asaaasd addsdaw addaddw

1. Facultad de Ingeniería y Arquitectura
Matemática I
1
CALCULO DE LIMITES
LIMITES TRIGONOMÉTRICOS
Límites trigonométricos.
Se conocen así a aquellos límites en los cuales intervienen las funciones trigonométricas
?
¿
0


senx
Lim
x
?
cos
¿
0


x
Lim
x
Límites notables.
Se conocen así a aquellos límites que se dan por cierto sin previa demostración
a) 1
0

 x
senx
Lim
x
b)
2
1
cos
1
2
0


 x
x
Lim
x
“A partir de estos límites podemos resolver diversos límites trigonométricos”
Recomendación: estudiar las identidades trigonométricas
Ejemplos.
1)
0
tg x
x
x
Lim

=
0
sen x 1
x cos x
x
Lim

=
0
sen x 1
cos x
x
x x
Lim Lim
 
=
1
1
1
= 1.
2)
0 0
sen kx
. 1
x
x x
senkx
Lim Lim k k
kx
 
 
3) 2
2
.
1
.
1
2
.
4
4
.
8
8
4
8
.
4
4
.
8
8
4
8
0
0
0
0
0














 x
x
x
x
x
Lim
x
tg
x
Lim
x
x
sen
Lim
x
x
x
tg
x
x
x
sen
Lim
x
tg
x
sen
Lim .
Guía de Teoría y Práctica
Matemática I
Semana Nº 15

2. Facultad de Ingeniería y Arquitectura
Matemática I
2
4)
0 0
sen Ax
senAx A Ax
=
sen Bx
senBx B
Bx
x x
Lim Lim
 
= 0
0
sen Ax
A Ax
sen Bx
B
Bx
x
x
Lim
Lim


=
A 1
B 1
=
A
B
.
Problemas Propuestos
NIVEL 1
a)
3
1- 2 cos x
sen x-
3
x
Lim
 
  
 
 
b)
2
2
0
x
sen
3
x
x
Lim

c)
1
x
(1- x) tg
2
x
Lim


d)
x
k
cos
x
x
Lim

 
 
 
e)
x
x)
(a-
sen
-
x)
(a+
sen
0

x
Lim f)
bx
sen
-
ax
sen
e
-
e
bx
ax
0

x
Lim
g)  
x
cos
+
1
x
sec
3
2


x
Lim h)
x
cos
-
1
x
0

x
Lim .
i)
x
3
x
sen
arc
2
0

x
Lim . j)  
x
tg
3
+
1
2 x
cotg
0
2

x
Lim
k)
x
x
sen
-
x
tg
3
0

x
Lim l) )
1
1
2
( 2
0 Cosx
x
Sen
lím
x



m)
 
0
( )
1 ( )
x
xSen senx
lím
Cos senx
 
n)
)
1
(
1
4
3
1 x
sen
x
lím
x 



o) )
1
1
cos
2
( 2
2
senx
x
lím
x 



p)
 
0
( )
1 ( )
x
xSen senx
lím
Cos senx
 
q)
4
cos
4
2
2




x
lím
x
NIVEL 2
1)
(1 cos( ))
cos( ( )) 1
x
tg x
lím
tg x


 

 

 
2) 2
0
( 2 ) 2 ( ) ( )
x
sen a x sen a x sen a
lím
x

   
 
 
 
3) 







 )
3
(
)
2
(
0 x
sen
x
arctg
lím
x
4)










 )
1
)
cos(
(
)
1
)
cos(
(
0 x
arcsen
x
arctg
lím
x
5) )
1
1
2
( 2
0 Cosx
x
Sen
lím
x



6) )
(
( 3
0 x
Tan
Senx
x
lím
x


7)
0
2
( )
( )
2
x
Cot x
lím
Tan x



8) )
cos
1
cos
1
(
0 x
x
lím
x 


9)
 
0
( )
1 ( )
x
xSen senx
lím
Cos senx
 
10)
2
0
( )
1 cos
x
x
lím
xsenx x

 

