Este documento describe el movimiento armónico simple y sus elementos clave. Explica que el movimiento armónico simple ocurre cuando la aceleración es proporcional al desplazamiento y siempre apunta hacia la posición de equilibrio. Define términos como amplitud, período, frecuencia y posición de equilibrio. También deriva las ecuaciones para la elongación, velocidad, aceleración y período para un sistema masa-resorte.

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
EXTENSIÓN BARQUISIMETO
DEPARTAMENTO DE MECÁNICA
ASIGNACIÓN 6
Alumno: Alberto José Reinoso
Cédula: 20.921.260
Asignatura: Fisica I S1
Prof: Ing. Marienny Arrieche Escuela: 79

2. TRABAJO Y ENERGIA EN EL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
Se llama movimiento armónico simple (M.A.S), a un movimiento
vibratorio bajo la acción de una fuerza recuperadora elástica, proporcional
al desplazamiento y en ausencia de todo rozamiento.
La fuerza F recuperadora, de la cual se habla es proporcional al
desplazamiento 𝑥⃗, pero de sentido contrario a él, pudiéndose escribir que:
F= -k.x……………….. (1)
Al soltar el cuerpo, la fuerza que actúa sobre el produce una
aceleración que es proporcional a F, pudiéndose escribir de acuerdo con
la segunda ley de Newton, que:
A=
𝒇
𝒎
……………….. (2)
Sustituyendo (2) en (1), tenemos que:
𝑨 = −
𝒌
𝒎
× 𝒙 𝒒𝒖𝒆 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒍𝒂 𝒂𝒄𝒆𝒍𝒆𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒊𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒂𝒏𝒆𝒂.
Como puede observarse en la ecuación anterior, la aceleración es
proporcional al desplazamiento, característica ésta que distingue al
movimiento armónico simple de otros movimientos. De esta manera
definimos:

3. El movimiento armónico simple (M.A.S) es un movimiento
vibratorio en la cual la aceleración es proporcional al desplazamiento
y está siempre dirigida hacia la posición de equilibrio.
ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
OSCILACIÓN O VIBRACIÓN COMPLETA
Es el movimiento realizado desde cualquier posición hasta regresar
de nuevo a ella pasando por las posiciones intermedias, así en el
siguiente grafico se tiene una oscilación cuando una esferita que pende
de un hilo sale de la posición N, va hasta M y vuelve a N pasando por la
posición “0”
A
X
M
N
0

4. ENLOGACIÓN
Es el desplazamiento de la partícula que oscila desde la
posición de equilibrio hasta cualquier posición en un instante dado. En el
grafico “X” es la elongación, porque es el desplazamiento desde la
posición de equilibrio “O” hasta la posición “S” en un instante
determinado.
AMPLITUD (A)
Es la máxima elongación, es decir, el desplazamiento máximo a
partir de la posición de equilibrio, en el grafico anterior la distancia “A”
contada a partir de 0 es la amplitud.
PERIODO
Es el tiempo requerido para realizar una oscilación o vibración
completa. Se designa con la letra “T”
FRECUENCIA
Es el número de oscilación o vibraciones realizadas en la unidad de
tiempo. La unidad de frecuencia usada en el S.I es el ciclo/seg. Llamado
también Hertz.

5. POSICIÓN DE EQUILIBRIO
Es la posición en la cual no actúa ninguna fuerza neta sobre la
partícula oscilante. El punto “0” del grafico anterior representa la
partícula en equilibrio.
RELACION ENTRE EL M.A.S Y EL CIRCULAR UNIFORME
Para relacionar el movimiento circular uniforme con el movimiento
circular uniforme con el movimiento armónico simple. Para ello se
proyecta la trayectoria circular sobre cualquiera de los ejes, que coincida
con uno de los diámetros de la circunferencia. Particularmente haremos la
proyección sobre el eje horizontal. En la figura anterior la cual muestra
una circunferencia de radio R y centro “0”. Consideremos un punto P
sobre la circunferencia y “p” su proyección sobre el diámetro horizontal.
Cuando el punto pasa por “M” y va hasta la posición “P”, la
proyección habrá ido desde “M” hasta “P”. Si el punto “P” va hasta la
posición “S”, “P” se habrá movido hasta la posición “0”. Continuando el
Q
Q1 P1
X
MN
S

