CAPITULO_9 Placas y Laminas.pdf

PLACAS Y LÁMINAS
Carlos Navarro
Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de
Estructuras
UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID

TEORIA DE PLACAS
„ Hipótesis de Kirchhoff:
1.- La rectas perpendiculares al plano medio, antes de que el laminado
se deforme, siguen permaneciendo rectas una vez que el laminado se
haya deformado.
2.- Las rectas perpendiculares al plano medio no experimentan ningún
tipo de deformación longitudinal (el laminado no cambia de espesor)
3.- Las rectas perpendiculares al plano medio permanecen
perpendiculares a la superficie que adquiere dicho plano una vez que
que el laminado flecte.
Por tanto, las secciones planas ortogonales al plano medio del
laminado siguen siendo planas y ortogonales a la superficie que
adquiera dicho plano una vez que el laminado haya flectado.
Hipótesis:

„ El comportamiento del material se supone elástico lineal.
„ Las láminas se encuentran trabajando solidariamente unas a otras
„ No existen tensiones fuera del plano de cada lámina (σz= τxz= τyz=0): las
láminas trabajan en condiciones de tensión plana
Hipótesis (Cont.):
TEORIA DE PLACAS

{ }
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
xy
y
x
N
N
N
N
Vector de cargas (N/m):
x
y
z
Nx
Nx
Ny
Ny
Nyx
Nxy
Nyx
Nxy
TEORIA DE PLACAS

{ }
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
xy
y
x
M
M
M
M
Vector de cargas (Momentos, N.m/m):
x
y z
Mx
Mx
My
My
Mxy
Mxy
Myx
Myx
TEORIA DE PLACAS

M
M
Plano medio
x
y
z
z
Laminado antes de flectar
TEORIA DE PLACAS

z
y
x
ρ
ϕ
M
M
Laminado después de flectar
Plano medio
z

( ) ( )
curvatura
xy)
plano
el
por
(definido
medio
plano
el
desde
distancia
anterior
figura
la
en
definido
ángulo
flexión
la
durante
medio
plano
del
curvatura
de
radio
:
donde
=
=
=
=
⋅
=
=
−
+
=
κ
φ
ρ
κ
ρ
ρϕ
ρϕ
ϕ
ρ
ε
z
z
z
z
z
x
DEFORMACIONES POR FLEXIÓN PURA
TEORIA DE PLACAS

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
y
x
w
z
y
x
w
y
w
z
z
y
x
v
z
y
x
v
x
w
z
z
y
x
u
z
y
x
u
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
0
0
0
0
0
=
∂
∂
−
=
∂
∂
−
=
TEORIA DE PLACAS
En definitiva, si se cumplen las tres primeras hipótesis de
Kirchhoff:

TEORIA DE PLACAS
2
2
x
w
z
x
u
x
u O
O
x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
ε −
=
=
2
2
y
w
z
y
v
y
v O
O
y
∂
∂
∂
∂
∂
∂
ε −
=
=
y
x
w
z
x
v
y
u
x
v
y
u O
O
O
P
P
xy
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
γ
2
2
−
+
=
+
=
CAMPO DE DEFORMACIONES EN EL LAMINADO:
0
=
z
ε
0
=
xz
γ
x
κ
−
y
κ
−
xy
κ
−
0
=
yz
γ

x
y z
Mx
Mx
My
My
Mxy
Mxy
Myx
Myx
TEORIA DE PLACAS
x
y
z
Nx
Nx
Ny
N
y
Nyx
Nxy
Nyx
Nxy
TEORÍA CLASICA DE LAMINADOS

TEORIA DE PLACAS
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
κ
ε
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧ 0
D
B
B
A
M
N
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
κ
κ
κ
γ
ε
ε
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
xy
y
x
xy
0
y
0
x
0
66
26
16
66
26
16
26
22
12
26
22
12
16
12
11
16
12
11
66
26
16
66
26
16
26
22
12
26
22
12
16
12
11
16
12
11
xy
y
x
xy
y
x
D
D
D
B
B
B
D
D
D
B
B
B
D
D
D
B
B
B
B
B
B
A
A
A
B
B
B
A
A
A
B
B
B
A
A
A
M
M
M
N
N
N

TEORIA DE PLACAS
y
z
H
x
a
b
q(x,y)
¡En una placa laminada podemos tener cargas fuera del plano!

