Monitoreo y control de bioreactores: Estado del arte y su aplicación en el tratamiento de efluentes

M E X I C O
MONITOREO Y CONTRO DE BIOREACTORES:MONITOREO Y CONTRO DE BIOREACTORES:
ESTADO DEL ARTE Y SU APLICACIÓN EN ELESTADO DEL ARTE Y SU APLICACIÓN EN EL
TRATAMIENTO DE EFLUENTESTRATAMIENTO DE EFLUENTES
ESPECIALIDAD: INGENIERIA QUIMICA
Víctor González Álvarez
Doctorado. Control de Procesos.
México, D.F.
10 de Agosto de 2006.

Monitoreo y control de bioreactores; estado del arte y su aplicación en el tratamiento de efluentes
Especialidad: Ingeniería Química 2
CONTENIDO
Página
Resumen ejecutivo 3
1 Introducción 5
2 Fundamentos 8
3 Un modelo general 14
4 El observador asintótico 16
5 El observador por intervalos 19
6 Un caso de estudio: Un proceso de tratamiento de
aguas residuales 22
7 Regulador robusto de retroalimentación 32
8 La solución integral via internet del problema de control
de la digestión anaerobia. 34
9 Conclusiones 37
10 Referencias 38
11 Bibliografía 40
12 Agradecimientos 41
13 Curriculum vitae 42
ANEXOS
I Tesis dirigidas 45
II Listado de publicaciones 46

RESUMEN EJECUTIVO
Hoy en día, la aplicación industrial de bioprocesos ha crecido considerablemente
debido principalmente a la versatilidad de esta clase de procesos cuyas aplicaciones
industriales incluyen: a) la producción de compuestos de alto valor agregado como
medicinas, fertilizantes, etc.; b) fermentación alcohólica, y c) el tratamiento de aguas
residuales (municipales, federales o industriales). Dada la importancia de estos
procesos, resulta natural el pensar en garantizar su óptimo financiamiento que
garantice la calidad de sus productos y la respectiva producción de los mimos. Sin
embargo, las características intrínsecas de los bioprocesos (comportamiento no lineal,
cinéticas inciertas, parámetros biológicos que varían con el tiempo, etc.) hacen que su
operación sea díficil de reproducir y controlar.
Hasta el momento el manejo de procesos biológicos ha sido rudimentario. Los
sensores que se utilizan en la actualidad son muy básicos (e.g., temperatura, pH, etc.)
por lo que estos procesos generalmente se operan a lazo abierto. Esta situación
contrasta con los resultados recientes obtenidos en varios campos de la ingeniería en
donde se han podido llevar a la práctica tecnologías avanzadas de operación,
supervisión y control automático para poner en evidencia que los bioprocesos deben
ser optimizados y mejor controlados. Aunque en el mercado han aparecido nuevas
tecnologías de medición (como la de UV o electródos específicos) que pudieran ser
aplicadas en bioprocesos, los costos de las mismas hacen que su implementatción en
la práctica sea prohibitivo. Los métodos de inteligencia artificial (IA) como los
sistemas basados en el conocimiento o aquellos de lógica difusa (fuzzy) han traído
nuevas perspectivas de análisis de los bioprocesos y al mismo tiempo, han introducido
una “dimensión biológica” en el control y la supervisión de bioprocesos. Los métodos
derivados de la teoría de control no lineal han encontrado algunas aplicaciones en
algunos bioprocesos sencillos (fermentaciones alcohólicas, principalmente) operados
bajo condiciones normales de presión y temperatura pero que no han sido capaces de
satisfacer los requisitos de producción y calidad cuando los procesos operan en
condiciones anormales. Otros problemas que han complicado la aplicación de
algoritmos avanzados de control son los asociados con la inherente variabilidad de los
procesos biológicos. Esta es probablemente la razón por la cual la mayoría de los
estudios se han venido realizando a escala laboratorio ya que difícilmente pueden
implementarse a escala piloto o industrial.
Por otro lado, algunos métodos, como el control predictivo y el control
adaptativo, han encontrado ciertas aplicaciones industriales en plantas de tratamiento
biológico de efluentes. Esto ha conducido a pensar que los bioprocesos podrían ser
optimizados en corto tiempo. Sin embargo, la gran mayoría de algoritmos de control
utilizados actualmente son esencialmente del tipo "todo o nada" (on/off), Proporcional
Integral (PI) o aun Proporcional Integral Derivativo (PID). Aunque este tipo de
reguladores ofrecen resultados satisfactorios en la práctica para problemas
monovariables (caso SISO por sus siglas en inglés), ellos no están adaptados a
contextos multivariables o multiobjetivos. Además, no toman en cuenta
específicamente la naturaleza no lineal de los procesos biológicos.
Finalmente, los resultados obtenidos en el diagnóstico de fallas y el monitoreo
de variables no medidas en diferentes procesos biológicos han motivado a extender su
uso a bioprocesos mas complejos como la digestión anaerobia, la digestión aerobia, la
síntesis de biopolímeros, etc. Esto implica combinar técnicas o esquemas de control
avanzado con métodos de inteligencia artificial para monitorear y controlar los
bioprocesos, o bien, desarrollar algoritmos de control mas robustos con respecto a las

diferentes incertidumbres y cambios en este tipo de procesos. Solamente bajo estas
condiciones, los algoritmos de control robusto podrán ser usados en una escala
industrial y lograr beneficios incalculables hasta el momento.
En este trabajo de ingreso a la Academia de Ingeniería, A.C. el autor presenta
el estado del arte de las técnicas avanzadas de control y monitoreo de bioreactores y
su aplicación en el tratamiento de efluentes con particular enfásis en la digestión
anaerobia de vinazas provenientes de destilerías asi como las tendencias hacia la
solución integral del problema de monitoreo y control de bioreactores utilizados en el
tratamiento de efluentes altamente contaminantes. El desarrollo de esquemas de
estimación de estados y control avanzado y sus subsecuentes aplicaciones en procesos
biotecnológicos realizados por el autor le han valido el reconocimiento de sus pares
internacionales quienes lo han integrado a redes académicas en la Unión Europea para
participar en los proyectos Advanced Modern Control (AMOCO, enfocado a plantas de
papel), ECOS-Nord (enfocado al problema de cotaminación de efluentes en
agroindustrias) y TELEMAC (en donde se busca la solución del problema general de
control de procesos de digestión anaerobia).
Palabras clave: Estimación de Estados, Observdaores Robustos, Control Robusto, Digestión Anaerobia,
TELEMAC.

1. Introducción.
Debido a la creciente complejidad y necesidad de procesos industriales seguros, el
monitoreo eficiente y los sistemas de soporte para decisiones se han vuelta cada vez
más importantes. De hecho, incluso en condiciones normales de operación, pueden
ocurrir diferentes tipos de disturbios con consecuencias serias en el desempeño del
proceso. Por lo tanto, existe una clara necesidad de control avanzado para mantener el
desempeño del sistema tan cerca como sea posible del óptimo. Esto es particularmente
cierto en el caso de bioprocesos, donde el estado de la parte viva del sistema debe ser
atentamente monitoreado. Se han publicado extensivos estudios y se han efectuado
muchas conferencias internacionales sobre este tópico. Incluso, en las últimas dos
décadas se ha observado un interés creciente para mejorar la operación de
bioprocesos mediante la aplicación de esquemas avanzados de control. En particular,
los procesos de tratamiento de aguas residuales (PTAR’s) biológicos, más eficientes
que los métodos físico-químicos tradicionales pero al mismo tiempo más complejos,
requieren que se garantice continuamente un buen desempeño, que tiene
consecuencias importantes para la instrumentación, el control y la automatización
[Olsson y Newell, 1999].
Dos importantes hechos (que pueden interpretarse como, incentivos y
restricciones) han contribuido a este nuevo paradigma. El primer hecho ha sido la
creciente demanda para aguas residuales purificadas de alta calidad en los efluentes
de un PTAR que ha conducido incluso a normas más estrictas para cumplir con
regulaciones ambientales [Huntington, 1998]. El segundo factor han sido las siempre
presentes restricciones financieras en la operación de la planta. Ninguno de estos dos
factores se puede disociar y por lo tanto, se deben tomar en cuenta en la
instrumentación, control y automatización de los PTAR’s. De hecho, un tratamiento
incompleto puede inducir severas fallas en la planta, que no solo reducen la calidad del
tratamiento, sino que pueden tener también un impacto económico importante. Así, la
necesidad de plantas controladas óptimamente se incrementará debido al
endurecimiento de los requerimientos permitidos y la necesidad de la reducción de
costos [Olsson y Newell, 1999]. Para cumplir completamente con los requerimientos
relacionados con la calidad del agua y las muy estrictas nuevas normas ecológicas, así
como reducir costos, el control óptimo de los PTAR’s enfrenta incertidumbres
importantes que surgen de la complejidad intrínseca del diseño de la planta.
En este trabajo, la atención se enfoca principalmente en el proceso de digestión
anaerobia porque es uno de los bioprocesos con mayor incertidumbre. Utilizado en el
tratamiento de aguas residuales, este proceso transforma la materia orgánica de
entrada en dióxido de carbono y metano a través de un conjunto de reacciones
heterogéneas auto-catalíticas multi-etapa [Heinzle, et al., 1993]. Los siguientes seis
principales factores de incertidumbre son ciertos para el tratamiento de aguas
residuales en general, y en particular para la digestión anaerobia y claramente ilustran
la necesidad de monitorear los sistemas y controlar automáticamente para optimizar la
operación del proceso o detectar disturbios.

• Incertidumbres Paramétricas: Un gran número de especies bacterianas llevan a
cabo las transformaciones de la carga orgánica y los nutrientes en los procesos
de tratamiento de aguas residuales sin relaciones directas o fácilmente
comprensibles entre las poblaciones microbianas y la viabilidad. El rol de cada
especie bacteriana no está claro, y aspectos tales como la fisiología celular y su
modelado son difíciles de comprender a partir de mediciones externas [Dochain y
Perrier, 1998]. Como primera consecuencia, las cinéticas de estas
transformaciones son inadecuadamente conocidas [van Impe y Bastin, 1998]. Se
han llevado a cabo esfuerzos extensivos para modelar estas cinéticas, pero no
han sido exitosos para elucidar como los coeficientes de rendimiento, los
parámetros cinéticos y la distribución de las poblaciones bacterianas cambian
como una función de la composición de entrada y las condiciones de operación.
• No linealidad: Es bien conocido que los procesos cinéticos muestran
comportamientos altamente no lineales. Esto es una desventaja seria para la
instrumentación y el control automático porque en contraste con los sistemas
lineales donde la observabilidad puede establecerse independientemente de las
entradas del procesos, los sistemas no lineales deben cumplir con la condición de
detectabilidad dependiente de la disponibilidad de mediciones en línea,
incluyendo las entradas al procesos en el caso de sistemas no autónomos.
• Estabilidad cuando se trabaja con sistemas variantes en el tiempo: Encontrar la
matriz de transición necesaria para establecer las condiciones de estabilidad no
es una tarea fácil. De hecho, incluso en la teoría de sistemas lineales, existe
usualmente una elección no trivial para resolver las condiciones requeridas y la
solución se obtiene preferentemente a partir de integración numérica [Skelton,
1988]. Estos impide garantizar la estabilidad de antemano.
• Falta de sensores en línea: Un cuarto factor de incertidumbres surge a partir de la
falta de sensores adecuados para medir en línea todas las variables importantes
en el proceso. Incluso cuando algunos de estos sensores están disponibles
comercialmente hoy en día, son todavía costosos, consumen tiempo y requieren
gastos adicionales para la instalación y uso [Huntington, 1998]. Por ejemplo, para
prevenir que los analizadores se ensucien, las muestras de aguas residuales
deben ser pre-tratadas para que estén libres de sólidos suspendidos. Además,
cuando se utilizan eficientemente tecnologías de ultrafiltración para este
propósito, la limpieza de membranas se vuelve una tarea tediosa y consume
tiempo. Más aún, el rango de operación entre las corrientes de entrada y las
corrientes de salida es muy diferente. En consecuencia, si se tiene la posibilidad
de utilizar un analizador en línea, una práctica común consiste en colocarlo mejor
en las corrientes de salida que en las corrientes de entrada o bien si esta
instalación ofrece un pequeño margen de variación, dadas las pequeñas
concentraciones de sólidos suspendidos, el precio a pagar para tal ventaja es una
incertidumbre siempre presente acerca de la composición de entrada.
• Incertidumbre en el flujo de entrada: Estrechamente relacionado al punto
precedente es el hecho de que la composición del influente está altamente
influenciado por restricciones, que pueden variar de una forma aleatoria
dependiendo de las actividades humanas, industriales o ambientales. De nuevo,
sin sensores en línea apropiados para medir estas variaciones, solo las
estimaciones basadas en intervalos de confianza estadística pueden utilizarse en
algunos casos.

