Definición y explicación del teorema del limite central.

1. Universidad de Oriente.
Núcleo Anzoátegui- Extensión Cantaura.
Departamento de Contaduría Pública.
Cátedra: Estadística II.
Teorema del límite
central.
Licenciado: Bachilleres:
Alexis Romero. Álvarez Darielys. C.I: 25.058.89.
Sección: 01. Caraballo Luisa. C.I: 24.983.215.
Castro Zenimar. C.I: 25.689.388.
Flores Génesis. C.I: 2
Palacios Diana. C.I: 24.230.907.
Cantaura, 11 de noviembre de 2016.

2. Teorema del límite central.
El teoremadel límite central dice que si una muestraes lo bastante grande (>30), sea cual
sea la distribución de la variable de interés, la distribución de la medida muestral será
aproximadamente unanormal.Además,lamedidaserálamismaque la de la variable de interés,y
la desviación típica será la media muestral será aproximadamente el error estándar.
El teorema del límite central es un teorema fundamental de probabilidad y estadística.El
teorema,que esla mediade una muestraaleatoriade una poblacióncon varianzafinita,tiene una
distribución aproximadamente normal cuando el tamaño de la muestra es grande,
independientemente de la forma de la distribución de la población. Muchos procedimientos
estadísticos comunes requieren que los datos sean aproximadamente normales, pero el teorema
del límite central le permite aplicar estos procedimientos útiles a poblaciones que son
marcadamente no normales. El tamaño que debe tener la muestra depende de la forma de la
distribución original, si la distribución de la población es simétrica, un tamaño de muestra de 5
podría generar una aproximación adecuada; si la distribución de la población es marcadamente
asimétrica, se requiere un tamaño de muestra de 50 o más.
La importancia del teorema central del límite radica en que mediante un
conjunto de teoremas, se desvela las razones por las cuales, en muchos campos
de aplicación, se encuentran en todo momento distribuciones normales o casi.
El Teorema del Límite Central o Teorema Central del Límite indica que, bajo condiciones
muy generales, la distribución de la suma de variables aleatorias tiende a una distribución
gaussiana cuando la cantidad de variables es muy grande.
Existen diferentes versiones del teorema, en función de las condiciones utilizadas para
asegurar la convergencia. Una de las más simples establece que es suficiente que las
variables que se suman sean independientes, idénticamente distribuidas, con valor esperado
y varianza finitas.
La aproximación entre las dos distribuciones es en general mayor en el centro de las
mismas que en sus extremos o colas, motivo por el cual se prefiere el nombre “Teorema del
Límite Central” (“central” califica al límite, más que al teorema).

3. Esta relación entre la forma de la distribución de la población y la forma de la distribución
de muestreo se denomina teorema del límite central, que es tal vez el más importante de
toda la inferencia estadística. Nos asegura que la distribución de muestreo de la media se
aproxima a la normal al incrementarse el tamaño de la muestra. Hay situaciones teóricas en
las que el teorema del límite central no se cumple, pero casi nunca se encuentran en la toma
de decisiones práctica. Una muestra no tiene que ser muy grande para que la distribución de
muestreo de la media se acerque a la normal. Los estadísticos utilizan la distribución
normal como una aproximación a la distribución de muestreo siempre que el tamaño de la
muestra sea al menos de 30, pero la distribución de muestreo de la media puede ser casi
normal con muestras incluso de la mitad de ese tamaño. La importancia del teorema del
límite central es que nos permite usar estadísticas de muestra para hacer inferencias con
respecto a los parámetros de población sin saber nada sobre la forma de la distribución de
frecuencias de esa población más que lo que podamos obtener de la muestra.
El Teorema Central del Límite dice que si tenemos un grupo numeroso de variables
independientes y todas ellassiguen el mismo modelode distribución (cualquiera que éste sea), la
suma de ellas se distribuye según una distribución normal.
Ejemplo: la variable "tirar una moneda al aire" sigue la distribución de Bernouilli. Si lanzamos la
moneda al aire 50 veces, la suma de estas 50 variables (cada una independiente entre si) se
distribuye según una distribución normal.
Este teorema se aplica tanto a suma de variables discretas como de variables continuas.
Los parámetros de la distribución normal son:
Media: n * m (media de la variable individual multiplicada por el número de variables
independientes)
Varianza: n * s2
(varianza de la variable individual multiplicada por el número de variables
individuales)
Veamos ahora un ejemplo:
Se lanza una monedaal aire 100 veces,si sale cara le damosel valor1 y si sale cruz el valor0. Cada
lanzamiento es una variable independiente que se distribuye según el modelo de Bernouilli, con
media0,5 y varianza0,25. Calcularlaprobabilidadde que enestos100lanzamientossalganmásde
60 caras.
La variable suma de estas 100 variables independientes se distribuye, por tanto, según una
distribución normal.
Media: 100 * 0,5 = 50

4. Varianza: 100 * 0,25 = 25
Para ver la probabilidad de que salgan más de 60 caras calculamos la variable normal tipificada
equivalente: