Este documento presenta la teoría de placas y láminas. Explica las hipótesis de Kirchhoff para la flexión de placas delgadas y las ecuaciones que describen las deformaciones y tensiones en una placa. También cubre teorías de orden superior para placas que no cumplen completamente las hipótesis de Kirchhoff y define las fuerzas y momentos resultantes en una placa laminada.

1. PLACAS Y LÁMINAS
Carlos Navarro
Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de
Estructuras
UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID

2. TEORIA DE PLACAS
„ Hipótesis de Kirchhoff:
1.- La rectas perpendiculares al plano medio, antes de que el laminado
se deforme, siguen permaneciendo rectas una vez que el laminado se
haya deformado.
2.- Las rectas perpendiculares al plano medio no experimentan ningún
tipo de deformación longitudinal (el laminado no cambia de espesor)
3.- Las rectas perpendiculares al plano medio permanecen
perpendiculares a la superficie que adquiere dicho plano una vez que
que el laminado flecte.
Por tanto, las secciones planas ortogonales al plano medio del
laminado siguen siendo planas y ortogonales a la superficie que
adquiera dicho plano una vez que el laminado haya flectado.
Hipótesis:

3. „ El comportamiento del material se supone elástico lineal.
„ Las láminas se encuentran trabajando solidariamente unas a otras
„ No existen tensiones fuera del plano de cada lámina (σz= τxz= τyz=0): las
láminas trabajan en condiciones de tensión plana
Hipótesis (Cont.):
TEORIA DE PLACAS

4. { }
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
xy
y
x
N
N
N
N
Vector de cargas (N/m):
x
y
z
Nx
Nx
Ny
Ny
Nyx
Nxy
Nyx
Nxy
TEORIA DE PLACAS

5. { }
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
xy
y
x
M
M
M
M
Vector de cargas (Momentos, N.m/m):
x
y z
Mx
Mx
My
My
Mxy
Mxy
Myx
Myx
TEORIA DE PLACAS

6. M
M
Plano medio
x
y
z
z
Laminado antes de flectar
TEORIA DE PLACAS

7. z
y
x
ρ
ϕ
M
M
Laminado después de flectar
Plano medio
z

8. ( ) ( )
curvatura
xy)
plano
el
por
(definido
medio
plano
el
desde
distancia
anterior
figura
la
en
definido
ángulo
flexión
la
durante
medio
plano
del
curvatura
de
radio
:
donde
=
=
=
=
⋅
=
=
−
+
=
κ
φ
ρ
κ
ρ
ρϕ
ρϕ
ϕ
ρ
ε
z
z
z
z
z
x
DEFORMACIONES POR FLEXIÓN PURA
TEORIA DE PLACAS

9. ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
y
x
w
z
y
x
w
y
w
z
z
y
x
v
z
y
x
v
x
w
z
z
y
x
u
z
y
x
u
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
0
0
0
0
0
=
∂
∂
−
=
∂
∂
−
=
TEORIA DE PLACAS
En definitiva, si se cumplen las tres primeras hipótesis de
Kirchhoff:

10. TEORIA DE PLACAS
2
2
x
w
z
x
u
x
u O
O
x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
ε −
=
=
2
2
y
w
z
y
v
y
v O
O
y
∂
∂
∂
∂
∂
∂
ε −
=
=
y
x
w
z
x
v
y
u
x
v
y
u O
O
O
P
P
xy
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
γ
2
2
−
+
=
+
=
CAMPO DE DEFORMACIONES EN EL LAMINADO:
0
=
z
ε
0
=
xz
γ
x
κ
−
y
κ
−
xy
κ
−
0
=
yz
γ

11. x
y z
Mx
Mx
My
My
Mxy
Mxy
Myx
Myx
TEORIA DE PLACAS
x
y
z
Nx
Nx
Ny
N
y
Nyx
Nxy
Nyx
Nxy
TEORÍA CLASICA DE LAMINADOS

12. TEORIA DE PLACAS
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
κ
ε
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧ 0
D
B
B
A
M
N
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
κ
κ
κ
γ
ε
ε
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
xy
y
x
xy
0
y
0
x
0
66
26
16
66
26
16
26
22
12
26
22
12
16
12
11
16
12
11
66
26
16
66
26
16
26
22
12
26
22
12
16
12
11
16
12
11
xy
y
x
xy
y
x
D
D
D
B
B
B
D
D
D
B
B
B
D
D
D
B
B
B
B
B
B
A
A
A
B
B
B
A
A
A
B
B
B
A
A
A
M
M
M
N
N
N

13. TEORIA DE PLACAS
y
z
H
x
a
b
q(x,y)
¡En una placa laminada podemos tener cargas fuera del plano!

14. ( )
x
Nyx
− ( )
x
Ny
−
( )
x
Qy
−
( )
x
Myx
−
( )
x
My
−
( )
y
Nxy
−
( )
y
Nx
−
( )
y
Qx
−
( )
y
Mxy
−
( )
y
Mx
−
TEORIA DE PLACAS
y
z
( )
y
Nxy
+
( )
y
Nx
+
( )
y
Qx
+
( )
y
Mxy
+
( )
y
Mx
+
( )
x
Nyx
+
( )
x
Ny
+
( )
x
Qy
+
( )
x
Myx
+
( )
x
My
+

15. ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
y
x
w
z
y
x
w
y
x
z
z
y
x
v
z
y
x
v
y
x
z
z
y
x
u
z
y
x
u
y
x
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
0
0
0
=
+
=
+
=
ϕ
ϕ
OTRAS TEORIAS SOBRE LA FLEXIÓN DE LAMINADOS:
Teoría de primer orden: Se cumplen las dos primeras hipótesis
de Kirchhoff pero no la tercera (Las rectas perpendiculares al plano
medio ya no permanecen perpendiculares a la superficie que adquiere
dicho plano una vez que que el laminado flecte)
TEORIA DE PLACAS

16. ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
y
x
w
z
y
x
w
y
x
z
y
x
z
z
y
x
v
z
y
x
v
y
x
z
y
x
z
z
y
x
u
z
y
x
u
x
x
x
x
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
0
2
0
2
0
=
+
+
=
+
+
=
ψ
ϕ
ψ
ϕ
•Teoría de segundo orden: Se cumple sólo la segunda hipótesis
de Kirchhoff
TEORIA DE PLACAS

17. ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
y
x
w
z
y
x
w
y
w
y
x
h
z
y
x
z
z
y
x
v
z
y
x
v
x
w
y
x
h
z
y
x
z
z
y
x
u
z
y
x
u
y
x
x
x
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
0
0
2
3
0
0
2
3
0
3
4
3
4
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
+
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
•Teoría de tercer orden orden (Teoría de Reddy): Se cumple
sólo la segunda hipótesis de Kirchhoff
TEORIA DE PLACAS

18. TEORIA DE PLACAS
TEORÍA CLÁSICA
TEORÍA DE PRIMER ORDEN
TEORÍA DE TERCER ORDEN
PLACA SIN DEFORMAR
90º
Sección

19. y
z
H
x
a
b
q(x,y)
TEORÍA DE PRIMER ORDEN DE PLACAS LAMINADAS
TEORIA DE PLACAS

20. TEORIA DE PLACAS
HIPÓTESIS ADICIONALES:
Placa delgada (H << a,b):
Pequeñas deflexiones (w(x,y)max< H/2):
xy
y
x
yz
xz
z τ
σ
σ
τ
τ
σ ,
,
,
, <<
1
0
0
<<
∂
∂
∂
∂
y
w
x
w
,

21. FUERZAS Y MOMENTOS RESULTANTES EN x = +a/2
y
z
( )
y
Nxy
+
( )
y
Nx
+
( )
y
Qx
+
( )
y
Mxy
+
( )
y
Mx
+
TEORIA DE PLACAS

22. y
z
( )
y
Nxy
−
( )
y
Nx
−
( )
y
Qx
−
( )
y
Mxy
−
( )
y
Mx
−
FUERZAS Y MOMENTOS RESULTANTES EN x = -a/2
x
TEORIA DE PLACAS

23. x
( )
x
Nyx
+
( )
x
Ny
+
( )
x
Qy
+
( )
x
Myx
+
( )
x
My
+
FUERZAS Y MOMENTOS RESULTANTES EN y= b/2
z
TEORIA DE PLACAS

24. x
( )
x
Nyx
− ( )
x
Ny
−
( )
x
Qy
−
( )
x
Myx
−
( )
x
My
−
FUERZAS Y MOMENTOS RESULTANTES EN y= -b/2
z
y
TEORIA DE PLACAS

25. ( )
( )
( )
( ) ∫
∫
∫
∫
−
−
−
+
−
−
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
:
caras
las
en
normales
Fuerzas
H
H
H
H
H
H
H
H
dz
z
b
x
x
N
dz
z
b
x
x
N
dz
z
y
a
y
N
dz
z
y
a
y
N
y
y
y
y
x
x
x
x
,
,
,
,
,
,
,
,
σ
σ
σ
σ
RESULTANTES:
TEORIA DE PLACAS

26. ( )
( )
( )
( ) ∫
∫
∫
∫
−
−
−
+
−
−
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
:
plano)
el
(en
caras
las
en
les
tangencia
Fuerzas
H
H
H
H
H
H
H
H
dz
z
b
x
x
N
dz
z
b
x
x
N
dz
z
y
a
y
N
dz
z
y
a
y
N
yx
yx
yx
yx
xy
xy
xy
xy
,
,
,
,
,
,
,
,
τ
τ
τ
τ
RESULTANTES:
TEORIA DE PLACAS

27. ( )
( )
( )
( ) ∫
∫
∫
∫
−
−
−
+
−
−
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
:
caras
las
en
flectores
Momentos
H
H
H
H
H
H
H
H
zdz
z
b
x
x
M
zdz
z
b
x
x
M
zdz
z
y
a
y
M
zdz
z
y
a
y
M
y
y
y
y
x
x
x
x
,
,
,
,
,
,
,
,
σ
σ
σ
σ
MOMENTOS:
TEORIA DE PLACAS

28. MOMENTOS:
( )
( )
( )
( ) ∫
∫
∫
∫
−
−
−
+
−
−
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
:
caras
las
en
torsores
Momentos
H
H
H
H
H
H
H
H
zdz
z
b
x
x
M
zdz
z
b
x
x
M
zdz
z
y
a
y
M
zdz
z
y
a
y
M
xy
yx
xy
yx
xy
xy
xy
xy
,
,
,
,
,
,
,
,
τ
τ
τ
τ
TEORIA DE PLACAS