• Incertidumbres en las condiciones iniciales: El tema de la incertidumbre no es
más que la simple tarea de determinar las condiciones del proceso necesarias
para estudiar la dinámica global de proceso.
Para hacer frente a estos problemas, se ha propuesto en el pasado diversas
soluciones tales como los clásicos y bien conocidos filtros extendidos de Kalman (FEK)
y observadores de Luenberger (OEL) que permiten la estimación de parámetros y
estados del sistema. Una de las razones para la popularidad de estos estimadores es
que son fáciles de implementar ya que el algoritmo puede efectuarse directamente a
partir de un modelo en espacio de estado. Sin embargo, debido a que estos
estimadores se basan en un modelo linealizado del proceso, las propiedades de
estabilidad y convergencia son esencialmente locales y solo válidas alrededor del punto
de operación y es muy difícil garantizar la estabilidad sobre un amplio rango de
operación. Una razón para el problema de convergencia de los FEK/OEL es que, para
garantizar la convergencia exponencial del observador, el proceso debe ser localmente
observable, lo que es restrictivo en muchas situaciones prácticas y puede contribuir en
la falla de estos estimadores de estados para encontrar una amplia gama de
aplicaciones. Por ejemplo, la implementación de un FEK/OEL en biorreactores se basa
en un conocimiento a priori de la observabilidad del proceso. Debido a las no
linealidades de su dinámica, el análisis de observabilidad es más bien complejo en
aplicaciones de procesos bioquímicos; y las grandes incertidumbres usuales en las
cinéticas de las reacciones bioquímicas y las expresiones analíticas utilizadas para
describirlas provocan que este enfoque sea incluso más difícil. De hecho, muy pocos
trabajos estudian la observabilidad de procesos bioquímicos no lineales (Dochain y
Chen, 1992) y están usualmente relacionados con aplicaciones particulares. Otro
problema es que la teoría para el FEK/OEL está desarrollada suponiendo un perfecto
conocimiento del modelo del sistema y de los parámetros, en particular de las cinéticas
del proceso, y como consecuencia, es difícil desarrollar cotas del error para tomar en
cuenta las grandes incertidumbres en estos parámetros.
Otras propuestas son los observadores adaptivos [Bastin y Dochain, 1990] y los
observadores con modos deslizantes basados en la teoría de sistemas con estructura
variable pero su diseño involucra condiciones que deben asumirse a priori o que son
usualmente difíciles de verificarse [González-Alvarez, et al., 2006]. Todos estos
enfoques resuelven – en un sentido u otro – algunos de los problemas descritos
anteriormente pero en la mayoría de los casos, la complejidad de los algoritmos de
estimación resultantes es una limitación para el cómputo en tiempo real.
Efectivamente, los algoritmos de monitoreo demuestran ser eficientes si son capaces
de incorporar la información importante del proceso que es bien conocida mientras
hacen frente a la información faltante (ausencia de mediciones en lineal,
incertidumbres en los procesos dinámicos, etc.) de una forma robusta.
Se presenta, de igual manera, una metodología de control reciente que utiliza la
información parcial obtenida por los observadores por intervalos se ha diseñado para
estabilizar exponencialmente una variable regulada en una vecindad de un punto de
control predeterminado. Este objetivo se logra garantizando que una función
cuadrática del error es una función de Lyapunov robusta exponencialmente estable
(Rapaport y Harmand, 2002). Así, esta ley de control es capaz de lidiar con la ausencia
de información confiable (observabilidad) y la incertidumbre. En este trabajo,
proponemos la aplicación de este enfoque a la regulación una-entrada una-salida
(SISO) de la demanda química de oxígeno (DQO) en la salida de un proceso de
digestión anaerobia (DA). Un problema de control similar se estudió mediante

simulación en (Alcaraz et al., 2000) pero en el caso actual, un mayor número de
incertidumbres se introducen en las funciones no lineales que describen las cinéticas
del proceso y la utilidad de esta metodología se demuestra bajo condiciones de
máxima incertidumbre que pueden caracterizar los procesos de DA. Por último, se
muestran resultados experimentales de una planta de DA a escala piloto (1 m3
).
Finalmente, se presenta un esfuerzo multi e interdisciplinario de solución integral al
problema de control de la digestión anaerobia en donde se incorporan nuevas
metodologías, obtenidas del área de la tecnología de la información y la comunicación,
en procesos de tratamiento de aguas residuales. Se propone un sistema avanzado de
gestión remota, capaz de administrar múltiples plantas de tratamiento de aguas
residuales que no posean un experto a nivel local. Esta proupesta utiliza nuevos
sensores para estabilizar automáticamente el proceso, alcanzando y manteniendo los
requerimientos de depuración y asegurando un biogás de calidad adecuada para su
uso en sistemas de cogeneración. Si el sistema automático detecta un fallo que no
puede ser resuelto automáticamente o de forma local por un operario, entonces un
experto ubicado en el Centro de Control de TELEMAC (TCC) podría contactarse
automáticamente, vía Internet, para resolver el problema.
2. Fundamentos.
Los esfuerzos para satisfacer las necesidades específicas para el manejo y
optimización de procesos pueden clasificarse de acuerdo al tipo de metodología
empleada. Por un lado, es posible distinguir los enfoques basados en conjuntos de
datos, aquellos fundamentados en conocimiento de expertos (en el amplio sentido del
término) y aquellos fundamentados en una descripción analítica del sistema.
Particularmente, este trabajo está interesado en los problemas de estimación y
diagnóstico en el contexto de la tercera familia de propuestas, i.e., dentro de un
contexto analítico. Por otro lado, se pueden distinguir las metodologías estáticas y
dinámicas de acuerdo a si las relaciones entre las variables medidas y aquellas a
estimar son estáticas o dinámicas. En este capítulo la atención se enfoca en el caso
dinámico, para ser específicos en el eficiente desarrollo e implementación de los
esquemas de estimación de estado (estimadores, “sensores suaves”, observadores de
estado o simplemente observadores) que pueden utilizarse para diseñar estrategias de
control y optimización en procesos químicos y bioquímicos.
Tres importantes razones justifican el recurrir a un estimador:
• Adquisición de conocimiento y modelado: Por ejemplo, cuando se debe
determinar una variable que no puede medirse directamente, o para estimar
parámetros claves del proceso.
• Control de proceso: Por ejemplo, cuando se desea controlar una variable que no
se mide directamente, o que no está convenientemente disponible o que las
variables no medidas intervienen en el diseño de una ley de control.
• Supervisión y diagnóstico: Por ejemplo, cuando es necesario supervisar la
concentración de un microorganismo en una biopelícula para evitar condiciones
de operación inestables.
Desde un punto de vista sistemático, las entradas de un estimador son las entradas
al proceso (i.e., variables de control y disturbios medidos) también como mediciones
disponibles en línea en el proceso, mientras las salidas del estimador son los estimados

de las variables no medidas. Un diagrama que ilustra este concepto se muestra en la
Figura 1.
Fig. 1. Un esquema de estimación general (x: variables de estado, p: parámetros, z:
variables auxiliares)
La estructura interna de un observador se basa en el modelo del sistema
considerado. Por supuesto, el modelo puede ser extremadamente simple o reducirse a
una simple relación algebraica vinculada a mediciones disponibles. Sin embargo,
cuando el modelo es de tipo dinámico, el valor de una variable no está solamente
influenciado por las entradas en el momento considerado sino que también los
primeros valores de las entradas así como por otras variables del sistema. Estos
fenómenos se describen entonces por ecuaciones diferenciales. Debido a que estos
modelos contienen información de las interacciones entre las entradas y las variables
de estado, se utilizan para estimar variables no medidas a partir de mediciones
fácilmente disponibles.
En términos de los métodos, los enfoques de síntesis pueden clasificarse de acuerdo
al tipo de modelo en el que se basan. Así, se distinguen – entre los aplicados a los
bioprocesos – dos grandes clases: enfoques lineales y no lineales. En los enfoques
lineales, se distinguen el observador de Luenberger (OL) y el filtro de Kalman (FK) de
acuerdo al contexto determinístico o estocástico, respectivamente. En los enfoques no
lineales, se distinguen el OL y FK en sus formas extendidas (i.e., OEL/FEK), los
observadores con cinéticas desconocidas (llamado también observador asintótico), los
observadores de Alta Ganancia (OAG) y los observadores por intervalos (OI). Estos
esquemas de estimación se describen posteriormente en este capítulo. Una revisión del
estado del arte de la estimación de estados en bioprocesos se presenta en la Tabla 1
que incluye las ventajas y desventajas de los esquemas más comunes de estimación
(i.e., FEK y OEL) y las metodologías más específicas que se han aplicado en tales
sistemas dinámicos.
2.1 Observadores para bioprocesos.
Una breve descripción de los observadores. Para describir los principios guía de los
observadores considerados en este capítulo, se utiliza el siguiente modelo general sin
ruido
( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
0 0, ,
dx t
f x t u t x t x
dt
y t h x t
= =
=
(1)
Proceso
x y/o π
Estimador
z
u y
x y/o π^ ^