3. Facultad de Ingeniería y Arquitectura
Matemática I
3
11)
2
2
0
8 4
( )
x
sen x sen x
lím
x


12)
0
1 cos cos2 cos3
( )
1 cos
x
x x x
lím
x



13)
2
2
0
1 cos 2 2
(
x
x x
lím
x

   
14)
0
cos cos2 1
2 cos2
x
x x
lím
sen x senx x



15) 2
0
2 1 cos
( )(1 cos } cos 2 )
( )
x
x
lím x s x
x senx

 
 16)
4
tan 2
cot( )
4
x
x
lím
x
 
 
17)
3
4
1
1
(1 )
x
x
lím
sen x



18)
2
3
1
tan(1 )
1
x
x
lím
x



19) 2
2
( )
4
x
sen x
lím
x

  
20)
2
2 sec
3
x
x
lím
x




21)
2
(cos )
cot
x
sen x
lím
x


22)
2
1 cos
1 cos
x
senx x
lím
senx x


 
 
23)
2
2
4
cos
4
x
x
lím
 


24) )
1
1
cos
2
( 2
2
senx
x
lím
x 



25)
1
cos
2
( )
1
x
x
lím
x

 
26)
2
2
6
2 1
( )
2 3 1
x
sen x senx
lím
sen x senx


 
 
27)
1
( )( )
2 2
1
x
arcsenx arcsenx
lím
x
 
 
 
 
 
 

 
 
 
28)
2
3
0
2 ( ) tan
x
x arcsenx x senx
lím
x
 
 
 
 
 
29)
2
0
(1 )
2
x
arcCos x
lím
x x
 
 

 
 

 
30)
2
0
(
1 cos
x
x
lím
xsenx x
  
31)
1
(1 )(tan( )
2
x
x
lím x


 32)
2 2
2
0
8 4
( )
x
sen x sen x
lím
x


33)
0
1 cos cos2 cos3
(
1 cos
x
x x x
lím
x



34)
2
3
0
2 ( ) -
x
x arcsenx tgx senx
Lim
x


34)
2
x 0
( 2 ) 2 ( )
sen a x sen a x sena
Lim
x

    35) 2
x 0
lim
arcSenx arcTgx
x



4. Facultad de Ingeniería y Arquitectura
Matemática I
4
CONTINUIDAD
A. INTRODUCCIÓN.
La gráfica adjunta representa el crecimiento de una
persona en función del tiempo. Midiendo su estatura cada año,
se obtiene una gráfica con pequeños saltos entre un punto y el
siguiente.
Si la gráfica se realiza midiendo la estatura cada cinco
años, el incremento entre cada punto y el siguiente (y) será
mayor, como lo es también el incremento del tiempo (x).
Finalmente, si se considera el crecimiento en cada
instante, la gráfica que mide las alturas no sufre ningún salto
brusco. Se dice en este caso que la función es continua.
B. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
CONTINUIDAD / DISCONTINUIDAD EN FORMA VISUAL
Continuidad
Una función es continua si:
La gráfica puede dibujarse completamente sin tener que levantar el papel. En el punto donde es necesario levantar
el lápiz no hay continuidad
Podemos caminar sobre la gráfica sin tener que dar saltos. En el punto donde es necesario saltar no hay
continuidad.
Discontinuidad
Una función es discontinua en un determinado punto si en dicho punto no existe gráfica (hay un hueco), o en dicho
punto la gráfica sufre un salto
1. Analicemos la continuidad de las gráficas anteriores en el punto x=0
a) Es continua. No hay salto. No hay hueco
b) No es continua. Hay salto. Hay hueco
c) No es continua. Hay hueco
d) NO es continua. Hay salto

5. Facultad de Ingeniería y Arquitectura
Matemática I
5
2. Analicemos la continuidad de las gráficas anteriores en el punto x=a
3. Analicemos la continuidad de las gráficas anteriores en el punto x = a
Desventaja del método visual: Es necesario conocer la gráfica. Es decir, si no se conoce la gráfica de la función
no se puede analizar la continuidad
CONTINUIDAD / DISCONTINUIDAD EN FORMA MATEMATICA
Continuidad
Una función f es continua en x=a si se cumplen las tres condiciones siguientes:
Discontinuidad
Una función f es discontinua en x=a si no cumple alguna de las tres condiciones anteriores
a) )
(a
f debe estar definido
b) )
(
lim x
f
a
x
debe existir
c) )
(
)
(
lim a
f
x
f
a
x



6. Facultad de Ingeniería y Arquitectura
Matemática I
6
1. Analicemos ahora la continuidad de las funciones siguientes con criterio matemático en x=a:
2. Analice la continuidad de las gráficas siguientes con criterio matemático:
a) )
(a
f =L
b) L
x
f
a
x


)
(
lim
c) )
(
)
(
lim a
f
x
f
a
x


ES CONTINUA
a) )
(a
f NO EXISTE
b) L
x
f
a
x


)
(
lim
c) )
(
)
(
lim a
f
x
f
a
x


NO ES CONTINUA
a) )
(a
f = )
( 0
x
f
b) L
x
f
a
x


)
(
lim
c) )
(
)
(
lim a
f
x
f
a
x


NO ES CONTINUA
a)
b)
c)
………….. ……………
a)
b)
c)
……………….…………
a)
b)
c)
…………….....………..

7. Facultad de Ingeniería y Arquitectura
Matemática I
7
Ejemplos Algebraicos:
1. Sea
2
4
)
(
2



x
x
x
f
¿Es continua en x = 2?
Solución
a) )
2
(
f NO EXISTE
b) 4
2
2
)
2
lim(
2
)
2
)(
2
(
lim
2
4
lim
)
(
lim
2
2
2
2
2















 x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
c) )
1
(
)
(
lim
1
f
x
f
x


La función NO ES CONTINUA
2. Sea









2
si
4
2
si
2
4
=
)
(
2
x
x
x
x
x
f
¿Es continua en x = 2?
Solución
a) 4
)
2
( 
f
b) 4
2
2
)
2
lim(
2
)
2
)(
2
(
lim
2
4
lim
)
(
lim
2
2
2
2
2















 x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
c) )
2
(
)
(
lim
2
f
x
f
x


La función ES CONTINUA
3. Sea






1
>
si
3
1
si
1
5
=
)
(
x
x
x
x
x
f
¿Es continua en x = 1?
Solución
a) 4
1
)
1
(
5
)
1
( 


f

8. Facultad de Ingeniería y Arquitectura
Matemática I
8
b) 4
1
)
1
(
5
)
1
5
(
lim
)
(
lim
1
1




 



x
x
f
x
x
4
3
1
)
3
(
lim
)
(
lim
1
1




 



x
x
f
x
x
Por lo tanto 4
)
(
lim
1


x
f
x
c) )
1
(
)
(
lim
1
f
x
f
x


La función ES CONTINUA
2. Sea




 

2
>
si
2
2
si
1
=
)
(
x
x
x
x
x
f
¿Es continua en x = 2?
Solución
a) 1
1
2
)
2
( 


f
b) 1
)
1
2
(
)
1
(
lim
)
(
lim
2
2




 



x
x
f
x
x
1
2
2
2
lim
)
(
lim
2
2


 



x
x
f
x
x
Por lo tanto 1
)
(
lim
2


x
f
x
c) )
2
(
)
(
lim
2
f
x
f
x


La función ES CONTINUA
3 .Sea




 

1
>
si
1
si
1
=
)
(
2
x
x
x
x
x
f
Solución
a) 0
1
1
)
1
( 


f
b) 0
)
1
1
(
)
1
(
lim
)
(
lim
2
1




 



x
x
f
x
x
1
)
1
(
lim
)
(
lim 2
2
1
1


 



x
x
f
x
x
Por lo tanto )
(
lim
2
x
f
x
NO EXISTE
c) )
1
(
)
(
lim
1
f
x
f
x


La función NO ES CONTINUA

9. Facultad de Ingeniería y Arquitectura
Matemática I
9
CONTINUIDAD LATERAL.
Si )
(
)
(
lim a
f
x
f
a
x



entonces la función )
(x
f es CONTINUA POR LA DERECHA en el punto a
x 
Si )
(
)
(
lim a
f
x
f
a
x



