Clase N° 12 - TPN° 11 - Flexión y Corte (EyRM).pptx

Clase N° 12 – TPN° 11
Flexión y Corte
Flexión Variable (Teoría de Jouravski)
Curso de Estática y
Resistencia de Materiales
Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

Veamos algunos
Conceptos Preliminares
1. Partimos de un cuerpo (chapa) en equilibrio
Concepto de ESFUERZO CARACTERÍSTICO
2. Realizamos una sección (corte) transversal
cualquiera
3. La estructura queda dividida en una parte
izquierda y en una parte derecha
PARTE IZQUIERDA PARTE DERECHA
4. La Resultante de las fuerzas que quedan en la parte izquierda serán la equilibrante de
las parte derecha luego de producido el corte (y viceversa). Ri = - Rd
Gd
Gi
Rd Ri
5. La Resultante izquierda (Ri) aplicada a la parte derecha restaurará el equilibrio de la
parte derecha. La cara dónde se aplica la resultante es la cara positiva del corte
6. Si trasladamos Ri al baricentro de la parte derecha aparecerá un momento M = Ri . d
R’iG
d
M
7. Si proyectamos R’iG sobre el plano de la sección y sobre su normal aparecerán dos
fuerzas N = R’iG . cos a y Q = R’iG . sen a

Veamos algunos
Conceptos Preliminares
cualquiera
Gd
Gi
Rd
R’iG
d
M
a
N
Q
8. El Sistema de Fuerzas M; N; Q es equivalente a la Resultante Ri y se denominan
esfuerzos característicos.
Ri

9. Una sección está sometida a flexión transversal (flexión y corte)
cuando la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre dicha
sección está contenida en ella y pasa por el centro de gravedad y a
dos pares normales a su plano. (esto es: N = 0)
cualquiera
Gd
Gi
Rd
M
a
N
Q
8. El Sistema de Fuerzas M; N; Q es equivalente a la Resultante Ri y se denominan
esfuerzos característicos.
Ri

Es de nuestro interés calcular el eje de un
carretón solicitado por un par de fuerzas P y
verificar las tensiones tangenciales
Datos:      
m
l
m
c
cm
kg
cm
kg
t
P adm
adm 20
,
1
;
30
,
0
;
600
;
1200
;
8 2
2
















 

Dado que el sistema posee tanto simetría
geométrica como simetría de cargas las
reacciones de vínculo en A y B resultan:
tm
c
P
M
t
P
R
R B
A 4
,
2
;
8 





Con estos valores, graficamos los diagramas de
esfuerzo Flexor y Corte:
Si al reducir al baricentro de la sección en estudio,
las fuerzas que actúan a uno u otro lado de la
misma se obtiene momento flector M y esfuerzo
de corte Q, como por ejemplo en el tramo AC o
DB del eje de la figura, la solicitación a la que se
encuentra sometido dicho tramo se denomina
flexión transversal (flexión y corte asociado).
Problema 1

Dimensionemos en primer término el eje del
carretón a la flexión pura, para posteriormente
verificarlo al corte
El momento flector M genera tensiones
normales  en la sección transversal, tensiones
que calculamos con la fórmula de Navier, así:
x
x
x
z
W
M
y
J
M
y
J
M max
max
max
max 




 

32
;
2
;
64
;
3
max
4
max
d
W
d
y
d
J
c
P
M x
x









y reemplazando en max (el dimensionamiento se hace para las tensiones máximas) y
despejando d será:
donde, para la sección circular del eje resulta:
cm
cm
kg
cm
kg
c
P
d
adm
13
1200
30
8000
32
32
3
2
3 












Adoptamos como valor inicial para el cálculo, un eje del carretón de diámetro d = 13 cm
𝜎𝑎𝑑𝑚 ≥ 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 32 ∙
𝑃 ∙ 𝑐
𝜋 ∙ 𝑑3

Analizamos ahora, el efecto del corte en los
tramos del eje AC y DB
Debido a la relación que existe entre M y Q (dM/dz = Q) la presencia de esfuerzo de corte
Q implica necesariamente la variación del momento flector M.
La existencia de Q, originará además, tensiones tangenciales en las secciones transversales.
La existencia de tensiones tangenciales de corte () en la sección origina la existencia de
deformaciones angulares  ( = /G) (debidas a la Ley de Hooke).
En la flexión transversal, a diferencia de la flexión pura, las secciones transversales de la
barra no permanecen planas.
El error que se comete al no considerar el alabeo de la sección es del orden de H/L (en valor
unitario, donde H es la altura de la sección y L la luz entre apoyos) en el caso de vigas con esfuerzo
de corte Q variable, y totalmente nulo en el caso de esfuerzo de corte Q constante.
Por consiguiente en esas condiciones la tensión  calculada obtenida para flexión pura, es
también válida para flexión transversal.

Por medio de dos secciones 1-1 y
2-2 distanciadas dz, aislamos un
elemento diferencial del eje
En la dirección “z” actúan las tensiones
normales z sobre las caras izquierda y
derecha (z1 y z2 respectivamente).
Definimos un plano de corte longitudinal
(PCL) situado a una distancia “y” del eje
neutro de la sección.
y
Si planteamos el equilibrio en el
volumen de control del
elemento diferencial del eje
situado por sobre el plano de
corte longitudinal, las resultantes
R1 y R2 de las fuerzas provocadas
por las tensiones (z1 y z2) no
serán iguales ya que los
momentos flectores que las
generan difieren en dM.
volumen de control
R1 R2
La condición de equilibrio  FZi = 0
se puede escribir: R1+H-R2=0
H
PCL
Teoría de
Jouravski
H = fuerza de resbalamiento
dz
R
y

Si suponemos yz = cte
tendremos:
y
R1 R2
H
PCL
yz
dz
b
H y
yz 


*
2
*
*
2
2
x
x
F
x
F
z
S
J
dM
M
R
dF
y
J
dM
M
dF
R









 

*
1
*
*
1
1
x
x
F
x
F
z
S
J
M
R
dF
y
J
M
dF
R







 

y las resultantes R1 y R2 serán:
y
Reemplazando H, R1 y R2 en H = R2 - R1, resulta:
*
*
x
x
x
x
x
y
yz S
J
dM
S
J
M
J
dM
M
dz
b 













 
y
x
x
y
x
x
yz
b
J
S
Q
b
J
S
dz
dM






*
*

Expresión de Jouravski
dz
R
y
by

El significado de cada factor en la
fórmula de Jouravski es:
y
x
x
yz
b
J
S
Q



*

yz : tensión de corte longitudinal para
la coordenada “y”.
Q: esfuerzo de corte en la sección
estudiada (se obtiene del diagrama de
esfuerzo de corte y generalmente se utiliza
el valor máximo, sea positivo o negativo).
El esfuerzo de corte Q depende de la
coordenada “x” de la sección donde
se calcula yz.
Jx: momento de inercia de la sección
respecto del eje “x”.
Sx
*: momento estático, respecto al eje “x”
(plano de corte longitudinal), de la parte de la
sección transversal que se encuentra por
encima de la línea donde se calcula yz.
by: ancho de la sección en correspondencia
con la coordenada “y” donde se calcula yz .

Veamos que dice Cauchy
respecto a las tensiones yz:
y
R1 R2
H
PCL
yz
zy
De acuerdo a la ley de
reciprocidad de las tensiones
tangenciales (Cauchy), en el
plano de la sección “xy” que
es perpendicular al plano
longitudinal “xz”, existen
tensiones tangenciales de
dirección vertical (zy) que
tendrán igual módulo que las
tensiones longitudinales
horizontales (yz)…
F
Q
dF
Q
F media
F
zy
Yi 




 
 

0
…y para que se satisfaga la
condición de equilibrio
vertical,  FYi = 0 debe ser:
(asumiendo zy = cte= media)

y para la sección circular del eje
resulta:
2
2
2 y
R
by 


4
64
4
4
R
D
Jx






…y el diferencial de momento estático de la sección
ubicado por sobre el plano de corte longitudinal
ubicado a una distancia y =  de G es:
 






R
y
y
y
d
b
S
d
b
dS 


 



 




R
y
y
d
R
S 



2
2
2
y reemplazando b será:
   2
3
2
2
2
3
2
2
3
2
3
2
y
R
R
S
R
y
y






 

y reemplazando valores en la expresión de Jouravski tendremos:
 
  4
2
1
2
2
2
3
2
2
2
3
4
2
R
y
R
y
R
Q
zy












 
4
2
2
3
4
R
y
R
Q
zy








distribución cuadrática
 
0

zy

valor mínimo para y = R
valor máximo para y = 0














 med
y
zy
F
Q
R
Q




3
4
3
4
3
4
2
max
0
d 
R
½ by
y

verificamos las tensiones normales debidas a
la flexión y las tangenciales debidas al corte en
los punto C y D
Datos:      
m
l
m
c
cm
kg
cm
kg
t
P adm
adm 20
,
1
;
30
,
0
;
600
;
1200
;
8 2
2
















 

 
 





