donde x(t) ∈ Ω ⊂ ℜn
, u(t) ∈ ℜm
, y(t) ∈ ℜp
, representa el vector de estado, el vector de
entrada y el vector de salida, respectivamente. x0 denota las condiciones iniciales al
instante t0. f : ℜn
× ℜm
→ ℜn
y h : ℜn
→ ℜp
son funciones que cumplen con las
propiedades de existencia y unicidad de las soluciones.
Algunos observadores clásicos. La utilidad de los observadores clásicos recae en las
características dinámicas de la estimación del error. Si el usuario es capaz de regular la
velocidad de disminución del error, la consecuencia directa es que el valor estimado
converge tan rápido como se desee hacia el valor real de la variable considerada.
Una descripción general de un observador clásico está dada por
( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
ˆ
ˆ ˆ,
dx t
f x t u t k h x t y t
dt
= + ! (2)
donde f describe exactamente y sin ningún error de modelado el sistema real.
Entonces, las predicciones del modelo son corregidas por la diferencia entre la salida
(mediciones) y la salida teórica dada por el observador. Después, uno puede sintonizar
la amplitud de la corrección mediante k, que se denomina ganancia del observador. Los
FEK, OEL y OAG pertenecen a esta clase de observadores pero difieren esencialmente
e las suposiciones y en los procedimientos que hacen posible calcular su respectiva
ganancia. Para el FEK, la ganancia se calcula de tal forma que las propiedades
estadísticas de las variables a ser estimadas se garanticen a pesar de incertidumbres
tomadas en cuenta y que pueden afectar las mediciones o el estado del sistema. Vale
la pena mencionar desde un punto de vista estocástico que el FEK es un filtro más que
un observador. En contraste, el OEL cae dentro del rango determinístico donde las
incertidumbres y ruido en las mediciones ya no son caracterizados por propiedades
estadísticas. La ganancia de este observador puede entonces calcularse de tal forma
que las propiedades relacionadas a su velocidad de convergencia y a su estabilidad se
garanticen. En ambos casos, sin embargo, el cálculo de sus ganancias requiere una
linealización del modelo del sistema, que es solo válida alrededor de una condición de
operación dada y requiere una buena caracterización de las no linealidades que en la
mayoría de los bioprocesos implica el completo conocimiento de las cinéticas del
proceso. Por otro lado, los OAG’s no requieren de la linealización del sistema, que
permite obtener una velocidad de convergencia mayor que el FEK y el OEL. Sin
embargo, este observador es muy difícil de sintetizar en la práctica ya que es muy
sensible con respecto al ruido y la calidad del modelo utilizado.
Observadores asintóticos. Con respecto a los observadores conocidos como
asintóticos, introducidos por Bastin y Dochain [1990], su diseño se efectúa de una
forma diferente ya que no tiene ganancia que haga posible sintonizar su velocidad de
convergencia. Además, tienen la ventaja de ser completamente independientes de las
no linealidades del sistema (i.e., los términos cinéticos) dado que satisfacen ciertas
suposiciones durante su síntesis, que se detallará posteriormente. Para ilustrar la base
de estos observadores, considere un bioprocesos simple en el que una biomasa X crece
con un sustrato S en un reactor continuo de tanque agitado (CSTR):
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )in
X t D t X
S k t X D t S t S
µ
µ
= !
= ! + !
&
&
(3)

donde m(t) : tasa específica de crecimiento de la biomasa
k : coeficiente de rendimiento para la conversión del sustrato
en biomasa
Sin(t) : concentración de sustrato en la entrada
D(t) : tasa de dilución (D(t) = Q(t)/V ≥ 0, donde Q(t) es el flujo
volumétrico y V es el volumen del reactor)
Ahora, asuma que se desea estimar la concentración de la biomasa X utilizando las
mediciones de S – presumiblemente continuas –, sin el conocimiento de la velocidad de
crecimiento. Con este objetivo, se introduce una variable auxiliar ζ definida por:
kX S! " + (4)
por lo que la dinámica de ζ puede escribirse en la siguiente forma:
( ) ( )( )inD t S t! != " "& (5)
Entonces, una estimación de la concentración de los microorganismos puede
fácilmente obtenerse resolviendo (4) para ˆX ; es decir
( )1 ˆˆX S
k
!= " (6)
donde ˆ! es la solución de:
( ) ( )( )ˆ ˆ
inD t S t! != " "
&
(7)
En este ejemplo, es fácil ver que, la dinámica de ζ es independiente de las cinéticas
m, que da una solución específica al problema bien conocida del desconocimiento de la
velocidad de crecimiento de la biomasa en el bioproceso [van Impe y Bastin, 1998].
También se puede verificar que la velocidad de convergencia no puede sintonizarse
porque depende exclusivamente del valor de la tasa de dilución. Efectivamente, Bastin
y Dochain [1990] han mostrado que una condición para garantizar la convergencia del
observador es que la tasa de dilución D debe ser una entrada persistente, i.e., que hay
dos constantes positivas c1 y c2 tales que, en cualquier instante t:
( )
2
10
t c
t
c D d! !
+
< " # (8)
En la práctica, se ha mostrado que c2 debe ser pequeña comparado con las
constantes de tiempo del proceso y que c1/c2 es suficientemente grande para
garantizar la velocidad de convergencia del observador [Bernard y Gouzé, 2001]. Con
respecto a los observadores por intervalos, se describirá en detalle posteriormente. Sin
embargo, su uso para la observación robusta de variables no medidas en el contexto
de un PTAR biológico se justifica en la siguiente sección.
Observadores por intervalos. En los enfoques presentados anteriormente, las
entradas al sistema son necesarias para sintonizar los observadores. Además, incluso
cuando los observadores asintóticos permiten robustificar los OAG’s – en el sentido de
que limitan el conocimiento necesario a priori para sintetizarlos –, no permiten la
sintonización de la velocidad de convergencia, que se determina completamente por
las condiciones del procesos (i.e., la tasa de dilución). Esta propiedad puede involucrar

tiempos de convergencia importantes.
La mayor dificultad que limita la aplicabilidad de los métodos presentados
previamente en los PTAR’s biológicos radica obviamente en la dificultad (y algunas
veces en la imposibilidad) de medir las concentraciones de entrada al proceso. Incluso
cuando en ciertas industrias (farmacéutica, alimentaria, etc.), las entradas del sistema
son frecuentemente variables de control. Este no es el caso en los PTAR’s, donde las
variaciones en la composición del efluente a ser tratado es una de las principales
fuentes de disturbios e incertidumbres. Una primera solución a esta restricción recae
en el uso de los enfoques conocidos como “robustos” respecto a los disturbios
desconocidos. Entre aquellos que hacen posible reconstruir unívocamente el estado de
la dinámica del sistema, se distinguen dos metodologías: 1) los observadores por
modos deslizantes [González-Alvarez, 2006] y, ii) los observadores con entradas
desconocidas [Darouach, et al., 1994]. Sin embargo, estas metodologías requieren el
conocimiento de las cinéticas – o al menos parcialmente –, que es una restricción difícil
en el campo del tratamiento de aguas residuales. Muchas razones han limitado la
capacidad de medir las entradas del proceso:
• Antes que nada, la instalación de sensores avanzados generalmente requiere la
implementación de una filtración en el sistema. Sin embargo, la presencia de
materia suspendida en gran cantidad en las entradas del proceso limita la
posibilidad de utilizar este recurso en tales sistemas, que son, además,
extremadamente caros, en inversión y mantenimiento;
• En muchas aplicaciones prácticas, los instrumentos de medición cubren un
rango específico de operación, que puede utilizarse en la entrada o en la salida
del bioproceso pero no en ambos lugares. Las concentraciones de entrada son
usualmente mucho mayores que las concentraciones de salida y por lo tanto se
requieren dos sensores diferentes con diferentes sensibilidades que pueden
ocasionar un costo adicional en instrumentos de medición. Esta observación
impide el uso de un solo sensor que puede ubicarse en la corriente de entrada
para medir una cierta variable y entonces ubicarse en la salida para registrar
alguna otra variable o magnitud;
• Finalmente, si estos sensores son necesarios desde un punto de vista de control
de proceso, y tomando en cuenta el hecho de que para instalar dos sensores,
uno en la entrada y otro en la salida, no es financieramente posible, el
conocimiento limitado del bioproceso y su carácter dudoso motiva a los
ingenieros de control a considerar un control re-alimentado en lugar de un
control pre-alimentado. Un sensor, si está disponible, se preferirá instalarlo en
la salida del proceso que en la entrada.

Fig. 2. Observabilidad y detectabilidad para sistemas no lineales
De esta forma, parece claro que los enfoques descritos anteriormente no pueden
aplicarse rigurosamente a los PTAR biológicos por que no son detectables para tales
entradas desconocidas. Ciertamente, en el contexto general de la teoría de los
observadores, y desde un punto de vista no lineal, pueden intervenir tres situaciones
(ver Figura 2):
a) Sistemas observables donde se puede sintonizar la velocidad de convergencia;
b) Sistemas no observables pero detectables – los modos no observables del
sistema son estables – ;
c) Sistemas no detectables, donde es posible reconstruir solo un intervalo en el
cual es posible garantizar que los valores reales de las variables medidas se
encuentran en realidad.
Los primeros dos casos corresponden a los enfoques del tipo de observadores
unívocamente valuados mientras el tercero corresponde al conjunto de enfoques en los
que se puede clasificar el observador por intervalos.
Consecuentemente, se ofrecen diferentes alternativas:
• Primeramente, ciertas industrias (por ejemplo, aquellas a cargo de procesamiento
de las aguas residuales urbanas) tienen una composición de entrada que varía de
una forma periódica. Es, por lo tanto, posible identificar una función que hace
posible simular estas variaciones. Sin embargo, el riesgo de equivocarse en un
situación de falla es más alto si la composición del efluente diverge
significativamente del valor simulado;
• La segunda posibilidad consiste en asumir que estas variaciones se comportan
como una sucesión de saltos cuya amplitud se actualiza mediante mediciones
efectuadas fuera de línea. Si este método es ciertamente muy simple, es
prácticamente imposible de implementar en la mayoría de las plantas instaladas
porque las variaciones son algunas veces relativamente repentinas e imprevistas y
el número de muestras fuere de línea que se deben realizar puede volverse muy
grande para llevarse a cabo prácticamente;

• La tercera posibilidad se refiere a un conjunto de temas de investigación sobre el
desarrollo de métodos que hace posible la estimación en línea – para propósitos de
control o diagnóstico – de las concentraciones de entrada al proceso. Comenzando
a partir del conocimiento del modelo y las mediciones disponibles, tales enfoques
consisten en sintetizar observadores de entradas desconocidas1
(Cf. Por ejemplo
[Aubrun, et al., 2000]).
• Como última posibilidad pero no menos importante, también se puede recurrir a
otros enfoques robustos tratando de limitar el conocimiento disponible de las
entradas del proceso. Considere por principio que solo ciertas cotas, entre las que
las concentraciones de entrada es probable que varíen, son conocidas. Utilizando
solo este conocimiento, no es factible reconstruir el valor exacto de las variables a
estimar, pero también es posible en algunas ocasiones, reconstruir intervalos
garantizados para las variables a estimar (i.e., intervalos entre los cuales es posible
garantizar que los valores reales de las variables consideradas se encuentran
realmente).
Este último enfoque se ilustra en el siguiente bioproceso (posteriormente se
extenderá el resultado para cubrir sistemas más complejos). De hecho, los
observadores por intervalos, tales como los desarrollados aquí, están basados en los
observadores asintóticos.
Considere el ejemplo desarrollado previamente para los observadores asintóticos
(ecuaciones (3) a (7)). Nótese que, para estimar ˆX utilizando las ecuaciones (6) y (7),
es necesaria una medición adecuada de Sin. Suponga que esta medición no está
disponible pero en su lugar solo las cotas, dentro de las que esta variable es seguro
que evoluciona, se conoce tales como ( ) ( ) ( )in in inS t S t S t! +
" " . Entonces, es posible
sintetizar dos observadores:
( ) ( )( )
( ) ( )( )
ˆ ˆ
ˆ ˆ
in
in
D t S t
D t S t
! !
! !
+ + +
" " "
= " "
= " "
&
&
(9)
que – dado que están correctamente inicializados – permitirán reconstruir las cotas ˆX +
y ˆX !
como:
( )
( )
1 ˆˆ
1 ˆˆ
X S
k
X S
k
!
!
+ +
" "
= "
= "
(10)
dentro de las que se garantiza que el valor real de X se encuentra, i.e.,
( ) ( ) ( )ˆ ˆX t X t X t! +
" " . Para mostrar esto, se introduce el error de estimación ˆe X X+
= ! .
De esta forma, su dinámica puede escribirse como:
( ) ( ) ( ) ( )( )in ine D t e D t S t S t+
= ! + !& (11)
1
No confundir la teoría de observadores con entradas desconocidas en la que el objetivo es estimar las
variables de estado de un sistema sujeto a entradas no medidas. Aquí, el objetivo es precisamente estimar
estas entradas desconocidas y no solo ciertas variables de estado.

