RESISTENCIA DE MATERIALES

1. RESISTENCIA DE MATERIALES
EJEMPLOS

2. 500 N
a
a
b
b
30°
20 mm
La barra mostrada de sección cuadrada de 40 mm de lado es solicitada por la fuerza
axial de 500, Determine los esfuerzos en las secciones a-a y b-b.
40 mm
Ejemplo 1

3. 500 N
a
a
b
b
30°
20 mm
40 mm
N = 500 N
500 N
a
a
312.5 kPa
2
500
312500 312.5
0.04 0.04
N kN
A x m
    
Ejemplo 1

4. 30o
500 N
N = 500sen30o = 250 N
V = 500cos30o = 433 N
30o
b) Plano b-b
3
30
40
80
30 30
. 0.04 0.08 3.2 10
a
sen
b
a
b mm
sen sen
A a b x x 
 
  
 
  
3 2
250
78.12
3.2 10
kN
x m
 
 
3 2
433
135.31
3.2 10
kN
x m
 
 
Ejemplo 1
b

5. UNMSM
Ejemplo 2
Se utilizan dos barras para sostener una carga de
50 kN, como se muestra en la figura. La barra AB
tiene sección transversal son 650 mm2 y BC de
925 mm2. Ambos están hechos de acero estructural
que tiene un módulo de elasticidad de 200 GPa.
Determine:
a. Las tensiones normales en la barra de
acoplamiento AB y el puntal de tubería BC.
b. El alargamiento o acortamiento de la barra de
acoplamiento AB y el puntal de tubería BC.
c. Los componentes horizontal y vertical del
desplazamiento del punto B.
d. Los ángulos a través de los cuales giran los
miembros AB y BC.
1.15 m

6. UNMSM
Ejemplo 2
Cálculo de las fuerzas internas en las barras
1.15 m
F=50 kN
FAB
42.61°
1. DCL

7. UNMSM
Ejemplo 2
a. Las tensiones normales en la barra de acoplamiento AB y el puntal de
tubería BC.

8. UNMSM
Ejemplo 2
b. El alargamiento o acortamiento de la barra de
acoplamiento AB y el puntal BC.
δAB
δBC
vB
42.61°
42.61°
b
c
a
B
B´

9. UNMSM
Ejemplo 2
b. El alargamiento o acortamiento de la barra de
acoplamiento AB y el puntal BC.
δAB
δBC
42.61°
42.61°
b
c
a

10. UNMSM
Ejemplo 2
c. Desplazamiento vertical de B - B´= vB
B
δAB
δBC
42.61°
42.61°
b
c
a
vB
vB
B´

11. UNMSM
Ejemplo 2
d. Los ángulos a través de los cuales giran los
miembros AB y BC.
sen

12. A
O
B
40°
15°
Se muestra una posición particular de la biela AB y
la manivela AO (θ=40°). En esta posición el embolo de sección 500
mm2 recibe una presión de 4.8 MPa y esto permite que la biela
ejerce presión sobre el pasador del cigüeñal en A. Resuelva los
componentes horizontal y vertical de la fuerza en A, también
resuelva la fuerza dada en A a lo largo de AO y en una dirección
perpendicular a AO.
EJEMPLO 3 UNMSM

13. -6
BA
= A=4.8x500x10 =2.41 kN
2.41
F 2.5
cos15 cos15
  
 
B
B
F
F
kN

B
15°
UNMSM
EJEMPLO 3

14. FBA
A
B
O
15°
40°
2.5 kN
A
B
O
55°
1.43 kN
2.05 kN
UNMSM
EJEMPLO 3

15. -6
BA
= A=4.8x500x10 =2.41 kN
2.41
F 2.5
cos15 cos15
  
 
B
B
F
F
kN

B
15°
UNMSM
EJEMPLO 3

16. 2.5 kN
A
B
O
55°
1.43 kN
2.05 kN
UNMSM
EJEMPLO 3

17. Indeterminado
UNMSM

18. No hay suficientes ecuaciones de equilibrio para resolver todas las incógnitas
en el sistema.
El proceso de solución general se puede organizar en un procedimiento de
cinco pasos.
Paso 1 - Ecuaciones de equilibrio, las ecuaciones expresadas en términos de las
fuerzas axiales desconocidas.
Paso 2 - Geometría de la deformación, se evalúa para determinar cómo se
relacionan las deformaciones de los miembros axiales.
Paso 3 - Relaciones de fuerza-deformación, se relaciona entre la fuerza interna
en un miembro axial y su alargamiento.
UNMSM