2
2
2
3
3
3
max
133
4
13
4
216
32
13
32
240000
30
8000
8000
cm
cm
d
F
cm
cm
d
W
cm
kg
cm
kg
c
P
M
kg
P
R
Q
x
A




C D























adm
y
adm
x
R
y
cm
kg
cm
kg
F
Q
cm
kg
cm
cm
kg
W
M






2
2
0
max
2
3
max
max
80
133
8000
3
4
3
4
1111
216
240000

verificamos las tensiones normales debidas a
la flexión y las tangenciales debidas al corte en
los punto C y D















2
2
2
2
2
max
2
60
133
8000
556
2
1111
2
cm
kg
cm
kg
F
Q
cm
kg
cm
kg
R
y
zy
R
y
z



las fibras ubicadas a una distancia R del plano de corte
longitudinal que contiene al baricentro estarán solicitadas
por tensiones  =  max  1111 kg/cm2 y  = 0
las fibras ubicadas sobre el plano de
corte longitudinal que contiene al
baricentro estarán solicitadas por
tensiones  =  max  80 kg/cm2 y  = 0
las fibras ubicadas a
distancias intermedias,
por ejemplo y = R/2 será:
→ 𝜌
𝑦=
𝑅
2
= 𝜎𝑧
𝑦=
𝑅
2
2
+ 𝜏𝑧𝑦
𝑦=
𝑅
2
2
≅ 560
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
< 𝜎𝑚𝑎𝑥
 max  80 kg/cm2
 max  1111 kg/cm2
 max  556 kg/cm2
 max  60 kg/cm2

Veamos el siguiente
problema de aplicación
Para la estructura indicada en la figura se pide:
a – Reacciones de vínculo
b – Trazado de los diagramas de características,
indicando los valores particulares
c – Clasificar la Flexión
d – Dimensionar los elementos estructurales de
acuerdo a las secciones propuestas y el
material, calidad y coeficiente de seguridad (CS)
indicados
e – Tabular las secciones en orden creciente de
las áreas de las secciones transversales,
indicando, además, el porcentaje en más de
cada una respecto a las de menor valor tomada
como patrón. Justificar cuál o cuáles son las más
convenientes.
Datos:
P = 50 KN
L = 6 m
F = 240 N/mm2; F  F /2 = 120 N/mm2
CS = 1,40
Secciones:
Rectangular con relación: h = 2b
Circular de Ø = D
Sección: IPE (IRAM-IAS / U 500-215-5)
Problema 2

Veamos el siguiente
problema de aplicación
Planteamos las ecuaciones de equilibrio
y obtenemos las reacciones RA y RB.
RA RB
𝑭𝑯 = 𝟎
𝑭𝑽 = 𝟎 = 𝑹𝑨 + 𝑹𝑩 − 𝑷
𝑴𝑨 = 𝟎 = 𝑹𝑩 ∙ 𝑳 − 𝑷 ∙ 𝒂

𝑹𝑨 =
𝑷∙𝒃
𝑳
= 𝟏𝟔, 𝟔𝟔𝟔 … 𝑲𝑵
𝑹𝑩 =
𝑷∙𝒂
𝑳
= 𝟑𝟑, 𝟑𝟑𝟑 … 𝑲𝑵
Datos:
P = 50 KN
L = 6 m
F = 240 N/mm2; F  F /2 = 120 N/mm2
CS = 1,40
Resolución

RA RB
Trazamos los diagramas
de características
𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔 … 𝐊𝐍. 𝐦
Barra solicitada por Corte y Flexión Normal
16,666… [KN]
33,333… [KN]
P
𝑴𝒎𝒂𝒙 = 𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔 … 𝐊𝐍. 𝐦 ≅ 𝟔𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 𝐤𝐠. 𝐜𝐦

RA RB
Trazamos los diagramas
de características
Calculamos, las tensiones admisibles:
𝛔𝐀𝐝𝐦 =
𝛔𝐅𝐋
𝑪𝑺
=
𝟐𝟒𝟎
𝑵
𝒎𝒎𝟐
𝟏, 𝟒
≅ 𝟏𝟕𝟎
𝑵
𝒎𝒎𝟐
≅ 𝟏𝟕𝟒𝟎
𝒌𝒈
𝒄𝒎𝟐
𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔 … 𝐊𝐍. 𝐦
16,666… [KN]
33,333… [KN]
Barra solicitada por Corte y Flexión Normal
𝛕𝐀𝐝𝐦 ≅
𝛔𝐀𝐝𝐦
𝟐
≅ 𝟖𝟕𝟎
𝒌𝒈
𝒄𝒎𝟐
P
𝑴𝒎𝒂𝒙 = 𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔 … 𝐊𝐍. 𝐦 ≅ 𝟔𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 𝐤𝐠. 𝐜𝐦

