
60
60
2) .min ' 255Long recorrido MA 
Clave: C
3. Carlos al comprar un producto debe pagar S/. 397 solo con monedas de S/. 1, S/. 2 y
S/. 5. Si debe utilizar los tres tipos de monedas, ¿cuántas monedas como mínimo
debe emplear?
A) 80 B) 82 C) 79 D) 81 E) 83
Solución:
1) Debe emplear como mínimo: 78 monedas de S/. 5, 3 monedas de S/. 2 y 1
moneda S/. 1.
2) Por tanto, mínimo total de monedas: 82.
Clave: B
4. En la siguiente tabla colocar los números del 1 al 12 sin repetir, de modo que la
suma en cada fila y columna, formadas por 4 casillas, sea la misma y la mayor
posible. Halle el valor de (x + y + z + w).
w
x y
z
A) 40
B) 41
C) 42
D) 43
E) 44

Solución:
Sea S la suma de cada lado, entonces:
S + S + S + S – (x + y + z + w) = 1 + 2 + . . . . . . . . + 12 = 78
4S = (a + b + c + d) + 78
Entonces S es mayor cuando x = 9, y = 10, z = 11, w = 12
x + y + z + w = 42.
Clave: C
5. En la figura, reemplazar las letras por números del 11 al 18 sin repetir, tal que en
ningún caso dos números consecutivos sean vecinos ( sus casilleros tiene un lado en
común). Halle el menor valor de ( b + c ).
b c
A) 25 B) 26 C) 29 D) 28 E) 27
Solución
11 14 1213
15
16
17
18
Entonces b + c = 25 Clave: A
6. Dado el siguiente esquema de la raíz cuadrada donde cada estrella representa una
cifra. ¿Cuántas unidades como mínimo, hay que sumar al radicando para que este
sea un cuadrado perfecto?
A) 26
1
5 5
6
5 4
6 7 6
B) 89
C) 55
D) 81
E) 77

Solución:
1
55
6
5 4
6 7 6
9
5 3
6_x_=...9
9
0
0
3 ó 7
puede ser
1
55
6
5 4
6 76
9
5 3
67x7=469
9
0
0
74_x_=...4
7
puede ser
2 ó 8
4 6
4
Luego: 143560 + 81 = 143641= 3792
 Se debe agregar: 81
Clave: D
7. Dada la siguiente sucesión: 180; 198; 216; 234; … ; 21 600, ¿cuántos términos son
cubos perfectos?
A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4
Solución:
La sucesión es: 18x10; 18x11; 18x12;……; 18x1200
Tienen la forma: 18xK=2x32
xK
Para ser un cubo perfecto: K = 22
x3xn3
Además: 10 2 2
x3xn3
 1200  0,9  n  4,64
Luego: n = 1; 2; 3; 4
Clave: E
8. Dado S = (x + 20) + (x + 21) + (x + 22) +…+ (x + 100); donde x es un número
entero positivo. Halle el menor valor de x para que S resulte ser un cubo perfecto.
A) 8 B) 11 C) 12 D) 9 E) 10
Solución:
S = ( x + … + x ) + ( 20 + 21 + … + 100)
100 = 20 + n – 1 n = 81
S = 81 x + 4860 = 81 ( x + 60 ) = 27 ( 3 x + 180 )
Piden xmin = 12 . ( 27 ( 3 (12 ) + 180 ) = 27 x 216 = 33
x 63
).
Clave: C
1
55
6
5 4
6 7 6
9
5 30 7
67x7=469
9
0
748x8=59844 6
4
89
8
6
6
6
3
3

2
09. Si x 3 , Halle el valor dex 1   2 6
2
1 1 1
E x x x
x x x
      6
, dar como respuesta
la suma de las cifras de E.
A) 8 B) 7 C) 6 D) 9 E) 10
Solución:
33232273
6x
16x
2x
12x
x
1
xE
Luego
322
6x
16x343
6x
1
2x
12x36x3
2x
12x
7
2x
12x232
x
1
x
3
x
1
x
x
x3
x
12x





)()()(
)()(
)(
Clave: A
10. Si P(x) = ax
+ bx
y a6
+ b6
= 1, halle el valor de E = 2
1
2P
10P4P





 
)(
)()(
A) a4
b4
B) ab C) 4a2
b2
D) 2a4
b4
E) a2
b2
Solución:
(a6
+b6
)(a4
+b4
)=a10
+b10
+a6
b4
+a4
b6
1 x P(4) = P(10) + a4
b4
(a2
+b2
)
1 x P(4) = P(10) + a4
b4
P(2)
2b2a4b4a2
1
2P
10P4P
E 




 

)(
)()(
Clave: E
11. Si
2
3 23 3
a

 y
2
3 23 3
b

 , halle el valor de E = 4ab(3a2
+ b2
)(a2
+ 3b2
)
A) 1 B) 3 C) –3 D) – 4 E) 5

Solución:
5E
ndoMultiplica
12a32bb2
52b32aa2
solviendo
13ba3ba
53ba3ba
Entonces
3 2ba3 3ba






)(
)(
:Re
)()(
)()(
Clave: E
12. En la figura, A y O son centros del cuadrante y la semicircunferencia
respectivamente. Si 36BC m, halle el área de la región sombreada.
A) 2
3363 m)π( 
B) 2
3363 m)π( 
C) 2
339 m)π( 
D) 2
3364 m)π( 
A
B
CO
D
E) 2
3353 m)π( 
Solución:
1) ABC (30º,60º)
2) 396
4
36
6
6 22




 π
π
S
A
B
CO
30º
60º
120º
60º
60º S2
S1
S S 6 3
6 6
D
3) πS
π
SS 339
12
6
1
2
1 


4) πSSS 6318
2
336
22 


5) 2
21 3399327 m)π(πSS 
Clave: C

13. En la figura, O es centro de la semicircunferencia de radio 10 cm. Determine el área
de la región sombreada.
A) 2
225 cm)π( 
B) 2
220 cm)π( 
C) 2
225 cm)π( 
D) 2
120 cm)π( 
A CO
45º
E
D
E) 2
120 cm)π( 
A CO
45º
D
E
10 cm
 


SSolución:
1) ºβαº
βα
9045
2


2) 2
2
225
2
1010
4
10
cm)π(
π
S 




Clave: A
14. En la figura, ABC es un triángulo rectángulo recto en B, O y A son centros de la
semicircunferencia y el sector circular, respectivamente. Si y ,
determine el valor de S.
2
2 mU  2
3 mV 
A) 6 2
m B
U
V
S
OA CD
B) 5 2
m
C) 4 2
m
D) 1 2
m
E) 8 2
m

Solución: B
U
V
S
OA CD
R
r
r
r
r
2r
45º
1)
2
2
rπ
SR


2)
2
2
8
1 2
2 rπ
))r(π(VUR


2
5 mVUSVURSR 
Clave: B
EJERCICIOS DE EVALUACION Nº 12
1. Para almacenar maíz se cuenta con varios recipientes que solo pueden contener 1; 3
y 9 kilogramos. ¿Cuántos recipientes como mínimo se necesitan para almacenar 32
kilogramos de maíz?
A) 4 B) 5 C) 7 D) 13 E) 6
Solución:
Kilogramos 1 3 9
Recipientes ( 2 ) + ( 1 ) + ( 3 ) = ( 6 )
2kg. + 3kg. + 27 kg. = 32 kg
Clave: E
2. Si “2n” naranjas pesan de “3r” hasta “5s” gramos, con r < s, ¿cuál es el mínimo
número de naranjas que puede haber en “m” kilogramos?
A) 200mn/s B) 300mn/s C) 400mn/s D) 400ms/n E) 300ms/n
Solución:
Para tener el mínimo numero de naranjas se debe considerara las de mayor peso,
Entonces: 2n…….5s
x…….1000m de aquí se tiene x= 400mn/s naranjas.
Clave: C

3. Alfonso recibe una propina de S/. 10,8 en monedas de S/. 1; S/. 2; S/. 0,5; S/. 0,2 y
S/. 0,1. Si debe utilizar los cinco tipos de monedas, ¿cuál será la mayor cantidad de
monedas que recibe?
A) 78 B) 81 C) 75 D) 76 E) 77
Solución:
Multiplicamos a todo por 10 y:
10(71)+20(1)+5(1)+2(1)+1(1)=108
Clave: C
4. Dado el siguiente esquema de la raíz cuadrada donde cada estrella representa una
cifra. ¿Cuántas unidades como mínimo hay que sumar al radicando para que este
sea un cuadrado perfecto?
A) 312
2
1
2
3
5
B) 313
C) 314
D) 311
E) 315
Solución:
La primera cifra de la raíz
puede ser: 1 ó 2
2
1
2
3
5
2
9
1
2
3
1 2 5
25x5=125pero 2 no cumple pues:
45x5 = 225
La tercera cifra de la raíz
puede ser: 3 ó 7
pero 3 no cumple pues:
303x3 = 909
24652 = (157)2
+ 3
24652 + 312 = (157)2
+ 3 + 312 = (158)2
2
1
2
3
5
2
9
1
2
3
1 2 5
25x5=125
307x7=2149
7
 Se debe agregar: 312
Clave: A

5. ¿Cuántos números de tres cifras son cubos perfectos pero no cuadrados perfectos?
A) 10 B) 6 C) 5 D) 4 E) 15
Solución:
Sea N un numero de 3 cifras.
Por dato N = k2
Por dato N = p3
Pero si N = q6
Luego existen : 5 – 1 = 4
Clave: D
6. Si x2
+ 2y2
+ 2 = 2x - 2xy, halle el valor de E =
3y2x
xy3

.
A) 1 B) – 2 C) – 1 D) 1/4 E) 2
Solución:
De la condición tenemos:
x2
+2y2
+2 – 2x + 2xy = 0 si le quitamos y ponemos 2y obtenemos
(x+y-1)2
+(y+1)2
=0
De donde y = – 1, x = 2 entonces 2 3
3xy
x y
= – 2
Clave: B
7. Si , halle el valor de3
1 0 1x x    
3 3
2
( 1) ( 1)x x
A
xx
 
  .
A) 2 B) 0 C) –1 D) –2 E) 1
Solución:
Transformando tenemos:
2
2
2
( 1)( 1) 0
1 0
1
x x x
x x
x x
   
   
  
De donde
4 5
3 2
( ) 1(1) 1
A x x
A x x x
 
     
Clave: C

8. En la figura, O es centro de la semicircunferencia. Si BR = RE ; 4AR = RE = 80 cm y
ABER  , halle el área de la región sombreada.
A) 1425  cm
A
O
B
R
E
B) 1325  cm
C)
18
1325 
cm
D) 1225  cm
E)
18
6625 
cm
Solución:
ó también RI2
= AR . RB = 20(80)
RI = 40A
As = Asc (AIO) = 2
2
cm
18
6625
)º180(2
º53)50( 


A B
R O
E
Clave: E
9. En la figura, ABCD es un cuadrado cuya área es 196cm² y D es centro del
cuadrante. Halle el área de la región sombreada.
A) 42 cm²
B) 38 cm²
C) 21 cm²
D) 27 cm²
E) 36 cm² A
B
D
C
B
R
45º
45º
5020
53º
40 50
I

Solución:
 (7k)2
= 196  k = 2
 As = 2
42cm
2
7k(3k)