29. ( )
( )
( )
( ) ∫
∫
∫
∫
−
−
−
+
−
−
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
:
plano)
del
(fuera
caras
las
en
cortantes
Fuerzas
H
H
H
H
H
H
H
H
dz
z
b
x
x
Q
dz
z
b
x
x
Q
dz
z
y
a
y
Q
dz
z
y
a
y
Q
yz
y
yz
y
xz
x
xz
x
,
,
,
,
,
,
,
,
τ
τ
τ
τ
FUERZAS CORTANTES
TEORIA DE PLACAS

30. EQUILIBIO DE UN ELEMENTO
DE PLACA
TEORIA DE PLACAS

31. TEORIA DE PLACAS
Ecuaciones de la estática:
0
0
0
0
0
0
=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
z
y
x
z
y
x
M
M
M
F
F
F

32. FUERA DEL PLANO DE LA PLACA
TEORIA DE PLACAS
0
0
0
=
=
=
∑
∑
∑
y
x
z
M
M
F

33. y z
x
dx
dy
( )dxdy
y
x
q ,
( )dy
Qx
dy
dx
x
Q
Q x
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dx
Qy
dx
dy
y
Q
Q
y
y ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )
y
x,
Fuerzas según el eje z:
TEORIA DE PLACAS

34. 0
q
y
Q
x
Q y
x
=
+
∂
∂
+
∂
∂
EQUILIBRIO SEGÚN EL EJE z
TEORIA DE PLACAS
dxdy
q
dx
Q
dy
Q
dx
dy
y
Q
Q
dy
dx
x
Q
Q
F
y
x
y
y
x
x
z
⋅
+
−
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
=
∑ 0
y z
x
dx
dy
( )dxdy
y
x
q ,
( )dy
Qx
dy
dx
x
Q
Q x
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dx
Qy
dx
dy
y
Q
Q
y
y ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )
y
x,

35. TEORIA DE PLACAS
Ecuaciones de la estática:
0
0
0
0
0
0
=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
z
y
x
z
y
x
M
M
M
F
F
F
0
q
y
Q
x
Q y
x
=
+
∂
∂
+
∂
∂

36. y z
x
dx
dy
dx
dy
y
M
M
y
y ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dx
Qy
dx
dy
y
Q
Q
y
y ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )
y
x,
dy
dx
x
M
M
xy
xy ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dy
Mxy
( )dx
M y
Momentos según el eje x
TEORIA DE PLACAS

37. y z
x
dx
dy
dx
dy
y
M
M
y
y ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dx
Qy
dx
dy
y
Q
Q
y
y ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )
y
,
x
dy
dx
x
M
M
xy
xy ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dy
Mxy
( )dx
My
( ) ( )
( ) 0
2
2
0
=
⋅
+
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
−
+
=
∑
dy
dx
Q
dy
dx
dy
y
Q
Q
dx
dy
y
M
M
dy
dx
x
M
M
dy
M
dy
M
M
y
y
y
y
y
xy
xy
y
xy
x
EQUILIBRIO ALREDEDOR DEL EJE x
(pasando por el centro
del elemento)
TEORIA DE PLACAS

38. y
xy
y
Q
x
M
y
M
=
∂
∂
+
∂
∂
TEORIA DE PLACAS
( ) ( )
( ) 0
2
2
0
=
⋅
+
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
−
+
=
∑
dy
dx
Q
dy
dx
dy
y
Q
Q
dx
dy
y
M
M
dy
dx
x
M
M
dy
M
dy
M
M
y
y
y
y
y
xy
xy
y
xy
x
EQUILIBRIO DE MOMENTOS ALREDEDOR DEL EJE x

39. TEORIA DE PLACAS
Ecuaciones de la estática:
0
0
0
0
0
0
=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
z
y
x
z
y
x
M
M
M
F
F
F
0
q
y
Q
x
Q y
x
=
+
∂
∂
+
∂
∂
y
xy
y
Q
x
M
y
M
=
∂
∂
+
∂
∂

40. y z
x
dx
dy
( )dy
Mx
dy
dx
x
Q
Q x
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )
y
,
x
( )dx
Mxy
dy
dx
x
M
M x
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
dx
dy
y
M
M
xy
xy ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dy
Qx
Momentos según el eje y:
TEORIA DE PLACAS

41. EQUILIBRIO ALREDEDOR DEL EJE y
(pasando por el centro
del elemento)
TEORIA DE PLACAS
y z
x
dx
dy
( )dy
Mx
dy
dx
x
Q
Q x
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )
y
,
x
( )dx
Mxy
dy
dx
x
M
M x
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
dx
dy
y
M
M
xy
xy ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dy
Qx
( ) ( )
( ) 0
2
2
0
=
⋅
−
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
+
−
−
=
∑
dx
dy
Q
dx
dy
dx
x
Q
Q
dy
dx
x
M
M
dx
dy
y
M
M
dy
M
dx
M
M
x
x
x
x
x
xy
xy
x
xy
y

42. x
xy
x
Q
y
M
x
M
=
∂
∂
+
∂
∂
TEORIA DE PLACAS
( ) ( )
( ) 0
2
2
0
=
⋅
−
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
+
−
−
=
∑
dx
dy
Q
dx
dy
dx
x
Q
Q
dy
dx
x
M
M
dx
dy
y
M
M
dy
M
dx
M
M
x
x
x
x
x
xy
xy
x
xy
y
EQUILIBRIO DE MOMENTOS ALREDEDOR DEL EJE y