( )
x
Nyx
− ( )
x
Ny
−
( )
x
Qy
−
( )
x
Myx
−
( )
x
My
−
( )
y
Nxy
−
( )
y
Nx
−
( )
y
Qx
−
( )
y
Mxy
−
( )
y
Mx
−
TEORIA DE PLACAS
y
z
( )
y
Nxy
+
( )
y
Nx
+
( )
y
Qx
+
( )
y
Mxy
+
( )
y
Mx
+
( )
x
Nyx
+
( )
x
Ny
+
( )
x
Qy
+
( )
x
Myx
+
( )
x
My
+

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
y
x
w
z
y
x
w
y
x
z
z
y
x
v
z
y
x
v
y
x
z
z
y
x
u
z
y
x
u
y
x
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
0
0
0
=
+
=
+
=
ϕ
ϕ
OTRAS TEORIAS SOBRE LA FLEXIÓN DE LAMINADOS:
Teoría de primer orden: Se cumplen las dos primeras hipótesis
de Kirchhoff pero no la tercera (Las rectas perpendiculares al plano
medio ya no permanecen perpendiculares a la superficie que adquiere
dicho plano una vez que que el laminado flecte)
TEORIA DE PLACAS

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
y
x
w
z
y
x
w
y
x
z
y
x
z
z
y
x
v
z
y
x
v
y
x
z
y
x
z
z
y
x
u
z
y
x
u
x
x
x
x
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
0
2
0
2
0
=
+
+
=
+
+
=
ψ
ϕ
ψ
ϕ
•Teoría de segundo orden: Se cumple sólo la segunda hipótesis
de Kirchhoff
TEORIA DE PLACAS

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
y
x
w
z
y
x
w
y
w
y
x
h
z
y
x
z
z
y
x
v
z
y
x
v
x
w
y
x
h
z
y
x
z
z
y
x
u
z
y
x
u
y
x
x
x
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
0
0
2
3
0
0
2
3
0
3
4
3
4
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
+
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
•Teoría de tercer orden orden (Teoría de Reddy): Se cumple
sólo la segunda hipótesis de Kirchhoff
TEORIA DE PLACAS

TEORIA DE PLACAS
TEORÍA CLÁSICA
TEORÍA DE PRIMER ORDEN
TEORÍA DE TERCER ORDEN
PLACA SIN DEFORMAR
90º
Sección

y
z
H
x
a
b
q(x,y)
TEORÍA DE PRIMER ORDEN DE PLACAS LAMINADAS
TEORIA DE PLACAS

TEORIA DE PLACAS
HIPÓTESIS ADICIONALES:
Placa delgada (H << a,b):
Pequeñas deflexiones (w(x,y)max< H/2):
xy
y
x
yz
xz
z τ
σ
σ
τ
τ
σ ,
,
,
, <<
1
0
0
<<
∂
∂
∂
∂
y
w
x
w
,

FUERZAS Y MOMENTOS RESULTANTES EN x = +a/2
y
z
( )
y
Nxy
+
( )
y
Nx
+
( )
y
Qx
+
( )
y
Mxy
+
( )
y
Mx
+
TEORIA DE PLACAS

y
z
( )
y
Nxy
−
( )
y
Nx
−
( )
y
Qx
−
( )
y
Mxy
−
( )
y
Mx
−
FUERZAS Y MOMENTOS RESULTANTES EN x = -a/2
x
TEORIA DE PLACAS

x
( )
x
Nyx
+
( )
x
Ny
+
( )
x
Qy
+
( )
x
Myx
+
( )
x
My
+
FUERZAS Y MOMENTOS RESULTANTES EN y= b/2
z
TEORIA DE PLACAS

x
( )
x
Nyx
− ( )
x
Ny
−
( )
x
Qy
−
( )
x
Myx
−
( )
x
My
−
FUERZAS Y MOMENTOS RESULTANTES EN y= -b/2
z
y
TEORIA DE PLACAS

( )
( )
( )
( ) ∫
∫
∫
∫
−
−
−
+
−
−
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
:
caras
las
en
normales
Fuerzas
H
H
H
H
H
H
H
H
dz
z
b
x
x
N
dz
z
b
x
x
N
dz
z
y
a
y
N
dz
z
y
a
y
N
y
y
y
y
x
x
x
x
,
,
,
,
,
,
,
,
σ
σ
σ
σ
RESULTANTES:
TEORIA DE PLACAS

( )
( )
( )
( ) ∫
∫
∫
∫
−
−
−
+
−
−
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
:
plano)
el
(en
caras
las
en
les
tangencia
Fuerzas
H
H
H
H
H
H
H
H
dz
z
b
x
x
N
dz
z
b
x
x
N
dz
z
y
a
y
N
dz
z
y
a
y
N
yx
yx
yx
yx
xy
xy
xy
xy
,
,
,
,
,
,
,
,
τ
τ
τ
τ
RESULTANTES:
TEORIA DE PLACAS

( )
( )
( )
( ) ∫
∫
∫
∫
−
−
−
+
−
−
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
:
caras
las
en
flectores
Momentos
H
H
H
H
H
H
H
H
zdz
z
b
x
x
M
zdz
z
b
x
x
M
zdz
z
y
a
y
M
zdz
z
y
a
y
M
y
y
y
y
x
x
x
x
,
,
,
,
,
,
,
,
σ
σ
σ
σ
MOMENTOS:
TEORIA DE PLACAS