19. Paso 4: Ecuación de compatibilidad: las relaciones fuerza-deformación se
sustituyen en la ecuación de geometría de deformación para obtener una
ecuación que se basa en la geometría de la estructura, pero expresada en
términos de las fuerzas axiales desconocidas.
Paso 5: Se resuelve las ecuaciones: las ecuaciones de equilibrio y la
ecuación de compatibilidad se resuelven simultáneamente para calcular las
fuerzas axiales desconocidas.
UNMSM

20. 1.80 m
1 m
1 m
A C
B
P
La barra rígida mostrada ABC de 2 m de
largo está sostenida por tres miembros como
se muestra en la figura. Se aplica la carga P
de 20 kN. Los miembros conectados en A y
en C son barras de aluminio de sección
transversal de 800 mm2 y longitud de 1.8 m.
El miembro conectado en B es barra de
acero de sección transversal 600 mm2 y
longitud 1.8 m. Todos los miembros están
conectados con pines simples. Si las tres
barras están inicialmente sin tensión,
determine las tensiones normales en las
barras, y La desviación de la viga rígida
después de la aplicación de la carga.
UNMSM
Ejemplo 1

21. P
FA FC
FB
A B C
Fy 0
F F 20 F 0

   

A
A C B
M 0
M (1.2m)F (0.60m)F (0.60m)(20kN) 0

   

1. Ecuaciones de equilibrio
También FA=FC A B
2F F 20 0.............(1)
  
UNMSM
Ejemplo 1

22. P
FA FC
FB
A C 1 B 2
L L L y L L
      
2. Geometría de deformación
3. Relaciones de fuerza-deformación
A A B B
1 B
A A B B
F L F L
L y L
A E A E
   
4. Ecuación de compatibilidad
A A B B
A B
A A B B
F L F L
L L
A E A E
   
por tanto:
UNMSM
Ejemplo 1

23. P
FA FC
FB
5. Soluciones de las ecuaciones
B A A
A B
A B B
L A E
F F
L A E
 A B B
1.8x500x70
F F 0.19F
1.8x900x200
 
 
B B B
20
2 0.19F F 20 0, F 14.40 kN
2x0.19 1
    

A B
F 0.19F 0.19x14.40 2.8 kN
  
UNMSM
Ejemplo 1

24. P
FA FC
FB
Esfuerzo en las barra A, C y B
A
A 4
B
B 4
F 2.80
5.6 MPa
A 5x10
F 14.40
16.60 MPa
A 9x10


   
   
A A
1 4 6
A A
B B
B 4 6
B B
F L 2.8x1.8
L 0.144 mm
A E 5x10 x70x10
F L 24.4x1.8
L 0.144 mm
A E 9x10 x200x10


   
   
Deformación de las barra A, C y B
UNMSM
Ejemplo 1

25. Ejemplo 2 UNMSM
El conjunto se compone de dos barras AB y CD de diámetro 25 mm y la barra FG de
diámetro 30 mm con E= 120 GPa, unidas con la placa rígida F. Si los soportes en A, C y G
son rígidos, determinar el esfuerzo en las barras AB, CD y FG al aplicar las cargas
mostradas.

26. UNMSM
DCL
F
A R
R 
A F
A F
AB FG
2R R 2x50 0
2R R 100 kN
2F F 100 kN .............(1)
+ - =
+ =
+ =
EQUILIBRIO
Ejemplo 2

27. UNMSM
F
A R
R 
AB FG
6
AB AB AB
AB AB
6 2
AB AB
FG FG FG
FG
6
FG FG
L L ..............................................................................(2)
F L 0.28F
L 2.376x10 F ......(3)
E A
120x10 x2 x0.025
4
F L 0.36F
L
E A
120x10 x
p
p
-
D = D
D = = =
æ ö
÷
ç ÷
ç ÷
ç
è ø
D = = 6
FG
2
4.244x10 F .........(4)
x0.03
4
-
=
æ ö
÷
ç ÷
ç ÷
ç
è ø
DEFORMACION
Ejemplo 2

28. UNMSM
AB FG
F 1.786F .............................(5)
=
FG FG
FG
AB
3.572F F 100
F 21.87 kN
F 39.065 kN
+ =
=
=
Las relaciones (3) y (4) igualar según la relación (2) se tiene:
Ejemplo 2
Reemplazar en (1):

29. UNMSM
AB
AB CD
2
AB
FG
FG
2
FG
F 39.065 kN
79.58 MPa
A x0.025
4
F 21.87 kN
30.94 MPa
A x0.03
4
s s
p
s
p
= = = =
= = =
Esfuerzos:
Ejemplo 2

30. UNMSM
Una barra de acero de 30 mm de diámetro se inserta
en el interior de tubo de bronce de 50 mm de
diámetro exterior y 40 mm de diámetro interior y se
fijan a una barra rígida según se muestra en la
figura, en el extremo inferior se mantienen unidas
ambos elementos mediante una placa. Determine las
tensiones en ambos materiales al aplicar la carga
P=45 kN, para L=150 mm
L
P
Acero E= 200 GPa
Bronce E= 105 GPa,
Ejemplo 4

31. UNMSM
DCL
L
P
P
Fac
Fbr
Ejemplo 4

32. UNMSM
Deformación
L
P
( )
( )
ac br
ac br
F F P 0 ............. 1
L L ................. 2
+ - =
D = D
( )
( )
ac ac br br
ac ac br br
2
ac ac br br br br
ac
2 2
ac br br ac
F L F L
A E A E
0.03 x200
A E F L F L
4
F .. 3
L A E L 0.05 0.04 105
4
p
p
=
æ öæ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
æ öæ ö ÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç ÷ ÷
ç ç
÷ ÷
= = ÷ ÷
ç ç
÷ ÷ ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷
è øè ø ç ç
÷ ÷
-
÷ ÷
ç ç
è øè ø
Ejemplo 4

33. UNMSM
Deformación
L
P
( )
( )
2
br br
ac br
2 2
ac
0.03 x200 F L
4
F 1.905F .. 4
L 0.05 0.04 105
4
p
p
æ öæ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
= =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
-
÷ ÷
ç ç
è øè ø
Desarrollando la relación (3), luego reemplazando en (1)
( )
br br
br
br
1.905F F 45
2.905F 45
F 15.50 kN
Fac 29.60 kN ............. 5
+ =
=
=
=
Ejemplo 4

34. UNMSM
Deformación
L
P
Luego las tensiones para bronce y acero son
( )
ac
ac
2
ac
br
br
2 2
br
F 29.50
41.74 MPa
A 0.03
4
F 15.50
21.93 MPa
A 0.05 0.04
4
s
p
s
p
= = =
= = =
-
Ejemplo 4

35. UNMSM
La barra rígida ABC está sostenida por varillas en A (E=105 GPa, =20x10-6 /°C, A=1500
mm2 y L1=1,4 m) y en C con (E=200 GPa, =11,7x10-6 /°C, A=1500 mm2 y L2=0,8 m), en
B por pasador. Inicialmente, la barra es horizontal y las varillas verticales están libres de
tensiones. Determine la tensión en cada varilla cuando la temperatura de la varilla C
disminuye en 40 ° C. Desprecie el peso de la barra ABC
L1
L2
Ejemplo 3

36. UNMSM
DCL
EQUILIBRIO
B
A C A C
M =0
800F 400F F 0,5F ...................(1)
S
= Þ =
Ejemplo 3

37. UNMSM
DEFORMACION
( )
T
-6
T
C = L T
11,7x10 (800)( 40)
C 0.37 mm
a
D D
= -
D = -
A c
=- A 2 C .......(2)
800 400
D D
Þ D = - D
La varilla en C estará en contracción
Ejemplo 3

38. UNMSM
COMPATIBILIDAD
A T
C
A
C
6 6
A C
F.L FL
0 2 C
E.A E.A
1400F 800
0,74 2F
105x1500x10 200x1500x10
8888,9F 2666,7F 0,74...........................................(3)
- -
æ ö
é ù
æ ö æ ö ÷
ç
÷ ÷
ç ç
ê ú ÷
+ = - - D +
÷ ÷
ç
ç ç ÷
÷ ÷
ç ç
ç ÷
ê ú ç
è ø è ø
è ø
ë û
æ ö
÷
ç
= - ÷
ç ÷
ç
è ø
+ =
En (2)
T
A C
F.L FL
C
E.A E.A
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
= - D +
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
Ejemplo 3

39. UNMSM
COMPATIBILIDAD
( )
C C
C
8888,9 0,5F 2666,7F 0,74
F 104 kN
+ =
=
A
6
C
C 6
F 52
34,7 MPa
A 1500x10
F 104
69.33 MPa
A 1500x10
s
s
-
-
= = =
= = =
(3) en (1)
FA=52 kN
Ejemplo 3

40. En el extremo libre D de La barra rígida ABCD se aplica la carga P de 60 kN, el apoyo en A
es pasador, ademas es sostenida por las varillas BE y CF de acero de 10 mm de diámetro, el
ensamble se realiza a la temperatura de 23 °C. Determine los esfuerzos y las deformaciones
de las varillas y el desplazamiento del punto D cuando la temperatura se eleva a 75 °C,
(Eac=200 GPa, αac=12*10-6 /°C.
40 cm
55 cm
32 cm
60 cm
75 cm
A
E
B D
C
F
P
Ejemplo 5

41. Ax FBE D
P
Ay
FCF
 
0
0.75 1.35 1.67 60 0............... 1
 
  
A
BE CF
M
F F x
1.67 60 1.35
0.75
133.6 1.8 .....................(2)
CF
BE
BE CF
x F
F
F F


 
Ejemplo 4

42. 0.75 1.35 1.67
CF
BE D

 
 
0.75
..........(3)
1.35
BE CF
x
  
Según el arreglo, la magnitud de la deformación de
las barras son proporcionales
CF

BE

A
D

B
D’
C’
D
C
B’
Ejemplo 4

43. Solución
Ax FBE D
P
Ay
FCF
..........(4)
BE BE
BE
FL
TL
EA

 
   
 
 
...........(5)
CF CF
CF
FL
TL
EA

 
   
 
 
Igualando las relaciones 4 con 5 y reemplazando en (3)
Las deformaciones de las varillas por la carga aplicada
y el cambio térmico son:
 
0.75
............. 6
1.35
BE CF
BE CF
FL FL
TL TL
EA EA
 
 
   
    
   
 
   
 
Ejemplo 4

44. Resolviendo la relación 6
 
  
 
  
6
3
6
6
3
6
0.4
11.7 10 75 23 0.4
10 10
200 10
4
0.55
11.7 10 75 23 0.55
10 10
200 10
4
BE
CF
F
x
x
x
F
x
x
x






 
 
 
 
  
 
 
 
De la relacion 2 reemplazando el valor de FBE en 7
 
5 4 5 4
2.54 10 2.43 10 3.50 10 3.35 10 ............. 7
BE CF
x F x x F x
   
  
   
5 4 5 4
2.54 10 133.6 1.8 2.43 10 3.50 10 3.35 10 ..... 8
CF CF
x x F x x F x
   
   
 
133.6 1.8 40.94 59.89
BE
F kN
  
40.94
CF
F kN

Ejemplo 4

45. Las tensiones son:
2 2
5 2
0.01
7.84 10
4 4
F
A
d
A x m

  

  
5
5
40.94
521
7.84 10
59.89
763
7.84 10
BE
BE
CF
CF
F
MPa
A x
F
MPa
A x




  
  
Ejemplo 4

46. Las deformaciones y desplazamiento son:
1.35 1.35
1.76 3.18
0.75 0.75
CF BE
x mm
    
6
6
6 5
40.94 10 0.4
11.7 10 52 0.4 1.76
200 10 7.84 10
BE
x x
x x x mm
x x x



 
   
 
 