43. TEORIA DE PLACAS
Ecuaciones de la estática:
0
0
0
0
0
0
=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
z
y
x
z
y
x
M
M
M
F
F
F
0
q
y
Q
x
Q y
x
=
+
∂
∂
+
∂
∂
y
xy
y
Q
x
M
y
M
=
∂
∂
+
∂
∂
x
xy
x
Q
y
M
x
M
=
∂
∂
+
∂
∂

44. )
(
)
(
)
(
3
2
1
0
y
M
x
M
Q
x
M
y
M
Q
q
y
Q
x
Q
xy
x
x
xy
y
y
y
x
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
=
+
∂
∂
+
∂
∂
RESUMEN DE ECUACIONES DE EQUILIBRIO (Fuera del plano):
TEORIA DE PLACAS

45. 0
=
+
∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
∂
q
y
x
M
y
M
x
y
M
x
M xy
y
xy
x
Si, en la primera de las ecuaciones anteriores, sustituimos Qx y Qy
por sus expresiones (Ecs. 2 y 3):
0
2 2
2
2
2
2
=
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
q
y
M
y
x
M
x
M y
xy
x
TEORIA DE PLACAS

46. TEORIA DE PLACAS
Ecuaciones de la estática:
0
0
0
0
0
0
=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
z
y
x
z
y
x
M
M
M
F
F
F
0
2 2
2
2
2
2
=
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
q
y
M
y
x
M
x
M y
xy
x

47. EN EL PLANO DE LA PLACA
TEORIA DE PLACAS

48. dy
dx
x
N
N
xy
xy ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dy
Nxy
dx
dy
y
N
N
xy
xy ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dx
Nxy
dy
dx
x
N
N x
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
dx
dy
( )
y
,
x
( )dy
Nx
dx
dy
y
N
N
y
y ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dx
N y
TEORIA DE PLACAS
EQUILIBRIO SEGÚN EL EJE x

49. dy
dx
x
N
N
xy
xy ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dy
N xy
dx
dy
y
N
N
xy
xy ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dx
N xy
dy
dx
x
N
N x
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
dx
dy
( )
y
,
x
( )dy
N x
dx
dy
y
N
N
y
y ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dx
N y
TEORIA DE PLACAS
EQUILIBRIO SEGÚN EL EJE x
0
0
=
−
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
=
∑
dx
N
dy
N
dx
dy
y
N
N
dy
dx
x
N
N
F
xy
x
xy
xy
x
x
x

50. 0
y
N
x
N xy
x
=
∂
∂
+
∂
∂
TEORIA DE PLACAS
0
0
=
−
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
=
∑
dx
N
dy
N
dx
dy
y
N
N
dy
dx
x
N
N
F
xy
x
xy
xy
x
x
x

51. TEORIA DE PLACAS
Ecuaciones de la estática:
0
0
0
0
0
0
=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
z
y
x
z
y
x
M
M
M
F
F
F
0
2 2
2
2
2
2
=
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
q
y
M
y
x
M
x
M y
xy
x
0
=
∂
∂
+
∂
∂
y
N
x
N xy
x

52. TEORIA DE PLACAS
dy
dx
x
N
N
xy
xy ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dy
N xy
dx
dy
y
N
N
xy
xy ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dx
N xy
dy
dx
x
N
N x
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
dx
dy
( )
y
,
x
( )dy
N x
dx
dy
y
N
N
y
y ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dx
N y
EQUILIBRIO SEGÚN EL EJE y
0
0
=
−
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
=
∑
dy
N
dx
N
dy
dx
x
N
N
dx
dy
y
N
N
F
xy
y
xy
xy
y
y
y

53. 0
y
N
x
N y
xy
=
∂
∂
+
∂
∂
0
0
=
−
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
=
∑
dy
N
dx
N
dy
dx
x
N
N
dx
dy
y
N
N
F
xy
y
xy
xy
y
y
y
TEORIA DE PLACAS

54. TEORIA DE PLACAS
Ecuaciones de la estática:
0
0
0
0
0
0
=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
z
y
x
z
y
x
M
M
M
F
F
F
0
2 2
2
2
2
2
=
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
q
y
M
y
x
M
x
M y
xy
x
0
=
∂
∂
+
∂
∂
y
N
x
N xy
x
0
=
∂
∂
+
∂
∂
y
N
x
N y
xy

55. dy
dx
x
N
N
xy
xy ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dy
N xy
dx
dy
y
N
N
xy
xy ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dx
N xy
dy
dx
x
N
N x
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
dx
dy
( )
y
,
x
( )dy
N x
dx
dy
y
N
N
y
y ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dx
N y
EQUILIBRIO DE MOMENTOS ALREDEDOR DEL EJE z
TEORIA DE PLACAS
( ) ( )
0
2
2
2
2
0
=
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
+
+
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
−
⋅
+
⋅
−
=
∑
dx
dy
dx
x
N
N
dy
dx
dy
y
N
N
dx
dy
N
dy
dx
N
M
xy
xy
xy
xy
xy
xy
z

56. ¡Esta ecuación se satisface automáticamente!
TEORIA DE PLACAS
( ) ( )
0
2
2
2
2
0
=
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
+
+
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
−
⋅
+
⋅
−
=
∑
dx
dy
dx
x
N
N
dy
dx
dy
y
N
N
dx
dy
N
dy
dx
N
M
xy
xy
xy
xy
xy
xy
z

57. TEORIA DE PLACAS
Ecuaciones de la estática:
0
0
0
0
0
0
=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
z
y
x
z
y
x
M
M
M
F
F
F
0
2 2
2
2
2
2
=
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
q
y
M
y
x
M
x
M y
xy
x
0
=
∂
∂
+
∂
∂
y
N
x
N xy
x
0
=
∂
∂
+
∂
∂
y
N
x
N y
xy
¡Esta ecuación se satisface automáticamente!