Por hipótesis, ( ) ( ) ( )( ) 0in inD t S t S t+
! > . Consecuentemente, y dado que e(0) ≥ 0,
entonces e(t) ≥ 0, ∀t. Esto muestra que siempre y cuando ( ) ( )0 in inS t S t+
< ! , se garantiza
que ( ) ( )ˆX t X t+
! si el observador está adecuadamente inicializado, es decir
( ) ( )ˆ0 0 0X X +
< ! . Un razonamiento similar permitiría mostrar que eligiendo
( ) ( )ˆ 0 0X X+
! , es posible garantizar que ( ) ( )ˆX t X t+
! . Finalmente, se ha establecido que
si ( ) ( ) ( )ˆ ˆ0 0 0X X X! +
" " , y dado que ( ) ( ) ( )in in inS t S t S t! +
< " , el uso del observador por
intervalos dado por las ecuaciones (9-10) permite reconstruir los límites inferiores y
superiores de X, ( ) ( ) ( )ˆ ˆX t X t X t! +
" " .
3. Un modelo general.
En esta sección, se considera una clase de procesos bioquímicos cuyos balances de
masa pueden describirse por las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias no
lineales
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ),x t Cf x t t A t x t b t= + +& (16)
donde x(t) es el vector de estados, C ∈ ℜn×r
representa una matriz de coeficientes (e.g.
coeficientes estequiométricos de rendimiento) y f(x(t),t) ∈ ℜn
denota el vector de no
linealidades (incluyendo velocidades de reacción). La matriz variante en el tiempo A(t)
∈ ℜn×n
es la matriz de estado mientras b(t) ∈ ℜn
pertenece a un vector que agrupa las
entradas (i.e., el vector de flujos másicos de alimentación) y/o otras funciones
posiblemente variantes en el tiempo (e.g., el vector de flujos de salida de gases, si
existen).
Notar que la estructura del modelo (16) no es restrictiva a los bioprocesos y
también puede utilizarse para describir una gran variedad de procesos químicos.
Algunos ejemplos de estos procesos son los reactores continuos, los reactores con
recirculación y los reactores interconectados donde la matriz A(t) es normalmente una
función de las condiciones operacionales de la planta (e.g., las tasas de dilución).
Ahora, el marco de las incertidumbres y los conocimientos mínimos del sistema que se
requieren para diseñar los observadores se describe formalmente. Para este propósito
se introducen las siguientes hipótesis.
Hipótesis H1:
a) f(x(t),t) es completamente desconocido.
b) A(t) se conoce para todo t ≥ 0.
c) m variables de estado se miden en línea.
d) C es constante y conocida.
e) A(t) está acotada, es decir, existen dos matrices constantes A–
y A+
tales que A–
≤ A(t)
≤ A+
.
f) Las condiciones iniciales del vector de estado son desconocidas pero las cotas
garantizada están dadas por x–
(0) ≤ x(0) ≤ x+
(0).
g) El vector b(t) es desconocido pero sus cotas garantizadas, posiblemente variantes
en el tiempo, están dadas por b–
(t) ≤ b(t) ≤ b+
(t).

Nota 1. El operador ≤ aplicado entre vectores y entre matrices debe entenderse como
una colección de desigualdades entre componentes.
Las hipótesis H1a-d se utilizarán para diseñar el observador asintótico, mientras que
la hipótesis H1e se utilizará para el análisis de estabilidad. Las hipótesis H1f y H1g se
utilizarán posteriormente para diseñar el observador por intervalos. Utilizando la
hipótesis H1c, se asume que el espacio de estados puede dividirse de tal forma que
(16) se puede rescribir como:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 11 1 12 2 1
2 2 21 1 22 2 2
,
,
x t C f x t t A t x t A t x t b t
x t C f x t t A t x t A t x t b t
= + + +
= + + +
&
&
(17)
donde las m variables de estado medidas se ha agrupado en el vector x2(t) (dim x2(t) =
m) y las variables que deben estimarse están representadas por x1(t) (dim x1(t) = s = n –
m). Las matrices A11(t) ∈ ℜs×s
, A12(t) ∈ ℜs×m
, A21(t) ∈ ℜm×s
, A22(t) ∈ ℜm×m
, C1 ∈ ℜs×r
, C2 ∈ ℜm×r
, b1(t)
∈ ℜ s
y b2(t) ∈ ℜm
, son las particiones correspondientes de A(t), C y b(t),
respectivamente.
4. El observador asintótico.
Los observadores asintóticos fueron propuestos en Bastin y Dochain[1990] para el
caso en el que la tasa de dilución es constante y la matriz A es diagonal, con la tasa de
dilución presente en cada elemento de su diagonal principal. En este caso, la condición
(8) es suficiente para garantizar la convergencia del observador. Estos observadores se
extendieron por Chen [1992] para cubrir un caso más general de la ecuación (16)
donde la matriz A puede no ser diagonal. En tal caso, la persistencia regular de la tasa
de dilución, cuando es variante en el tiempo, no es suficiente para garantizar la
convergencia y estabilidad del observador. Entonces, las condiciones suficientes para
garantizar la estabilidad del observador en el caso de una matriz constante A es que
debe ser del tipo de Metzler2
. Más aún, para garantizar la estabilidad de los
observadores asintóticos si una matriz A no diagonal es una función del tiempo,
algunas condiciones al menos suficientes, se presentarán en la siguiente sección.
Diseño del observador asintótico. Dado que las no linealidades f(x(t),t) son
desconocidas, el observador asintótico se diseña de tal forma que permite la
reconstrucción de los estados no medidos a partir de los estados medidos, sin importar
con son las no linealidades desconocidas. Esto puede lograse encontrando una
combinación lineal de las variables de estado adecuada w(t) = Nx(t) con N ∈ ℜs×n
, tal que:
NC = 0 (18)
Se invoca la siguiente hipótesis adicional:
Hipótesis H2:
rango C2 = c
que implica las siguientes tres propiedades. La primera está relacionada a la partición
(17) mientras que las otras dos permiten encontrar al menos una solución no trivial de
(18).
2
Una matriz es Meztler si todos sus elementos fuera de la diagonal son positivos o nulos.

1. Para cumplir esta hipótesis, m y s se fijan como m ≥ c, y por lo tanto, s ≤ n – c. En
otras palabras, el tipo y número de estados que deben medirse y estimarse se fija
por la hipótesis H2. Así, esta hipótesis también establece como es la estructura de
la partición (17).
2. La segunda es que C1 puede escribirse como una combinación lineal de C2 (i.e., C1 =
K C2 con K ∈ ℜs×m
).
3. La tercera propiedad es que la solución no trivial de (18) admite que al menos s
columnas de N se elijan arbitrariamente.
Una vez que m y s se fijas por la propiedad (1) y, considerando las otras dos
propiedades (2) y (3), una solución no trivial para (18) puede establecerse como
sigue:
Particiónese N como [ ]1 2N N N= M con N1 ∈ ℜs×s
, N2 ∈ ℜs×m
y (18) se escriba
consecuentemente como N1C1 + N2C2 = 0. Entonces, debido a las propiedades (2) y (3),
la solución más simple de (18) es aquella en que N1 puede elegirse arbitrariamente
para calcular N2 como N2 = – N1C1C2
§
donde C2
§
es una pseudo-inversa generalizada de C2
que satisface C2C2
§
C2 = C2. Nótese, sin embargo, que en general C2
§
no es
necesariamente única (este hecho se utilizará posteriormente para el análisis de
estabilidad). Por lo tanto, bajos las hipótesis H1a – d y H2, el siguiente sistema :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
2
1
1 1 2 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ0 0
ˆ ˆ
w t W t w t X t x t Nb t
w Nx
x t N w t N x t!
= + +
=
= !
&
(19)
con
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
1 11 2 21 1
1 12 2 22 2
W t N A t N A t N
X t N A t N A t W t N
!
= +
= + !
es un observador no lineal asintótico para el modelo no lineal variante en el tiempo
(16). Nótese que el sistema (19) requiere que el conocimiento completo de A(t) y b(t),
que se asegura por la hipótesis H1a-b. Nótese también que, debido a las hipótesis
H1c-d y H2, el sistema (19) efectivamente permite la cancelación exacta de los
términos no lineales contenidos en f(x(t),t).
Nota 2.
• Se debe notar que una elección de s columnas de N diferentes a N1 también es
posible y, cualquiera que sea la elección, la existencia de 1
1N!
es necesaria para
reconstruir los estados no medidos. Sin embargo, sin pérdida de generalidad, se
asumirá que N1 = kIs donde k es un parámetro arbitrario, real, positivo y constante.
Otra razón para esta elección se detalla posteriormente.
• Para eliminar la dependencia de f(x(t),t), Chen [1992], distingue entre dos casos: a)
c ≤ r, y b) c < r. Para cada caso, se proponen diferentes soluciones para (18). En
este capítulo, utilizando C2
§
en la solución de (18), se cubren ambos casos.
• Un caso particular de los observadores asintóticos (19) ocurren cuando A(t) es
proporcional a la matriz identidad. Bastan y Dochain [1990] han mostrado que en
el caso particular, es posible hacer otra(s) partición(es) ( ) ( ) ( )
TT T
a bx t x t x t! "= # $M (donde
los estados medidos y los no medidos se distribuyen arbitrariamente entre xa(t) y