1.67 1.67
1.76 3.94
0.75 0.75
D BE
x mm
    
Desplazamiento del punto:
Ejemplo 4

47. Ejemplo 9 Una barra AB de aluminio está unida a otra barra de acero en la brida
rígida B. Inicialmente ambas barras están libres de tensión cuando están conectados a la
brida a una temperatura de 20 °C. La barra de aluminio tiene un área de sección transversal
de 200 mm2, módulo de elasticidad E = 70 GPa. El acero de área 450 mm2. Determine
las tensiones normales en las barras y el desplazamiento de la brida B cuando la
temperatura sube a 75 °C.
30 cm 15 cm
A
C
B
UNMSM

48. 0
0

 

Fx
Fac Fal
Fac Fal
Sean, Fac, Fal, δ1 y δ2 las fuerzas y deformaciones en el acero y aluminio respectivamente
…….(1)
UNMSM

49. Sean, Fac, Fal, δ1 y δ2 las fuerzas y deformaciones en el acero y aluminio respectivamente
1 1
1 1 1
1 1
2 2
2 2 2
2 2
1 ..........(2)
2 ..........(3)
 
  
 
 
 
  
 
 
F L
T L
E A
F L
T L
E A
 
 
Igualando la ecuación 2 con 3
1 1 2 2
1 1 1 2 2 2
1 1 2 2
..........(4)
   
    
   
   
F L F L
T L T L
E A E A
 
UNMSM

50. Ecuación de compatibilidad
Resolver para F1
1 1 2 2
1 2
1 1 2 2
1
 
 

 
 
 

 
 
L L
F T
L L
A E A E
 
 
   
     
6 6
6 2 9 2 6 2 9 2
23.6 10 0.3 11.7 10 0.15
1 75 20
0.3 0.15
200 10 70 10 / 450 10 200 10 /
 
 
 
 

 
 
 

 
 
x x
F
x m x N m x m x N m
UNMSM

51. Ecuación de compatibilidad
Resolver para F1
1 21,147.216
2 21,147.216
F N
F N
 
 
UNMSM

52. donde UA y UB son las desviaciones de los puntos A y B en la dirección + x. Los puntos
donde los miembros axiales están conectados se llaman juntas. En esta estructura, A, B y
C son articulaciones. En general, encontramos desviaciones en las articulaciones y
alargamientos o contracciones de los miembros axiales. Como la unión A es un soporte,
se conoce la desviación en A (UA = 0). Por lo tanto
30 cm 15 cm
A C
B
UNMSM

53. Ecuación de compatibilidad
UNMSM

54. Una varilla de acero de 20 mm de diámetro se sujeta firmemente en A en un pasador de
12 mm de diámetro que está a tensión de 68 MPa y en B en pared rígida como se muestra
en la figura (E= 200 GPa, α =11.7×10-6/ °C). Calcule la caída de temperatura ΔT y el
esfuerzo en la barra AB.
A B
Ejemplo 5
FAB- 2V=0
FAB=30.76 kN

55. El perno está en doble cizallamiento, el área sometida a esfuerzo
cortante es dos veces el área de la sección transversal del perno de 15
mm de diámetro.
 
2
3
2
4
12 10
2 2 2.26 10
4 4
per
per
V
A
x
d
A x






 
 
 
  
   
   
4
. 68 2.26 10 15.38
V F A x x kN
 
   
Ejemplo 5

56. El perno está en doble cizallamiento, el área sometida a esfuerzo
cortante es dos veces el área de la sección transversal del perno de 15
mm de diámetro.
2 2
4 30,76
97.91
0.02
4
F F x
MPa
d
A

 
   
4
. 68 2.26 10 15.38
V F A x x kN
 
   
Ejemplo 5

57. 0
   
Fl
Tl
EA
 
La deformación debe ser igual a cero. Es decir, δ = 0.
  
6
6 4
15.38
29.08
10
12.0 10 / C 2.26 10 200
1
 
      
 
   
 
F kN
T C
AE kPa
x GPa
GPa

Después de que la temperatura del conjunto ha disminuido en 29.08 ° C, se induce una
fuerza de tensión de F = 15.38 N (C) en la barra de acero. Esta fuerza, a su vez, tira del
perno de 15 mm de diámetro, creando un esfuerzo cortante de 68 MPa en el perno.
Ejemplo 5