A D
B C
14
7
3k
4k
45º
45º
37º
3k53º/2
53º
Clave: A
Habilidad Verbal
SEMANA 12 A
TEXTOS SEGÚN SU ESTRUCTURA:
TEXTOS ANALIZANTES, SINTETIZANTES Y CENTRALIZANTES
Texto analizante
Se caracteriza porque la idea principal figura al inicio del texto. El resto del texto
explica esta idea de manera más específica a través de la enumeración de propiedades o
de ejemplos.
Texto sintetizante
Es el tipo de texto en que la idea principal aparece al final del texto. Esta idea viene a
ser como la afirmación definitiva o la conclusión general de todo lo expresado en el texto y
funciona como una especie de resumen general de lo afirmado previamente.
Texto centralizante
Este texto es una combinación de los dos tipos de texto expuestos en los dos
apartados anteriores. Está estructurado de tal forma que al inicio figuran ideas
secundarias y se prosigue con la idea principal: y, finalmente, se continúa con el desarrollo
analítico de esta idea en otras secundarias y distintas a las primeras.
ACTIVIDADES
Determine el tipo de texto, según la estructura temática.
TEXTO A
Los faraones egipcios del Imperio Nuevo concentraron en Tebas, en el curso medio
del Nilo, los principales santuarios y el mayor conjunto funerario de todo el país. Entre
todas estas edificaciones, el templo de Karnak disfrutaba de una posición preeminente, en
cuanto estaba enteramente dedicado al culto de Amón, el dios central en la religión

olución:
egipcia de esta época. Tres kilómetros Nilo arriba se encontraba otro santuario
estrechamente asociado al de Karnak, el de Luxor, de dimensiones más reducidas que el
primero pero que tiene el gran privilegio de mantenerse en un estado de conservación
mucho mejor. En su origen, el templo de Luxor se denominó "Harén del sur de Amón", y
su función se limitaba a una celebración anual que duraba poco más de una semana.
S
texto analizante. El tema central se refiere a la ubicación en Tebas, por parte
TEXTO B
Si es cierto que todo lenguaje contiene los elementos de una concepción del mundo
olución:
Este es un
de los faraones egipcios, de los principales santuarios de ese país.
y de una cultura, también lo será que por el lenguaje de cada uno se puede juzgar la
mayor o menor complejidad de su concepción del mundo. El hombre que solo habla un
dialecto o solo comprende la lengua nacional en grados diversos participa necesariamente
de una intuición del mundo más o menos limitada y provincial, fosilizada, anacrónica en
relación con las grandes corrientes de pensamiento que dominan la historia mundial. Sus
intereses serán limitados, más o menos corporativos o economicistas, no universales. Si
no siempre es posible aprender idiomas extranjeros para ponerse en contacto con
diversas vidas culturales, es necesario, por lo menos, aprender bien la lengua nacional.
Una gran cultura puede traducirse en la lengua de otra gran cultura, es decir, una gran
lengua nacional históricamente rica y compleja puede traducir cualquier otra gran cultura,
una expresión mundial. Pero un dialecto no puede hacer lo mismo.
S
texto centralizante. El tema central se refiere a las limitaciones culturales de
TEXTO C
Aunque la biotecnología tiene la capacidad de crear nuevas variedades de plantas
Este es un
quien o quienes hablan un dialecto o solo comprenden la lengua nacional.
comerciales y de esta manera contribuir a la biodiversidad, es difícil que esto suceda. La
estrategia de las corporaciones multinacionales consiste en crear amplios mercados
internacionales para la semilla de un solo producto. La tendencia es formar mercados
internacionales de semillas uniformes. Aún más, las medidas dictadas por las
corporaciones multinacionales sobre el sistema de patente que prohíbe a los agricultores
rehusar la semilla que rinden sus cosechas, afectará las posibilidades de la conservación
in situ y el mejoramiento de la diversidad genética a nivel local. Los sistemas agrícolas
desarrollados con cultivos transgénicos favorecerán los monocultivos que se caracterizan
por niveles peligrosos de homogeneidad genética, los cuales conducen a una mayor
vulnerabilidad de los sistemas agrícolas al estrés biótico y abiótico. Conforme la nueva
semilla producida por bioingeniería reemplace a las antiguas variedades tradicionales y a
sus parientes silvestres, se acelerará la erosión genética. De este modo, la presión por la
uniformidad ejercida por los cultivos transgénicos no sólo destruirá la diversidad de los
recursos genéticos, sino que también romperá la complejidad biológica que condiciona la
sustentabilidad de los sistemas agrícolas tradicionales.

olución:S
texto sintetizante. El tema central se refiere a las consecuencias de los
TEXTO D
El hambre también ha sido creada por la globalización, especialmente cuando los
olución:
Este es un
cultivos transgénicos.
países en desarrollo adoptan las políticas de libre comercio recomendadas por agencias
internacionales (reduciendo los aranceles y permitiendo el flujo de los productos de los
países industrializados). La experiencia de Haití, uno de los países más pobres del
mundo, es ilustrativa. En 1986 Haití importó sólo 7 000 toneladas de arroz, porque la
mayor parte se producía en la isla. Cuando abrió su economía al mundo, los inundó un
arroz más barato proveniente de los Estados Unidos, donde la industria del arroz es
subsidiada. En 1996, Haití importó 196 000 toneladas de arroz foráneo al costo de US$
100 millones anuales. La producción de arroz haitiano se volvió insignificante cuando se
concretó la dependencia en el arroz extranjero. El hambre se incrementó.
S
texto analizante. El tema central se refiere al hambre en los países en
TEXTO E
El siglo XXI muestra un mundo cada vez más parecido a una aldea global. Esta
olución:
Este es un
desarrollo como consecuencia de la globalización.
expresión, “aldea global”, fue acuñada en la década de 1960 por el sociólogo canadiense
Marshall McLuhan. Hoy el mundo se caracteriza por una serie de interrelaciones que se
manifiestan en diversos ámbitos. Así, el mundo funciona cada vez más como un
verdadero sistema integrado, formado por múltiples componentes. En esencia, la
globalización es un fenómeno que se manifiesta en las distintas esferas de la actividad
humana y tiene un doble valor, tanto positivo como negativo. El fenómeno de la
globalización genera beneficios en el ámbito económico y social; sin embargo, también se
aprecian graves problemas en lo relacionado con la globalización del crimen organizado,
que ha crecido mucho en las últimas décadas. Las actuales tendencias globales, como la
interdependencia creciente de los Estados y la apertura de las fronteras, coexisten con
flagelos como la pobreza y la falta de equidad en la mayoría de los Estados, lo cual facilita
las actividades de grupos delictivos, cuyo comportamiento se asemeja a las actividades
empresariales legales.
S
alizante.
TEXTO F
Uno de los aspectos más interesantes del psicoanálisis moderno es que ha ampliado
Texto centr
la gama de complejos. Primero, el complejo de Edipo y los demás complejos producidos
por la represión sexual, luego el complejo tanático con los complejos en torno del instinto
de muerte y las tendencias agresivas. Aunque durante años el psicoanálisis clásico se
mantuvo dentro de la ortodoxia freudiana, en los últimos años los complejos han
proliferado. Quiero sumar a esta proliferación un nuevo complejo: el apobálico. Este

olución:
complejo consiste en perder de manera irremediable determinado tipo de objetos. Desde
luego, la denominación no es rigurosa, porque la he derivado de «apoballo» (yo pierdo).
Debería más bien llamarse «apobalóntico» que viene del participio presente del mismo
verbo; pero suena tan científico y tan contundente que bien puedo tomarme ciertas
libertades, pues la fuerza expresiva compensa la carencia de rigor filológico. El complejo
apobálico está mucho más extendido de lo que podría parecer a primera vista. ¿Quién no
tiene en la familia uno o dos parientes famosos por su capacidad para perder las cosas?
El origen del complejo aún no ha sido estudiado, puesto que yo lo he descubierto y soy el
único que conoce su existencia; pero estoy seguro de que es muy profundo y que cuando
se analice a fondo, no por aficionados como el que escribe, sino por expertos, se
producirá una verdadera revolución en el psicoanálisis.
S
alizante.
COMPRENSIÓN DE LECTURA
TEXTO 1
Ante todo hay que tener en cuenta lo siguiente: las proposiciones verdaderamente
= 12 es una simple
De la misma forma, ningún principio de la geometría pura es analítico: “la línea recta
la síntesis.
Texto centr
matemáticas son siempre juicios a priori, no empíricos, ya que conllevan necesidad, cosa
que no puede ser tomada de la experiencia. Si no se quiere admitir esto, entonces limitaré
mi principio a la matemática pura, cuyo concepto implica, por sí mismo, que no contiene
conocimiento empírico alguno, sino sólo conocimiento puro a priori.
Se podría pensar, de entrada, que la proposición 7 + 5
proposición analítica, que se sigue, de acuerdo con el principio de contradicción, del
concepto de suma de siete y cinco. Pero, si se observa más de cerca, se advierte que el
concepto de suma de siete y cinco no contiene otra cosa que la unión de ambos números
en uno solo, con lo cual no se piensa en absoluto cuál sea ese número único que sintetiza
los dos. El concepto de doce no está todavía pensado en modo alguno al pensar yo
simplemente dicha unión de siete y cinco. Puedo analizar mi concepto de esa posible
suma el tiempo que quiera, pero no encontraré en tal concepto el doce. Hay que ir más
allá de esos conceptos y acudir a la intuición correspondiente a uno de los dos, los cinco
dedos de nuestra mano, por ejemplo, o bien cinco puntos, e ir añadiendo sucesivamente
al concepto de siete las unidades del cinco dado en la intuición. En efecto, tomo primero el
número 7 y, acudiendo a la intuición de los dedos de la mano para el concepto de 5,
añado al número 7 una a una, las unidades que previamente he reunido para formar el
número 5, y de esta forma veo surgir el número 12. Que 5 tenía que ser añadido a 7 lo he
pensado ciertamente en el concepto de suma = 7 + 5, pero no que tal suma fuera igual a
12. Por consiguiente la proposición aritmética es siempre sintética, cosa de la que nos
percatamos con mayor claridad cuando tomamos números algo mayores, ya que entonces
se pone claramente de manifiesto que, por muchas vueltas que demos a nuestros
conceptos, jamás podríamos encontrar la suma mediante un simple análisis de los
mismos, sin acudir a la intuición.
es la más corta entre dos puntos” es una proposición sintética. En efecto, mi concepto de
recto no contiene ninguna magnitud, sino sólo cualidad, El concepto “la más corta” es,
pues, añadido enteramente desde fuera. Ningún análisis puede extraerlo del concepto de
línea recta. Hay que acudir, pues, a la intuición, único factor por medio del cual es posible

a central hace referencia a
contradicción.
B) los juicios analíticos en la geometría y aritmética.
.
1. El tem
A) al juicio analítico y al principio de
C) los juicios sintéticos en la aritmética y geometría
D) la síntesis en las proposiciones de la aritmética.
E) la intuición, único factor de síntesis en geometría.
Solución:
Al analizar la proposición ‘7 + 5 = 12’ demuestra el autor que es sintética al igual que
ón ‘la línea recta es la más corta entre dos puntos’.
2. Entre A PRIORI y EMPÍRICO, el autor establece una
C) correspondencia.
) implicación. E) antonimia.
la proposici
Clave: C
A) sinonimia. B) afinidad.
D
Solución:
on nociones semánticamente contrapuestas.
Clave: E
3. Si la proposición “7 + 5 = 12” fuese analítica
e 7 + 5.
B) la síntesis tomaría en cuenta el concepto de suma.
S
A) el concepto de 12 estaría presente en el d
C) la intuición jugaría un rol esencial en matemática.
D) las proposiciones matemáticas serían empíricas.
E) la necesidad sería irrelevante en las matemáticas.
Solución:
Los juicios analíticos se basan en el principio de contradicción y si la proposición
” fuera analítica, entonces no se justificaría la intuición, único factor que
4. El término INTUICIÓN en el texto puede ser reemplazado por
C) memoria
D) deducción. E) axioma.
Solución:
“7 + 5 = 12
posibilita la síntesis.
Clave: A
A) imagen. B) recuerdo.
El concepto suma de 5 y 7 es la unión de ambos números, pero no que sea 12; para
l 12 acudo a la intuición (imagen) correspondiente a uno de los dos e ir
Clave: A
encontrar e
añadiendo uno a uno al otro, como los dedos de la mano o cinco puntos dado en la
intuición (imagen).