entonces la función )
(x
f es CONTINUA POR LA IZQUIERDA en el punto a
x 
“Una función es continua en el punto a
x  si y sólo sí es continua por la izquierda y por la derecha”
TIPOS DE DISCONTINUIDAD
Si el )
(
lim x
f
a
x
SI EXISTE entonces la Discontinuidad es evitable
Si el )
(
lim x
f
a
x
NO EXISTE entonces la Discontinuidad es inevitable
Ejemplos
1. Discontinuidad evitable (1)
Sea f(x) = 2 si x  1,
¿Es continua en x = 1?: No
2
=
(x)
1
f
Lim
x
, )
1
(
f NO existe
2. Discontinuidad evitable (2)
1. )
(
lim x
f
a
x
SI existe. )
(a
f NO existe
2. )
(
lim x
f
a
x
SI existe. )
(a
f SI existe. )
(
)
(
lim a
f
x
f
a
x


1. Si )
(
lim
)
(
lim x
f
x
f
a
x
a
x 



 la discontinuidad inevitables es de primera especie
2. Si )
(
lim x
f
a
x 

NO existe v )
(
lim x
f
a
x 

NO existe la discontinuidad inevitable es de
segunda especie

10. Facultad de Ingeniería y Arquitectura
Matemática I
10
Sea


 
1
=
x
si
3
1
x
si
2
=
f(x) ,
¿Es continua en x = 1?: No
2
=
(x)
1
f
Lim
x
, 3
)
1
( 
f , )
1
(
(x)
1
f
f
Lim
x


3. Discontinuidad inevitable (1)
Sea
2 si x < 1
f(x) =
3 si x 1




,
¿Es continua en x = 1?: No
2
(x)
1



f
Lim
x
, 3
(x)
1



f
Lim
x
4. Discontinuidad inevitable (2)
Sea
x
-
1
1
=
f(x) ,
¿Es continua en x = 1?: No



=
(x)
1
f
Lim
x
, 


=
(x)
1
f
Lim
x
PROBLEMAS PROPUESTOS
1- Analice la continuidad de las siguientes funciones. Identifique los tipos de continuidad:
a)
2
f(x) =
x-1
. b)







2
x
si
x
2
<
x
0
si
0
0
<
x
si
1
x+
=
f(x) .
c)
0 si x < 1
f(x) =
3x si x > 1



d)







5
x
si
4
5
<
x
3
si
1
x+
2
3
<
x
si
x
=
f(x) .
e)
x+ 2 si x < 0
f(x) =
2 si x 0




. f)
3
x-
9
-
x
3
=
f(x)
2
.
g)
2
3
-1
x
f (x) =
+ 7 x -8
x
. h)
2
3 2
2x-5x
f(x) =
+ 3 - 4x-12
x x
i)
5x
f(x) =
2x- 4
. j) 3 2
x-7
f(x) =
- -11x+3
x x
.

11. Facultad de Ingeniería y Arquitectura
Matemática I
11
k)
5
x+
6
-
x
12
x-
5
=
f(x) 2
. m)
2
4 2
7 +8
x
f(x) =
-13 +36
x x
.
2- Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
a)
 
2
x- 3
f(x) =
x - 3
. b)
2x si 0 < x < 2
f(x) =
5 si 2 x <


 

en x = 2.
c) 1
x
3
f(x) =
2 + 4
en x = 0. d) f(x) = 2x.
3- Determine si las siguientes funciones son continuas en el intervalo dado.
a)  
1
f(x)= , x 0 ; 1
x

b)  
2
x - 1
f(x)= , x 0 ; 2
x - 1

c)  
3
f(x)= x - x , x - ;
  
4- Discutir la continuidad de: 2
5 - x , -1 x 2
g(x)=
x - 1 , 2 x 3
 


 

5- Determine los intervalos en las cuales las funciones son continuas
a)
2
f(x)= 1 - x b)
2
1
f(x)=
1 - x
c)
2
f(x)= x - 1
6- Calcula el valor de a para que las siguientes funciones sean continuas en los puntos que se indican:
a)




 
1
>
x
si
ax
-
3
1
x
si
1
x+
=
f(x)
2
en x = 1. b)