RA RB
Dimensionemos las distintas
secciones propuestas
Calculemos el módulo resistente de la sección:
𝛔𝐀𝐝𝐦 ≥ 𝛔𝐦𝐚𝐱 =
𝑴𝒎𝒂𝒙
𝑱𝑿
∙ 𝒅𝒎𝒂𝒙 =
𝑴𝒎𝒂𝒙
𝑾𝑿
→ 𝑾𝑿 =
𝑴𝒎𝒂𝒙
𝛔𝐀𝐝𝐦
…donde WX es el módulo resistente de la
sección, Mmax es el momento de la sección más
solicitada, JX es el momento de inercia
correspondiente, Adm es la tensión admisible y
dmax es la distancia de la fibra más alejada del
baricentro de la sección:
Dimensionamos a flexión y verificamos al corte
→ 𝑾𝑿 ≥
𝟔𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒈 ∙ 𝒄𝒎
𝟏𝟕𝟒𝟎
𝒌𝒈
𝒄𝒎𝟐
≅ 𝟒𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟑

RA RB
Calculemos el módulo resistente de la sección:
…donde WX es el módulo resistente de la
sección, Mmax es el momento de la sección más
solicitada, JX es el momento de inercia
correspondiente, Adm es la tensión admisible y
dmax es la distancia de la fibra más alejada del
baricentro de la sección:
→ 𝑾𝑿 ≥
𝟔𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒈 ∙ 𝒄𝒎
𝟏𝟕𝟒𝟎
𝒌𝒈
𝒄𝒎𝟐
≅ 𝟒𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟑
Para las sección rectangular y circular el momento de inercia y el momento estático será:
Dimensionamos a flexión y verificamos al corte
𝛔𝐀𝐝𝐦 ≥ 𝛔𝐦𝐚𝐱 =
𝑴𝒎𝒂𝒙
𝑱𝑿
∙ 𝒅𝒎𝒂𝒙 =
𝑴𝒎𝒂𝒙
𝑾𝑿
→ 𝑾𝑿 =
𝑴𝒎𝒂𝒙
𝛔𝐀𝐝𝐦

RA RB
b – Sección circular (con diámetro Ø = D)
𝑱𝑿 =
𝝅 ∙
𝑫
𝟐
𝟒
𝟒
𝒅𝒎𝒂𝒙 =
𝑫
𝟐
→ 𝑾𝑿 =
𝝅 ∙
𝑫
𝟐
𝟒
𝟒
∙
𝟐
𝑫
=
𝝅 ∙ 𝑫𝟑
𝟑𝟐
≥ 𝟒𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟑
→ 𝑫 ≥
𝟑 𝟑𝟐 ∙ 𝟒𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟑
𝝅
≅ 𝟏𝟔 𝒄𝒎 → 𝑹 =
𝑫
𝟐
≅ 𝟖 𝒄𝒎 → 𝑨 = 𝝅 ∙
𝑫
𝟐
𝟐
≅ 𝟐𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐
x
y Ø = D
G
a – Sección rectangular (con relación h = 2b)
x
y
h
b
G
𝑱𝑿 =
𝒃 ∙ 𝒉𝟑
𝟏𝟐
𝒅𝒎𝒂𝒙 =
𝒉
𝟐
→ 𝑾𝑿 =
𝒃 ∙ 𝒉𝟑
𝟏𝟐
∙
𝟐
𝒉
=
𝟐
𝟑
∙ 𝒃𝟑
≥ 𝟒𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟑
→ 𝒃 ≥
𝟑 𝟑
𝟐
∙ 𝟒𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟑 ≅ 𝟖, 𝟒𝟎 𝒄𝒎
→
𝒉 = 𝟏𝟔, 𝟖𝟎 𝒄𝒎
𝑨 = 𝒃 ∙ 𝒉 = 𝟏𝟒𝟏, 𝟏𝟐 𝒄𝒎𝟐

RA RB
c – Perfil IPE Veamos la Tabla del perfil
Buscamos un valor de módulo resistente que sea
𝑾𝑿 ≥ 𝟒𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟑
P𝑒𝑟𝑓𝑖𝑙 𝑠𝑒𝑙𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜: 𝑰𝑷𝑬 𝟐𝟕𝟎
Á𝒓𝒆𝒂: 𝟒𝟓, 𝟗 𝒄𝒎𝟐
𝑴𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝑬𝒔𝒕á𝒕𝒊𝒄𝒐 𝒅𝒆
𝟏
𝟐
𝑺𝒖𝒑𝒆𝒓𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆: 𝟐𝟒𝟐 𝒄𝒎𝟑
𝑴𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝑰𝒏𝒆𝒓𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊ó𝒏: 𝟓𝟕𝟗𝟎 𝒄𝒎𝟒
𝑨𝒏𝒄𝒉𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊ó𝒏: 𝟔, 𝟔 𝒎𝒎 = 𝟎, 𝟔𝟔 𝒄𝒎