xb(t)); y, por lo tanto, para proponer otra combinación lineal del estado w(t) = Naxa(t) +
Nbxb(t) = N1x1(t) + N2x2(t) tales que N’C = 0, [ ]'
T
a bN N N= M . Esto permite que ( )w t& sea
completamente independiente del estado original (lo que es posible debido a la
exactitud de la cancelación de la matriz X(t) en (19)). Entonces, N’ puede utilizarse
para cancelar los términos no lineales en la dinámica de w(t) y N puede utilizarse
para reconstruir los estados no medidos exactamente como en (4). Más aún, en tal
caso, solo es suficiente una matriz N1 invertible por la izquierda. Por supuesto, esto
permite una flexibilidad mayor en el diseño del observador asintótico. No obstante,
en un caso más general, cuando A(t) no es proporcional a la matriz identidad,
cualquier partición del estado diferente a ( ) ( ) ( )1 2
TT T
x t x t x t! "= # $M implicaría la presencia
de los estados no medidos en las dinámicas de w(t), porque la cancelación de X(t) en
(19), que es, por supuesto, inaceptable.
Estabilidad del observador asintótico. Como se mencionó anteriormente, Bastin y
Dochain [1990] han propuesto condiciones suficientes para la estabilidad de (19)
cuando A(t) es proporcional a la matriz identidad. En tal caso, la estabilidad de (19)
depende exclusivamente en las propiedades de A(t). También se estableció
previamente que cuando A no es proporcional a la matriz identidad y tiene una
estructura definida pero es constante, Chen [1992], proporciona suficientes
condiciones para la estabilidad de (19). Entonces, en esta sección se propone una
alternativa para el tema de la estabilidad de (19) cuando A(t) no es proporcional a la
matriz identidad y dependiente del tiempo. Por otro lado, una propiedad denominada
cooperatividad se utilizará. Esta propiedad debe cumplirse sobre la dinámica de la
observación del error asociada a (19). La teoría de cooperatividad de un sistema
permite comparar varias soluciones de una ecuación diferencial. Más particularmente,
si un sistema considerado ( ),f t! !=& es cooperativo, entonces es posible mostrar que
dadas dos condiciones iniciales diferentes definidas término por término como x1(0) ≤
x2(0); entonces, las soluciones a este sistema se obtendrán de tal forma que x1(t) ≤
x2(t), donde x1 y x2 son las soluciones de las ecuaciones diferenciales del sistema con
las condiciones iniciales x1(0) y x2(0), respectivamente. Esto es exactamente el mismo
resultado establecido previamente en el caso de sistemas simples mono-
biomasa/mono-sustrato. Tomando en cuenta esta propiedad se presenta el siguiente
lema.
Lema 1. [Smith,1995]: Un sistema ( ),f t! !=& se dice que es cooperativo si
( ),
0i
j
f t!
!
"
"
# , ∀i
≠ j, que implica que si (0) ≥ 0 entonces (t) ≥ 0, ∀t ≥ 0.
Nótese que esta condición significa simplemente que la matriz Jacobiana debe ser
una matriz Metzler. Nótese también que esta condición satisface completamente la
propuesta de Chen [1992] que se ha evocado antes. El lector notará que cualquier
sistema de orden uno es cooperativo; así como el observador asintótico desarrollado
en el que la matriz A es diagonal. Por otro lado, nótese que en general, como se ha
propuesto anteriormente, C2
§
puede no ser única. El único caso cuando C2
§
es única es
cuando C2 es una matriz cuadrada de rango completo y entonces C2
§
se vuelve C2
–1
. En
tal caso, las propiedades de estabilidad de (19) están estrictamente gobernadas por
las condiciones de operación del sistema. Además, si C2
§
no es única, la propiedad de
estabilidad (19) es una función de los límites operacionales y una elección adecuada de
C2
§
.

Ahora, considere la matriz
We(t) = N1
–1
W(t)N1 = A11(t) – C1C2
§
A21(t) (20)
que está asociada a la dinámica de observación del error de (19). Nótese que bajo la
hipótesis H1e es posible calcular cos matrices constantes ( )e e eW W t W! +
" " ∀t ≥ 0.
Entonces, se introducen las siguientes hipótesis.
Hipótesis H3:
a) , 0e ijW !
" , ∀i ≠ j.
b) eW !
y eW +
son Hurwitz.
Proposición 1. Para cualquier C2
§
(i.e., C2
§
es una pseudo-inversa generalizada (no
solución única) o C2 = C2
–1
(solución única)), el observador (19) es asintóticamente
estable si la hipótesis H3 se cumple.
Prueba. Primeramente, con referencia al lema anterior, la primera condición de esta
proposición establece que eW !
y por lo tanto We(t) y eW +
son cooperativas.
Segundamente, sea ( ) ( ) ( )1 1
ˆe t x t x t= ! si ( ) ( )1 1
ˆ 0 0 0x x! " o ( ) ( ) ( )1 1
ˆe t x t x t= ! , si
( ) ( )1 1
ˆ 0 0 0x x! " el error de observación asociado a (19). Es sencillo verificar que e sigue
la dinámica ( ) ( ) ( )ee t W t e t=& . Entonces, debido a la cooperatividad de We(t), eW !
y eW +
, e(t)
está acotado por e1(t), la solución de ( ) ( )1 1ee t W e t!
=& , e1(0) = e(0), y e2(t), la solución de
( ) ( )2 2ee t W e t+
=& , e2(0) = e(0) (i.e., e1(t) ≤ e(t) ≤ e2(t), ∀t ≥ 0). Además, si eW !
y eW +
son Hurwitz,
entonces e(t) necesariamente converge asintóticamente a cero conforme t → ∞ para
cualquier e(0). Por lo tanto, ( )1
ˆx t también converge asintóticamente hacia x1(t)
conforme t → ∞ para cualquier condición inicial.
Nota 3.
Además del rol que juega C2
§
en la estabilidad de observador asintótico, nótese que
la estructura de la matriz asociada con el error de estimación, We(t), sugiere que C2
§
puede jugar también un papel importante en la sintonización del observador asintótico.
Efectivamente, si C2
§
no es una matriz única y si algunos parámetros diferentes a la(s)
velocidad(es) de dilución se presentan en la sub-matriz A21, entonces C2
§
puede
utilizarse para ubicar los polos deseados en eW !
y eW +
independientemente de las
condiciones de operación del proceso.
5. El observador por intervalos.
Generalizando el razonamiento que se ha presentado previamente en el caso de
mono-biomasa/mono-sustrato, es relativamente fácil mostrar que se pueden rodear
los estados no medidos de (16), i.e., reconstruir cotas para los estados no medidos
dadas las adecuadas condiciones iniciales. La robustificación de este tipo de
observadores asintóticos (el originalmente presentado por bastin y Dochain [1990]),
en el caso de A diagonal, fue de hecho desarrollado y relativamente fácil establecido
por Rapaport y Harmand [1998]. Sin embargo, cuando la matriz A del modelo (16) no
es diagonal, el problema es menos obvio porque el observador asintótico asociado se
escribe en esta ocasión de una forma diferente (como ha sido enfatizado en la sección
precedente). Es entonces necesario utilizar de nuevo la teoría de sistemas cooperativos

para sintetizar un observador por intervalos para una clase de sistemas más generales.
Diseño de los observadores por intervalos. La teoría de los observadores por
intervalos fue introducida por primera vez por Rapaport y Harmand [1998],
estableciendo que, una condición necesaria para diseñar tales observadores por
intervalos es que exista un observador con entradas conocidas (i.e., cualquier
observador que puede diseñarse si b(t) es conocido). Si tal observador existe y si b(t)
es desconocido (i.e., solo se conocen las cotas inferior y superior), la estructura de
este observador puede utilizarse para construir un observador por intervalos. En esta
sección, el primer requisito se cubre eligiendo un observador asintótico como basa
para la estructura por intervalos. Ciertamente, además de ser un observador de
entradas conocidas, el observador asintótico tiene la propiedad de ser robusto ante
incertidumbres o no linealidades (i.e., permite la cancelación exacta de los términos no
lineales).
Por otro lado, la característica principal de los observadores por intervalos es el uso
de la propiedad de cooperatividad antes mencionada, que debe cumplirse en la
dinámica de la estimación del error. Ahora, suponga que las hipótesis H1f-g se
satisfacen. Esto significa que, por un lado, están disponibles algunas cotas para las
condiciones iniciales y, por otro, b(t) se considera en lo siguiente como no medido, pero
alguna cota inferior y superior – posiblemente variante en el tiempo – es conocida. En
tal situación, nótese que el modelo (16) no puede ser observable. Como consecuencia,
no es posible diseñar observadores asintóticos tales como (19). Sin embargo, su
estructura básica exponencialmente estable y su propiedad de ser independiente de
las no linealidades se puede utilizar. La idea principal desarrollada en lo subsiguiente
es diseñar un observador con conjunto-valuado para construir los intervalos
garantizados para las variables no medidas en lugar de estimarlos precisamente.
Entonces, considera la siguiente proposición.
Proposición 2. Considere que el siguiente sistema dinámico:
Para la cota superior:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
2
1
1 1 2 2
0 0
w t W t w t X t x t Nv t
w Nx
x t N w t N x t
+ + +
+ +
+ ! +
= + +
=
= !
&
Para la cota inferior: (21)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
2
1
1 1 2 2
0 0
w t W t w t X t x t Nv t
w Nx
x t N w t N x t
! ! !
! !
! ! !
= + +
=
= !
&
con ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1
2 2 2 22 2
T
v t b t b t b t b t b t± ± + ! + !
" #= + ± !$ % , 2 2,ijN N! "= # $
% y 1 2 2M N N N! "= # $
%M M .
Si We(t) = N1
–1
W(t)N1 es cooperativa entonces, bajo las hipótesis H1-H3, el sistema
dinámico (21) es un observador por intervalos estable y robusto para el sistema (16) y
garantiza que x1
–
(t) ≤ x1(t) ≤ x1
+
(t) dado que x1
–
(0) ≤ x1(0) ≤ x1
+
(0).
Prueba. Sean e+
= x1
+
– x1 y e–
= x1
–
– x1 los errores de observación asociados a (21) que
están relacionados a las variables de estado no medidas para las cotas inferior y
superior, respectivamente. Por simplicidad, la notación e*
se utiliza en lo subsiguiente
para representar cualquiera de los errores e+
o e–
ya que sus dinámicas tiene la misma

estructura matemática. Entonces, es sencillo verificar que:
( )* * *
e W t e V= +& (22)
con V*
= N1
–1
(Mv+
– Nb) en el caso de la cota superior y V*
= N1
–1
(Nb – Mv–
) en el caso de la
cota inferior y donde We(t) es estable debido a la hipótesis H3. Es obvio (cuando se
consideran las definiciones de e+
y e–
) que si la hipótesis H1f se cumple, entonces
e*
(0) ≥ 0. Por lo tanto, la positividad de V*
se garantiza por la hipótesis H1g y la
elección de N1 = kIs como se establece en la Nota 1. Así, a partir de la hipótesis H3 y la
aplicación del Lema 1, el sistema (22) es cooperativo y estable. Por lo tanto, se
garantiza que e*
≥ 0, ∀t ≥ 0 y por lo tanto, x1
–
(t) ≤ x1(t) ≤ x1
+
(t), ∀t ≥ 0.
Sin embargo, se debe notar que normalmente el observador por intervalos (21) no
puede sintonizarse. De hecho, debido a que el observador por intervalos está
estructuralmente basado en la versión asintótica, tiene los mismos inconvenientes,
i.e., cuando la sub-matriz A21 es idénticamente nula, la velocidad de convergencia
depende exclusivamente de las condiciones de operación del proceso. También se debe
tomar en cuenta que, en el estado estacionario, la amplitud del intervalo obtenida para
cada estimación del estado es una función de la amplitud correspondiente al intervalo
de las entradas del proceso. Considerar intervalos grandes en las entradas del proceso
producirá intervalos grandes en los estados estimados. Así, en las situaciones prácticas
relacionadas con la hipótesis H1g, es entonces deseable considerar intervalos tan
pequeños como sea posible en las entradas del proceso.
Observadores asintóticos modificados [Alcaraz-González, 2005]. Con el propósito de
acelerar la convergencia de los esquemas de estimación derivados de la teoría de los
observadores asintóticos se han popuesto una gran variedad de algoritmos de
corrección de ganancias que se pueden ajustar bajo diferentes propuestas de
modificación. Por ejemplo, si se considera la transformación z4(t) = Ñ(t)x(t), donde
( ) nn
t
~ !
"# 1
N , tal que
( ) ( )[ ]21 NÈNN tt
~
=
Nuevamente las matrices N1 y N2 corresponden a las del observador asintótico clásico,
y la matriz de Ganancias Q(t) es ahora función del tiempo.
El nuevo sistema observador obtenido a partir de esta nueva transformación, queda
descrito de la siguiente manera (Alcaraz González, et al., 2005):
( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )!
"
!
#
$
%=
=
++++=
&
%
tttˆtˆ
ˆ
~
ˆ
t,tt
~
tttˆtt,tˆ
~
ttˆ
yNÈzNx
xNz
ubNyYzZxfCNÈCNz
24
1
11
4
44422114
4 000
&
(23)
donde

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 242221214
1
12121114
NÈZÈuANÈuANY
NuANÈuANZ
tttt,ttt,tt
t,ttt,tt
!++=
+= !
&
6. Un caso de estudio: Un proceso de tratamiento de aguas residuales.
La digestión anaerobia (DA) es una serie del procesos biológicos multi-sustrato
multi-organismos que se lleva a cabo en la ausencia de oxígeno y mediante la que
materia orgánica (expresada en DQO, la demanda química de oxígeno) es
descompuesta y convertida en biogás, una mezcla de principalmente dióxido de
carbono y metano, biomasa microbiana y materia orgánica residual [19]. Se han
reconocido muchas ventajas a los procesos de DA cuando se utiliza para PTAR’s: alta
capacidad para tratar sustratos lentamente degradables a altas concentraciones, muy
baja producción de lodos, potencial para la producción de metabolitos intermediarios
valiosos, bajos requerimientos de energía y la posibilidad de recuperar energía
mediante la combustión de metano. La DA es ciertamente una de las opciones más
prometedoras para producir agentes transportadores de energía renovables
alternativa, tales como el hidrógeno, a través de la conversión del metano, directa
producción de hidrógeno o conversión de subproductos. Sin embargo, a pesar de estos
grandes intereses y pocos miles de instalaciones comerciales referenciados en el
mundo [65], muchas industrias todavía están renuentes a utilizar procesos de DA,
probablemente por su contraparte de su eficiencia: se pueden volver inestables bajo
ciertas circunstancias. De esta forma, actualmente los objetivos de investigación no
solo se extienden al potencial de la digestión anaerobia, sino también a la optimización
de los procesos de DA e incrementar su robustez ante disturbios [van Lier, et al.,
2001]. El diseño de estimadores de estado eficientes claramente va en estas dos
direcciones ya que la instrumentación es usualmente escasa a escala industrial.
Modelo de la digestión anaerobia. En lo subsiguiente, un modelo de un proceso de
digestión anaerobia llevado a cabo en un reactor continuo de lecho fijo para el
tratamiento de vinazas proveniente de destilerías de vino se considera [Bernard, et al.,
2001]:
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )2
1 1 1
2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 1 1 3 2 2
7 8 2 4 1 1 5 2 2
i
i
i
i
TI TI TI CO TI
X D X
X D X
Z D Z Z
S D S S k X
S D S S k X k X
C D C C k k P Z C S k X k X
µ !
µ !
µ
µ µ
µ µ
= "
= "
= "
= " "
= " + "
= " + + " " + +
&
&
&
&
&
&
(24)
donde X1, X2, S1, S2, y CTI, son respectivamente, la concentraciones de bacterias
acidogénicas, bacterias metanogénicas, DQO, ácidos grasos volátiles (AGV) y carbono
total inorgánico. La variable Z está relacionada con la alcalinidad total y representa la
suma de los iones fuertes en el medio. En un equilibrio químico a pH 7 es razonable
suponer que Z = S2 + HCO3
–
donde HCO3
–
es la concentración de bicarbonato. Se supone
que ningún otro ión influye significativamente en Z. La variable D = D(t) es la tasa de
dilución. En todos los casos, el superíndice i indica “concentración de entrada”. Para un
reactor de lecho fijo, la biomasa se encuentra fija en un soporte. Por lo tanto no se ve

tan afectada por la tasa de dilución como en un reactor continuo. No obstante algunas
bacterias son desprendidas por el flujo del líquido. Este efecto se puede incorporar en
el modelo hidrodinámico de la biomasa si se considera que solo una fracción a de la
biomasa es afectada por la dilución. El parámetro α (0 ≤ α ≤ 1) refleja la heterogeneidad
del proceso: α = 0 corresponde a un reactor de lecho fijo ideal, mientras que α = 1
corresponde a un CSTR ideal.
Como en cualquier otro balance de masa para bioprocesos, se presenta un
comportamiento cinéticos fuertemente no lineal debido a las tasas de reacción que
están dadas por:
1 2 2
1,max 1 0 2
1 2 2
1 2 2
y
/S S I
S S
S K S K S K
µ µ
µ µ! !
+ + +
(25)
La presión parcial de CO2 2COP se expresa como una función de los estados como:
[ ]
2
2
8 2
8
4
2
T
CO
k P CO
P
k
! " ! "
= (26)
con [ ] 2
7
2
2 8
tk Xl
T k
CO k P
µ
! = + + y [CO2] = CTI + S2 – Z.
Las definiciones de los parámetros y sus valores se enlistan en la Tabla 1. Por
simplicidad en la notación, la dependencia del tiempo en las variables de estada así
como en la tasa de dilución D y en la presión parcial de CO2 2COP se han omitido en las
ecuaciones (24) a (26).
Los observadores no lineales desarrollados en las secciones anteriores pueden
aplicarse al modelo dinámico del proceso (24) definiendo el vector de estado de la
siguiente forma:
1 1 3 5
2 2 4 6 2
TI iX C S
X Z S
! ! !
! ! !
= = =
= = =
Así, el modelo (23) toma la siguiente forma matricial:
( )
111
22
4 5 37 7 73 1 1
44 2 2
1 55
2 3 66
1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
DD
D
k k D k k k
D
k D
k k D
!!"!
!"!
!! µ !
!! µ !
!!
!!
# $ %# $ # $# $
& ' & ' & '& '%& ' & ' & '& '
& ' & ' & '& '# $ % + %
= + +& ' & ' & '& '& '
%& ' & ' & '( ) & '
& ' & ' & '& '% %
& ' & ' & '& '
% %& '& ' & '& ' ( )( ) ( )( )
&
&
& &
&
&
&
2
2
3 7 8
4
5
6
i
i
i
CO
i
i
i
D
D k k P
D
D
D
!
!
!
!
!
# $
& '
& '
& '+
& '
& '
& '
& '
& '( )
(27)
o simplemente ( )( ) ( ) ( ) ( ),Cf t t A t t b t! ! != + +& que es idéntico al modelo (16) con x(t) =
x(t).

Tabla 1. Parámetros del modelo de la digestión anaerobia
Parámetro Significado Valor
k1 Coeficiente de rendimiento para la degradación de DQO 12.1 kg DQO/kg X1
k2 Coeficiente de rendimiento para la producción de ácidos
grasos
181.2 mol AGV/kg X1
k3 Coeficiente de rendimiento para el consumo de ácidos
grasos
1640 mol AGV/kg X2
k4 Coeficiente de rendimiento para la producción de CO2
debida a X1
169 mol CO2/kg X1
k5 Coeficiente de rendimiento para la producción de CO2
debida a X2
273 mol CO2/kg X2
k6 Coeficiente de rendimiento para la producción de CH4 1804 mol CH4/kg X2
k7 Velocidad de transferencia gas/líquido 200 d–1
k8 Constante de Henry 0.2201 mol
CO2/m3
kPa
a Proporción de la tasa de dilución para las bacterias 0.5 (adimensional)
1,maxµ Velocidad máxima de crecimiento para la biomasa
acidogénica
1.25 d–1
m0 Velocidad máxima de crecimiento para la biomasa
metanogénica
0.85 d–1
1SK Parámetro de saturación asociado con S1 7.65 kg DQO/m3
2SK Parámetro de saturación asociado con S2 18 mol AGV/m3
2IK Constante de inhibición asociada con S2 25 (mol AGV/m3
)1/2
PT Presión total en el reactor 105.72 kPa
Diseño de los observadores. A partir del modelo (27) es muy simple aplicar los
observadores (19) y (21) descritos en las secciones anteriores. De (27), es claro que
rango C = 2. Por lo tanto, a partir de la hipótesis H2, solo un mínimo de los mediciones
son requeridas para reconstruir el estado del proceso de DA. Así, de aquí en adelante,
las dos concentraciones de sustrato S1 y S2, se utilizarán para estimar X1, X2, CTI, y Z.
Así, A se particiona de la siguiente forma
( )
( )11 12 7 7 7
21 22
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
D
D
A A D k k k
A t D
A A
D
D
!
!
"# $
% &"% &
% &" + "# $
% &% &= ' = "% &% &
% &% & '( ) % &
"% &
% &"% &( )
M
M
M M
L L M
M L L L L L L
M
M
(28)
Nótese que en (28) la única variable dependiente del tiempo es la tasa de dilución D.
En los cuatro ejemplos desarrollados en esta sección, D fluctúa entre 0.05 ≤ D(t) ≤ 1.15.
Entonces, de acuerdo con la hipótesis H1e, A–
= A|D = 1.15 y A+
= A|D = 0.05. Sin pérdida
de generalidad y de acuerdo con la Nota R1, N1 puede elegirse arbitrariamente como N1

= I4. Así, N toma la forma:
[ ]
( )
1 3 3
1 3 2 1
1 2
1 3 3 4 2 5 1 51 3
1 3
0 0 0 0
0 0 01
0 0 0
0 0 0 0 0
k k k
k k k k
N N N
k k k k k k k kk k
k k
! "
# $
# $= =
# $+
# $
# $% &
M
M
M
M
M
(29)
Es fácil verificar que W(t) y We(t) se describen por:
( ) ( )
( )7 7
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0 0
e
D
D
W t W t
D k k
D
!
!
"# $
% &"% &= =
% &" +
% &
"% &' (
(30)
Nótese que la hipótesis H3a se satisface automáticamente. Más aún, debido a la
hipótesis H1e es posible encontrar dos matrices eW !
y eW +
tales que 1.15e e D
W W!
=
= y
0.05e e D
W W+
=
= , respectivamente. Es obvio que la hipótesis H3b también se satisface.
Entonces, claramente el Lema 1 y las proposiciones P1 y P2 se cumplen. Finalmente,
es fácil verificar que X(t) y M tiene las siguientes estructuras:
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
3
2 1
1 3 3 4 2 5 7 1 7 5 3
1 0
1 11
0 0
k D t
k D t k D t
X t
k k k k k k k k k k k
!
! !
"# $
% &
" "% &=
% &+ "
% &
% &' (
(31)
( ) ( )
1 3 3 3
1 3 2 1 2 1
1 3 3 4 2 5 1 5 3 4 2 5 1 51 3
1 3
0 0 0 0 0
0 0 01
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
k k k k
k k k k k k
M
k k k k k k k k k k k k k kk k
k k
! "
# $
# $=
# $+ +
# $
# $% &
(32)
Por lo tanto, utilizando (29) a (32), los observadores quedan exactamente
establecidos como en las ecuaciones (19) y (21) respectivamente.

Fig. 1. Representación esquemática del bioreactor anaerobio de lecho fijo
Ejemplo 1 Aplicación del observador asintótico en una planta de digestión
anaerobia real
El observador asintótico se probó en una plante piloto experimental con un reactor
anaerobio de lecho fijo con flujo ascendente de 1 m3
utilizado para el tratamiento de
vinazas industriales de una destilería de vino obtenidas de las destilerías locales en el
área de Narbonne (Francia) (ver la Figura 1). Estas corridas experimentales se llevaron
a cabo durante un periodo de 35 días. Las mediciones de la tasa de dilución así como
las concentraciones de S1 y S2 y la presión parcial de CO2 se realizaron en línea (ver las
Figuras 2 a 5).

Fig. 2. Mediciones experimentales en línea de D Fig. 3. Concentración experimental en línea del
efluente S1
Fig. 4. Concentración experimental en línea del
efluente S2
Fig. 5. Mediciones experimentales en línea de la
presión de CO2
Fig. 6. Concentración experimental del influente
S1
Fig. 7. Concentración experimental del influente
S2

Fig. 8. Concentración experimental del influente Z Fig. 9. Concentración experimental del influente
CTI
Fig. 10. Estimación de la concentración de las
bacterias acidogénicas
Fig. 11. Estimación de la concentración de las
bacterias metanogénicas

Fig. 12. Estimación de la concentración de Z:
(- -) estado estimado, () mediciones
experimentales en línea
Fig. 13. Estimación de la concentración de CTI:
(- -) estado estimado, () mediciones
experimentales en línea
Los resultados de la estimación para los estados no medidos se describen en las
Figuras 10 a 13. Nótese que estas corridas experimentales fueron perturbadas con
ruido experimental verdadero en las concentraciones de entrada, la tasa de dilución y
los estados medidos. A pesar de estas perturbaciones, el observador asintótico mostró
excelentes propiedades de convergencia y estabilidad ya que fue capaz de estimar, con
una exactitud razonablemente buena, los estados no medidos exhibiendo un
comportamiento no divergente.
Ejemplo 2 Aplicación del observador por intervalos en una planta de digestión
anaerobia real
El observador por intervalos fue finalmente probado en línea en una serie de
corridas experimentales conducidas durante un periodo de 35 días en la planta piloto
anaerobia con reactor de lecho fijo. Los parámetros utilizados se enlistan en la Tabla 4.
Para la implementación experimental del observador se consideraron desconocidas las
concentraciones de entrada y solo se suministró una región frontera conocida para el
observador por intervalos. Las Figuras 14 a 16 presentan los correspondientes
intervalos para 1
i
S y 2
i
S y i
Z , respectivamente.
Para propósitos de comparación y para mostrar que la hipótesis H1g se cumple, las
lecturas fuera de línea (tomando un periodo de muestreo regular) de estas entradas se
han agregado. Cabe mencionar que este conjunto de datos no fue utilizado en la
implementación en línea del observador por intervalos. i
TIC , 1
i
X y 2
i
X de nuevo se
supusieron despreciables. Los datos experimentales reales para la tasa de dilución,
D(t), así como la presión parcial de CO2, que se midieron en línea en la planta piloto,
también se han introducido en los cálculos del observador por intervalos. Estas lecturas
en línea se describen en las Figuras 17 y 18, respectivamente. Las mediciones de la
concentración de sustratos S1 y S2 (mostradas en las Figuras 19 y 20) se obtuvieron a
partir de muestreos en línea.

Fig. 14. Concentración de entrada 1
i
S : ()
cotas, (o) lecturas fuera de línea
Fig. 15. Concentración de entrada 2
i
S : () cotas,
(o) lecturas fuera de línea
Fig. 16. Concentración de entrada Z‘: () cotas,
(o) lecturas fuera de línea
Fig. 17. Mediciones en línea de la asa de dilución
Fig. 18. Mediciones en línea de la presión parcial de
CO2.
Fig. 19. Medición en línea la concentración de
salida de la DQO

Fig. 20. Medición en línea de la concentración de
AGV
Fig. 21. Concentración de la alcalinidad: () cotas
superior e inferior estimadas, (o) lecturas fuera de
línea
Fig. 22. Concentración de la alcalinidad: () cotas superior e inferior estimadas, (o) lecturas fuera de
línea
Las Figuras 21 y 22 muestran los resultados de la estimación para los intervalos de
los estados no medidos CTI y Z. Nótese como las cotas estimadas por el observador por
intervalos encierra correctamente estos estados no medidos. Para los otros estados no
medidos, nótese que a pesar de que el diseño del observador por intervalos no permite
sintonizar la velocidad de convergencia, este observador muestre excelentes
propiedades de robustez y estabilidad y suministra resultados de estimación
satisfactorios incluso con mediciones altamente corrompidas y fallas operacionales.
Nótese en particular, la robustez del observador por intervalos alrededor del día 25
cuando las concentraciones de entrada aumentan drásticamente y cuando ocurre un
disturbio mayor al día 31, debido a una falla operacional, resultando en una rápida
caída de, la tasa de dilución (que en realidad cae a cero) y las lecturas de las
concentraciones de sustrato. Las lectura fuera de línea del CTI y Z (no utilizadas en los
cálculos de la estimación de estado) también se agregan a las gráficas para validad el
diseño del observador propuesto (ver Figuras 21 y 22). Se debe notar que el

compromiso entre la velocidad de convergencia y la robustez no se logra
completamente hasta que la dinámica del error estimado alcanza el estado
estacionario.
7. Regulador robusto de retroalimentación.
Se recuerda que el objetivo es regular la concentración de DQO, s(t), alrededor de
un cierto punto de control ssp. Nótese que, a primera vista, la hipótesis H1 sugiere un
ambiente fuertemente incierto. Además, incluso si el observador por intervalos (3) no
necesita del conocimiento de la cinética, un conocimiento mínimo de sus parámetros,
expresado en intervalos, se necesitará (Cf., la hipótesis H1a y la Tabla 1). A
continuación se introduce una hipótesis razonable:
Hipótesis H2:
a) ( ) ( )( ) 00 >!!
stsin
b) ( )( ) 0>!!
sp
in
sts
Así, bajo las suposiciones A1, y las hipótesis H1 y H2 y utilizando los intervalos
garantizados de x(t) obtenidos a partir del observador por intervalos (21), es posible
demostrar (Rapaport y Harmand, 2002) que la siguiente ley de retroalimentación de la
salida estabiliza exponencialmente a s(t) alrededor de ssp para cualquier l > 0
suficientemente pequeño mientras l (la ganancia del controlador) y d (el parámetro de
saturación) aseguran que D(t) > d > 0 ∀t.:
!
D t( ) " D#
t( ) =
µmax
#
s t( )
kS
#
+ s t( )
$#
t( )% & s t( )% ssp( )
sin#
t( )% s t( )
(33)
con ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
max
max
max
ˆ, , , si
, , ,
ˆ, , , si
in
S spin
S in
S sp
k t s t s t s
k t s t
k t s t s t s
µ !
µ !
µ !
" + " +
+ " + "
# # # #
$ %&
= '
<&(
(34)
( )
( )[ ] ( ) ( )sp
in
sp
insp
in
spS
spmax
ssss
s,smaxs
,ˆmin
sk
s
!
"
"
#
$
!!
%
%
&
'
(
(
)
*
+
+
,
- !
+
. +
!
+
!
/
0
1
µ
2
0
0
(35)
!
" <
µmax
#
ssp
kS
+
+ ssp
min ˆ$#
0( ),
s
in
# max ssp,s 0( )[ ]
%+
&
'
(
(
)
*
+
+
sin
# max ssp,s 0( )[ ]
(36)
Es importante resaltar que la ley de regulación (33) no es continua en s(t) = ssp, i.e.,
dependiendo de los disturbios y las incertidumbres, puede conducir a un control con
“chattering” a través del arco s(t) = ssp entre los dos valores
!
D"1
t( ) (i.e.
!
D"
t( ) para
s(t) > ssp) y
!
D"2
t( ) (i.e.
!
D"
t( ) para s(t) < ssp). Para evitar el efecto de estas

discontinuidades, se introduce la siguiente modificación a la ley de control que resulta
en una retroalimentación continua que estabiliza “prácticamente” el sistema. Para
alguna constante e > 0, la siguiente ley de retroalimentación de la salida estabiliza el
sistema entre (ssp - e) y (ssp + e):
!
D"
#
t( ) =
D#1
t( ) if s t( ) > ssp + "
D#1
t( )
s t( )$ ssp + "( )
2"
+ D#2
t( )
ssp + " $ s t( )( )
2"
if s t( )$ ssp % "
D#2
t( ) if s t( ) < ssp $"
&
'
(
(
)
(
(
(37)
Alvarez-Ramirez et al., (1996) han mostrado que una ley de control todo-nada
(on-off) o una ley de control proporcional pueden producir resultados de regulación
satisfactorios sin utilizar cualquier estimador e ignorando la dinámica de la variable
regulada. Sin embargo, esta metodología ha mostrado proporcionar acciones de
control más grandes que no pueden utilizarse en la mayoría de las aplicaciones
prácticas. En la metodología que se ha presentado, hemos utilizado, tanto como es
posible, el conocimiento parcial acerca de la estructura de la dinámica y las
incertidumbres para diseñar la ley de control para producir una respuesta más
razonable con una magnitud práctica que garantiza la estabilidad exponencial del
proceso.
Ejemplo 3. Aplicación en una planta piloto.
En esta sección ilustramos las ventajas de la ley regulatoria robusta SISO basado en
intervalos (RI) que controla la concentración de DQO de un reactor anaerobio de lecho
fijo con corriente ascendente de 1 m3
para el tratamiento de vinazas de la industria
destiladora de vino obtenidas de las destilarías locales en el área de Narbonne, Francia
(Steyer et al., 2002). Nosotros probamos la ley RI en las situaciones industriales
típicas: a) en el evento de cambios en escalón del punto de control y, b) en presencia
de perturbaciones drásticas inducidas en la carga orgánica. Para estas aplicaciones,
elegimos l = 0.5833 h-1,
e = 0.15, y utilizamos los intervalos de incertidumbre para
mmax y ks reportados en la Tabla 2. Los resultados, en ambos casos de aplicación, se
muestran en las Figuras 23 y 24, respectivamente, que muestran particularmente las
siguientes variables en el transcurso del tiempo:
a) La concentración de entrada del DQO, sin
. Las cotas utilizadas para sin
se representan
con líneas sólidas. La mediciones fuera de línea (denotadas por –o–) se realizaron
utilizando métodos estándar solo para validar lo selección del intervalo garantizado
para la concentración de sin
(Cf., la hipótesis H1e).
b) El término Yx!" estimado por el observador por intervalos (21) (línea sólida). Las
predicciones del modelo (línea punteada) obtenida utilizando los parámetros
nominales reportados en la Tabla 1 se presenta solo para validad el observador por
intervalos.
c) La tasa de dilución, D(t), (i.e. la variable manipulada). La línea negra representa la
señal dada por las ecuaciones (33) a (36) y la línea gris representa la señal
obtenida a partir del flujo medido.