0
=
x
si
1
-
0
x
si
x
3
+
x
7
x
3
-
ax
=
f(x) 3
5
3
4
en x=0.
c)
4 3
5 3
-3
ax x
si x 0
7 +3
x x
f(x) =
2
si x = 0
5








en x = 0.
7- Calcula el valor de a y el valor que hay que asignar a f(1) para que la función
3 2
( )
-1
x a
x x
f x
x
  
 sea
continua en x = 1.
8- Calcula el valor de a y b para que la función
2
+ 2x-1 si x < 0
x
f(x) = ax+ b si 0 x <1
2 si x 1




 

sea continua en todos sus puntos.
9- Calcula el valor que debe asignarse a las siguientes funciones en los puntos que se indican para que sean
continuas en dichos puntos.
a)
3
2
-27
x
f(x) =
-9
x
en x = 3. b)
5- 24+ x
f(x) =
x-1
en x = 1.
c)
3
x+
27
+
x
=
f(x)
3
en x = -3. d)
3
x-
2
-
1
x+
=
f(x) en x = 3.

12. Facultad de Ingeniería y Arquitectura
Matemática I
12
10- Dada la función
4 3
2
3 - -3
( )
2 -3
x x x
f x
x x



. Analice si es continua, caso contrario redefinirla para que lo sea.
11- Calcula el valor que debe asignarse a las siguientes funciones en los puntos que se indican para que sean
continuas en dichos puntos.
a) ( )
1 - 1
x
f x
x


en x = 0. b)
1- - 1
( )
x x
f x
x

 en x = 0.
c)
2
1 - 1-
( )
x
f x
x
 en x = 0. d)
9 - 3
( )
16 - 4
x
f x
x



en x = 0.
e)
5 -3
( )
- 4
x
f x
x

 en x = 4.
12- Sea
sen x si x c
f (x) =
a x + b si x > c




donde a, b y c son constantes. Si b y c son números fijos, halla los
valores de a (si existe alguno) para los que f es continua en c.
13- Estudia la continuidad de las siguientes funciones para los distintos valores del parámetro a:
a)
2
2
+ a x si x 2
x
f (x) =
a - si x > 2
x
 


b)
a x
si x 0
e
g (x) =
x + 2 a si x > 0
 


14- Encuentre los valores de las respectivas constantes para los cuales las funciones dadas a continuación son
continuas en toda la recta real:
2
1 3
( )
1 3
cx si x
f x
cx si x
 

 
 

2 2
4
( )
20 4
x c si x
f x
cx si x
  

 
 













2
4
2
1
1
2
)
( 2
x
si
x
x
si
d
cx
x
si
x
x
g
2
1 3
( )
2 3
x si x
f x
ax si x
  
 


EJERCICOS PARA EL ESTUDIANTE CONTINUIDAD.
Tema: CONTINUIDAD DE FUNCIONES
1. Analizar la continuidad en x = 2 para
2
4
; 2
( ) 2
4; 2
x
x
f x x
x
 


 

 

2. Determinar A Y B para que la función sea continúa en todo su dominio.
a)
2 ; 2
( ) 3 ; 2 1
6 2 ; 1
x A si x
f x Ax B si x
x B si x
  


    

  


13. Facultad de Ingeniería y Arquitectura
Matemática I
13
b)
2 ;
2
( ) ;
2 2
cos ;
2
senx si x
f x Asenx B si x
x si x

 


  



    






c)
2 ; 2
( ) 3 ; 2 1
6 2 ; 1
x A si x
f x Ax B si x
x B si x
  


    

  

d)
 
 
; ,0
( ) ; 0,
cos ; ,2
sen x
si x
x
f x Ax B si x
x si x


 

 



  

 



e)
2
2
2 3 9 3
; 3
2 3 9 2
( ) ; 3
3
;
2
x x
si x x
x x
f x A si x
B si x
  
    
 


 


  


f)
2 ;
2
( ) ;
2 2
1 ; 1
2
senx si x
f x A Bsenx si x
senx si

 


  



    



 


g)
 
3
3
3 3
; 8
2
( ) ; 8
2
; 8
2 7
x B
si x
A x
f x AB si x
si x
x B
  





 


 