58. 0
0
0
2
2
2
2
2
=
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
q
y
M
y
x
M
x
M
y
N
x
N
y
N
x
N
y
xy
x
y
xy
xy
x
ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE LA PLACA
TEORIA DE PLACAS

59. TEORIA DE PLACAS
Y, entonces, ¿cómo se deducen los esfuerzos cortantes?
)
(
)
(
)
(
3
2
1
0
y
M
x
M
Q
x
M
y
M
Q
q
y
Q
x
Q
xy
x
x
xy
y
y
y
x
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
=
+
∂
∂
+
∂
∂

60. CONDICIONES DE CONTORNO:
„ x = +a/2
„ x = -a/2
„ y = +b/2
„ y = -b/2
TEORIA DE PLACAS

61. x = +a/2
x
w
M
M
w
y
M
Q
y
M
x
M
v
N
N
u
N
N
x
x
xy
x
xy
x
xy
xy
x
x
∂
∂
=
∂
∂
+
=
∂
∂
+
∂
∂
=
=
+
+
+
+
+
0
0
0
0
ó
iv.
ó
2
iii.
ó
ii.
ó
i.
Debe fijarse:
TEORIA DE PLACAS

62. x
w
M
M
w
y
M
Q
y
M
x
M
v
N
N
u
N
N
x
x
xy
x
xy
x
xy
xy
x
x
∂
∂
=
∂
∂
+
=
∂
∂
+
∂
∂
=
=
−
−
−
−
−
0
0
0
0
ó
iv.
ó
2
iii.
ó
ii.
ó
i.
x = -a/2
Debe fijarse:
TEORIA DE PLACAS

63. y
w
M
M
w
y
M
Q
x
M
y
M
u
N
N
v
N
N
y
y
yx
y
xy
y
yx
xy
y
y
∂
∂
=
∂
∂
+
=
∂
∂
+
∂
∂
=
=
+
+
+
+
+
0
0
0
0
2
ó
iv.
ó
iii.
ó
ii.
ó
i.
y = +b/2
Debe fijarse:
TEORIA DE PLACAS

64. y
w
M
M
w
y
M
Q
x
M
y
M
u
N
N
v
N
N
y
y
yx
y
xy
y
yx
xy
y
y
∂
∂
=
∂
∂
+
=
∂
∂
+
∂
∂
=
=
−
−
−
−
−
0
0
0
0
ó
iv.
ó
2
iii.
ó
ii.
ó
i.
y = -b/2
Debe fijarse:
TEORIA DE PLACAS

65. x
v
y
u
y
v
x
u
xy
y
x
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
0
0
0
0
0
0
0
γ
ε
ε
DEFORMACIONES EN EL PLANO MEDIO:
TEORIA DE PLACAS

66. y
x
w
y
w
x
w
xy
y
x
∂
∂
∂
−
=
∂
∂
−
=
∂
∂
−
=
0
2
2
0
2
2
0
2
2
κ
κ
κ
CURVATURAS:
TEORIA DE PLACAS

67. ECUACIONES BASADAS EN DESPLAZAMIENTOS:
TEORIA DE PLACAS
0
0
0
2
2
2
2
2
=
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
q
y
M
y
x
M
x
M
y
N
x
N
y
N
x
N
y
xy
x
y
xy
xy
x
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
κ
κ
κ
γ
ε
ε
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
xy
y
x
xy
0
y
0
x
0
66
26
16
66
26
16
26
22
12
26
22
12
16
12
11
16
12
11
66
26
16
66
26
16
26
22
12
26
22
12
16
12
11
16
12
11
xy
y
x
xy
y
x
D
D
D
B
B
B
D
D
D
B
B
B
D
D
D
B
B
B
B
B
B
A
A
A
B
B
B
A
A
A
B
B
B
A
A
A
M
M
M
N
N
N
x
v
y
u
y
v
x
u
xy
y
x
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
0
0
0
0
0
0
0
γ
ε
ε
y
x
w
y
w
x
w
xy
y
x
∂
∂
∂
−
=
∂
∂
−
=
∂
∂
−
=
0
2
2
0
2
2
0
2
2
κ
κ
κ

68. ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
+
+
+
+
+
=
y
x
w
B
y
w
B
x
w
B
x
v
y
u
A
y
v
A
x
u
A
N
B
B
B
A
A
A
N
x
xy
y
x
xy
y
x
x
0
2
16
2
0
2
12
2
0
2
11
0
0
16
0
12
0
11
16
12
11
0
16
0
12
0
11
2
κ
κ
κ
γ
ε
ε
TEORIA DE PLACAS

69. ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
+
+
+
+
+
=
y
x
w
B
y
w
B
x
w
B
x
v
y
u
A
y
v
A
x
u
A
N
B
B
B
A
A
A
N
y
xy
y
x
xy
y
x
y
0
2
26
2
0
2
22
2
0
2
12
0
0
26
0
22
0
12
26
22
12
0
26
0
22
0
12
2
κ
κ
κ
γ
ε
ε
TEORIA DE PLACAS

70. ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
+
+
+
+
+
=
y
x
w
B
y
w
B
x
w
B
x
v
y
u
A
y
v
A
x
u
A
N
B
B
B
A
A
A
N
xy
xy
y
x
xy
y
x
xy
0
2
66
2
0
2
26
2
0
2
16
0
0
66
0
26
0
16
66
26
16
0
66
0
26
0
16
2
κ
κ
κ
γ
ε
ε
ECUACIONES BASADAS EN DESPLAZAMIENTOS:
TEORIA DE PLACAS

71. ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
+
+
+
+
+
=
y
x
w
D
y
w
D
x
w
D
x
v
y
u
B
y
v
B
x
u
B
M
D
D
D
B
B
B
M
x
xy
y
x
xy
y
x
x
0
2
16
2
0
2
12
2
0
2
11
0
0
16
0
12
0
11
16
12
11
0
16
0
12
0
11
2
κ
κ
κ
γ
ε
ε
ECUACIONES BASADAS EN DESPLAZAMIENTOS:
TEORIA DE PLACAS

72. ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
+
+
+
+
+
=
y
x
w
D
y
w
D
x
w
D
x
v
y
u
B
y
v
B
x
u
B
M
D
D
D
B
B
B
M
y
xy
y
x
xy
y
x
y
0
2
26
2
0
2
22
2
0
2
12
0
0
26
0
22
0
12
26
22
12
0
26
0
22
0
12
2
κ
κ
κ
γ
ε
ε
ECUACIONES BASADAS EN DESPLAZAMIENTOS:
TEORIA DE PLACAS

73. ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
+
+
+
+
+
=
y
x
w
D
y
w
D
x
w
D
x
v
y
u
B
y
v
B
x
u
B
M
D
D
D
B
B
B
M
xy
xy
y
x
xy
y
x
xy
0
2
66
2
0
2
26
2
0
2
16
0
0
66
0
26
0
16
66
26
16
0
66
0
26
0
16
2
κ
κ
κ
γ
ε
ε
ECUACIONES BASADAS EN DESPLAZAMIENTOS:
TEORIA DE PLACAS

74. 0
0
0
2
2
2
2
2
=
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
q
y
M
y
x
M
x
M
y
N
x
N
y
N
x
N
y
xy
x
y
xy
xy
x
ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE LA PLACA:
TEORIA DE PLACAS

75. 0
=
∂
∂
+
∂
∂
y
N
x
N xy
x
ECUACIONES BASADAS EN CONDICIONES DE EQUILIBRIO:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
y
x
w
B
y
w
B
x
w
B
x
v
y
u
A
y
v
A
x
u
A
N
y
x
w
B
y
w
B
x
w
B
x
v
y
u
A
y
v
A
x
u
A
N
xy
x
0
2
66
2
0
2
26
2
0
2
16
0
0
66
0
26
0
16
0
2
16
2
0
2
12
2
0
2
11
0
0
16
0
12
0
11
2
2
TEORIA DE PLACAS

76. 0
2
2
2
0
3
66
3
0
3
26
2
0
3
16
0
2
2
0
2
66
2
0
2
26
0
2
16
2
0
3
16
2
0
3
12
3
0
3
11
2
0
2
0
2
16
0
2
12
2
0
2
11
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
y
x
w
B
y
w
B
y
x
w
B
y
x
v
y
u
A
y
v
A
y
x
u
A
y
x
w
B
y
x
w
B
x
w
B
x
v
x
y
u
A
x
y
v
A
x
u
A
0
=
∂
∂
+
∂
∂
y
N
x
N xy
x
Sustituyendo las expresiones de Nx y Nxy en:
TEORIA DE PLACAS

77. ( )
( ) 0
2
3
2
3
0
3
26
2
0
3
66
12
2
0
3
16
3
0
3
11
2
0
2
26
0
2
66
12
2
0
2
16
2
0
2
66
0
2
16
2
0
2
11
=
∂
∂
−
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
y
w
B
y
x
w
B
B
y
x
w
B
x
w
B
y
v
A
y
x
v
A
A
x
v
A
y
u
A
y
x
u
A
x
u
A
Reorganizando la última expresión:
TEORIA DE PLACAS

78. ( )
( ) 0
2
3
2
3
0
3
26
2
0
3
66
12
2
0
3
16
3
0
3
11
2
0
2
26
0
2
66
12
2
0
2
16
2
0
2
66
0
2
16
2
0
2
11
=
∂
∂
−
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
y
w
B
y
x
w
B
B
y
x
w
B
x
w
B
y
v
A
y
x
v
A
A
x
v
A
y
u
A
y
x
u
A
x
u
A
0
y
N
x
N xy
x
=
∂
∂
+
∂
∂
En definitiva:
Ecuación diferencial 1
TEORIA DE PLACAS