6. movimiento el punto “S” pasara a la posición “Q” y “P”, se habrá movido
desde “0” hasta “Q”.
Como podemos notar, mientras el punto P le da la vuelta a la
circunferencia, su proyección “P” sobre el diámetro horizontal habrá ido
desde “M” hasta “N” y regresando de nuevo desde “N” hasta “M”, es
decir, hay un movimiento de vaivén a lo largo del diámetro horizontal. De
todo esto podemos decir que:
Un movimiento armónico simple es la proyección de la
trayectoria de un movimiento circular uniforme sobre uno de los
diámetros vertical u horizontal.
ECUACIONES DEL M.A.S
Sabemos que el punto P que se mueve alrededor de la
circunferencia puede ser proyectado sobre el eje X o sobre el eje Y. En
nuestro caso usaremos las proyecciones de P sobre el eje X, y
encontraremos las ecuaciones de la elongación, la velocidad y la
aceleración.
θ
θ
X

7. ECUACIÓN DE LA ELONGACIÓN
Tratemos de deducir una expresión matemática de la elongación
“X” en términos de tiempo t. Para ello nos remitiremos al triangulo del
grafico anterior. Observando el triángulo y usando la definición de coseno,
escribir que:
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑋
𝑅
, 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 , 𝑋 = 𝑅. 𝑐𝑜𝑠𝜃 (1)
Siendo θ el ángulo de fase y R el radio de la circunferencia. Por
otra parte, sabemos por definición de velocidad angular:
𝑊 =
𝜃
𝑡
, 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒; 𝜃 = 𝑊. 𝑇 (2)
Sustituyendo (2) en (1), se tiene que:
𝑋 = 𝑅. cos 𝑤. 𝑡
Como R=A, entonces:
𝑋 = 𝐴. cos 𝑤. 𝑡

8. ECUACIÓN DE LA VELOCIDAD EN FUNCIÓN DEL TIEMPO
En la siguiente figura podemos observar en donde V es el vector
representativo de la velocidad lineal en el punto P, constante en magnitud
pero variable en dirección. V= W.R
Si Vx es la proyección de V sobre el eje X, puede escribirse que:
Vx= V. senθ…. (1)
Sabemos que V= W.R y θ= W.T, sustituyendo en (1) nos queda que:
𝑽𝒙 = 𝑾. 𝑹. 𝒔𝒆𝒏 𝑾. 𝑻; 𝒚 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝑹 = 𝑨
𝑽𝒙 = 𝑨. 𝑾. 𝒔𝒆𝒏 𝑾. 𝑻
𝑣⃗
p
𝑉𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗
X

9. Si hacemos 𝑾 = 𝟐𝝅. 𝒇 𝒏𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆𝒅𝒂:
𝑽𝒙 = 𝟐𝝅. 𝒇. 𝑨. 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝝅. 𝒇. 𝒕
ECUACIÓN DE LA VELOCIDAD EN FUNCIÓN DE LA ENLOGACIÓN
Sabemos que la velocidad en cualquier instante viene dada por:
𝑽𝒙 = −𝑾. 𝑨. 𝒔𝒆𝒏𝜽 … …. . (𝟏)
Observando el triángulo POP de la figura anteriormente mostrada
se tiene que:
𝒔𝒆𝒏𝜽 =
𝑷′𝑷
𝑶𝑷
, 𝒑𝒆𝒓𝒐
𝑷𝑷′
= √ 𝑹 𝟐 − 𝑿 𝟐 𝒂𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒕𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒑𝒊𝒕𝒂𝒈𝒐𝒓𝒂𝒔
𝑶𝑷 = 𝑹 = 𝑨
Luego: 𝒔𝒆𝒏𝜽 =
+
−
(
√ 𝑨 𝟐−𝑿 𝟐
𝑨
)… . .(𝟐)
Sustituyendo (2) en (1), se tiene que:

10. 𝑽𝒙 =
+
−
( 𝑾. 𝑨 (
√𝑨 𝟐 − 𝑿 𝟐
𝑨
))
De donde, 𝑽𝒙 =
+
−
(𝑾(√𝑨 𝟐 − 𝑿 𝟐))
ECUACIÓN DE LA ACELERACIÓN
Sea 𝑎 𝑐 el vector representativo de la aceleración centrípeta de la
siguiente figura y 𝑎 𝑥 su proyección sobre el eje horizontal. De esta forma
puede escribirse que:
𝑎𝑥⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑐⃗⃗⃗⃗⃗
C
P
M
𝑝⃗

11. 𝒂 𝒙 = −𝒂 𝒄. 𝒄𝒐𝒔𝜽
𝒂 𝒙 = −𝒘 𝟐
. 𝑹. 𝐜𝐨𝐬𝛉; 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒
𝒂 𝒄 = 𝒘 𝟐
. 𝑹
𝒂 𝒙 = −𝒘 𝟐
. 𝑨. 𝒄𝒐𝒔𝜽; 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑹 = 𝑨
𝒂 𝒙 = −𝒘 𝟐
. 𝑨. 𝒄𝒐𝒔 𝒘𝒕; 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝜽 = 𝒘𝒕
El signo negativo se debe a que la aceleración es proporcional al
desplazamiento, pero con sentido opuesto.
Como 𝑿 = 𝑨 𝒄𝒐𝒔 𝒘𝒕 ; entonces 𝒂 𝒄 = −𝒘 𝟐
. 𝒙
ECUACIÓN DEL PERÍODO PARA EL SISTEMA MASA
RESORTE
Antes hemos deducido dos ecuaciones:
𝑎 = −
𝑘
𝑚
( 𝑥) 𝑦 𝑎 = −𝑤2
𝑥
Igualándolas tenemos que:
−
𝒌
𝒎
= 𝒘 𝟐
. 𝒙 ;
𝒌
𝒎
. 𝒙 = 𝒘 𝟐
. 𝒙

12. 𝒌
𝒎
= 𝒘 𝟐
→ 𝒘 𝟐
=
𝒌
𝒎
… …. (𝟏)
Como 𝑤 =
2𝜋
𝑡
→ 𝑤2
=
4𝜋2
𝑡2
…. . (2)
Luego sustituyendo (2) en (1), queda:
4𝜋2
𝑡2
=
𝐾
𝑚
→
4𝜋2
𝑘𝑚/𝑚
= 𝑡2
En donde, 𝑡2
=
4𝜋2 𝑚
𝑘
Extrayendo raíz a ambos miembros, nos queda:
𝑡 = 2𝜋 (√(𝑚/𝑘))
Siendo:
M: la masa
K: la constante de recuperación del sistema.
Esta ecuación matemáticamente nos dice algo muy peculiar: el
periodo de oscilación no depende de la amplitud, sino de constantes

13. propias del sistema resorte masa, como son “k”, la constante de
elasticidad, y “m”, la masa colocada en el resorte.
TRABAJO Y ENERGIA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACIÓN
Consideremos una sección de un cuerpo rígido normal al eje de
rotación que lo corta en O y consideremos en ella un punto un punto
genérico 𝑃𝑖 de masa 𝑀𝑖, al cual esta aplicada una fuerza 𝐹𝑖, cuya
componente según la tangente a la trayectoria de P sea 𝐹𝑖 la cual se
muestra en la siguiente figura.
En un giro elemental 𝑑𝜑, 𝑃𝑖, el cual sufre un desplazamiento el
cual se expresa en la siguiente ecuación.
Y el trabajo realizado por la fuerza 𝐹𝑖 será:

14. El trabajo efectuado por todas las fuerzas aplicadas al sistema
durante la rotación elemental 𝑑𝜑 será pues:
Ahora bien, ∑ 𝑓𝑖. 𝑟𝑖, es el momento resultante M, respecto al eje, de
las fuerzas aplicadas al cuerpo rígido por lo que el trabajo
correspondiente a esta rotación elemental es:
Si el cuerpo sufre una rotación finita, es decir si el semiplano
solidario al cuerpo pasa por una posición caracterizada por un Angulo
directo 𝜑0 con el semiplano de referencia a la caracterizada por un Angulo
directo 𝜑1 , podemos considerar descompuesta está rotación en una
sucesión de rotaciones elementales y el trabajo efectuado será la suma
de los trabajos elementales, es decir:
Pero si es 𝜔 la velocidad angular, 𝑑𝜑 =
𝜔𝑑𝑡, 𝑦 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎:

15. SISTEMA MASA RESORTE
El sistema masa resorte está compuesto por una masa puntual, un
resorte ideal una colgante y un punto de sujeción del resorte. El resorte
ideal puede ser un resorte de alto coeficiente de elasticidad y que no se
deforma en el rango de estiramiento del resorte. La ecuación de fuerzas
del sistema masa resorte es:
𝑚𝑎 = −𝑘. 𝑥
Donde x es la posición (altura) de la masa respecto a la línea de
equilibrio de fuerzas del sistema, k es la constante de elasticidad del
resorte y m la masa del cuerpo que es sometido a esta oscilación. Esta
ecuación puede escribirse como:
𝑚 𝑑2
𝑥
𝑑
𝑡2 = – 𝑘 𝑥; 𝑐𝑢𝑦𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑥 = 𝐴𝑚 𝑠𝑖𝑛 ( 𝑤 𝑡 + ø)
Dónde Am es la máxima amplitud de la oscilación, w es la
velocidad angular que se calcula como (k /m) 0,5. La constante ø es
conocida como ángulo de desfase que se utiliza para ajustar la ecuación
para que calce con los datos que el observador indica. De la ecuación
anterior se puede despejar el periodo de oscilación del sistema que es
dado por:
𝑇 = 2 𝜋 (𝑚/𝑘)0,5

16. A partir de la ecuación de posición se puede determinar la rapidez
con que se desplaza el objeto:
𝑉𝑠 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑒 ( 𝑑𝑥 /𝑑𝑡). 𝑉𝑠 = |𝐴𝑚 (𝑘/𝑚)0,5 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡 + ø) |
En la condición de equilibrio la fuerza ejercida por la atracción
gravitacional sobre la masa colgante es cancelada por la fuerza que
ejerce el resorte a ser deformado. A partir de esta posición de equilibrio se
puede realizar un estiramiento lento hasta llegar a la amplitud máxima
deseada y esta es la que se utilizará como Am de la ecuación de posición
del centro de masa de la masa colgante. Si se toma como posición inicial
la parte más baja, la constante de desfase será: −
𝜋
2
pues la posición se
encuentra en la parte más baja de la oscilación.
El sistema de amortiguamiento de un automóvil (por llanta) que
puede considerarse como un caso de masa resorte en un medio viscoso
(sistema críticamente amortiguado), una balanza para pesar verduras o
carnes (de supermercado).
El sistema oscilante, formado por un resorte y un bloque sujeto a
él, describe un M.A.S. y tiene una energía mecánica (𝐸𝑚 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝). El
Principio de conservación de la energía mecánica afirma que: La energía
mecánica total permanece constante durante la oscilación.
𝐸𝑚 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 = 𝑐𝑡𝑒
𝐸𝑀 = ½ 𝐾 𝑥2 + ½ 𝑚 𝑣 2
La energía potencial (½ K x2) que le comunicamos al resorte al
estirarlo se transforma en E. cinética (½ m v 2) asociada a la masa unida
al resorte mientras se encoje. La energía cinética de la masa alcanza su
valor máximo en la posición de equilibrio (mitad del recorrido). Mientras se
comprime el resorte, la energía cinética se va almacenando en forma de
energía potencial del resorte.

17. En ausencia de rozamientos, el ciclo se repite indefinidamente (no
se amortigua). En el centro de la oscilación sólo tiene energía cinética y
en los extremos sólo energía potencial
Cuando una partícula oscila con MAS, es porque la fuerza neta que
actúa sobre ella tiene la siguiente forma:
𝑓𝑦
⃗⃗⃗⃗ = −𝑘. 𝑦⃗
Una fuerza de este tipo es elástica. Con base en el modelo del
sistema masa-resorte, se puede hacer un análisis claro que permite
encontrar la relación para la energía potencial elástica lo cual se
demuestra en la siguiente figura:
Figura A:
En A el resorte posee su longitud original, por lo que su
deformación es nula. En esta situación el sistema masa resorte no tendrá
energía potencial elástica (no hay energía almacenada).En la figura 1b un
agente externo lo ha elongado en una cantidad igual. Para lograr esto, el
agente externo realizó un trabajo sobre el sistema (sistema masa-resorte),
cediéndole energía la cual queda almacenada en forma de energía
potencial elástica. Esto es:
Fig.A Fig.B
Fig. C

18. 𝑓⃗𝑒 = −𝑘. 𝑦⃗
𝑓⃗𝑠 = 𝑘. 𝑦⃗
Figura B:
En la figura B se ilustra el diagrama de cuerpo libre de la masa. En
este diagrama, es la fuerza normal que ejerce el piso, es la fuerza de
gravedad ejercida por el planeta (peso), es la fuerza ejercida por el agente
externo, y la fuerza ejercida por el resorte. Se ha despreciado la fuerza de
rozamiento. Si la deformación se obtiene a velocidad constante, aplicando
la primera ley de Newton, se concluye que en todo instante y son iguales
en magnitud.
El trabajo realizado por el agente externo para elongar el resorte es:
Figura C:
En la figura 1c el agente externo realiza aún más trabajo, por lo que el
sistema va aumentando su energía potencial.

19. PENDULO SIMPLE
Existen varias clases de péndulos de acuerdo a sus características,
que son: el péndulo simple, el péndulo físico y el péndulo de torsión. El
péndulo simple es llamado así porque consta de un cuerpo de masa m,
suspendido de un hilo largo de longitud 1, que cumple las condiciones
siguientes:
 El hilo es inextensible
 Su masa es despreciable comparada con la masa del cuerpo.
 El Angulo de desplazamiento que llamaremos θ debe ser pequeño.
En la siguiente figura separemos el péndulo de su posición de
equilibrio, de tal manera que forme un Angulo θ con la vertical. Sea 𝑙 la
longitud del péndulo.
Las fuerzas que actúan sobre la masa “M” son:
T: la tensión del hilo y su propio peso P= m.g
𝑙
𝑓⃗
𝑓⃗1

20. El peso del cuerpo lo descomponemos en dos componentes:
𝑓1 𝑦 𝑓2
como nos indica la siguiente figura, esto se hace de tal manera
que se forme un triángulo rectángulo para usar las relaciones
trigonométricas.
Los vectores componentes serán:
Uno colineal con T cuyo modulo es:
𝑓1 = 𝑚. 𝑔. cos 𝜃 … …. . (1)
Otro perpendicular a T dado por:
𝑓2 = −𝑚. 𝑔. 𝑠𝑒𝑛𝜃 … … . . (2)
El signo negativo indica el hecho de que 𝑓2 actúa en la dirección
opuesta a la del Angulo girado. Podemos decir que las fuerzas que actúan
sobre la masa m son: T, 𝒇 𝟏 𝒚 𝒇 𝟐.
θ
θ
𝑃⃗⃗ = 𝑚. 𝑔⃗
𝐹2 = 𝑚. 𝑔. 𝑠𝑒𝑛𝜃

21. Las fuerzas que están en la misma dirección del hilo originan una
fuerza neta (fuerza centrípeta) que hace que el péndulo tenga una
trayectoria circular, pudiéndose escribir que:
𝑇 − 𝑓1 = −
𝑚. 𝑣2
𝑙
(𝑛𝑜𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑅 = 𝑙)
Sustituyendo 𝑓1 en la ecuación (1) por su valor se tiene que:
𝑇 − 𝑚. 𝑔. 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑚.𝑣2
𝑙
Si ahora analizamos 𝑓2 que es perpendicular a la dirección del hilo,
tendremos que es una fuerza restauradora dirigida hacia la posición de
equilibrio, considerándose negativa porque se opone al movimiento del
péndulo pudiéndose escribir que:
𝑓2 = −𝑚. 𝑔. 𝑠𝑒𝑛𝜃 … … . . (3)
Debemos encontrar ahora una relación que involucre a Sen θ con
la longitud del hilo, y el arco de la trayectoria x. observando la siguiente
figura y aplicando la definición del Sen θ escribimos que:
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑎
𝑙

22. Como las desviaciones del Angulo son pequeñas (menores a 5
grados), la longitud del arco x y la distancia a son casi iguales, podemos
escribir que:
𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝜃 =
𝑥
𝑙
… …. . (4)
Sustituyendo (4) en la ecuación (3) mencionada anteriormente
tenemos que:
𝑓2 = −𝑚. 𝑔(
𝑥
𝑙
) 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑚á𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑠 𝑓2 = −
𝑚. 𝑔
𝑙
. 𝑥
Esta expresión es la de la forma 𝐹 = −𝑘. 𝑥, esto nos indica que
para desplazamientos pequeños la fuerza restauradora es proporcional al
desplazamiento y su sentido es opuesto al de este.
Para pequeños desplazamientos angulares, el movimiento de un
péndulo es armónico simple.
θ
X

23. Para este caso, la constante de recuperación K es:
𝑘 =
𝑚. 𝑔
𝑙
… …. . (5)
Por otra parte, el periodo T de un M.A.S se mencionó
anteriormente que era:
𝑇 = 2𝜋 (√
𝑚
𝑘
)… … . . (6)
Esta expresión es justamente la fórmula del periodo del péndulo
cuando su amplitud no excede de los 5 grados. De ella se desprenden los
factores de los cuales depende su periodo y se conocen con el nombre de
leyes del péndulo, las cuales pueden ser enunciadas así:
El periodo de un péndulo es:
1. Independiente de la masa. Notemos que en la formula anterior no
figura el factor masa.
2. Es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su
longitud.
3. Es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la
aceleración de la gravedad.
4. Es independiente de la amplitud mientras no exceda de 5
grados.

24. APLICACIONES DEL PENDULO
1. Nos sirve para medir el valor de la aceleración de gravedad en
cualquier lugar de la tierra.
2. Es utilizado como instrumento para medir el tiempo, lo que ha
servido para la fabricación de relojes.
Sustituyendo (5) en (6), nos queda:
𝑇 = 2𝜋 (√
𝑚
𝑚𝑔
𝑙
), 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒
𝑇 = 2𝜋 (√
𝑙
𝑔
)
OSCILACIONES
Muchos tipos de movimiento se repiten una y otra vez: las
oscilaciones de una masa sobre un resorte, el movimiento de un péndulo,
etc. A esto llamamos movimiento periódico u oscilación, esto ocurre
cuando la fuerza sobre un cuerpo es proporcional al desplazamiento del
cuerpo a partir del equilibrio si esta fuerza actúa siempre hacia la posición
de equilibro del cuerpo hay un movimiento repetitivo hacia delante y hacia
atrás alrededor de esta posición.

25. ELEMENTOS DE LA OSCILACIÓN
1. La amplitud (A):
El movimiento de un cuerpo respecto al punto de equilibrio se conoce
como desplazamiento. El desplazamiento máximo “A” a partir de la
posición de equilibrio se define como la amplitud del movimiento
Oscilatorio.
2. El periodo (T):
Es el tiempo que tarda un ciclo y siempre es positivo. Su unidad en el
SI es el segundo, pero a veces se expresa como segundos por ciclo.
3. Frecuencia (F):
Es el número de ciclos en la unidad de tiempo y siempre es positiva.
Su unidad en el SI es el Hertz: 1hertz = 1Hz = 1ciclo/s = 1s-1
4. La frecuencia angular:
Es 2 veces la frecuencia F=2f, representa la rapidez de cambio de una
cantidad angular que siempre se mide en radianes, de modo que sus
unidades son rad/seg. Dado que f está en ciclos/seg. , podemos
considerar que el numero 2 tiene unidades de rad/ciclo.

26. CLASES DE MOVIMIENTOS OSCILATORIOS
EL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
El tipo más sencillo de oscilaciones se da cuando la fuerza de
restitución es directamente Proporcional desplazamiento respecto al
equilibrio a esta oscilación la conocemos como movimiento Armónico
Simple. Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.)
cuando se mueve a lo largo del eje X, estando su posición x dada en
función del tiempo t por la ecuación.
𝑥 = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝑇+
)
Dónde:
 A es la amplitud
 ð la frecuencia angular.
 ð t+ð la fase.
 ð la fase inicial.