MOMENTOS:
( )
( )
( )
( ) ∫
∫
∫
∫
−
−
−
+
−
−
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
:
caras
las
en
torsores
Momentos
H
H
H
H
H
H
H
H
zdz
z
b
x
x
M
zdz
z
b
x
x
M
zdz
z
y
a
y
M
zdz
z
y
a
y
M
xy
yx
xy
yx
xy
xy
xy
xy
,
,
,
,
,
,
,
,
τ
τ
τ
τ
TEORIA DE PLACAS

( )
( )
( )
( ) ∫
∫
∫
∫
−
−
−
+
−
−
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
:
plano)
del
(fuera
caras
las
en
cortantes
Fuerzas
H
H
H
H
H
H
H
H
dz
z
b
x
x
Q
dz
z
b
x
x
Q
dz
z
y
a
y
Q
dz
z
y
a
y
Q
yz
y
yz
y
xz
x
xz
x
,
,
,
,
,
,
,
,
τ
τ
τ
τ
FUERZAS CORTANTES
TEORIA DE PLACAS

EQUILIBIO DE UN ELEMENTO
DE PLACA
TEORIA DE PLACAS

TEORIA DE PLACAS
Ecuaciones de la estática:
0
0
0
0
0
0
=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
z
y
x
z
y
x
M
M
M
F
F
F

FUERA DEL PLANO DE LA PLACA
TEORIA DE PLACAS
0
0
0
=
=
=
∑
∑
∑
y
x
z
M
M
F

y z
x
dx
dy
( )dxdy
y
x
q ,
( )dy
Qx
dy
dx
x
Q
Q x
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dx
Qy
dx
dy
y
Q
Q
y
y ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )
y
x,
Fuerzas según el eje z:
TEORIA DE PLACAS

0
q
y
Q
x
Q y
x
=
+
∂
∂
+
∂
∂
EQUILIBRIO SEGÚN EL EJE z
TEORIA DE PLACAS
dxdy
q
dx
Q
dy
Q
dx
dy
y
Q
Q
dy
dx
x
Q
Q
F
y
x
y
y
x
x
z
⋅
+
−
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
=
∑ 0
y z
x
dx
dy
( )dxdy
y
x
q ,
( )dy
Qx
dy
dx
x
Q
Q x
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dx
Qy
dx
dy
y
Q
Q
y
y ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )
y
x,

TEORIA DE PLACAS
0
0
0
0
0
0
=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
z
y
x
z
y
x
M
M
M
F
F
F
0
q
y
Q
x
Q y
x
=
+
∂
∂
+
∂
∂

y z
x
dx
dy
dx
dy
y
M
M
y
y ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dx
Qy
dx
dy
y
Q
Q
y
y ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )
y
x,
dy
dx
x
M
M
xy
xy ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dy
Mxy
( )dx
M y
Momentos según el eje x
TEORIA DE PLACAS

y z
x
dx
dy
dx
dy
y
M
M
y
y ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dx
Qy
dx
dy
y
Q
Q
y
y ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )
y
,
x
dy
dx
x
M
M
xy
xy ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dy
Mxy
( )dx
My
( ) ( )
( ) 0
2
2
0
=
⋅
+
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
−
+
=
∑
dy
dx
Q
dy
dx
dy
y
Q
Q
dx
dy
y
M
M
dy
dx
x
M
M
dy
M
dy
M
M
y
y
y
y
y
xy
xy
y
xy
x
EQUILIBRIO ALREDEDOR DEL EJE x
(pasando por el centro
del elemento)
TEORIA DE PLACAS

y
xy
y
Q
x
M
y
M
=
∂
∂
+
∂
∂
TEORIA DE PLACAS
( ) ( )
( ) 0
2
2
0
=
⋅
+
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
−
+
=
∑
dy
dx
Q
dy
dx
dy
y
Q
Q
dx
dy
y
M
M
dy
dx
x
M
M
dy
M
dy
M
M
y
y
y
y
y
xy
xy
y
xy
x
EQUILIBRIO DE MOMENTOS ALREDEDOR DEL EJE x

TEORIA DE PLACAS
0
0
0
0
0
0
=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
z
y
x
z
y
x
M
M
M
F
F
F
0
q
y
Q
x
Q y
x
=
+
∂
∂
+
∂
∂
y
xy
y
Q
x
M
y
M
=
∂
∂
+
∂
∂

y z
x
dx
dy
( )dy
Mx
dy
dx
x
Q
Q x
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )
y
,
x
( )dx
Mxy
dy
dx
x
M
M x
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
dx
dy
y
M
M
xy
xy ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dy
Qx
Momentos según el eje y:
TEORIA DE PLACAS