79. ( )
( ) 0
3
2
2
3
0
3
22
2
0
3
26
2
0
3
66
12
3
0
3
16
2
0
2
22
0
2
26
2
0
2
66
2
0
2
26
0
2
66
12
2
0
2
16
=
∂
∂
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
y
w
B
y
x
w
B
y
x
w
B
B
x
w
B
y
v
A
y
x
v
A
x
v
A
y
u
A
y
x
u
A
A
x
u
A
0
y
N
x
N y
xy
=
∂
∂
+
∂
∂
De la misma forma:
Ecuación diferencial 2
TEORIA DE PLACAS

80. ( )
( )
( ) q
y
v
B
y
x
v
B
y
x
v
B
B
x
v
B
y
u
B
y
x
u
B
B
y
x
u
B
x
u
B
y
w
D
y
x
w
D
y
x
w
D
D
y
x
w
D
x
w
D
=
∂
∂
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
3
0
3
22
2
0
3
26
2
0
3
66
12
3
0
3
16
3
0
3
26
2
0
3
66
12
2
0
3
16
3
0
3
11
4
0
4
22
3
0
4
26
2
2
0
4
66
12
3
0
4
16
4
0
4
11
3
2
2
3
4
2
2
4
0
2 2
2
2
2
2
=
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
q
y
M
y
x
M
x
M y
xy
x
Ecuación diferencial 3
TEORIA DE PLACAS

81. En definitiva, hemos llegado a plantear tres ecuaciones
diferenciales (Ecuaciones 1, 2 y 3) en las que aparecen,
como incógnitas, u0, v0 y w0 que, una vez resueltas y
verificando las condiciones de contorno, nos permitirían
calcular el campo de desplazamientos dentro del laminado.
de este último, podríamos determinar las deformaciones en
cada punto del laminado y, de este último, el campo tensional.
TEORIA DE PLACAS

82. 0
Bij =
LAMINADOS SIMÉTRICOS:
TEORIA DE PLACAS

83. ( )
( ) 0
2
3
2
3
0
3
26
2
0
3
66
12
2
0
3
16
3
0
3
11
2
0
2
26
0
2
66
12
2
0
2
16
2
0
2
66
0
2
16
2
0
2
11
=
∂
∂
−
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
y
w
B
y
x
w
B
B
y
x
w
B
x
w
B
y
v
A
x
y
v
A
A
x
v
A
y
u
A
x
y
u
A
x
u
A
( )
( ) 0
3
2
2
3
0
3
22
2
0
3
26
2
0
3
66
12
3
0
3
16
2
0
2
22
0
2
26
2
0
2
66
2
0
2
26
0
2
66
12
2
0
2
16
=
∂
∂
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
y
w
B
y
x
w
B
y
x
w
B
B
x
w
B
y
v
A
x
y
v
A
x
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A
y
u
A
x
y
u
A
A
x
u
A
( )
( )
( ) q
y
v
B
y
x
v
B
y
x
v
B
B
x
v
B
y
u
B
y
x
u
B
B
y
x
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B
x
u
B
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D
y
x
w
D
y
x
w
D
D
y
x
w
D
x
w
D
=
∂
∂
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
3
0
3
22
2
0
3
26
2
0
3
66
12
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0
3
16
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0
3
26
2
0
3
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12
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0
3
16
3
0
3
11
4
0
4
22
3
0
4
26
2
2
0
4
66
12
3
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4
16
4
0
4
11
3
2
2
3
4
2
2
4
TEORIA DE PLACAS
Ecuaciones generales:

84. ( )
( )
( ) 0
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2
2
4
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26
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0
2
16
2
0
2
66
0
2
16
2
0
2
11
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
y
w
D
y
x
w
D
y
x
w
D
D
y
x
w
D
x
w
D
y
v
A
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A
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y
v
A
y
x
v
A
A
x
v
A
y
u
A
y
x
u
A
x
u
A
Ecuaciones para el caso de laminados simétricos:
TEORIA DE PLACAS

85. 0
A
0
A
0
B
26
16
ij
=
=
=
LAMINADOS SIMÉTRICOS BALANCEADOS:
TEORIA DE PLACAS

86. ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) q
y
v
B
y
x
v
B
y
x
v
B
B
x
v
B
y
u
B
y
x
u
B
B
y
x
u
B
x
u
B
y
w
D
y
x
w
D
y
x
w
D
D
y
x
w
D
x
w
D
y
w
B
y
x
w
B
y
x
w
B
B
x
w
B
y
v
A
y
x
v
A
x
v
A
y
u
A
y
x
u
A
A
x
u
A
y
w
B
y
x
w
B
B
y
x
w
B
x
w
B
y
v
A
y
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v
A
A
x
v
A
y
u
A
y
x
u
A
x
u
A
=
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∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
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∂
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∂
∂
∂
+
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
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0
3
22
2
0
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12
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22
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26
2
2
0
4
66
12
3
0
4
16
4
0
4
11
3
0
3
22
2
0
3
26
2
0
3
66
12
3
0
3
16
2
0
2
22
0
2
26
2
0
2
66
2
0
2
26
0
2
66
12
2
0
2
16
3
0
3
26
2
0
3
66
12
2
0
3
16
3
0
3
11
2
0
2
26
0
2
66
12
2
0
2
16
2
0
2
66
0
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16
2
0
2
11
3
2
2
3
4
2
2
4
0
3
2
2
0
2
3
2
TEORIA DE PLACAS