5. utor es incompatible sostener que
A) los juicios de la geometría son todos sintéticos.
C) los juicios de la aritmética son todos sintéticos.
ri.
De acuerdo con el a
B) algunos juicios de la geometría son empíricos.
D) los juicios de la geometría y aritmética son a prio
E) la matemática pura no tiene juicios empíricos.
Solución:
Así como los juicios de la aritmética son a priori, los de la geometría tienen el mismo
tatus.
Clave: B
6. = 12’ es un enunciado a priori y el concepto 12 surgió en la síntesis por la
intuición, podemos inferir que este juicio es
D) analítico y necesario.
E) sintético y empírico.
s
Si ‘7 + 5
A) analítico y tautológico. B) sintético y a priori.
C) analítico y a priori.
Solución:
Si todos los juicios de la matemática son a priori y el concepto 12 es hallado por la
síntesis de ‘7 + 5’ dada en la intuición, entonces este juicio es sintético a priori.
Clave: B
7.
A) estos juicios no conllevarían necesidad.
C) síntesis e intuición serían equivalentes.
is.
Si todos los juicios geométricos fueran analíticos, en la geometría,
B) se necesitaría del camino de la síntesis.
D) serían irrelevantes la intuición y la síntes
E) no se distinguiría la síntesis del análisis.
Solución:
Los juicios de la geometría al ser analíticos no requerirían de la intuición ni de la
síntesis, por lo que serían irrelevantes.
Clave: D
8. al a 6,
A) violaría el principio de contradicción.
ante.
ario.
Si alguien sostuviera que 3 + 3 no es igu
B) tendría una consistente base empírica.
C) formularía una demostración impecable.
D) el conocimiento a posteriori sería relev
E) no se distinguiría entre analítico y neces
Solución:
Los juicios de la matemática son necesarios y por lo tanto analíticos, se siguen del
principio de contradicción.
Clave: A

9. ría “El triángulo equilátero tiene tres lados iguales” es un
juicio
El enunciado de la geomet
A) analítico. B) sintético. C) contradictorio.
D) a posteriori. E) contraintuitivo.
Solución:
En el juicio ‘la líne ás corta entre dosa recta es la m puntos’, el concepto ‘la más corta’
es añadido de afuera por la intuición que permite la síntesis; en cambio el concepto
extraído de ‘tiene tres lados’, por lo que es analítico.
10.
A) los juicios de la matemática pura son contingentes.
o analítico.
C) la intuición es la que nos permite conocer el 12.
triángulo es
Clave: A
Es incompatible con el texto afirmar que
B) la proposición “7 + 5 = 12” es un juicio n
D) la matemática pura contiene sólo juicios a priori.
E) es imposible demostrar, por análisis, 9 + 3 = 12.
Solución:
En el texto se afirma claramente que los juicios de la matemática conllevan
necesidad, y la necesidad implica que son puros a priori y lo fáctico es a posteriori.
Clave: A
SERIES VERBALES
1. Cereal, centeno; cánido, lobo; vivienda, chalet;
A) naranja, cítrico B) música, ritmo C) trebejo, alfil
balgiaD) chacal, lobo E) lumbago, lum
Solución:
Se trata de una en la que el primer eserie verbal lemento de cada par es un
hiperónimo y el segundo elemento es un hipónimo. Trebejo es el nombre que
ada una de las piezas del juego de ajedrez.
2.
A) tunante B) generoso C) disoluto
idador
designa a c
Clave: C
Despilfarrador, pródigo, derrochador,
D) diligente E) dilap
Solución:
La serie verbal está formada por sinónimos. La palabra pródigo significa persona que
desperdicia y consume su hacienda en gastos inútiles, sin medida ni razón.
Clave: E

. Policía, orden; dureza, diamante; médico, salud;…
A) albura, nieve. B) cirujano, hospital. C) suavidad, esponja.
.
3
D) tránsito, semáforo. E) político, probidad
Solución:
ión; cara aracterística.
Clave: A
4. Trote, galope; fogata, incendio; cariño, amor;
A) insulto, molestia. B) aluvión, alud.
D) risa, carcajada.
E) llanto, lágrima.
Serie verbal mixta: func cterística; función;…c
C) aprecio, desprecio.
Solución:
la relaci de intensidad
Clave: D
.
A) tribulación, afligido. B) fatuidad, sencillo.
sagacidad, estulto.
E) locuacidad, sobrio.
Serie verbal basada en ón .
5 Vesania, loco; inopia, indigente; lasitud, enfermo;
C) donosura, arlequín. D)
Solución:
Serie verbal formada por parejas donde el primer termino señala la acción y el
segundo termino es el individuo que la padece.
Clave: A
6. ;
A) zanahoria, berenjena. B) mueble, sala. C) lago, laguna.
Triciclo, bicicleta; roble, pino; mandarina, toronja
D) hidrógeno, agua. E) reptil, caimán.
Solución:
ta por par s.
Clave: A
.
A) ley, constitución. B) palabra, morfema. C) abeja, colmenar.
Solución:
Serie verbal compues ejas de cohipónimo
7 Estrella, constelación; artista, elenco; pez, cardumen;
D) perro, jauría. E) tropa, soldado.
Serie verbal compuesta por parejas de elemento-conjunto.
Clave: D

TEXTO 1
SEMANA 12 B
Es antigua la preocupación humana por argumentar una diferencia cualitativa
entre el lenguaje coloquial (cotidian te, prosaico) y el lenguaje literarioo, corrien
(poético). Y es que para el hombre de todos los tiempos tiene que haber una diferencia
de naturaleza entre lo que sirve para usos triviales y aquello excelso que promueve
momentos de grandeza espiritual, o —para acudir a una reflexión arcaica— entre
aquello que relaciona a los hombres entre sí, y ese otro que relaciona a los hombres con
dios. Hasta el siglo XIX, esa diferencia era posible argumentarla con relativo éxito a base
de una reducción (no muy legítima, por cierto) que centraba el problema en la oposición
entre prosa y poesía. El elemento diferenciador, sin duda, era la versificación; pero desde
que se generalizó el uso del verso libre tal argumento perdió consistencia al mismo
tiempo que creció el interés discriminador. En sus manifestaciones más recientes este
interés se ha nutrido de las teorías desviatorias del lenguaje, de la glosemática y del
estructuralismo lingüístico; es decir, de un denso repertorio conceptual que, tras
encomiables esfuerzos, deja no obstante las cosas más o menos en el mismo estado en
que las habían dejado, ya en 1948, los teóricos R. Vellek y A. Warren (1953). Para éstos,
el lenguaje poético participa de las mismas cualidades que el de la vida cotidiana, sólo
que aquél las depura, extrema, organiza y concentra en un discurso intencional.
En efecto, hasta donde nos es posible observar, los intentos contemporáneos por
explicar el lenguaje poético como un lenguaje cualitativamente distinto del lenguaje
común y corriente han terminado por demostrar indirectamente lo contrario, esto es que el
lenguaje poético es, en lo básico, de la misma índole que el lenguaje coloquial. Así, por
ejemplo, Jean Cohen, que dedicó un laborioso volumen (1970) a demostrar la naturaleza
del lenguaje poético como una desviación de la norma lingüística, obligó a G. Genette
(1970) a recordarle que la norma no admite desviaciones y sólo cabe infringirla o
romperla, lo que no es privilegio de la poesía y ocurre sin problemas a diario, en la calle.
Más aún, esa norma de que habla Cohen está, en verdad, plagada de figuras, es decir de
infracciones a un lenguaje digamos "primario", más virtual que real, constituido de signos
y enunciados de sentidos directos y literales.
1. En última instancia, el autor argumenta a favor de
A) la naturaleza insondable de la estructura del lenguaje literario.
B) las diferencias entre los usos poético y coloquial de la lengua.
C) la aplicación de la normativa lingüística en el lenguaje poético
D) las características fundamentales de todo discurso coloquial.
E) la índole común del lenguaje poético y del lenguaje coloquial.
Solución:
El autor sostiene fundamentalmente que el lenguaje poético es, en lo básico, de la
misma índole que el lenguaje coloquial.
Clave: E

2. En el texto, el antónimo contextual del término EXCELSO es
A) ordinario. B) etéreo. C) falaz. D) prolijo. E) eximio.
Solución:
raleza ue sirve para usos triviales
y aquello excelso que promueve momentos de grandeza espiritual...”, es decir muy
, eminente. Por tanto el antónimo que corresponde es ordinario.
3.
A) desde épocas prístinas se ha buscado diferencias entre lo cotidiano y lo poético.
Genette sobre la norma lingüística.
C) la proliferación del verso libre difuminó la tajante diferenciación entre prosa y
a.
“... tiene que haber una diferencia de natu entre lo q
elevado, alto
Clave: A
Resulta incongruente con el texto aseverar que
B) el autor del texto concuerda con la postura de
poesía.
D) Jean Cohen dilucida la identidad entre el discurso poético y el discurso coloquial.
E) para Genette, en el uso del lenguaje coloquial se suele infringir la norma
lingüístic
Solución:
n Cohen haJea dedicado un laborioso trabajo a dilucidar la posible diferencia.
Clave: D
4. del texto que el lenguaje poético
A) puede abordar las vivencias cotidianas del hombre.
literarias.
C) no puede expresarse creativamente en el verso libre.
Se deduce
B) es de uso exclusivo de las composiciones
D) ha sido vilipendiado por autores como G. Genette.
E) tiene un estatus superior por su carácter divino.
Solución:
El lenguaje poético participa de las mismas cualidades que el de la vida cotidiana,
sólo que aquél las depura, extrema, organiza y concentra en un discurso intencional.
Clave: A
5.
A) solamente se puede expresar mediante versos métricos.
C) no puede anclarse en los moldes del lenguaje cotidiano.
ntes.
Resulta compatible con el texto sostener que, para el autor, el lenguaje poético
B) carece totalmente de recursos de creatividad lingüística.
D) no se diferencia cualitativamente del lenguaje ordinario.
E) se diferencia esencialmente de las formas verbales corrie
Solución:
Para el autor, entre lenguaje poético y lenguaje prosaico no habría diferencias
ualitativas, sino intención comunicativa; puesto que son de la misma índole.
Clave: D
c

Si bien los trasplantes se han conver o en una práctica habitual, aún persisten
fuertes temores en la población para donar órganos. Superar esto es la clave para
umentar el número de los dadores solidarios que hacen falta para salvar miles de vidas.
ncia de
ara no donar órganos.
ales de tráfico de órganos.
n de órganos.
nos.
.
TEXTO 2
tid
a
Las razones que dificultan la decisión de ser donante son múltiples. En muchos casos,
arraigan en convicciones de índole religiosa, moral o filosófica que cuestionan la donación.
En otros, se fundan en el temor a la existencia de traficantes de órganos, o en la
desconfianza en el sistema de salud, que llevan a pensar que alguien podría no ser
asistido bien o a tiempo para obtener sus vísceras. También está el caso frecuente de
quienes no pueden sentirse solidarios en el momento en que atraviesan el dolor por la
muerte de un ser querido, que es cuando se les requiere que dispongan la entrega de los
órganos para prolongarle la vida a otro ser humano.
Es preciso, entonces, que se aclaren algunas cuestiones. Primero, que la
complejidad del procedimiento de ablación y trasplante, en el que intervienen varios
equipos médicos altamente especializados, torna muy improbable la existe
circuitos clandestinos. Segundo, que la necesaria compatibilidad entre donante y receptor
también aleja la posibilidad de manipulaciones que pudieran derivar en muertes “a
pedido”. La última cuestión es la más compleja. Porque hasta el presente, aunque alguien
haya manifestado expresamente su voluntad de donar, es a la familia a la que se consulta
en el momento en que aquélla puede efectivizarse. Y tal consulta llega en un momento
crucial, en general poco propicio para las reflexiones profundas, máxime si tienen que
llevar a la toma de una decisión rápida. Cuando esté vigente el consentimiento presunto
previsto en la ley, que implica que sólo deba manifestarse expresamente la negativa a
donar, muchos de estos problemas se evitarán. Mientras tanto, las campañas públicas
deben esclarecer sobre la naturaleza de los procedimientos técnicos, para disipar
fantasmas. Pero, esencialmente, deben apuntar a que se tome conciencia de lo que
significa salvar otra vida. Porque para decidirlo en un momento límite es menester que la
idea se haya considerado y discutido previamente, con calma y en profundidad. Nadie
está exento de que la vida a salvar pueda ser la propia o la de un ser querido. Por eso
debería destacarse que es más fácil lamentar el no haber consentido una donación a
tiempo que arrepentirse por haberlo hecho.
1. Centralmente el texto trata acerca de
A) las convicciones de índole religiosa p
B) las mafias nacionales e internacion
C) los temores y prejuicios que dificultan la donació
D) las trabas administrativas que encuentra la donación de órga
E) los avances en las técnicas médicas de trasplantes de órganos
Solución:
icEl texto trabaja básicamente como aclarar algunos temores y preju ios que impiden
que existan los suficientes donantes solidarios de órganos.
Clave: C
2.
A) expresar demonios interiores. B) incentivar contracampaña
D) eliminar temores infundados.
La expresión DISIPAR FANTASMAS alude a
s.
C) cazar verdaderos fantasmas.
E) tirar dinero en campañas inútiles.

Solución:
iento de las dudas oLa expresión se da en el marco de
temores que tiene la gente para donar ór
campañas de esclarecim
ganos, por lo que se infiere que aluda a
ores sin fundamento.
3.
arecer los procedimientos técnicos.
eliminar tem
Clave: D
Respecto de lo que se afirma sobre la donación de órganos es incongruente
sostener que
A) muchos se oponen por convicciones de índole religiosa, moral o filosófica.
B) un gran número de ciudadanos desconfíen en el sistema de salud pública.
C) son necesarias campañas para escl
D) nadie esté exento de que la vida a salvar pueda ser la de un familiar.
E) hay una alta probabilidad de generar un comercio inmoral y clandestino.
Solución:
Se plantea que dadas las condiciones técnicas es improbable que se genere un
mercado clandestino.
Clave: E
4.
A) se desconfía del sistema de salud por su ineficiencia.
C) la mayoría de escuelas filosóficas se oponen a la donación.
icos.
vida.
Se desprende del texto que con respecto a la donación de órganos
B) todos los cristianos se oponen a la donación de órganos.
D) son muchas las campañas para aclarar los medios técn
E) existe una plena conciencia de lo que significa salvar otra
Solución:
Entre las razones que dificultan la decisión de ser donante se encuentra la
esconfianza en el sistema de salud, se argumenta “que alguien podría no ser
n o a tiempo para obtener sus vísceras”, de lo que se infiere que está
5. ión de órganos sería una sociedad en la que
prime
d
asistido bie
desconfianza se debe a su ineficiencia.
Clave: A
Un contexto más propicio para la donac
A) la amoralidad. B) lo clandestino. C) lo religioso.
D) la solidaridad. E) el individualismo.
Solución:
ión de solidaridad.Que alguien pueda salvar vidas después de morir es una condic
Clave: D
6. La argumentación principal del autor se puede sustentar en el siguiente principio:
A) Las religiones que se oponen a la donación de órganos revelan una actitud
casi rutinario.
profundamente inmoral.
B) La tecnología contemporánea hace que las ablaciones sean un procedimiento

C) la política de nuestro tiempo, es imposible que haya
D) La muerte de una persona puede adquirir sentido si sirve para dar vida a otro ser
humano.
Dada la naturaleza de
corrupción en el Estado.
E) La donación de un órgano es un caso más de la ley general de distribución de la
riqueza.
Solución:
Al donar órganos, se genera la posibilidad de salvar la vida de un ser humano. Así, la
muerte de un ser querido adquiere una especial trascendencia.
Clave: D
7.
A) de esa manera cumple con una decisión ya publicitada por las au
principales de la nación.
miembros de la familia.
ente.
D) entender el auténtico significado de todas las religiones
E) nera irrecusable que el alma no existe, solamente
tenemos cuerpo.
So
Una familia debería aceptar donar los órganos de un pariente que ha muerto porque
toridades
B) esa buena acción puede significar ingresos económicos fuertes para todos los
C) más adelante, esa misma familia puede requerir la donación de un órgano para
salvar la vida de otro pari
es la única manera de
occidentales.
la ciencia ha demostrado de ma
lución:
La familia del occiso debería pensar en la buena reciprocidad que implica donar los
órganos del querido pariente. Quién sabe si mañana la misma familia se encuentre
n la condición de estar a la espera de un donante.
Clave: C
8.
C) la autoestima.
D) la muerte. E) la racionalidad.
Solución:
e
La mención de las campañas públicas ponen de relieve el enorme valor de
A) lo práctico. B) la persuasión.
la campañas pú ntasmas; en buena cuenta, es un
o de persuasión.
Clave: B
1. (I) El hombre primitivo vivía en medio de una cruel lucha con la na
(II) Habitaban la Tierra gigantescas fieras, que la paleontología ha comprobado.
(III) Vivía en hordas qu a de individuos. (IV) No le
quedaba más que alimentarse de frutas y raíces. (V) Fueron la piedra y el palo sus
El objetivo de s blicas es disipar fa
enorme trabaj
ELIMINACIÓN DE ORACIONES
turaleza.
e apenas pasaban de una decen
armas y herramientas.
A) III B) V C) II D) IV E) I

Solución:
El tema es el hombre primitivo y su medio hostil. Debe eliminarse la oración II por
pertinencia pues trata tangencialmente el tema central.
Clave: C
2.
o de los átomos que los
forman sino del modo en que éstos se unen. (III) En la formación de u
químico se reordenan los electrones atómicos que están más alejados del núcleo.
im
(I) Enlace químico es la fuerza que mantiene unidos a los átomos agrupados. (II) Las
propiedades de los enlaces químicos no dependen sól
n enlace
(IV) Los electrones son partículas elementales que forman parte de los átomos.
(V) Podemos identificar dos tipos de enlace químico: enlace iónico y enlace
covalente.
A) II B) IV C) I D) III E) V
Solución:
El criterio usado aquí es el de impertinencia. Como el tema es el enlace químico,
electrón como partícula elemental.
Clave: B
3.
ción de que
correspondan tan exactamente como sea posible con el mundo real, sin qu
a ser jamás una réplica exacta de él. (III) Se puede decir estrictamente que los
resulta impertinente la definición del
(I) Los modelos son de muchos tipos diferentes, pero tienen una característica en
común: son conceptos inventados. (II) Se construyen con la inten
e lleguen
modelos son objetos no reales. (IV) Pertenecen a diferentes categorías: una pared
no puede ser realmente un rectángulo, ni una rueda un círculo. (IV) Sin embargo, las
propiedades de un modelo pueden ser semejantes a las del mundo real, y, en
términos generales, un modelo resulta útil en la medida en que sus propiedades sí
corresponden con las del mundo real.
A) II B) III C) IV D) V E) I
Solución:
El conjunto oracional es un texto unitario en la medida en que describe las
elos. An do cada u e las oraciones,
ta redundan oración (III) porque repite innecesariamente parte de la oración
4.
set. (II) La concepción filosófica de Ortega y Gasset se funda en una crítica de la
razón histórica. (III) Sostiene Ortega un racionalismo vitalista poniendo de r
proyectos humanos. (IV) Desde su concepción filosófica, Ortega distingue entre
características principales de los mod alizan na d
esul te lar
(I).
Clave: B
(I) El 9 de mayo de 1883 nace en la ciudad de Madrid el gran filósofo José Ortega y
Gas
elieve los
ideas (que son racionales) y creencias (que se imponen a la razón). (V) Ortega
medita sobre la existencia humana con su tesis «Yo soy yo y mi circunstancia».
A) V B) III C) I D) II E) IV
Solución:
El tema es la filosofía de Ortega. Resulta impertinente el dato biográfico contenido en
la primera oración.
Clave: C

5.
en una búsqueda de las variables que parecen estar
relacionadas. (II) Mediante la identificación de estas variables, reducimos
de investigación a niveles prácticos y facilitamos el trabajo sistemático tanto a nivel
(I) Normalmente, la primera fase de investigación sobre un fenómeno nunca antes
estudiado consiste
el campo
experimental como teórico. (III) La determinación de variables operatorias es el
primer paso en la indagación científica. (IV) Por ejemplo, un punto de partida válido
para una teoría de la evolución biológica puede ser una proposición sobre
observaciones relacionadas como ésta: los tipos de fósiles están relacionados con la
edad de las rocas en que se hallan. (V) Es interesante notar que, en esta etapa
inicial del quehacer científico, podemos plantear proposiciones relativamente
definidas porque estamos considerando observaciones reales.
A) III B) IV C) I D) V E) II
Solución:
El conjunto de enunciados se refiere a la determinación de variables para una
igación ca. Ana do detenidamente el
determinamos que la oración III se revela superflua al portar información redundante.
Clave: A
6.
disciplina importante porque permite saber qué fuerzas se requieren para
movimientos específicos del cuerpo humano. (III) La postura y el movimiento de
invest científi lizan conjunto oracional,
(I) La biomecánica o cinesiología es el estudio del funcionamiento de las fuerzas
musculares para producir movimiento y equilibrio en el hombre. (II) Se trata de una
producir
todos los animales están controlados por fuerzas musculares. (IV) Los atletas se
benefician mucho con los avances de la cinesiología. (V) Asimismo, los terapeutas
usan los conocimientos biomecánicos para ayudar eficientemente a sus pacientes.
A) IV B) V C) I D) II E) III
Solución:
El tema fundamental es la biomecánica o cinesiología como ciencia que se aplica al
o de los m los del cue humano. E entido, la n (III) se revela
no pertinente porque un tema demasiado general: todos los animales.
Clave: E
COMPRENSIÓN LECTORA
El juego del trompo –a q poema en la Eneida– era
realmente bello. Se iniciaba con la compra del trompo “en el chino de la esquina”, trompo
hecho de huarango o naranjo, se le lij ja fina y se le pintaba con franjas de
olores. La punta era asentada raspándola contra el cemento de la vereda: se le ponía
estudi úscu rpo n tal s oració
SEMANA 12 C
TEXTO 1
uien ya Virgilio le canta un
aba con li
c
sedita, para que el trompo no saltase al bailar, es decir, que no fuera carretón. Sin
embargo podíamos tener trompos con puntas afiladas o con punta de hacha (como un
formón), los mismos que se usaban para sacar quiñes a la volada o en el castigo final del

largo de la huaraca. También
D) insondable. E) digresiva.
juego de la cocina, respectivamente. Luego se conseguía una huaraca de pabilo trenzada
que también se vendía donde el chino. Lo primero era aprender a bailar el trompo, esto
era enrollar la huaraca alrededor, la misma que tenía un nudo en un extremo, que retenía
una chapa de gaseosa perforada, lo que permitía retener la huaraca entre el dorso del
pliegue interdigital del anular y meñique. Luego se arrojaba al trompo con arte y oficio para
jalar la huaraca una vez que el trompo llegaba al extremo, con lo cual se volteaba el
trompo y caía de punta, dándonos nuestras primeras clases de la acción de las fuerzas
centrípetas y centrífugas con su giro y zumbidos perfectos.
Podía jugarse habilidades con él: levantarlo con el índice a la palma de la mano y
verlo bailar en ella, arrojarlo sobre una moneda para sacarla de un círculo en la tierra o en
el cemento, empararlo a la volada (empararlo en la mano sin que toque el suelo),
maniobra algo difícil pero no tanto como hacerlo bailar a lo
podíamos jugar a los quiñes, arrojando nuestro trompo sobre el trompo chantado del rival,
o luego de recoger el trompo con la mano, arrojarlo sobre el otro. Debido a que los quiñes
al trompo chantado no saciaban nuestros angelicales impulsos, se ideó el juego de la
cocina, en la que le arrojábamos nuestro trompo –que bailaba en la mano– de manera
que empujábamos al trompo chantado, hasta un lugar dibujado en la tierra: la cocina.
Ahora bien, si se fallaba en el lance, uno quedaba chantado a su vez. Cuando algún
trompo llegaba a la cocina, sufría un número de quiñes previamente convenidos, estos
quiñes podían darse ya sea golpeando el dorso del trompo, para sacarle un pedazo de
madera al trompo “cocinado”: una lonja. Algún amigo tenía su bolsita o caja de trofeos, en
donde guardaba las lonjitas sacadas de los trompos con el transcurrir de los años. El
golpe se podía dar con la mano sobre un trompo normal o con una piedra, o con un
trompo grande ad hoc (con las púas especiales ya descritas), siendo posible llegar a
romper en dos al trompo rival, cuyo dueño de manera no reglamentaria soltaría entonces
desconsoladas lágrimas. En el juego de la cocina podía convenirse que uno usara un
trompo distinto para chantarse que para jugar, por lo que la tragedia no era tan grande.
1. En el texto, la referencia a Virgilio es de índole
A) imprescindible. B) estética. C) explicativa.
Solución:
Es decir, que se sale del eje temático
E
2. etivo SEDITA tiene un sentido asociado con
ura. C) velocidad.
D) fuerza. E) pequeñez.
Solución:
Clave:
En el texto, el adj
A) galanura. B) ters
a ue el trompo n etó es decir, que no saltase al bailar, y
pue o, o sea sedita
Clave: B
3. que un jugador bisoño
ntado.
rompo sedita.
o a la volada.
.
El texto alude q o fuera carr n,
alude a lo o st , suave.
Se deduce
A) podría propinar quiñes terribles al trompo rival.
B) tendría su trompo en condición de cha
C) solamente podría jugar con un t
D) podría hacer la jugada del tromp
E) no habría sido aceptado en el juego de la cocina