EQUILIBRIO ALREDEDOR DEL EJE y
(pasando por el centro
del elemento)
TEORIA DE PLACAS
y z
x
dx
dy
( )dy
Mx
dy
dx
x
Q
Q x
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )
y
,
x
( )dx
Mxy
dy
dx
x
M
M x
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
dx
dy
y
M
M
xy
xy ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dy
Qx
( ) ( )
( ) 0
2
2
0
=
⋅
−
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
+
−
−
=
∑
dx
dy
Q
dx
dy
dx
x
Q
Q
dy
dx
x
M
M
dx
dy
y
M
M
dy
M
dx
M
M
x
x
x
x
x
xy
xy
x
xy
y

x
xy
x
Q
y
M
x
M
=
∂
∂
+
∂
∂
TEORIA DE PLACAS
( ) ( )
( ) 0
2
2
0
=
⋅
−
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
+
−
−
=
∑
dx
dy
Q
dx
dy
dx
x
Q
Q
dy
dx
x
M
M
dx
dy
y
M
M
dy
M
dx
M
M
x
x
x
x
x
xy
xy
x
xy
y
EQUILIBRIO DE MOMENTOS ALREDEDOR DEL EJE y

TEORIA DE PLACAS
0
0
0
0
0
0
=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
z
y
x
z
y
x
M
M
M
F
F
F
0
q
y
Q
x
Q y
x
=
+
∂
∂
+
∂
∂
y
xy
y
Q
x
M
y
M
=
∂
∂
+
∂
∂
x
xy
x
Q
y
M
x
M
=
∂
∂
+
∂
∂

)
(
)
(
)
(
3
2
1
0
y
M
x
M
Q
x
M
y
M
Q
q
y
Q
x
Q
xy
x
x
xy
y
y
y
x
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
=
+
∂
∂
+
∂
∂
RESUMEN DE ECUACIONES DE EQUILIBRIO (Fuera del plano):
TEORIA DE PLACAS

0
=
+
∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
∂
q
y
x
M
y
M
x
y
M
x
M xy
y
xy
x
Si, en la primera de las ecuaciones anteriores, sustituimos Qx y Qy
por sus expresiones (Ecs. 2 y 3):
0
2 2
2
2
2
2
=
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
q
y
M
y
x
M
x
M y
xy
x
TEORIA DE PLACAS

TEORIA DE PLACAS
0
0
0
0
0
0
=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
z
y
x
z
y
x
M
M
M
F
F
F
0
2 2
2
2
2
2
=
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
q
y
M
y
x
M
x
M y
xy
x

EN EL PLANO DE LA PLACA
TEORIA DE PLACAS

dy
dx
x
N
N
xy
xy ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dy
Nxy
dx
dy
y
N
N
xy
xy ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dx
Nxy
dy
dx
x
N
N x
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
dx
dy
( )
y
,
x
( )dy
Nx
dx
dy
y
N
N
y
y ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dx
N y
TEORIA DE PLACAS
EQUILIBRIO SEGÚN EL EJE x

dy
dx
x
N
N
xy
xy ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dy
N xy
dx
dy
y
N
N
xy
xy ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dx
N xy
dy
dx
x
N
N x
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
dx
dy
( )
y
,
x
( )dy
N x
dx
dy
y
N
N
y
y ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dx
N y
TEORIA DE PLACAS
EQUILIBRIO SEGÚN EL EJE x
0
0
=
−
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
=
∑
dx
N
dy
N
dx
dy
y
N
N
dy
dx
x
N
N
F
xy
x
xy
xy
x
x
x

0
y
N
x
N xy
x
=
∂
∂
+
∂
∂
TEORIA DE PLACAS
0
0
=
−
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
=
∑
dx
N
dy
N
dx
dy
y
N
N
dy
dx
x
N
N
F
xy
x
xy
xy
x
x
x

TEORIA DE PLACAS
0
0
0
0
0
0
=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
z
y
x
z
y
x
M
M
M
F
F
F
0
2 2
2
2
2
2
=
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
q
y
M
y
x
M
x
M y
xy
x
0
=
∂
∂
+
∂
∂
y
N
x
N xy
x

TEORIA DE PLACAS
dy
dx
x
N
N
xy
xy ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dy
N xy
dx
dy
y
N
N
xy
xy ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dx
N xy
dy
dx
x
N
N x
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
dx
dy
( )
y
,
x
( )dy
N x
dx
dy
y
N
N
y
y ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dx
N y
EQUILIBRIO SEGÚN EL EJE y
0
0
=
−
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
=
∑
dy
N
dx
N
dy
dx
x
N
N
dx
dy
y
N
N
F
xy
y
xy
xy
y
y
y

0
y
N
x
N y
xy
=
∂
∂
+
∂
∂
0
0
=
−
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
=
∑
dy
N
dx
N
dy
dx
x
N
N
dx
dy
y
N
N
F
xy
y
xy
xy
y
y
y
TEORIA DE PLACAS