87. ( )
( )
( ) q
y
w
D
y
x
w
D
y
x
w
D
D
y
x
w
D
x
w
D
y
v
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A
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v
A
A
y
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A
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A
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+
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∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
=
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
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0
4
22
3
0
4
26
2
2
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66
2
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2
11
4
2
2
4
0
0
Ecuaciones para el caso de laminados simétricos balanceados:
TEORIA DE PLACAS

88. 0
D
0
A
0
D
0
A
0
B
26
26
16
16
ij
=
=
=
=
=
LAMINADOS SIMÉTRICOS DE LÁMINAS
CRUZADAS:
TEORIA DE PLACAS

89. ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) q
y
v
B
y
x
v
B
y
x
v
B
B
x
v
B
y
u
B
y
x
u
B
B
y
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u
B
x
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B
y
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D
y
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w
D
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w
D
D
y
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w
D
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w
D
y
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B
y
x
w
B
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x
w
B
B
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B
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A
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v
A
x
v
A
y
u
A
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u
A
A
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A
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B
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w
B
B
y
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w
B
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w
B
y
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y
x
v
A
A
x
v
A
y
u
A
y
x
u
A
x
u
A
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∂
−
∂
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∂
−
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
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∂
−
∂
∂
∂
−
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∂
∂
+
−
∂
∂
−
∂
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+
∂
∂
∂
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∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
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−
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
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∂
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0
3
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22
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66
12
3
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4
16
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4
11
3
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3
22
2
0
3
26
2
0
3
66
12
3
0
3
16
2
0
2
22
0
2
26
2
0
2
66
2
0
2
26
0
2
66
12
2
0
2
16
3
0
3
26
2
0
3
66
12
2
0
3
16
3
0
3
11
2
0
2
26
0
2
66
12
2
0
2
16
2
0
2
66
0
2
16
2
0
2
11
3
2
2
3
4
2
2
4
0
3
2
2
0
2
3
2
TEORIA DE PLACAS

90. ( )
( )
( ) q
y
w
D
y
x
w
D
2
D
2
y
x
w
D
0
y
v
A
x
v
A
y
x
u
A
A
0
y
x
v
A
A
y
u
A
x
u
A
4
0
4
22
2
2
0
4
66
12
4
0
4
11
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2
22
2
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66
0
2
66
12
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2
66
12
2
0
2
66
2
0
2
11
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
=
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
Ecuaciones para el caso de laminados simétricos de láminas cruzadas:
TEORIA DE PLACAS

91. ( )
( ) ( )
( )
0
2
1
1
24
1
12
1
12
0
2
1
1
2
1
1
0
26
16
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66
2
3
21
12
2
3
22
11
26
16
66
2
21
12
2
22
11
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=
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D
D
D
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D
D
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D
D
D
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D
D
A
A
A
EH
A
A
EH
A
A
A
EH
A
A
Bij
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
PLACAS ISÓTROPAS:
TEORIA DE PLACAS

92. ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) q
y
v
B
y
x
v
B
y
x
v
B
B
x
v
B
y
u
B
y
x
u
B
B
y
x
u
B
x
u
B
y
w
D
y
x
w
D
y
x
w
D
D
y
x
w
D
x
w
D
y
w
B
y
x
w
B
y
x
w
B
B
x
w
B
y
v
A
y
x
v
A
x
v
A
y
u
A
y
x
u
A
A
x
u
A
y
w
B
y
x
w
B
B
y
x
w
B
x
w
B
y
v
A
y
x
v
A
A
x
v
A
y
u
A
y
x
u
A
x
u
A
=
∂
∂
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
3
0
3
22
2
0
3
26
2
0
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12
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26
2
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66
12
2
0
3
16
3
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11
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0
4
22
3
0
4
26
2
2
0
4
66
12
3
0
4
16
4
0
4
11
3
0
3
22
2
0
3
26
2
0
3
66
12
3
0
3
16
2
0
2
22
0
2
26
2
0
2
66
2
0
2
26
0
2
66
12
2
0
2
16
3
0
3
26
2
0
3
66
12
2
0
3
16
3
0
3
11
2
0
2
26
0
2
66
12
2
0
2
16
2
0
2
66
0
2
16
2
0
2
11
3
2
2
3
4
2
2
4
0
3
2
2
0
2
3
2
TEORIA DE PLACAS

93. 0
2
1
2
1
0
2
1
2
1
0
2
1
2
1
0
2
2
0
2
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
=
∂
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
∂
∂
=
∂
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
+
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
∂
∂
=
∂
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
+
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
∂
∂
x
y
v
y
u
x
u
x
y
v
y
u
x
u
x
y
v
A
A
y
u
A
x
u
A
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
Ecuaciones para placas isótropas:
TEORIA DE PLACAS

94. D
q
y
w
y
x
w
x
w
y
v
x
v
x
y
u
x
y
v
y
u
x
u
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
∂
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
∂
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
∂
∂
4
0
4
2
2
0
4
4
0
4
2
0
2
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
1
2
1
0
2
1
2
1
ν
ν
ν
ν
TEORIA DE PLACAS

95. )
( 2
3
1
12 ν
−
⋅
=
EH
D
CONSTANTE DE RIGIDEZ A FLEXIÓN DE UNA PLACA
TEORIA DE PLACAS