Solución:
Quienes tenían el trompo chantado eran aquellos que perdían en el juego por
Clave: B
4.
A) todos sacaban a relucir sus trompos pequeños.
B) se estimulaba la solidaridad y el compañerismo.
mpo sedita.
D) no había lugar para rivalidades ni resentimientos.
carecer de arte y oficio.
Se infiere que en el juego de la cocina
C) solamente se podía ganar con un tro
E) uno sacrificaba un trompo común y corriente.
Solución:
En el juego de la cocina por lo general uno usaba un trompo distinto para chantarse
ande.
Clave: E
5.
A) tradicionales. B) giratorios. C) virtuales.
Solución:
que para jugar, por lo que la tragedia no era tan gr
Resulta incompatible con el texto afirmar que el narrador aboga a rajatabla por los
juegos
D) costumbristas. E) limeños.
Clave: C
6. en torno a
A) una explicación del trompo desde la época romana.
B) los maravillosos años de la infancia en un barrio limeño.
bre el divertido juego del trompo.
D) elucubraciones físicas sobre los juegos de la infancia.
Es obvio que rememora las tradiciones.
El texto gira
C) una rememoración so
E) una anécdota infantil referida a un trompo especial.
Solución:
El narrador rememora el juego del trompo, una pasión de la infancia.
Clave: C
TEXTO 2
s denominadas
nucleótidos. De la misma manera que las moléculas de proteína son cad
aminoácidos, así las moléculas de ADN nas de nucleótidos. Una molécula de
DN es demasiado pequeña para ser vista directamente, pero su forma exacta ha sido
Una molécula de ADN es una larga cadena de pequeñas molécula
enas de
son cade
A
ingeniosamente determinada por medios indirectos. Consiste en un par de cadenas de
nucleótidos enrolladas en una elegante espiral: la “doble hélice”. Los nucleótidos que la
componen son solo de cuatro tipos distintos, cuyos nombres podemos abreviar así: A, T,

nas excepciones que podemos ignorar, cada una de estas células
el término gen, aun cuando la división entre los genes no está tan bien definida
rrelevante. B) cognoscible. C) importante.
D) apremiante. E) comprensible.
Solución:
C y G. Son los mismos en todos los animales y plantas. Lo que difiere es el orden en el
que están ensartados. El componente G de un hombre es idéntico, en todos los detalles,
al componente G de un caracol. Pero la secuencia de los componentes en un hombre no
solamente es diferente de la de un caracol, sino que lo es también –aunque en menor
medida– de la secuencia de los demás hombres (con excepción del caso especial de los
gemelos idénticos).
Nuestro ADN vive dentro de nuestros cuerpos. No está concentrado en un lugar
determinado del cuerpo, sino que se encuentra distribuido entre las células. Hay
aproximadamente mil millones de millones de células como promedio en un cuerpo
humano, y, con algu
contiene una copia completa del ADN de ese cuerpo. Este ADN puede ser considerado
como un conjunto de instrucciones de cómo hacer un cuerpo, escritas en el alfabeto A, T,
C, G de los nucleótidos. Es como si en cada habitación de un edificio gigantesco existiese
un armario que contuviese los planos del arquitecto para la construcción del edificio
completo. El “armario” de cada célula es su núcleo. Los planos del arquitecto están
reunidos en 46 volúmenes en el hombre: el número es diferente en otras especies. Los
“volúmenes” son los cromosomas. Son visibles bajo la lente de un microscopio en forma
de largos hilos y los genes están unidos, en orden, a lo largo de él. No es fácil, y en
realidad quizás ni siquiera significativo, determinar dónde termina un gen y empieza el
siguiente.
Emplearé la metáfora de los planos del arquitecto, mezclando libremente el lenguaje
de la metáfora con el lenguaje de lo real. “Volumen” será empleado de modo
intercambiable con el vocablo cromosoma. “Página” provisionalmente se utilizará como
sinónimo d
como la división entre las páginas de un libro. A propósito, no existe, por supuesto, ningún
“arquitecto” trascendente: las instrucciones del ADN han sido reunidas por selección
natural.
1. El término SIGNIFICATIVO puede ser reemplazado por
A) i
ieza o termina un gen no es un asunto import
l texto.
Clave: C
2.
A) los cromosomas, vistos al microscopio, tienen apariencia filiforme.
B) la combinación de A, T, C y G permite diferenciar a los individuos.
indirectos.
D) las moléculas de ADN se definen como secuencias de aminoácidos.
Saber dónde emp ante o primordial para
los propósitos de
Una afirmación incompatible con el texto sostendría que
C) la forma de la molécula de ADN se deduce por medios
E) los aminoácidos y los nucleótidos operan como elementos análogos.
Solución:
En el texto se afirma que una molécula de ADN es una secuencia de nucleótido.
Clave: D

3.
A) pone de relieve el valor de las religiones.
B) sucumbe ante el poder de la fe religiosa.
ión.
D) perenniza las variaciones desfavorables.
.
Es posible inferir que la selección natural
C) induce a los organismos a la reproducc
E) entra en conflicto con el pensamiento teísta
Solución:
El autor utiliza la metáfora de los planos y el arquitecto y niega explícitamente la
ador.
Clave: E
4.
A) establecen un poderoso y estrecho vínculo afectivo.
B) tienen en sus células el mismo material genético.
ruple.
D) comparten la información genética con un caracol.
existencia del arquitecto, es decir, de un dios cre
Del texto se deduce que los gemelos idénticos
C) poseen un ADN de estructura helicoidal cuád
E) tienen exactamente los mismos comportamientos.
Solución:
En el texto se afirma que los nucleótidos son comunes a todas las especies. Lo que
melos idénticos constituyen el
aso excepcional de presentar la misma secuencia de nucleótidos, es decir, el
.
5.
A) se podría pensar en un arquitecto trascendente.
B) el ser humano tendría más de 46 cromosomas.
D) las moléculas de ADN podrían verse directamente.
.
la diferencia es la secuencia de los mismos. Los ge
c
mismo ADN
Clave: B
Si se pudiera establecer tajantemente cuándo empieza un gen y cuándo termina,
C) la metáfora de la página sería mucho más exacta.
E) el término ‘volumen’ se podría aplicar para el gen
Solución:
Dada esa condición, la metáfora entre gen y página sería más cercana.
Clave: C
TEXTO 3
Hay una cuestión ampliamente debatida: si es mejor ser amado que temido o
iceversa. Se responde que sería menester ser lo uno y lo otro; pero, puesto que resulta
difícil combinar ambas cosas, es much uro ser temido que amado cuando se
aya de renunciar a una de las dos. Porque en general se puede decir de los hombres lo
guie
v
o más seg
h
si nte: son ingratos, volubles, simulan lo que no son y disimulan lo que son, huyen del
peligro, están ávidos de ganancia; y mientras les haces favores son todo tuyos, te ofrecen
la sangre, los bienes, la vida, los hijos, cuando la necesidad está lejos; pero cuando se te

o hemos dicho, para evitar ser odiado
mido que amado, y debe evitar ser odiado.
s ejércitos tiene que mostrar crueldad.
viene encima, vuelven la cara. Y aquel príncipe que se ha apoyado enteramente en sus
promesas, encontrándose desnudo y desprovisto de otros preparativos, se hunde: porque
las amistades que se adquieren a costa de recompensas y no con grandeza y nobleza de
ánimo, se compran, pero no se tienen, y en los momentos de necesidad no se puede
disponer de ellas. Además, los hombres vacilan menos en hacer daño a quien se hace
amar que a quien se hace temer, pues el amor emana de una vinculación basada en la
obligación, la cual (por la maldad humana) queda rota siempre que la propia utilidad da
motivo para ello, mientras que el temor emana del miedo al castigo, el cual jamás te
abandona. Debe, no obstante, el príncipe hacerse temer de manera que si le es imposible
ganarse el amor consiga evitar el odio, porque puede combinarse perfectamente el ser
temido y el no ser odiado. Conseguirá esto siempre que se abstenga de tocar los bienes
de sus ciudadanos y de sus súbditos, y sus mujeres. Y si a pesar de todo le resulta
necesario proceder a ejecutar a alguien, debe hacerlo cuando haya justificación oportuna
y causa manifiesta. Pero, por encima de todas las cosas, debe abstenerse siempre de los
bienes ajenos, porque los hombres olvidan con mayor rapidez la muerte de su padre que
la pérdida de su patrimonio. Además, motivos para arrebatar los bienes no faltan nunca y
el que comienza a vivir con rapiña encontrará siempre razones para apropiarse de lo que
pertenece a otros; por el contrario motivos para ejecutar a alguien son más raros y pasan
con más rapidez.
Pero cuando el príncipe se encuentra con los ejércitos y tiene a sus órdenes multitud
de soldados, entonces es absolutamente necesario que no se preocupe de la fama de
cruel, porque de lo contrario nunca mantendrá al ejército unido ni dispuesto a acometer
empresa alguna.
Concluyo, por tanto, volviendo a lo relativo a ser amado y temido, que –como los
hombres aman según su voluntad y temen según la voluntad del príncipe– un príncipe
prudente debe apoyarse en aquello que es suyo y no en lo que es de otros. Debe tan sólo
ingeniárselas, com
1. ¿Cuál es la idea principal del texto?
A) Un príncipe tiene muchos motivos para despojar de sus bienes a los demás.
B) Es importante para un príncipe saber que todos los hombres son ingratos.
C) Más conviene a un príncipe ser te
D) Cuando un príncipe está al mando de su
E) Un príncipe debe procurar ganarse el temor y el amor de todos sus súbditos.
Solución:
El texto dilucida la cuestión, importante para el gobierno de un príncipe, de: “si es
r ser
mido que amado, evitando también ser odiado.
Clave: C
2.
C) paradójic
D) negativo. E) necesario.
mejor ser amado que temido o viceversa”, concluyendo que para éste es mejo
te
El término MENESTER se puede reemplazar por
A) excelente. B) provechoso. o.
Solución:
En el texto, el término “sería” antecede a mene , “menester” sister, por tanto gnifica
Clave: E
necesario.

3.
A) vehemencia. B) legalidad. C) engaño.
D) expoliación. E) mentira.
Solución:
En el texto, el término RAPIÑA implica
o on “arrebatar también
”, por lo que puede ser reemplazado por
xpoliación.
Clave: D
4.
una gran avidez por acumular ganancias.
B) otorgan poca consideración a los bienes materiales.
D) aman según los imperios de su propia voluntad.
En el texto, el termino rapiña está relacionad c los bienes” y
con “apropiarse de lo que pertenece a otros
e
Resulta incompatible con el pensamiento del autor decir que los hombres
A) muestran
C) se caracterizan por la volubilidad y la ingratitud.
E) se definen por una tendencia inherente a la maldad.
Solución:
El texto señala que los hombres “están ávidos de ganancia”, por lo que resulta falso
Clave: B
5.
A) los hombres simulan lo que no son y disimulan lo que son.
B) un príncipe no debe preocuparse por tener fama de cruel.
D) el amor emana de una vinculación basada en la obligación.
n.
sostener que no les importe que alguien se los arrebate.
Resulta incompatible con lo planteado en el texto afirmar que
C) un príncipe debe mostrar compasión en toda circunstancia.
E) si es necesario, un príncipe debe mandar a ejecutar a alguie
Solución:
El texto señala que, en el fragor de la batalla, el príncipe debe ganarse la fama de
Clave: C
6.
A) creyentes. B) hipócritas. C) dadivoso
D) bondadosos. E) benévolos.
Solución:
cruel.
Se colige de lo afirmado en el texto sobre los hombres, que estos son por naturaleza
s.
puede
ada al mal.
Clave: B
Por todas las cosas negativas que el autor dice de los hombres en el texto, se
inferir que para éste los hombres poseen una naturaleza inclin

. La intención primordial del autor es enseñar al príncipe
A) cómo gobernar y mantenerse en el gobierno.
B) la manera correcta de afrontar una guerra.
D) de qué manera lograr ser amado y popular.
7
C) cómo tratar a las mujeres de sus súbditos.
E) cuándo se debe recompensar a los hombres.
Solución:
La idea principal del texto sobre como el príncipe debe preferir ser temido que amado
pa que tipo de relación debe tener
on sus súbditos, para gobernarlos y mantenerse en el gobierno sin problemas.
Clave: A
8.
A) axiológica. B) estética. C) ética.
D) metafísica. E) pragmática.
Solución:
y evitar ser odiado, busca conseguir que éste se
c
Se infiere que, para el autor, la política se rige por una consideración
q e estudia a lo sú ditos, al príncipe o gobernante y la
erspectiva de cómo son realmente y
o como deberían ser.
Clave: E
9.
ana, probablemente hubiese aconsejado al príncipe que
A) actúe confiando en sus súbditos.
D) aumente las fuerzas de su ejército.
emor.
La manera en u s hombres o b
base de las relaciones entre ellos, es desde la p
n
Si el autor del texto hubiese tenido una mirada totalmente distinta a la que tiene
sobre la naturaleza hum
B) debe desconfiar de los hombres.
C) sea autoritario y cruel con su pueblo.
E) debe controlar a su pueblo con el t
Solución:
Si se cumpliera la premisa de la pregunta, el autor pensaría que los hombres son
ríncipe no tiene necesidad de desconfiar
e ellos, al contrario debería confiar.
Clave: A
10.
A) democracia. B) sevicia. C) candidez
D) intimidación. E) simpatía.
Solución:
naturalmente bondadosos, y por lo tanto el p
d
En virtud de las ideas del autor, un príncipe debe cimentar su gobierno en la
.
be ser temido,
Clave: D
El gobernante de sin llegar a ser odiado.