TEORIA DE PLACAS
0
0
0
0
0
0
=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
z
y
x
z
y
x
M
M
M
F
F
F
0
2 2
2
2
2
2
=
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
q
y
M
y
x
M
x
M y
xy
x
0
=
∂
∂
+
∂
∂
y
N
x
N xy
x
0
=
∂
∂
+
∂
∂
y
N
x
N y
xy

dy
dx
x
N
N
xy
xy ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dy
N xy
dx
dy
y
N
N
xy
xy ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dx
N xy
dy
dx
x
N
N x
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
dx
dy
( )
y
,
x
( )dy
N x
dx
dy
y
N
N
y
y ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
( )dx
N y
EQUILIBRIO DE MOMENTOS ALREDEDOR DEL EJE z
TEORIA DE PLACAS
( ) ( )
0
2
2
2
2
0
=
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
+
+
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
−
⋅
+
⋅
−
=
∑
dx
dy
dx
x
N
N
dy
dx
dy
y
N
N
dx
dy
N
dy
dx
N
M
xy
xy
xy
xy
xy
xy
z

¡Esta ecuación se satisface automáticamente!
TEORIA DE PLACAS
( ) ( )
0
2
2
2
2
0
=
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
+
+
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
−
⋅
+
⋅
−
=
∑
dx
dy
dx
x
N
N
dy
dx
dy
y
N
N
dx
dy
N
dy
dx
N
M
xy
xy
xy
xy
xy
xy
z

TEORIA DE PLACAS
0
0
0
0
0
0
=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
z
y
x
z
y
x
M
M
M
F
F
F
0
2 2
2
2
2
2
=
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
q
y
M
y
x
M
x
M y
xy
x
0
=
∂
∂
+
∂
∂
y
N
x
N xy
x
0
=
∂
∂
+
∂
∂
y
N
x
N y
xy
¡Esta ecuación se satisface automáticamente!

0
0
0
2
2
2
2
2
=
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
q
y
M
y
x
M
x
M
y
N
x
N
y
N
x
N
y
xy
x
y
xy
xy
x
ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE LA PLACA
TEORIA DE PLACAS

TEORIA DE PLACAS
Y, entonces, ¿cómo se deducen los esfuerzos cortantes?
)
(
)
(
)
(
3
2
1
0
y
M
x
M
Q
x
M
y
M
Q
q
y
Q
x
Q
xy
x
x
xy
y
y
y
x
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
=
+
∂
∂
+
∂
∂

CONDICIONES DE CONTORNO:
„ x = +a/2
„ x = -a/2
„ y = +b/2
„ y = -b/2
TEORIA DE PLACAS

x = +a/2
x
w
M
M
w
y
M
Q
y
M
x
M
v
N
N
u
N
N
x
x
xy
x
xy
x
xy
xy
x
x
∂
∂
=
∂
∂
+
=
∂
∂
+
∂
∂
=
=
+
+
+
+
+
0
0
0
0
ó
iv.
ó
2
iii.
ó
ii.
ó
i.
Debe fijarse:
TEORIA DE PLACAS

x
w
M
M
w
y
M
Q
y
M
x
M
v
N
N
u
N
N
x
x
xy
x
xy
x
xy
xy
x
x
∂
∂
=
∂
∂
+
=
∂
∂
+
∂
∂
=
=
−
−
−
−
−
0
0
0
0
ó
iv.
ó
2
iii.
ó
ii.
ó
i.
x = -a/2
Debe fijarse:
TEORIA DE PLACAS

y
w
M
M
w
y
M
Q
x
M
y
M
u
N
N
v
N
N
y
y
yx
y
xy
y
yx
xy
y
y
∂
∂
=
∂
∂
+
=
∂
∂
+
∂
∂
=
=
+
+
+
+
+
0
0
0
0
2
ó
iv.
ó
iii.
ó
ii.
ó
i.
y = +b/2
Debe fijarse:
TEORIA DE PLACAS

y
w
M
M
w
y
M
Q
x
M
y
M
u
N
N
v
N
N
y
y
yx
y
xy
y
yx
xy
y
y
∂
∂
=
∂
∂
+
=
∂
∂
+
∂
∂
=
=
−
−
−
−
−
0
0
0
0
ó
iv.
ó
2
iii.
ó
ii.
ó
i.
y = -b/2
Debe fijarse:
TEORIA DE PLACAS

x
v
y
u
y
v
x
u
xy
y
x
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
0
0
0
0
0
0
0
γ
ε
ε
DEFORMACIONES EN EL PLANO MEDIO:
TEORIA DE PLACAS

y
x
w
y
w
x
w
xy
y
x
∂
∂
∂
−
=
∂
∂
−
=
∂
∂
−
=
0
2
2
0
2
2
0
2
2
κ
κ
κ
CURVATURAS:
TEORIA DE PLACAS