Verificamos las secciones al
corte…
Aplicamos la expresión de Jouravski:
y
x b
J
S
Q



*
max
max
max

a – Sección rectangular
→ 𝝉𝒎𝒂𝒙 =
𝟑𝟒𝟎𝟎 𝒌𝒈 ∙ 𝟐𝟗𝟔 𝒄𝒎𝟑
𝟑𝟑𝟐𝟎 𝒄𝒎𝟒 ∙ 𝟖, 𝟒𝟎 𝒄𝒎
≅ 𝟑𝟔
𝒌𝒈
𝒄𝒎𝟐
≤ 𝝉𝒎𝒂𝒙 = 𝟖𝟕𝟎
𝒌𝒈
𝒄𝒎𝟐  Verifica
→
𝑄𝑚𝑎𝑥 = 33,333 … 𝐾𝑁 ≅ 3400 𝑘𝑔
𝑆𝑚𝑎𝑥
∗
=
𝑏 ∙ ℎ2
8
=
8,40 𝑐𝑚 ∙ 16,80 𝑐𝑚 2
8
≅ 296 𝑐𝑚3
𝐽𝑚𝑎𝑥 =
𝑏 ∙ ℎ3
12
=
8,40 𝑐𝑚 ∙ 16,80 𝑐𝑚 3
12
≅ 3320 𝑐𝑚4
𝑏𝑦 = 𝑏 = 8,40 𝑐𝑚

corte…
b – Sección circular
𝟑𝟒𝟎𝟎 𝒌𝒈 ∙ 𝟑𝟒𝟐 𝒄𝒎𝟑
𝟑𝟐𝟐𝟎 𝒄𝒎𝟒 ∙ 𝟏𝟔 𝒄𝒎
≅ 𝟐𝟑
𝒌𝒈
𝒄𝒎𝟐
≤ 𝝉𝒎𝒂𝒙 = 𝟖𝟕𝟎
𝒌𝒈
𝒄𝒎𝟐  Verifica
→
𝑄𝑚𝑎𝑥 = 33,333 … 𝐾𝑁 ≅ 3400 𝑘𝑔
𝑆𝑚𝑎𝑥
∗ =
2 ∙ 𝑅3
3
=
2 ∙ 8 𝑐𝑚 3
3
≅ 342 𝑐𝑚3
𝐽𝑚𝑎𝑥 =
𝜋 ∙ 𝑅4
4
=
𝜋 ∙ 8 𝑐𝑚 4
4
≅ 3220 𝑐𝑚4
𝑏𝑦 = 𝐷 = 16 𝑐𝑚

corte…
c – IPE (IRAM-IAS / U 500-215-5)
𝟑𝟒𝟎𝟎 𝒌𝒈 ∙ 𝟐𝟒𝟐 𝒄𝒎𝟑
𝟓𝟕𝟗𝟎 𝒄𝒎𝟒 ∙ 𝟎, 𝟔𝟔 𝒄𝒎
≅ 𝟐𝟏𝟓
𝒌𝒈
𝒄𝒎𝟐 ≥ 𝝉𝒎𝒂𝒙 = 𝟖𝟕𝟎
𝒌𝒈
𝒄𝒎𝟐
→
𝑄𝑚𝑎𝑥 = 33,333 … 𝐾𝑁 ≅ 3400 𝑘𝑔
𝑆𝑚𝑎𝑥
∗ = 242 𝑐𝑚3
𝐽𝑚𝑎𝑥 = 5790 𝑐𝑚4
𝑏𝑦 = 𝑡𝑊 = 0,66 𝑐𝑚
 Verifica

Tabulamos las secciones en orden creciente de las
áreas de las secciones transversales
Perfil Área
Sección IPE 45,90 cm2
Sección Rectangular (h = 2b) 141,12 cm2
Sección Circular (Ø = D) 200 cm2
A menor sección, siendo todas las barras del mismo material,
menor será el peso de la estructura

Bibliografía
Estabilidad II - E. Fliess
Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
Mecánica de materiales - F. Beer y otros
Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana
Resistencia de materiales - V. Feodosiev
Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
Resistencia de materiales - S. Timoshenko

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