EJERCICIOS DE CLASE Nº 12
Aritmética
1. El precio de un ladrillo a su peso e inversamente
proporcional a su volumen. Un ladrillo de densidad 1,5gr/cm3
cuesta 9 soles.
¿Cuánto costará un ladrillo de 600 cm que pesa 1kg?
S
es proporcional
3
A) S/. 10 B) S/. 12 C) S/. 8 D) S/. 13 E) S/. 15
olución:
(pr ecio)(v en) 9(1) 00)
x  
olum x(6
10
(peso) 1,5 1000

RPTA: A
2. Las llantas delanteras de un tractor tienen 180cm de longitud de circunferencia
y las llantas traseras 300cm. Calcule la
tractor para que la rueda delantera de 360 vueltas más que la trasera.
distancia que necesita recorrer el
A) 1860 m. B) 1620 m. C) 1500 m. D) 1280 m. E) 1320 m.
Solución:
ngitud) ueltas) = ctei ) (lo (v .
n = 540
ongitud)
(300)
d = 162000 = 1620m
RPTA: B
. eis miembros, tiene víveres para 24 días, pero
días antes ¿Cu
300 (n) = 180 ( n + 360 )
ii) distancia = ( # vueltas) (l
d = 540
3 Una familia conformada por s
como recibieron la visita de un tío y su esposa, los víveres se terminaron cinco
ántos días duró la visita de los tíos?
A) 12 B) 15 C) 17 D) 10 E) 16
Solución:
onas) (# = cte.
x = 15
RPTA: B
(# pers días)
24 ( 6 ) = 8x + 6 ( 19 – x )

. caras de dos cubos iguales, me sobraron 60 tarros de pintura y al4 Al pintar las
19
8
más que los anteriores, mepintar otros tres cubos iguales de volúmenes
sobraron 3 tarros. ¿Cuántos tarros me sobrarán o faltarán al pintar un cubo de
cada tipo?
D) faltarán 35 E) faltarán 15
A) sobrarán 45 B) faltarán 45 C) sobrarán 35
Solución:
I II
a = 2 a = 3
v = 8 v = 27
Se tiene n tarros
# tarros DP área
# tarros
cte.
área

2 2 2
n 60 n 3 x
2.2 3.3 2 3
 
 
 2
Luego x =  n = 84
Sobran: 84 – 39 = 45
RPTA: C
figura halle la diferencia del menor número de vueltas que deben dar
os A y B estén en contacto.
A) 4 E) 5
39
5. En la
cada una de las ruedas, para que los punt
B) 2 C) 1 D) 3
R1 R2
R1  9cm
R2  5cm

Solución:
(# vueltas) (radio) = cte.
1 1
a 9 b
4 4
   
     
   
5
# vueltas de
b = 2  a = 1

5b – 9a = 1
# vueltas de
1 1
2 1 1
4
 
4
    

RPTA: C
o el
s. Para ello entrega el tercero 1600 al segundo y este, una cierta
Solución:

1
aA
4
 
1
B b
4
 
6. Tres obreros se reparten una gratificación en partes proporcionales a sus años
de servicio que son 7; 9 y 14 respectivamente. No pareciéndoles just
reparto, después de haber sido efectuado, acuerdan que sea por partes
S/.
iguale
cantidad al primero. Halle el importe de la gratificación.
A) S/. 10500 B) S/. 12000 C) S/. 13200
D) S/. 24000 E) S/. 14400
7k + 9k + 14
les 10k 10k 10k
RPTA: B
. os equivale a tres veces la mitad del mayor. Si se
lmente a tales números, halle la suma de las dos
Cant.  k = 30k
Partes igua
El tercero: 14k – 10k = 1600
k = 400
Total = 30 (400) = 12000
7 La suma de tres númer
reparte 423 proporciona
menores partes.
A) 141 B) 282 C) 47 D) 74 E) 376
Solución:
c =
ck = 282
RPTA: A
a + b +
Luego RPTA::
3
c
2
3
ck
2
3
ck  423
2
c + a + b = = 
1
282
2
 141
 a + b =  
1 1
ck 282
2 2

. tres partes directamente proporcional a
11 32 19
8 Se reparte 4488 en y;
90 90 90
y 567. Ha
e
inversamente proporcional a las raíces cuadras de 175; 448 lle la
diferencia de las dos menores partes.
A) 48 B) 36 C) 72 D) 24 E) 38
Solución:
. Al repartir 855 soles en partes proporcionales a los números a; b;
RPTA: A
P PDP I DP  D
9
1
a
y
1
b
,
de las partes.
se obtiene como constante de proporcionalidad 56. Si a + b = 15, halle la mayor
A) 200 B) 248 C) 348 D) 438 E) 448
Solución:
1 1
a b

5
a b

 

ab = 56
 a = 7 ; b = 8
RPTA: E
M es D.P. a
6 855

  
 8 (56) = 448
10. Sabiendo que N cuando N  36 , M es I.P. a N2
cuando N  36 si
cuando N = 9, halle el valor de M cM = 1 uando N = 72,
A)
1
4
B)
1
2
C)
3
2
D) 2 E)
9
4
11
1
.360
5
 72 198k
4488 32
1
.360 45 360k
8

19
1
.360
9
 40 190k
748k = 4488 k = 6
6) = 488(

Solución:
1
M
k ;N 36
VN
 
cuando n = 36
k2 = 362
.6k1
2
2M.N k ;n 36 
1
1
i) k
3
2 21
ii)36 .6. M.72
3
1
M
2

RPTA: B
1. La fuerza de atracción entre dos masas es inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia que los separa. Cuando la fuerza se incrementa en
1
7
9
de su valor, ¿en cuánto ha disminuido la distancia?
A)
1
9
B)
1
7
C)
1
5
D)
1
4
E)
1
3
Solución:
2 216
k F.d F(dx)
9
 
4
d  dx
3
3
dx d
4

1
4Disminuye
RPTA: D

2. Las edades de 11 personas están en progresión aritmética. Si se repartiera
equitativamente una gratificación, al menor le correspondería un quinto más
que si el reparto se hiciera en forma proporcional a la edad. Halle la relación
1
entre las edades del mayor y menor.
A)
5
4
B)
7
5
C)
3
2
D)
8
E)
4
7 3
n:Solució
a1 – 5r; ….a, …a + 5r Luego:
 a = k
RPTA: B
total a repartir 11k  
6
k k 5r
5
 
k 30r
a 5r 35r 7
a 5r 25r 5


 

EVALUACIÓN DE CLASE Nº 12
1. Se tienen dos ruedas engranadas K y L con 15 y 10 dientes respectivamente y
L unida con un eje i la rueda K ha dado 12
vueltas, ¿cuántas vueltas dará M?
Solución:
a una rueda M de 40 dientes. S
A) 16 B) 18 C) 20 D) 9 E) 12
K L
VL
M = 18
RPTA: B
15V = 10 V
15(12) = 10
VL = 18
 VL = V
5
8
de la casa y paga S/.
2. Dos personas alquilan una casa, una de ellas ocupa los
600 de alquiler mensual ¿Cuánto paga de alquiler mensual la otra persona?
A) S/.
300 B) S/.
350 C) S/.
360 D) S/.
400 E) S/.
420

Solución:
A = 5k  600
60
RPTA: C
. orcional a la suma de L y M e inversamente proporcional al
ndo K = 9 ; L = 10 y P = 4.
Solución:
B = 3k  3
3 Si K es prop
cuadrado de P. Cuando: K = 2 ; L = 3 y P = 6 entonces M = 5. Hallar el valor de
M cua
A) 6 B) 4 C) 8 D) 12 E) 16
2 2
 
2
k.p 2.6 9.4
M 6
8
  
RPTA: A
. Dos velas de igual longitud se encienden simultáneamente, la primera se
consumen uniformemente ¿Cuántas horas después de haber encendido las
L M 10 M 

4
consume en cuatro horas y la segunda en tres horas, asumiendo que se
velas, la altura de la primera es el doble de la altura de la segunda?
A) 2hr. 20min. B) 1hr. 45min. C) 2hr. 35 min.
D) 2hr. 24min. E) 2hr. 18min.
Solución:
tL tL
L 2 L
4 3 
 
   
t 2t
4 3
  thr thr 1 2
2 1
t 1
3 4
12
t Hr
5
t 2 : 24
 
  
 


4-t 2 3-t1
4hr 3hr
RPTA: D
5. Si el producto de dos cantidades enteras menores que 100, se reparte
¿Cuántas cantidades que se diferencian en tres cumplen esta situación?
A) 10 B) 6 C) 8 D) 4 E) 5
proporcionalmente a 452
; 302
y 752
, las cantidades obtenidas son enteras

Solución:
a.b 38k=
a.b
k 
RPTA: A
6. Al repartir 450 soles entre tres personas, op ionalmente a sus edad s, se
observó
menor recibió la mitad de lo que recibió el segundo. Si el menor no hubiese
participado en el reparto y este se hubiera efectuado ¿Cuánto más recibiría el
mayor?
2.19
pr orc e
que el mayor recibió tanto como los otros dos juntos, mientras que el
A) 75 B) 45 C) 120 D) 90 E) 50
Solución:
Rsp: 270 – 225
RPTA: B
. l valor de una joya es direc l al cuadrado de su peso. Si
sta joya se p rte en tres p on entre si como 4; 3 y 2
A) S/.
1924 B) S/.
1073 C) S/.
1075 D) S/.
1076 E) S/.
1849
Peso
= 45
7 E tamente proporciona
e a artes cuyos pesos s
respectivamente ¿Cuánto se pierde si la joya costó S/.
2997?
452 = 9k
= 4k
752 = 2
a.b
5k
302
38k
1 = s/. 75
4500 2 = s/.
150
2  180
3  270
4500
a.b es múltiplo de 2.19
a b
16 19
22 19
35 38
41 38
54 57
60 57
73 76
79 76
92 95
98 95

Solución:
 
31 2
2 2
PP PPr ecio 2997
9 16 9peso
   
4
1 2 3 = 37 (29) = 1073
uestra los valores que asumen las magnitudes K y
e proporcionalidad
Perdió:
2997 – 1073 = 1924
P + P + P
RPTA: A
8. En el siguiente cuadro se m
L que tienen cierta relación d
K 18 m 9 45
L 225 25 n 36
Hallar el valor de “m + n”
A) 948 B) 950 C) 952 D) 956 E) 954
Solución:
k. L 1 m.5 9 6  8.15 n 45.
m = 54 ; n = 900
4
. n concurso de becas, se inscribieron 1089 postulantes.
que el número de inscritos diariamente es inversamente
al número de días que falta para el cierre de inscripción excepto
¿Cuántos se inscribieron el tercer día?
m + n = 95
RPTA: E
9 En la inscripción para u
Se observó
proporcional
el último día en que se inscribieron 60 alumnos. Si la inscripción duró 7 días
A) 100 B) 101 C) 103 D) 104 E) 105

Solución:
IP
1
x60 10k
6
1
x60 12k
5
1
x60 15k
4
1
x60 20k
3
1
x60 30k
2
1x60 60k




 RPTA: E
10. Un automóvil recorre su ruta en tres etapas iguales usando en cada uno el
doble de la rapidez que en la etapa inmediatamente anterior demorando en
total 21 horas. Cierto día se observó que lo recorrido es igual al doble de lo que
le falta recorrer. ¿Cuántas horas a viajado hasta el momento?
A) 13 B) 15 C) 16 D) 18 E) 19
147k = 1089 – 60
k = 7
Rsp = 15 (7) = 105
Solución:
i)
3d = 2 +FR
FR = d
R = 2d
= 18
RPTA: D
d dd
v 2 4v
4t + 2t + t = 21
t = 3
ii) R = 2FR
FR
 6t  6 (3)

Álgebra
EJERCICIOS DE CLASE
1. Si M es la suma de las solucio y
N es la suma de la en
h
A) 1 B) – 1 E) – 2
nes enteras de la ecuación
s soluciones
allar M + N.
02xx5x2 23

teras de la ecuación
015x13x12x3x 234
 ,
C) 2 D) 0
Solución
Clave: A
2. Si son soluciones de la ecuación , hallar el
   