ECUACIONES BASADAS EN DESPLAZAMIENTOS:
TEORIA DE PLACAS
0
0
0
2
2
2
2
2
=
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
q
y
M
y
x
M
x
M
y
N
x
N
y
N
x
N
y
xy
x
y
xy
xy
x
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
κ
κ
κ
γ
ε
ε
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
xy
y
x
xy
0
y
0
x
0
66
26
16
66
26
16
26
22
12
26
22
12
16
12
11
16
12
11
66
26
16
66
26
16
26
22
12
26
22
12
16
12
11
16
12
11
xy
y
x
xy
y
x
D
D
D
B
B
B
D
D
D
B
B
B
D
D
D
B
B
B
B
B
B
A
A
A
B
B
B
A
A
A
B
B
B
A
A
A
M
M
M
N
N
N
x
v
y
u
y
v
x
u
xy
y
x
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
0
0
0
0
0
0
0
γ
ε
ε
y
x
w
y
w
x
w
xy
y
x
∂
∂
∂
−
=
∂
∂
−
=
∂
∂
−
=
0
2
2
0
2
2
0
2
2
κ
κ
κ

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
+
+
+
+
+
=
y
x
w
B
y
w
B
x
w
B
x
v
y
u
A
y
v
A
x
u
A
N
B
B
B
A
A
A
N
x
xy
y
x
xy
y
x
x
0
2
16
2
0
2
12
2
0
2
11
0
0
16
0
12
0
11
16
12
11
0
16
0
12
0
11
2
κ
κ
κ
γ
ε
ε
TEORIA DE PLACAS

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
+
+
+
+
+
=
y
x
w
B
y
w
B
x
w
B
x
v
y
u
A
y
v
A
x
u
A
N
B
B
B
A
A
A
N
y
xy
y
x
xy
y
x
y
0
2
26
2
0
2
22
2
0
2
12
0
0
26
0
22
0
12
26
22
12
0
26
0
22
0
12
2
κ
κ
κ
γ
ε
ε
TEORIA DE PLACAS

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
+
+
+
+
+
=
y
x
w
B
y
w
B
x
w
B
x
v
y
u
A
y
v
A
x
u
A
N
B
B
B
A
A
A
N
xy
xy
y
x
xy
y
x
xy
0
2
66
2
0
2
26
2
0
2
16
0
0
66
0
26
0
16
66
26
16
0
66
0
26
0
16
2
κ
κ
κ
γ
ε
ε
TEORIA DE PLACAS

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
+
+
+
+
+
=
y
x
w
D
y
w
D
x
w
D
x
v
y
u
B
y
v
B
x
u
B
M
D
D
D
B
B
B
M
x
xy
y
x
xy
y
x
x
0
2
16
2
0
2
12
2
0
2
11
0
0
16
0
12
0
11
16
12
11
0
16
0
12
0
11
2
κ
κ
κ
γ
ε
ε
TEORIA DE PLACAS

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
+
+
+
+
+
=
y
x
w
D
y
w
D
x
w
D
x
v
y
u
B
y
v
B
x
u
B
M
D
D
D
B
B
B
M
y
xy
y
x
xy
y
x
y
0
2
26
2
0
2
22
2
0
2
12
0
0
26
0
22
0
12
26
22
12
0
26
0
22
0
12
2
κ
κ
κ
γ
ε
ε
TEORIA DE PLACAS

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
+
+
+
+
+
=
y
x
w
D
y
w
D
x
w
D
x
v
y
u
B
y
v
B
x
u
B
M
D
D
D
B
B
B
M
xy
xy
y
x
xy
y
x
xy
0
2
66
2
0
2
26
2
0
2
16
0
0
66
0
26
0
16
66
26
16
0
66
0
26
0
16
2
κ
κ
κ
γ
ε
ε
TEORIA DE PLACAS

0
0
0
2
2
2
2
2
=
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
q
y
M
y
x
M
x
M
y
N
x
N
y
N
x
N
y
xy
x
y
xy
xy
x
ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE LA PLACA:
TEORIA DE PLACAS

0
=
∂
∂
+
∂
∂
y
N
x
N xy
x
ECUACIONES BASADAS EN CONDICIONES DE EQUILIBRIO:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
y
x
w
B
y
w
B
x
w
B
x
v
y
u
A
y
v
A
x
u
A
N
y
x
w
B
y
w
B
x
w
B
x
v
y
u
A
y
v
A
x
u
A
N
xy
x
0
2
66
2
0
2
26
2
0
2
16
0
0
66
0
26
0
16
0
2
16
2
0
2
12
2
0
2
11
0
0
16
0
12
0
11
2
2
TEORIA DE PLACAS

0
2
2
2
0
3
66
3
0
3
26
2
0
3
16
0
2
2
0
2
66
2
0
2
26
0
2
16
2
0
3
16
2
0
3
12
3
0
3
11
2
0
2
0
2
16
0
2
12
2
0
2
11
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
y
x
w
B
y
w
B
y
x
w
B
y
x
v
y
u
A
y
v
A
y
x
u
A
y
x
w
B
y
x
w
B
x
w
B
x
v
x
y
u
A
x
y
v
A
x
u
A
0
=
∂
∂
+
∂
∂
y
N
x
N xy
x
Sustituyendo las expresiones de Nx y Nxy en:
TEORIA DE PLACAS