d) La concentración de salida de s (i.e., la variable regulada) y su región de control
(tubo de control) especificada por e.
Caso 1: Cambios en escalón en el punto de control. En esta aplicación, sin
se mantuvo
constante para el experimento complete (ver Figura 23a). Al comienzo de esta corrida,
el proceso operaba a lazo abierto (i.e. sin control) hasta la 18ª hora cuando se aplica
la ley de control RI (ver Figuras 23c-d). Los saltos en escalón a la referencia se
efectuaron en varios instantes (ver Figura 23d). a) De 1 a 1.5 a 35 horas y de regreso
a 1 a 40 horas y, b) de 1 a 1.5 a 84 horas y se mantuvo en este valor para el restos de
la corrida experimental. La respuesta del controlador se presenta en la Figura 1d
donde se puede ver que la concentración de salida de la DQO, s, se lleva rápidamente
hacia el tubo de control una vez que el lazo de control se cerró y justo después de la
introducción de los saltos en escalón para la referencia. Estos es posible mediante la
manipulación de la tasa de dilución que exhibió un comportamiento bastante suave
(ver Figura 23c). Nótese en particular, el excelente desempeño de la ley de control
durante el intervalo de tiempo entre la 58ª y la 65ª hora cuando los datos en línea se
perdieron debido a un problema técnico con la fuente de energía que resulto en la
pérdida total de comunicación con el biorreactor y los dispositivos de control. Durante
este corto intervalo de tiempo el proceso operó a lazo abierto pero una vez que la
comunicación fue restablecida, la ley de regulación condujo a s de regreso al tubo de
control.
Caso 2: Perturbaciones en la concentración de entrada. La robustez de la ley RI se
puso a prueba ante disturbios en las condiciones de entrada de la DQO (i.e. sin
). En
esta corrida experimental, inicialmente se alimentó el biorreactor con vinazas diluidas
con agua (50:50 en volumen). Entonces, sin
se incrementó gradualmente hasta
alcanzar la concentración final de vinazas puras, 30 kg/m3
(ver Figura 24a). Los
intervalos garantizados elegidos para esta aplicación fueron: 12 kg/m3
±10% para las
primeras 21 horas, 13 kg/m3
±15% para el intervalo de 21-40 horas, t 22 kg/m3
±50% cuando se alimentaron al reactor las vinazas puras a las 67ª horas. La Figura
24d describe la excelente respuesta de la ley RI que mantiene la concentración de
salida de la DQO dentro del tubo de control. Nótese, en particular, el curso de los
resultados de la estimación de x cuyo intervalo estimado incrementa para compensar el
efecto de la creciente incertidumbre inducida al alimentar vinazas puras (ver Figura
24b). Por inspección de la Figura 24c, se puede apreciar más claramente el efecto de,
la mayor incertidumbre de sin
y el consecuente incremento de la incertidumbre de x en
la variable manipulada, que mostró un comportamiento on-off durante este periodo de
tiempo. Sin embargo, la excursión de D(t) hacia magnitudes no manipuladas mayores
se previno gracias a la ley de control RI “práctica” que además corrigió el
comportamiento on-off una vez que la incertidumbre de sin
se redujo hacia el final de la
corrida experimental.
Tabla 2 Parámetros del modelo y su incertidumbre utilizados para la corrida
experimental
PARÁMETRO Valor nominal Incertidumbre
Y (Kg X1/ Kg COD) 0.0116 Desconocido
a (adimensional) 0.3 0.25≤a≤0.35
µmax ( h -1
) 0.0541 0.0541≤µmax≤0.0583
ks ( Kg COD/m3
) 3.7202 3.6≤ ks ≤3.8
Finalmente recordemos que no hemos enfocado en la regulación de la DQO y por lo
tanto hemos utilizado principalmente el modelo de la fase acidogénica mientras el

efecto de la fase metanogénica no se tomó en cuenta explícitamente para esta
aplicación; tal efecto se incluyó en la incertidumbre asociada a los términos cinéticos
de la fase acidogénica. Por otro lado la estabilización práctica proporcionada por la ley
RI no se restringió a s ya que la concentración de ácidos grasos volátiles, la
composición del gas metano y la alcalinidad también alcanzaron sus respectivos
valores en estado estacionario. Estos resultados no se muestran en este trabajo.
Figura 23. Resultados experimentales del
Caso 1.
Figura 24. Resultados experimentales del
Caso 2.
Tiempo (h) Tiempo (h)

8 La solución integral via internet del problema de control de la
digestión anaerobia.
El grupo de investigación del autor ha estado involucrado en la solución integral del
problema de control de la digestión anaerobia incorporando nuevas metodologías,
obtenidas del área de la tecnología de la información y la comunicación. El proyecto
Telemonitoring and Advanced Telecontrol of High Yield Wastewater Treatment Plants
(TELEMAC) financiado por la Unión Europea (en el cual el grupo de investigación de la
Universidad de Guadalajara está involucrado) propone un sistema avanzado de gestión
remota, capaz de administrar múltiples plantas de tratamiento de aguas residuales que
no posean un experto a nivel local.
El proyecto TELEMAC consiste en diseñar un sistema modular y confiable de apoyo
para el telemonitoreo y telecontrol a distancia de pequeñas unidades de tratamiento de
aguas residuales que no poseen un experto a nivel local. El proyecto se enfoca
específicamente en una tecnología re-emergente; es decir, los procesos de tratamiento
anaerobio de aguas residuales (PTAAR). Esta tecnología presenta ventajas interesantes
en comparación con el tratamiento aerobio tradicional: gran capacidad para degradar
altas concentraciones de sustratos lentamente degradables, baja producción de lodos,
bajos requerimientos energéticos y, en algunos casos, recuperación de energía
mediante combustión de metano. Sin embargo, a pesar de estas ventajas, en la
industria existen muy pocas plantas de tratamiento anaerobio, probablemente porque
como contraparte de su eficiencia, el proceso de digestión anaerobia se puede volver
inestable en presencia de algunos disturbios, tales como cambios en la cantidad o
calidad del agua residual a ser tratada, conduciendo a una desestabilización del
proceso debido a la acumulación de componentes intermediarios que provocan la
eliminación de la biomasa (Verstraete y Vandevivere, 1999; Van Lier et al., 2001). En
este caso se necesitan varias semanas o inclusos varios meses para que el proceso se
recupere y, durante este periodo, no se puede realizar tratamiento biológico en la
unidad. Como consecuencia, esta tecnología no podría funcionar sin la presencia de un
experto a nivel local.
No obstante, las ventajas del esquema de reacción de la digestión anaerobia
justifican ampliamente un mayor uso de esta tecnología a pesar de la inconveniente
necesidad de la continua y eficiente supervisión de las plantas por parte de los
usuarios finales. Por lo tanto resulta un gran reto para las ciencias computacionales y
de control hacer que este proceso sea más confiable y factible a escala industrial. La
reducción de la contaminación generada por un amplio conjunto de unidades
industriales es de vital importancia. En particular esto es verdad para ciertas industrias
y contaminantes tales como las industrias vinícolas o las destilerías ya que el
tratamiento de las vinasas y aguas residuales alcohólicas es muy difícil. Además, este
tipo de aguas residuales tienen un profundo impacto ambiental y son producidas por
muchos usuarios alrededor del mundo. Debido a la alta concentración de carbono
orgánico (por ejemplo una fábrica de Tequila de tamaño medio produce una
contaminación equivalente a 125 00 habitantes) y a la lenta degradación de los
efluentes de bebidas alcohólicas, la digestión anaerobia es una buena opción. Sin
embargo, las vinasas se producen frecuentemente en unidades pequeñas y/o aisladas
(especialmente los SMEs) que tienen su propia planta de tratamiento, pero que no
puede pagar un experto para monitorearla. Es claro que los productores de vinos y
bebidas alcohólicas necesitan un sistema de tratamiento eficiente y confiable, capaz de
funcionar a pesar de disturbios frecuentes y sin contar con un experto a nivel local.

Esto mejoraría la calidad de sus procesos de tratamientos, reduciría los costos de
tratamiento y permitiría obtener productos derivados más valiosos.
TELEMAC es un proyecto europeo patrocinado por un programa de la Sociedad
Europea de Tecnologías de la Información (IST) (i.e., proyecto IST-2000-28156)
coordinado por el ERCIM (Francia) y el INRIA (Francia) que comenzó en Septiembre de
2001 incluyendo 15 socios (INRA (Francia), AppliTek (Bélgica), Univ. Gent (Bélgica),
Univ. Santiago de Compostella (España), Univ. Louvain-la-neuve (Bélgica), RAL (Reino
Unido), SPES (Italia), ENEA (Italia), Agralco (España), Lemaire (Francia), Universidad
de Guadalajara (México), Sauza (México), Allied Domecq (Reino Unido)).
El proyecto se enfoca específicamente en el tratamiento de vinasas. Para mejorar
este proceso de telemonitoreo, primero se han desarrollado sensores adicionales que
suministran información en línea de la cantidad y calidad del biogás, los ácidos grasos
volátiles, bicarbonato y alcalinidad. Además de estos instrumentos de medición se
utilizan sensores virtuales que toman los beneficios de modelos desarrollados para
estimar los valores de las variables no medidas que tienen un gran impacto en el
proceso.
Una segunda cuestión para mejorar el desempeño y la estabilidad de los PTAAR
consiste en utilizar estrategias avanzadas de control. Dado que se dispone de una serie
de modelos validados para condiciones normales de operación y también para fallas
específicas, se tiene la base para desarrollar controladores robustos para lograr
estrategias de control óptima en condiciones normales y para recuperar el proceso en
caso de fallas.
Las estrategias avanzadas de control son suministradas por un sistema supervisor
capaz de detectar en tiempo real o tan pronto como sea posible cualquier falla que
pueda ocurrir en cualquier elemento del proceso. Esto significa que un sistema
supervisor automático es capaz de realizar esta tarea para las SME’s que no pueden
pagar un experto local permanente y en donde el análisis puede hacerse por expertos
remotos solo cuando es necesario. Para este último punto, la tecnología de
comunicación a través de computadoras proporciona una nueva herramienta capaz de
mejorar la supervisión del procesos: gracias a los recursos de Internet, un centro
remoto puede colectar y analizar eficientemente los datos de varias planta así como
efectuar un diagnóstico utilizando bases de datos, para que un operador experto pueda
configurar remotamente las pólizas de control de una planta en cualquier momento y
desde cualquier parte del mundo (ver Figura 25). Se ha desarrollado un lenguaje XML
– denominado PlantML – dedicado específicamente para procesos de tratamiento de
aguas residuales para mejorar la modularidad y estandarizar la comunicación entre los
diversos módulos.

9. Conclusiones.
En este trabajo de ingreso a la Academia de Ingeniería, A.C. se ha detallado una
variedad de observadores no lineales útiles para bioprocesos, que son robustos ante un
completo desconocimiento de las no linealidades del sistema así como ante
incertidumbres importantes en las entradas del proceso. Además de las características
del diseño de estos observadores, se han establecido suficientes condiciones para la
existencia, estabilidad y convergencia. Particularmente, el uso de observadores por
intervalos como una herramienta poderosa para el diagnóstico y detección de fallas fue
también introducida. Toda la utilidad de estos observadores no lineales robusto se
manifestó en un caso de estudio completamente real: un digestor anaerobio para el
tratamiento de aguas residuales de efluentes agrícolas. Además, las estrategias más
exitosas para la estimación de parámetros y variables de estado en bioprocesos se han
revisado brevemente y comparado con las dos metodologías. Finamente, se han
presentado y comentado algunas consideraciones relacionadas al futuro inmediato de
estas metodologías cuando se aplican a los PTAR biológicos en general, y en particular
a la digestión anaerobia.
Data base,
data-mining
Expert
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i
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Base de datos,
Cálculos
avanzados
Experto
Proceso
Actuadores
Sensores

10. Referencias.
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