  
1NM
2N01xx3x5
015x13x12x3x]2[
02x1x
02xx5x2]1[
2
34
23





3M1x2
2

x 
321 x,x,x
valor de
010x20x5x 23

2
31
1
32
3
21
132x
1
x
xx
x
xx
x
xx
x
1
x
1
 .
A) – 53 B) 27 C) – 35 D) 62 E) – 48
Solución
[1] Por C y Viette  20xx 312ardano







10xxx
xxxx
5xxx
321
321
321
[2]
     
       
      



















3
10
3211
10
3212
10
321
2
31
2
32
2
21
2
313221
321
2
31
2
32
2
21
2
31
1
32
3
21
xxxxxxxxxxxx2
xxxxxxxxxxxxComo
50
10
500
xxx
xxxxxx
xxx
b
2
10
20
x
1
xx
a

11
132
xxxxxx

         
      500xxxxxx
520xxxxxx20
2
31
2
31
2
21
2
31
2
32
2
21
2


Clave: E
3. En la ecuación , hallar la suma de los cuadrados de las
inversas de sus soluciones.
A)
48ba]3[ 
0dcxbxax 23

2
2
d
bd2c 
B) 2
2
d
ad2b 
C) 2
2
d
bdc 
D) 2
2
b
bd2c 
E) 2
2
d
ab2c 
Solución
[1] Sean las soluciones de la ecuación
Por Cardano y Viette
 y,







a




a
d
a
c
b
[2]

         2222222
2 
luego:       22
2
222
a
bd2
a
c


     
  2
2
2
222
222
d
bd2c111 









Clave: A
4. En la ecuación bicuadrática , la suma de los cuadrados de dos
soluciones opuestas es 18. Hallar la suma de las cifras de m.
A) 2 B) 10 C) 6 D) 8 E) 4
Solución
036mxx 24

Sean r, s, – r y – s las soluciones[1]
  9r18rr 222


[2] 4s36sr 222

  13mmsr 22
[3]
[4] Suma de cifras = 4
Clave: E
uciones de la ecuación     Z a,05ax1a5x 224
5. Si las sol ; están en
progresión aritmética, hallar el valor de a43  .
A) 10 B) 25 C) 12 D) 15 E) 20
ciónSolu
r las soluciones.[1] Sean (– 3r), –r, r y 3
   
     
 
253a4]4[
7a
3
5a1a
a
2
Si]3[
3
5a
r
2
1a
r1a5rr9
2
222











 


135a1a
5ar95arr3]2[ 24222


53
2
Si

Z
Clave: B
6. Si , hallar la suma de los cuadrados de las soluciones no reales.
A) 2 B) – 4 C) – 2 D) 4 E) – 1
Solución
01x6

  
   
i
2
3
2
1
x01xxSi
22
x
0)1xx(1x)1xx(1x
1x1x1x]1[
2
2
0
2
0
2
336






de los cuadrados de las soluciones no reales es – 2
Clave: C
i
31
x01xSi]2[ 
[3] Suma

7. Si es solución de0x0   1x2hallar,xx1 2
0  .
A) 55  B) 54  C) 5 D) – 5 E) 0
Solución:
551x]4[
2
2
15
x]3[
2
51
x01xxxx1]2[
1x0x1]1[
0
0
22






Clave: A
. Si 21xx1xx
3 633 63
8 , hallar la suma de los cuadrados de las
soluciones no reales.
A) 0 B) – 1 C) 1 D) 2 E) – 2
Solución:
 
 
 
   
1xx
1121xx2xxxx
1xx
1xx
]4[
desolucionesxyxSean
...01xx1x]3[
1x
81xx1xx231xx1xx
cuboalE]2[
363
levando
01x]1[
2
2
2
1
21
2
21
2
2
2
1
21
21
21
realesnosoluciones
2
3
3 633 636
6























I
I  
Clave: B





9. Hallar la suma de los valores de x que satisfacen la ecuación
49x1447x4x2
 .
A) – 5 B) 5 C) – 4 D) 9 E) 14
Solución:
 
14xx]3[
5xv9x
27x27x]2[
27x027x
047x427x]1[
21
21
2





Clave: E
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN
1. Hallar la suma de los cuadrados de los módulos de las soluciones no reales de
A) 4 B) 10 C) 12 D) 16 E) 26
Solución
0120x52x5x9x2 234
 .la ecuación
0120x52x5x9x2]1[ 234

8x4x
15xx2 2

2


 
i22xi22x
0)8x4x(15xx2
21
0
22




16xx]2[
2
2
2
1 
Clave: D

oluciones de la ecuación , k Q; son2. Si dos s 014x26x7kxx 234
 
,23xy23x 21  hallar la suma de sus otras soluciones.
A) 1 B) – 1 C) 3 D) 2 E) – 2
Solución
es[1] Un factor de  14x26x7kxx 234
       7x6x23x23x 2

[2] Calculemos el otro factor
26 – 7 – k 1
6 – 12 2
12 – 2
– 2 2 1 4–k 0
luego:
7 – 14
– 1 6 – 1
   02x2x7x6x 22

[3] Las otras dos soluciones se obtienen de
[4] Suma de estas soluciones = – 2
Clave: E
3. Hallar el producto de las soluciones no reales de la ecuación
A) 0 B) 8 C) 4 D) 16 E) 64
Solución
02x2x2

01024x64x16x 4610
 .
[1] Factorizando se obtiene:
[2] El producto de soluciones no reales es 64
Clave: E
  
    
        04x2x2x4x2x2x4x2x2x
08x8x4x4x
02x2x
02x2x2x
0
2
0
2
0
2
3322
6644
10644610





    

e4. Si dcba  son cuatro de las soluciones de la ecuación r cíproca
01x3  , hallar el valor de a + c + b – d.  x3x3 45
 mxmxm 23

A) – 8 B) – 7 C) – 6 D) 5 E) 7
Solución
4m13 [1] La ecuación es recíproca: m
luego
n indicada
3 1
1 3 – 3 – 1 0
01x3x4x4x3x  2345
[2] Notamos que – 1 es solución de la ecuació
1 3 – 4 – 4
– 1 – 1 – 2 6 – 2 – 1
1 2 – 6 2 1 0
1 1 3 – 3 – 1
1 1 4 1
1 4 1 0
    
32x;32x;1x;1x 4321 
01x4x1x1x 22

[3] 1d;32c;1b;32a 
[4] 6a dbc  
Clave: C
5. Si son dos soluciones de la ecuación y    a,0bxab1ax 2224
Z,
2
3
, 22
bahallar 
 .además se cumple que y
4
372

A) 77 B) 65 C) – 65 D) – 77 E) 5
2


ciónSolu
 
 
   
77ba]4[ 22
 
4
1
b
9
1
a04a37a9yde]3
...b4a9
a
b
2
3
a
b
]2[
...
ab1
4
37ab1
]1[
22
2
22
22
22
22













Clave: A
. Si  es una solución de la ecuación , hallar el valor de
aa
2
[
.
1
12
12

01xx  24
6
A) 2 B) 5 C) 4 D) 3 E) 6
Solución
[1]  es solución de la ecuación xx  0124
 , entonces:
11 2
224



1
2
1
]4[
4
1
]3[
2
1
1
11
.3
1
1
1
]2[
12


12
2
6
6
6
6
2
2
2
2
6
6
3
2
2





 





















Clave: A
.





7 Hallar el producto de las soluciones de la ecuación
  62xx224x2
22
 .
A)
2
1
B)
4
3
C)
4
5
D)
4
7
E)
4
5


Solución
 
 
  
 
4
7
solucionesdeoductoPr]3[
22
1
x
7
x
2
3
2x
2
3
2x]2[
2
3
2x012x32x2
032x2x2
062x22x4]1[
22
222
222
222







  
D
r la ecuación
Clave:
2
1
2
x1
x11
2
4


 se obtiene como conjunto8. Al resolve
solución









1
,
1
, hallar el va
 aa
lor de a.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 2
Solución
[ 1 ] Multiplicando por 2 , se tiene:
  
2a]2[
2
1
x
2
1
x
2
1
x1
2
2
x1x1x1
2
2
x1x1x122
22222
222




Clave: E

Geometría
EJERCICIOS DE CLASE N° 12
1. En la figura, AQ
es perpendicular al plano que contiene a la circunferencia de
diámetro AB
A
Q
B
M
A
Q
M
2a
B
90º
a 2
45º
a
x
. Si AQ = 2BM y mBM = 90º, hallar mQBM.
A) 45º
B) 53º
C) 60º
D) 30º
E) 75º
n:Resolució
1) QAB: not(45º)
 BQ = 2a
2) TTP: MBQM
3) QMB: not(30º)
 x =
Clave:
60º
C

B
D
A
C
Q
B
D
C
A
Q
2a
a
H
2ax 53º/2
53º/2
A
B
E
D
a
c b
12
C
F
2. En la figura, DQ ACes perpendic tiene al rombo ABCD. Siular al plano que con es
diámetro de la semicircunferencia y mBCD = 53º, hallar la medida del diedro
Q – AC – D.
A) 60º B) 30º
D) 37º
45º
:
C) 53º
E)
Resolución
1)
1
QD ABCD
 DHQD
2) TTP: ACQH
3) QDH: not(30º)
 x = 60º
Clave: A
. La base de un prisma recto está determinada por un triángulo rectángulo y en él se
ncuentra inscr una circunfer ncia cuyo radio a de los catetos
es 7 m y la arista lateral del prisma mide 12 m, hallar el área lateral del sólido.
A) 96 m B) 100 m C) 108 m D) 125 m E) 144 m2
3
e ita e mide 1 m. Si la sum
2 2 2 2
Resolución:
1) ABC: T. Poncelet
1) = 7
 b = 5
) 2
3 )

Clave: E
a + c = b + 2(
2 = a + b + c = 12Bp
) 12(p2A BL .
144AL 

En un triángulo rectángulo ABC, se traza la altura BH y BD perpendicular al plano
que contiene al triángulo ABC. Si
4.
m26HC,m23AH  y el área de la región
triangular ADC es 2
m254 , hallar la medida del diedro D – AC – B.
C) 37º D) 53º E) 30º
ción:
A) 45º B) 60º
Resolu
a
4
B C
D
A
6
x
3 2
12
H
6 2
1) ABC: BH2
=   2623
BH = 6
2) Dato:
12DH 
25
2
29DH x

3) DBH: not (30º)
º60x 
Clave: B
5. La sección recta de un prisma oblicuo es una región triangular cuyo inradio mide 4 m.
Si el área lateral del prisma es 24 m2
, hallar su volumen.
3 3 3 3 3
A) 84 m B) 48 m C) 64 m D) 58 m E) 36 m
Resolución:
1 24
48
) ap2A x  SRL
12ap xSR 
2) aAV xSRX 
a)4p( xSR
X V
Clave: B

2a
a
a+r
a-r
C
B
A
a
A
B C
D
J
G
H
F
E
I
KL 2 2
2 2
2 6
120º
6. En un prisma regular ABCDEF – GHIJKL, mLEJ = 90º y AB = cm22 . Hallar el
volumen del prisma.
A) 3
cm324 B) 3
cm224 C) 3
cm618 D) 3
cm232 E) 3
cm318
Resolución:
1) LEJ: not(45º)
 EL = EJ = 2 3
2) LKE: T. Pitágoras
a = 2
3) 2
4
X 

3)22(
6V
2







324VX 
Clave: A
de los lad s de la base están en
s los dos tercios del perímetro de la
base. Si el producto de las longitudes de los lados de la base es 480 m3
2
E) 270 m
n:
7. En un prisma triangular recto, las longitudes o
progresión aritmética y la longitud de la altura e
y el área
lateral es 384 m , halle el volumen del prisma.
A) 266 m3
B) 364 m3
C) 284 m3
D) 384 m3 3
Resolució
384V
16
2
6
V)4
º90mABC
)º
2r
480)r8()r8(8
a
8a
384a2a3)a2(p2A)1
X
X
BL
x
xx













:D to)2
53(not:ABC)3
8


Clave: D


8. ABC – DEF es un tronco de prisma regular, siendo ABC la base regular cuyo lado
mide a. Si BE = 3a, CF = 2a y AD = a, hallar el área lateral de dicho tronco.
a2
a2
a2
3 a2
a2
A) 6 B) 8 C) 5 D) 1 E) 4
Resolución:
E
B
D
A
Fa
3a
L a3A 



a3a2a 
3
 2
L a6A 
A B
E1
2
C
F
D
M
3
C
2a
a a
Clave: A
9. ABC – DEF es un prisma regular, la mediatriz de DB interseca a EF en su punto
medio. Si AB = 2 cm, hallar el área lateral del prisma.
A) 12 2
cm2 B) 8 2
cm3 C) 6 2
cm2 D) 4 2
cm2 E) 6 2
cm3
Resolución:
1) T. Mediatriz
3MBDM 
2) MEB: T. Pitágoras
 BE = 2
3) 2p2A xBL 
26AL 
Clave: C

10. En la figura, AP = 6 m y CQ = 9 m. Si ABCD es un cuadrado y AB = 2 m, hallar el
volumen de sólido PBQD.
m3
D) 10 m3
Resolución:
A) 12 m3
B) 15 m3
C) 7,5
E) 20 m3
V6420
)2()1()3
)2(....
3
9226
2
22
20
3
096
2
22
2V
V2V)1
X
X
T
ADCPDQT
xx
x




















 


)1(...
V
23
V)2 T 





Clave: D
 10VX 
11. Dos segmentos AB y CD de longitudes 6
contenidos en dos rectas cruzadas ortogonalme
cm y 8 cm esr pectivamente están
. allar del segmentonte H la longitud
que une los puntos medios de AC y BD .
A) 5 cm B) 8 cm C) 6 cm D) 7 cm E) 4 cm

Resolución:
A
6
C
D
B
N
3 4
8
M
T
x
5x
)º53(not:MTN)2
º90mMTN
NT//CDyAB//MT)1



12. En un cubo ABCD, M y N son puntos de medios de las aristas laterales
Clave: A
DH y CG
respectivamente. Si la distancia entre HNyMC es 2 m, hallar el área lateral del
cubo.
A) 80 m2
B) 60 m2
C) 70 m2
D) 90 m2
E) 160 m2
Resolución:
A
E
D
H
F
B C
G
2
N
a
5
5
1
T
53º
2
M
80A
52a
5MH
2
º53
not:MTH2
a4A)1
L
2
L










)

13. egu es 0
Clave: A
El área lateral de un prisma r lar 4 3 m . Si la apotema de la base mide2
m66 , hallar el volumen del prisma.
A) 3
m3340 B) 3
m2380 C) 3
m2360
D) 3
m3320 E) 3
m2280

Resolución:
A
E
F G
C
D
B
H
A
E
F G
CB
H
D
A
B C
D
l
an
O
h
2360V
)2(en)1()3
)2(...
2
hn
66h
2
a
nhBV)2 X 
)1(...340hnhxp2A)1
X
n
BL

















ll
l
14. gura, ABCD – EFGH es un paralelepípedo rectangular. Si las áreas de sus
caras son 8 m2
, 10 m2
y 20 m2
, hallar su volumen.
A) 45 m
B) 35 m
C) 40 m3
D) 30 m3
E) 25 m3
Resolución:
Clave:C
En la fi
3
3
40V
)410()zyx(
8yz
10zx
20yx
:Dato)2
zyxV)1
X
22
X
x







Clave: C

D
A
B
53º C
16 312 3
12
B
C
A
13
M
9
5
5
5
x
V
10
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN N° 12
1. En una circunferencia cuyo radio mide cm310 , se inscribe un triángulo rectángulo
ADABC y se traza perpendicular al plano que contiene a la circunferencia.
Si 4AB = 3BC y AD = 12 cm, hallar el área de la región triangular DBC.
A) 2
cm396 B) 2
cm3172 D) 2
cm3192C) 2
cm2192 E) 2
cm2172
Resolución:
1) ABC: not(53º)
316BCy312AB 
BCDB2) TTP:
3) DAB: not(30º)
24BD 
 S 3192X = Clave: D
.2 Sea BV perpendicular al plano que contiene a un triángulo rectángulo ABC.
9 cm, VC = 13 cm, AC = 10 cm y M es punto medio deSi AV = AC , hallar mVMB.
A) 45º B) 53º C) 60º D) 75º E) 72º
Resolución:
º60x
)º30(not:VBM)3
BMVB2 ABCVB)
10VM
2
10
)VM(2139
Mediana.T:AVC)1
2
222






Clave: C

3. Un prisma recto tiene 4 m de altura, la base ABCD está inscrita en una
circunferencia. Si A 60º, hallar volumen delD = AB = 6 m, BC = CD y mBAD mide
A
E
P
D
H3
3
3
3 - 3
B C
G
3
F
Q
2
30º
3
30º
30º
6
4 3
4
B
C D
A
prisma.
A) 3
m242 B) 3
m240 C) 48 3
m3 D) 42 3
m3 E) 45 3
m3
Resolución:
348V
32
36
B)2
x
 1
2
4
4h
hBV)1
X
X





Clave: C
4. Un cubo es intersectado por un plano que contiene a un lado de la base y determina
C) 52 m D) 52 m E) 60 m
ción:
con esta base un ángulo diedro de 30º. Si el volumen del cubo es 27 m3
, hallar el
área total del prisma cuadrangular que determina dicho plano en el cubo.
2 2 2 2 2
A) 49 m B) 45 m
Resolu
 
 
 
45A
339A
3323333A)4
363B
3
2
333
2B)3
B2AA)2
3a27aV)1
T
L
L
LT
3











 




Clave: B

En la figura, ABCD es una región cuadrada,5. TD//RC//BQ//AP , AP = 5 m,
BQ = 8 m, CR = 3 m, DT = 4 m y BD
ABCDPQ
Q
B
A
C
D
P
R
T
= 1 m, hallar el volumen del sólido
RT.
A
Q
B
A
C
D
P
R
T
8
5
3
4
2
1 2
2
2
) 3
m
8
B) 3
m
3
5
3
C) 3
m
5
8
D) 3
m
5
9
E) 3
m
3
10
Resolución:
3
8
V
3
348
2
2
2
1
3
485
2
2
2
1
VVV
X
22
DBCTQRP ABDQT






 













 












Clave: A

6. En la figura, PQC – ABC es un tronco de prisma regular. Si PQ = QC, BQ = 4 cm y
PC = 10 cm, hallar el volumen del tronco.
P
A
C
B
Q
A) 3
cm242
B) 3
cm618
C) 3
cm324
3
cm612D)
P
A
C
B
Q
4
4
4
6
6
10
L
E) 3
cm336
Resolución:
336V
3
084
4
36
V)3
6AC:PAC)2
4BQPL
QBCPLQ)1
X
2
X






 













Clave: E

EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 12
Trigonometría
. Simplifique la expresión M = [sen12°cos4°+cos16°sen8°]csc20°.
o ° B) cos6° C) cos8° D) cos4° E) cos12°
n:
1
A) c s2
Solució
2M = [2sen12°cos4°+ 2cos16°sen8°]csc20°
= [sen16° + sen8° + sen24° – sen8°]csc20°
= 2sen20°cos4°csc20°
M cos4°
Clave: D
2. = sen6cos4 – cos12sen10 + cos16sen6.
sen6 B) sen10 C) sen4 D) 2sen6 E) sen2
Solución:
 =
Simplifique M
A)
2M = sen10 + sen2 – (sen22 – sen2) + sen22 – sen10
3. Si sen20° = a y sen40° = b, al simplifique la expresión
sen50°cos30° – cos30°cos20° – 2sen30°cos70°, se obtiene
A) ab B) –
 M = sen2
Clave: E
2
a
C) – a D) – b E) –
2
ba 
Solución:
T = sen50°cos30° – cos30°cos20° – 2sen30°cos70°
=
2
20cos30cos230cos50sen2 
2
20sen2 
–
=
2
10cos50cos20sen80sen 
–
2
20sen2 
= –
2
50cos20sen 
= –
2
)40sen20sen( 
2
ba 
= –
Clave: E

. Si sen4x · cos2x + cos3x · senx = 







BA
4 senAx · cosBx, y B > 0, halle sen .
A)
2
B) 0 C)
3
2
D)
1
2
E)
3
1
:Solución
2
1
[2sen4xcos2x + 2cos3x · senx]
2
1
[= sen6x + sen2x + sen4x – sen2x] =
2
1
[sen6x + sen4x]
 A = 5 y B = 1  sen =
2
1
6

= sen5x · cosx
Clave: C
5. Si 4cos2xcos 
 
 4
  x2 cos 
  3
 4
  x2 = Acos 2x – Bcos2x, halle A + B.
B) 7 C) 4 D) 5 E) 6A) 8
Solución:








2cos2x x4cos
2
cos = 2cos2xcos4x
3
 A = 4,
Clave: E
6. la expresión [2cos3xcosx – 2sen5xsenx]2sen2x.
n8x E) sen2x
ción:
= cos6x + cos2x = 4cos 2x – 2cos2x
B = 2,  A + B = 6
Simplifique
A) cos8x B) sen4x C) cos2x D) se
Solu
[cos4x + cos2x + cos6x – cos4x]2sen2x
n2xcos2x + 2sen2xcos6x
x + sen8x – sen sen8x
= 2se
= sen4 4x =
Clave: D

7. Si sen
7

– sen
7
3
+ sen
7
5
= Atg
B

, halle el valor de
A
B
.
A) 18 B) 16 C) 10 D) 14 E) 12
Solución:
=
7
cos2

7
cos
7
5
7777
sen2cossen2cossen2




 
7
4
sen
= 7
sen
7
sen
7
sen
7
sen
6242 

 



7
cos2
7
sen
=

=





 

2
1
tg
7

= A
2
,
1
B = 7 
A
B
Clave: D
8. = 0, calcule el valor de la expresión
= 14
x6sen
x2cosx6cosx8cos 
.Si 48x – 7
A) –
2
B) –
3
2
C)
1
2
3
D) E)
2
2
2
1
Solución:
x6sen
x2cosx6cosx8cos 
=
x6sen2
x2cos2x2cosx14cos 
=
x6sen2
x2x14cos cos
=
x6sen2
x6ens2 xs8en
= – sen8x
= – sen
6
7
= – 




1
=
 2 2
1
Clave: D
. Simplifique la expresión ,
2

9 x2cosxsec)x4xsen5sen4x3cosx6cos4(  < x <
4
3
.
A) – 2cosx B) sen2x C) – 2cos2x D) 2senx E) 2cos2x

Solución:
x2cosxsec))9cos(co2)cosx(cos2(  xxsx39
x2cosxsec)xcosx3(cos2  x2cosxsec)xcosx2cos2(2==
= x2cos4 2
= – 2cos2x
Clave: C
10. implifique 4senxcos2x · sen3x – (cos4x – cos2x).
cos4x B) 1 – cos5x C) 1 + cos4x D) 2sen2
3x E) cos6x
Solución:
S
A)
2(sen3x – senx)sen3x – cos4x + cos2x
sen2
3x – 2senxsen3x – cos4x + cos2x
= 2sen2
3x + cos4x – cos2x – cos4x + cos2x
= 2sen2
3x
Clave: D
EVALUACIÓN Nº 12
= 2
1. Simplifique K =
2
– 2cos40°.
20sec 
A) 1 B) 2 C) – 2 D) – 1 E) 3
Solución:
K = 

40cos2
2cos2 0
1
=


20cos2
)40cos20cos2(21

=


20cos2
)cos60(cos21
= – 1
Clave: D
2. Halle el máximo valor de M = sen
20
4
3
–
6
1
sen
4

+ cos2
2

.
A)
6
5
B)
2
5
C)
3
5
D)
6
11
E)
3
7

olución:S
2M = 2sen
4
3
sen
4

+ 2cos2
2

–
3
1
= cos
2

– cos + 1 + cos –
3
1
= 2cos2
4

– 2 



6
1

M = cos2
4
–

6

1
6
5
Clave: A
3. r de M en la siguiente igualdad Msen40° + csc10° = csc50°.Halle el valo
A) 2 3 B) 3 3 C) – 3 3 D) 4 3 E) – 4 3
Solución:
50sen
1
–
10sen
1
Msen40° =
=
 10sen50sen
 50sen10sen
=
)10sen50sen2(
2
1
20sen30cos2 


=

2
40cos60cos
20sen3
M =


40sen40cos40sen
2
1
20sen3

2
=
20sen
80sen40sen
34
= – 4 3
Clave: E
4. Calcule el valor de Z =
7
2
cos
7
3
cos
14
5
sen
1





.
B) 1
2
1
D) – 2 E) 2sen
7

A) 2 C)
Solución:
Z =
7
cos
7
cos
7
cos 
53
1

=
7
cos
7
sen2
7
cossen2cosse2 
3
777
n
7
sen2




=


   46242
7 








7
sen
7
sen
7
sen
7
sen
7
sen
sen2
7
6
7


= 2
sen
sen2
Clave: A

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