( )
( ) 0
2
3
2
3
0
3
26
2
0
3
66
12
2
0
3
16
3
0
3
11
2
0
2
26
0
2
66
12
2
0
2
16
2
0
2
66
0
2
16
2
0
2
11
=
∂
∂
−
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
y
w
B
y
x
w
B
B
y
x
w
B
x
w
B
y
v
A
y
x
v
A
A
x
v
A
y
u
A
y
x
u
A
x
u
A
Reorganizando la última expresión:
TEORIA DE PLACAS

( )
( ) 0
2
3
2
3
0
3
26
2
0
3
66
12
2
0
3
16
3
0
3
11
2
0
2
26
0
2
66
12
2
0
2
16
2
0
2
66
0
2
16
2
0
2
11
=
∂
∂
−
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
y
w
B
y
x
w
B
B
y
x
w
B
x
w
B
y
v
A
y
x
v
A
A
x
v
A
y
u
A
y
x
u
A
x
u
A
0
y
N
x
N xy
x
=
∂
∂
+
∂
∂
En definitiva:
Ecuación diferencial 1
TEORIA DE PLACAS

( )
( ) 0
3
2
2
3
0
3
22
2
0
3
26
2
0
3
66
12
3
0
3
16
2
0
2
22
0
2
26
2
0
2
66
2
0
2
26
0
2
66
12
2
0
2
16
=
∂
∂
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
y
w
B
y
x
w
B
y
x
w
B
B
x
w
B
y
v
A
y
x
v
A
x
v
A
y
u
A
y
x
u
A
A
x
u
A
0
y
N
x
N y
xy
=
∂
∂
+
∂
∂
De la misma forma:
TEORIA DE PLACAS

( )
( )
( ) q
y
v
B
y
x
v
B
y
x
v
B
B
x
v
B
y
u
B
y
x
u
B
B
y
x
u
B
x
u
B
y
w
D
y
x
w
D
y
x
w
D
D
y
x
w
D
x
w
D
=
∂
∂
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
3
0
3
22
2
0
3
26
2
0
3
66
12
3
0
3
16
3
0
3
26
2
0
3
66
12
2
0
3
16
3
0
3
11
4
0
4
22
3
0
4
26
2
2
0
4
66
12
3
0
4
16
4
0
4
11
3
2
2
3
4
2
2
4
0
2 2
2
2
2
2
=
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
q
y
M
y
x
M
x
M y
xy
x
TEORIA DE PLACAS

En definitiva, hemos llegado a plantear tres ecuaciones
diferenciales (Ecuaciones 1, 2 y 3) en las que aparecen,
como incógnitas, u0, v0 y w0 que, una vez resueltas y
verificando las condiciones de contorno, nos permitirían
calcular el campo de desplazamientos dentro del laminado.
de este último, podríamos determinar las deformaciones en
cada punto del laminado y, de este último, el campo tensional.
TEORIA DE PLACAS

0
Bij =
LAMINADOS SIMÉTRICOS:
TEORIA DE PLACAS

( )
( ) 0
2
3
2
3
0
3
26
2
0
3
66
12
2
0
3
16
3
0
3
11
2
0
2
26
0
2
66
12
2
0
2
16
2
0
2
66
0
2
16
2
0
2
11
=
∂
∂
−
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
y
w
B
y
x
w
B
B
y
x
w
B
x
w
B
y
v
A
x
y
v
A
A
x
v
A
y
u
A
x
y
u
A
x
u
A
( )
( ) 0
3
2
2
3
0
3
22
2
0
3
26
2
0
3
66
12
3
0
3
16
2
0
2
22
0
2
26
2
0
2
66
2
0
2
26
0
2
66
12
2
0
2
16
=
∂
∂
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
y
w
B
y
x
w
B
y
x
w
B
B
x
w
B
y
v
A
x
y
v
A
x
v
A
y
u
A
x
y
u
A
A
x
u
A
( )
( )
( ) q
y
v
B
y
x
v
B
y
x
v
B
B
x
v
B
y
u
B
y
x
u
B
B
y
x
u
B
x
u
B
y
w
D
y
x
w
D
y
x
w
D
D
y
x
w
D
x
w
D
=
∂
∂
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
3
0
3
22
2
0
3
26
2
0
3
66
12
3
0
3
16
3
0
3
26
2
0
3
66
12
2
0
3
16
3
0
3
11
4
0
4
22
3
0
4
26
2
2
0
4
66
12
3
0
4
16
4
0
4
11
3
2
2
3
4
2
2
4
TEORIA DE PLACAS
Ecuaciones generales:

( )
( )
( ) 0
4
2
2
4
0
2
0
2
4
0
4
22
3
0
4
26
2
2
0
4
66
12
3
0
4
16
4
0
4
11
2
0
2
22
0
2
26
2
0
2
66
2
0
2
26
0
2
66
12
2
0
2
16
2
0
2
26
0
2
66
12
2
0
2
16
2
0
2
66
0
2
16
2
0
2
11
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
y
w
D
y
x
w
D
y
x
w
D
D
y
x
w
D
x
w
D
y
v
A
y
x
v
A
x
v
A
y
u
A
y
x
u
A
A
x
u
A
y
v
A
y
x
v
A
A
x
v
A
y
u
A
y
x
u
A
x
u
A
Ecuaciones para el caso de laminados simétricos:
TEORIA DE PLACAS

0
A
0
A
0
B
26
16
ij
=
=
=
LAMINADOS SIMÉTRICOS BALANCEADOS:
TEORIA DE PLACAS

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) q
y
v
B
y
x
v
B
y
x
v
B
B
x
v
B
y
u
B
y
x
u
B
B
y
x
u
B
x
u
B
y
w
D
y
x
w
D
y
x
w
D
D
y
x
w
D
x
w
D
y
w
B
y
x
w
B
y
x
w
B
B
x
w
B
y
v
A
y
x
v
A
x
v
A
y
u
A
y
x
u
A
A
x
u
A
y
w
B
y
x
w
B
B
y
x
w
B
x
w
B
y
v
A
y
x
v
A
A
x
v
A
y
u
A
y
x
u
A
x
u
A
=
∂
∂
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
3
0
3
22
2
0
3
26
2
0
3
66
12
3
0
3
16
3
0
3
26
2
0
3
66
12
2
0
3
16
3
0
3
11
4
0
4
22
3
0
4
26
2
2
0
4
66
12
3
0
4
16
4
0
4
11
3
0
3
22
2
0
3
26
2
0
3
66
12
3
0
3
16
2
0
2
22
0
2
26
2
0
2
66
2
0
2
26
0
2
66
12
2
0
2
16
3
0
3
26
2
0
3
66
12
2
0
3
16
3
0
3
11
2
0
2
26
0
2
66
12
2
0
2
16
2
0
2
66
0
2
16
2
0
2
11
3
2
2
3
4
2
2
4
0
3
2
2
0
2
3
2
TEORIA DE PLACAS

( )
( )
( ) q
y
w
D
y
x
w
D
y
x
w
D
D
y
x
w
D
x
w
D
y
v
A
x
v
A
y
x
u
A
A
y
x
v
A
A
y
u
A
x
u
A
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
=
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
4
0
4
22
3
0
4
26
2
2
0
4
66
12
3
0
4
16
4
0
4
11
2
0
2
22
2
0
2
66
0
2
66
12
0
2
66
12
2
0
2
66
2
0
2
11
4
2
2
4
0
0
Ecuaciones para el caso de laminados simétricos balanceados:
TEORIA DE PLACAS

0
D
0
A
0
D
0
A
0
B
26
26
16
16
ij
=
=
=
=
=
LAMINADOS SIMÉTRICOS DE LÁMINAS
CRUZADAS:
TEORIA DE PLACAS

( )
( )
( ) q
y
w
D
y
x
w
D
2
D
2
y
x
w
D
0
y
v
A
x
v
A
y
x
u
A
A
0
y
x
v
A
A
y
u
A
x
u
A
4
0
4
22
2
2
0
4
66
12
4
0
4
11
2
0
2
22
2
0
2
66
0
2
66
12
0
2
66
12
2
0
2
66
2
0
2
11
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
=
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
Ecuaciones para el caso de laminados simétricos de láminas cruzadas:
TEORIA DE PLACAS

( )
( ) ( )
( )
0
2
1
1
24
1
12
1
12
0
2
1
1
2
1
1
0
26
16
3
66
2
3
21
12
2
3
22
11
26
16
66
2
21
12
2
22
11
=
=
−
=
+
=
=
−
=
=
=
−
=
=
=
=
−
=
+
=
=
−
=
=
=
−
=
=
=
D
D
D
EH
D
D
EH
D
D
D
EH
D
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A
A
A
EH
A
A
EH
A
A
A
EH
A
A
Bij
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
PLACAS ISÓTROPAS:
TEORIA DE PLACAS

0
2
1
2
1
0
2
1
2
1
0
2
1
2
1
0
2
2
0
2
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
=
∂
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
∂
∂
=
∂
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
+
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
∂
∂
=
∂
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
+
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
∂
∂
x
y
v
y
u
x
u
x
y
v
y
u
x
u
x
y
v
A
A
y
u
A
x
u
A
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
Ecuaciones para placas isótropas:
TEORIA DE PLACAS

D
q
y
w
y
x
w
x
w
y
v
x
v
x
y
u
x
y
v
y
u
x
u
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
∂
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
∂
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
∂
∂
4
0
4
2
2
0
4
4
0
4
2
0
2
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
1
2
1
0
2
1
2
1
ν
ν
ν
ν
TEORIA DE PLACAS

)
( 2
3
1
12 ν
−
⋅
=
EH
D
CONSTANTE DE RIGIDEZ A FLEXIÓN DE UNA PLACA
TEORIA DE PLACAS

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