Flujomaximo 2017

Investigación Operativa 12/04/2017
Mg. Rosmeri Mayta H. 1
12/04/2017 ROSMERI MAYTA H.
INVESTIGACION OPERATIVA
1
INVESTIGACIÓN OPERATIVA
FLUJO MÁXIMO
MGMGMGMG. ROSMERI MAYTA H.
2017
2
APLICACIONES
1. Diseño de redes de transporte para minimizar
el costo total de proporcionar las ligaduras
(vías ferroviarias, carreteras, etc.)
2. Diseño de una red de tuberías para conectar
varias localidades.
3. Determinación del programa de costo mínimo
de los campos petrolíferos a refinerías y
finalmente a los campos de distribución.
3
MODELO DE FLUJO MÁXIMO
Se trata de enlazar un nodo fuente y un
nodo destino a través de una red de arcos
dirigidos. Cada arco tiene una capacidad
máxima de flujo admisible. El objetivo es
de obtener la máxima capacidad de flujo
entre la fuente y el destino.
4
CARACTERISTICA
1. Todo flujo a través de una red conexa dirigida se origina
en un nodo, llamado fuente, y termina en otro nodo
llamado destino.
2. Los nodos restantes son nodos de trasbordo.
3. Se permite el flujo a través de un arco sólo en la
dirección indicada por la flecha, donde la cantidad máxima
de flujo está dado por la capacidad del arco. En la fuente,
todos los arcos señalan hacia fuera. En el destino, todos
señalan hacia el nodo.
4. El objetivo es maximizar la cantidad total de flujo de la
fuente al destino. Esta cantidad se mide en cualquiera de
las dos maneras equivalentes, esto es, la cantidad que
sale de la fuente o la cantidad que entra al destino.
5
El problema de flujo máximo se puede
formular como un problema de
programación lineal, se puede resolver
con el método símplex y usar cualquier
software.
6
FLUJO MÁXIMO
Red que transporta petróleo crudo:

7
RED DE TRANSPORTERED DE TRANSPORTERED DE TRANSPORTERED DE TRANSPORTE.
Es el grafo finito sin anillo que cumple ciertas
condiciones:
1. En una red de transporte, cada arco tiene
asociado una capacidad C(u) ≥ 0.
2. Existe una fuente tal que el conjunto de los
arcos incidentes es el conjunto
vacío: W- (X0) =
3. Existe un sumidero tal que el conjunto de los
arcos incidentes al exterior, es
vacío; es decir: W+ (Xn) =
8
FUENTE
Es el único nodo que sólo tiene arcos de
salida.
SUMIDERO
Es el único nodo que sólo tiene arcos
de entrada.
CAPACIDAD C(i,j)
Es la máxima cantidad de producto que
puede fluir por el arco (i,j).
FLUJO DE ARCO f(i,j)
Es la cantidad de producto que fluye
por el arco (i,j).
9
ARCO SATURADO
Se dice que un arco es saturado si C(i,j) = f(i,j)
El flujo de la red es factible si cumple:
1. 0 ≤ f(i,j) ≤ C(i,j)
2. Conservación de flujo:
10
En cada nodo i :
Flujo que entra en el nodo i = Flujo que sale en el
nodo j
∑ f( k, i ) = ∑ f( i, j )
En la red :
Flujo que sale de la fuente = Flujo que llega al
sumidero
∑ f( X0, k ) = ∑ f( j, Xn ) = F
11
FLUJO COMPLETO
El flujo en la red es completo si toda la ruta o camino que va
desde la fuente al sumidero contiene al menos un arco
saturado.
12
Ejemplo: X0 – 1 – 4 – Xn
X0 – 3 – 5 – Xn
CAPACIDAD RESIDUAL DE UN ARCO (I,J)
Cr (i,j) = C(i,j) - f(i,j)
Ejemplo.
Cr (4,Xn) = C(4,Xn) - f(4,Xn) = 5 -3 = 2

13
FORMULACIÓN DE UN PL PARA CALCULAR EL
FLUJO MÁXIMO
Dado una red sin anillos se trata de hallar el
máximo flujo de la fuente al sumidero, sujeto
a las capacidades de arco que forma la red y
en el supuesto que exista una conservación
de flujo.
F.O. : Max ∑ Q(u) ∑ Q(u)
u Є W+ (X0) u Є W-(Xn)
1. Q(u) ≤ C(u) ; para todo u Є A
2. ∑ Q(u) = ∑ Q(u)
u Є W+ (X0) u Є W-(Xn)
14
GRÁFICO
15
F.O. : Max Z = Q(X0, X1) + Q(X3, X2) + Q(X0,
X3)
S. a :
Q(X0, X1) ≤ C(X0, X1)
Q(X0, X2) ≤ C(X0, X2)
....
Q(X5, Xn) ≤ C(X5, Xn)
En la red:
Q(X0, X1) + Q(X3, X2) + Q(X0, X3) = Q(X4,
Xn) + Q(X5, Xn)
FORMULACIÓN DE UN PL PARA HALLAR
EL FLUJO MÁXIMO
16
En los nodos :
Nodo 1: Q(X0, X1) = Q(X1, X4)
2 : Q(X0, X2) = Q(X2, X4) + Q(X2, X5)
3 : Q(X0, X3) = Q(X3, X4) + Q(X3, X5)
….
MÉTODO DE FORD FULKERSON
Procedimiento:
1.-Establecer un flujo de la fuente al sumidero.
2.-Tratar de etiquetar los vértices.
3.-Si existe etiqueta en el sumidero, asignar un
flujo y regresar al paso 2.
17
Si ya no se puede etiquetar el sumidero,
Entonces ya se tiene el flujo máximo.
Para etiquetar:
gjk : Capacidad no saturada del arco JK.
Xij : Flujo asignado del arco IJ.
dJ : Flujo que puede pasar aún por el
vértice J.
PROBLEMA
Una ciudad atravesada por una red
interestatal de norte a sur que le permite
alcanzar un nivel de 15 mil vehículos/hora
en el horario “pico”.
Debido a un programa de mantenimiento
general, el cual exige cerrar dichas vías,
un grupo de ingenieros ha propuesto una
red de rutas alternas para cruzar la ciudad
de norte a sur, la cual incorpora avenidas
importantes12/04/2017 ROSMERI MAYTA H.
18

19
1
2 5
3
4
6
7
5
3
6
5
3
2
7
5
1
8
7
La red propuesta es la siguiente incluye el
numero de vehículos (miles) que pueden
circular por dichas vías.
1.- ¿Puede la red propuesta dar cabida a un
flujo máximo de 15 v/h de norte a sur?
2.- ¿Cuál es el flujo máximo de vehículos que
permite la red cada hora?
3.- ¿Realizar un programa en lingo para hallar
el flujo máximo de vehículos?
Solución:
20
21
22
PROGRAMACION EN LING0
Flujo máximo= 13 mil v/h
PROGRAMACIÓN EN LINGO
!problema de flujo máximo;
SETS:
NODES/1..7/;
ARCS(NODES, NODES)
/1,2 1,3 1,4 2,3 2,5 3,4 3,5 3,6 4,6 5,6 5,7
6,7 7,1/:CAPACIDAD, FLUJO;
ENDSETS
23
MAX=FLUJO(7,1);
@FOR(ARCS(I,J):FLUJO(I,J)<CAPACIDAD(I,J))
;
@FOR(NODES(I):@SUM(ARCS(J,I):FLUJO(J,I)
)
=@SUM(ARCS(I,J):FLUJO(I,J)));
DATA:
CAPACIDAD=5, 6, 5, 2, 3, 3, 3, 7, 5, 1, 8, 7,
100000;
ENDDATA12/04/2017 ROSMERI MAYTA H.
24

25
PROBLEMA
Encuentre el flujo máximo de la fuente al
sumidero en la siguiente red .
a) Calcular el flujo máximo aplicando el
algoritmo de Ford Fulkerson
b) Realizar un PL para hallar el flujo
máximo.
26
GRÁFICO DE LA RED
27
Maxz= XF1+XF2
S.a:
En cada nodo
XF1=X13+X14
XF1=X21+X24
X13=X38
X14+X24=X45
XF1+XF2=X35+X45
28
En la red
XF1+XF2=X35+X45
Por capacidad
XF1<=4+XF2
…
.
.
X45<=2
29
30
PROGRAMACION EN LINGO

31
CORTE DE LA RED
Corte: se define como corte a una serie
de arcos cuya supresión de la red causa
un interrupción completa del flujo entre los
nodos del punto de origen y del sumidero.
Capacidad de corte: Es igual a la suma
de las capacidades de los arcos
asociados.
32
33
Y‫ﺥ‬ X , X = conjunto de vértices
Xo Є Y A = conjunto de arcos
W – (Y)
El corte C1 ‫ﺥ‬ X
C1 = {Xo}
Arcos incidentes a C1
W-(C1) ={ (x1,x2) ,(X1,X4),(X1,X3)}
34
Capacidad de corte:
Q[ W-(c1)] = Σ c(u)
Teorema fundamental de flujo
Para una red de transporte dada, el valor
máximo de flujo es igual a la capacidad de
corte mínimo
35
Q[w-(c1)]= Σc(u)
= 2+10+4 = 16
Q[w-(c2)]= Σc(u)
= 6+9 = 15
Q[w-(c3)]= Σc(u)
= 5+8+7+1=21
Q[w-(c4)]= Σc(u)
= 1+7+6=14
36
Aplicando el teorema encontramos que el
flujo máximo es de : 14

37
Problema
Se tiene siete asentamiento humanos y
se quiere instalar tuberías para agua.
En la siguiente red se encuentra los
datos. Calcular el flujo máximo que ira del
A.H 1 al A.H 7
38
39
a) Caminos:
1 – 2 – 5 – 7 Min {2, 5, 6} = 2
1 – 4 – 5 – 7 Min {10, 8, 4} = 4
1 – 4 – 6 – 7 Min {6, 7, 9} = 6
1 – 3 – 4 – 6 – 7 Min {4, 3, 1, 3} = 1
1 – 3 – 6 – 7 Min {3, 1, 2} = 1_
14
b)
W-(C1) = C12 + C14 + C13 = 2+10+4 = 16
W-(C2) = C57 + C67 = 6+9 = 15
W-(C3) = C25 + C45 + C46 + C36 = 5+8+7+1
= 21
W-(C4) = C57 + C46 + C36 = 6+7+1 = 14
Problema
Cinco camiones entregan siete tipos de
paquetes. Hay tres paquetes de cada tipo,
y las capacidades de los cinco camiones
son 6, 4, 5, 4 y 3 paquetes,
respectivamente. Prepare un problema de
flujo maximo que se pueda usar para
determinar si pueden cargarse los
paquetes de modo que ningún camión
lleve dos paquetes del mismo tipo.
40
Red
41
42

43
Solucion en Lingo
SETS:
NODES/1..14/;
ARCS(NODES,NODES)
/1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 2,9 2,10 2,11 2,12 2,13 3,9 3,10 3,11 3,12 3,13
4,9 4,10 4,11 4,12 4,13 5,9 5,10 5,11 5,12 5,13 6,9 6,10 6,11 6,12 6,13 7,9
7,10 7,11 7,12 7,13 8,9 8,10 8,11 8,12 8,13 9,14 10,14 11,14 12,14 13,14
14,1/:CAPACIDAD,FLUJO;
ENDSETS
MAX=FLUJO(14,1);
@FOR(ARCS(I,J):FLUJO(I,J)<CAPACIDAD(I,J));
@FOR(NODES(I):@SUM(ARCS(J,I):FLUJO(J,I))
DATA:
CAPACIDAD=3,3,3,3,3,3,3,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,
1,1,1,1,1,1,1,1,6,4,5,4,3,1000;
ENDDATA
Global optimal solution found at step: 11
Objective value: 21.00000
44
45
PROBLEMA DE APLICACIÓN
Tres refinerías mandan un producto
petrolero hacia dos terminales de
distribución por una red de oleoductos.
Toda la demanda que no se puede
satisfacer por la red se adquiere de otras
fuentes. La red de tuberías contiene tres
estaciones de bombeo, como se ve en la
figura.
46
RED
47
El producto va por la red en la dirección
que indican las flechas. La capacidad de
cada segmento de tubería se ve
directamente en los arcos, y esta en
millones de barriles por día. Determinar el
Flujo Máximo de producto que circula por
la red,
48
Red

49
PROGRAMACIÓN EN LINGO
FLUJO MÁXIMO
!PROBLEMA DE FLUJO MAXIMO;
SETS:
NODES/1..10/;
ARCS(NODES,NODES)
/1,2 1,3 1,4 2,5 3,5 3,6 3,7 4,5 5,6 5,7 5,8 6,7
6,9 7,8 7,9 8,10 9,10 10,1/
:CAPACIDAD,FLUJO;
ENDSETS
MAX=FLUJO(10,1);
@FOR(ARCS(I,J):FLUJO(I,J)<CAPACIDAD(I,J));
@FOR(NODES(I):@SUM(ARCS(J,I):FLUJO(J,I))
DATA:
CAPACIDAD=20,80,15,20,10,20,50,15,20,10,10,30,30,
50,20,60,50,100000;
ENDDATA
50
Global optimal solution found at iteration:
0
Objective value:
110.0000
EL FLUJO MAXIMO ES DE 110
51
FLUJO MÁXIMO A COSTO MÍNIMO
La red es una red dirigida conexa.
Al menos uno de los nodos es nodo fuente.
Al menos uno de los nodos es nodo demanda.
El resto de los nodos son nodos de trasbordo.
Se permite el flujo a través de un arco sólo en la
dirección indicada por la flecha, donde la
cantidad máxima de flujo está dada por la
capacidad del arco. (Si el flujo puede ocurrir en
ambas direcciones, debe representarse por un
par de arcos con direcciones opuestas.)
52
La red tiene suficientes arcos como
suficiente capacidad para permitir que
todos lo flujos generados por los nodos
fuente lleguen a los nodos demanda.
El costo del flujo a través del arco es
proporcional a la cantidad de ese flujo,
donde se conoce el costo por unidad.
53
En un flujo de costo mínimo se considera:
1. Todos los arcos son dirigidos.
2. Existe un flujo a través de la red cuyos
arcos pueden tener límites (superior y/o
inferior) de capacidad.
3. Cada arco tiene un costo (o distancia) para
el flujo o transporte de unidad de producto.
4. Cualquier nodo puede actuar como fuente o
pozo, es decir cualquier nodo puede ser punto
de oferta (fuente) o punto de demanda (pozo).
54
OBJETIVO:
Es minimizar el costo total de enviar el
suministro disponible a través de la red
para satisfacer la demanda dada. (Un
objetivo alternativo es maximizar la
ganancia total del envío.)

55
Representación de la red:
X i j : Es el número de unidades de flujo enviado del
nodo i al nodo j.
Ci j : Costo de transportar 1 unidad de producto del
nodo i al nodo j.
Ui j : Capacidad máxima del arco (i, j).
bi j : Flujo neto en el nodo i ( salida – entrada )
56
bi > 0 Si el nodo i es un punto de oferta.
bi < 0 Si el nodo i es un punto de demanda.
.bi = 0 Si el nodo i es un punto de
transbordo.
Condición:
En una red de costo mínimo una condición
necesaria para que tenga solución factible
es:
∑ bi = 0 ( oferta = demanda )
57
EJEMPLO:
58
Formulando:
Min Z = 4 X12 + 5 X13 + X 23
S.a:
X12 + X13 = 13 Nodo 1
- X12 + X23 = 0 Nodo 2
- X13 - X23 = -13 Nodo 3
X12 ≤ 8
X13 ≤ 7
X23 ≤ 10
Xi j ≥ 0
59
Formulación de un PL para un red
F:O Min Z = ∑ C i j . X i j
S. A: ∑ X i j - ∑ X ki = bi
X i j ≤ U i j
X i j ≥ 0
60
PROBLEMA:
En la siguiente red: Realizar un PL para hallar el flujo
máximo a mínimo costo.

61
Formulación de un PL para hallar el Flujo
máximo a minimo costo
Min Z = 4 X12 + 2 X24 + 3X 13 + 5X34 +
2 X32
S.A:
X12 + X13 = 11 Nodo 1
X24 - X12 - X32 = -8 Nodo 2
X34 + X32 - X13 = 9 Nodo 3
- X24 - X34 = -12 Nodo 4
62
2 ≤ X12 ≤ 8
0 ≤ X13 ≤ 6
0 ≤ X32 ≤ 5
0 ≤ X24 ≤ 12
3 ≤ X34 ≤ 11
Xij ≥ 0
63
PROBLEMA FLUJO MÁXIMO
La compañía de gaseosas ABC posee 3 plantas
con capacidad de producción de 20, 30 y 15 mil
cajas las cuales deben ser distribuidas a 5
centros distribución (CD). La capacidad de
entrega de los CD a los intermediarios de venta
son de 10, 10, 15, 25 y 5 mil cajas semanal. La
capacidad de transporte de las plantas a los CD
es como sigue:
64
SOLUCION EN LINGO
65
Datos:
66
Grafico

67
SOLUCIÓN
68
CORRIDA EN LINGO
Global optimal solution found
at step: 21
Objective value:
63.00000
69
PROBLEMA
Los capuleto, Pérez, Juárez, y los Anastacios se
van a un día de campo familiar anual se dispone
de 4 móviles para transportar a las familias. En
los automóviles caben los siguientes números
de personas: automóvil 1 , 4; automóvil 2,3;
automóvil 3,3; automóvil 4,4. Hay 4 personas
en cada familia y ningún automóvil puede llevar
más de 2 personas de cualquier familia.
Formule el problema de cómo transportar el
número máximo posible de personas al pueblo.
70
DIAGRAMA DE LA RED
71
SOLUCION
72
PROGRAMACION EN LINGO

73
Solución en lingo
Global optimal solution found
at step: 18
Objective value:
14.00000
Problema
Cuatro fabricas producen cuatro tipos de
juguetes, la tabla nos muestra los juguetes
que producen cada una de ellas.
Las capacidades diarias de las 4 fabricas
son 250, 180, 300 y 100 juguetes
respectivamente. Las demandas diarias de
los 4 juguetes son 200, 150, 350 y 100
unidades. Se requiere que se satisfaga la
mayor parte de las demandas de los 4
juguetes.
74
Fabrica Juguetes
1 1, 2, 3
2 1, 3, 4
3 3, 4, 2
4 1, 2, 3, 4
75
76
77
Codificación en Lingo
78

79
PROBLEMA FLUJO MÁXIMO A
MÍNIMO COSTO
Determinar el flujo máximo a mínimo
costo en la siguiente red.
80
RED: Solución con un software y
programación en lingo
81
82
CORRIDA
83
Programación en lingo
84
Resultados de la corrida
Global optimal solution found at step:
8

85
PROBLEMA
Se tiene dos fábricas y tres centros de
distribución, en cada arco se indican las
capacidades y los costos.
Formular un PL para calcular el flujo
máximo a costo mínimo.
86
Gráfico
87
Formulación de un PL
F.O: MIN. Z = 8X24 + 4X25 + 6X26+ 7X35 + 4X36
S.A:
X12 + X13 = 49
-X47 – X57 – X67 = -49
Capacidad de arco
X12<=30 X24<=15 X35<=15 X47<=20
X13<=19 X25<=17 X36<=14 X57<=15
X26<=13 X67<=24
Nodo
X12 = X24 + X25 + X26 X47 = X24
X17 = X35 + X36 X57 = X25 + X35
X67 = X26 + X36
Solución en LINGO
Programación en LINGO
88
Resultado
SETS:
NODES/1..7/:SUPP;
ARCS(NODES,NODES)/1,2 1,3 2,4 2,5 2,6 3,5 3,6 4,7 5,7 6,7/
:CAP,FLOW,COST;
ENDSETS
MIN=@SUM(ARCS:COST*FLOW);
@FOR(ARCS(I,J):FLOW(I,J)<CAP(I,J));
@FOR(NODES(I):-@SUM(ARCS(J,I):FLOW(J,I))
+@SUM(ARCS(I,J):FLOW(I,J))=SUPP(I));
DATA:
COST=0,0,8,4,6,7,4,0,0,0;
SUPP=49,0,0,0,0,0,-49;
CAP=30,19,15,17,13,15,14,20,15,24;
ENDDATA
END
Resultado
Global optimal solution found at iteration: 7

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