27. PROPIEDADES DEL M.A.S
 El desplazamiento, la velocidad y la aceleración varían senoidalmente
con el tiempo pero no están en fase.
 La aceleración de la partícula es proporcional al desplazamiento pero
en la dirección opuesta.
 La frecuencia y el periodo de movimiento son independiente de la
amplitud.
OSCILACIONES AMORTIGUADAS O RETARDADAS
En la naturaleza existe lo que se conoce como fuerza de fricción (o
rozamiento), que es el producto del choque de las partículas (moléculas) y
la consecuente transformación de determinadas cantidades de energía en
calor. Ello resta cada vez más energía al movimiento (el sistema
oscilando), produciendo finalmente que el movimiento se detenga. Esto es
lo que se conoce como oscilación amortiguada.
Oscilación amortiguada

28. En la oscilación amortiguada la amplitud de la misma varía en el
tiempo (según una curva exponencial), haciéndose cada vez más
pequeña hasta llegar a cero. Es decir, el sistema (la partícula, el péndulo,
la cuerda de la guitarra) se detiene finalmente en su posición de reposo.
Donde su representación matemática es:
OSCILACIONES FORZADAS
Las oscilaciones forzadas resultan de aplicar una fuerza periódica y
de magnitud constante (llamada generador G) sobre un sistema oscilador
(llamado resonador R). En esos casos puede hacerse que el sistema
oscile en la frecuencia del generador (g), y no en su frecuencia natural (r).
Es decir, la frecuencia de oscilación del sistema será igual a la frecuencia
de la fuerza que se le aplica. Esto es lo que sucede por ejemplo en la
guitarra, cuando encontramos que hay cuerdas que no pulsamos pero
que vibran "por simpatía".
Debe tenerse en cuenta que no siempre que se aplica una fuerza
periódica sobre un sistema se produce una oscilación forzada. La
generación de una oscilación forzada dependerá de las características de
amortiguación del sistema generador y de las del resonador, en particular
su relación.

29. RESONANCIAS
Si, en el caso de una oscilación forzada, la frecuencia del
generador (g) coincide con la frecuencia natural del resonador (r), se dice
que el sistema está en resonancia. La amplitud de oscilación del sistema
resonador R depende de la magnitud de la fuerza periódica que le aplique
el generador G, pero también de la relación existente entre g y r.
Cuanto mayor sea la diferencia ente la frecuencia del generador y la
frecuencia del resonador, menor será la amplitud de oscilación del
sistema resonador (si se mantiene invariable la magnitud de la fuerza
periódica que aplica el generador). O, lo que es lo mismo, cuanto mayor
sea la diferencia entre las frecuencias del generador y el resonador,
mayor cantidad de energía se requerirá para generar una determinada
amplitud en la oscilación forzada (en el resonador).
Por el contrario, en el caso en que la frecuencia del generador y la del
resonador coincidieran (resonancia), una fuerza de pequeña magnitud
aplicada por el generador G puede lograr grandes amplitudes de
oscilación del sistema resonador R. La Figura 04 muestra la amplitud de
oscilación del sistema resonador, para una magnitud constante de la
fuerza periódica aplicada y en función de la relación entre la frecuencia
del generador g y la frecuencia del resonador r.

30. CURVA DE RESONANCIA
En un caso extremo el sistema resonador puede llegar a romperse.
Esto es lo que ocurre cuando un cantante rompe una copa de cristal
emitiendo un sonido con la voz. La ruptura de la copa no ocurre
solamente debido a la intensidad del sonido emitido, sino
fundamentalmente debido a que el cantante emite un sonido que contiene
una frecuencia igual a la frecuencia natural de la copa de cristal,
haciéndola entrar en resonancia. Si las frecuencias no coincidieran, el
cantante debería generar intensidades mucho mayores, y aun así sería
dudoso que lograra romper la copa.
El caso de resonancia es importante en el estudio de los
instrumentos musicales, dado que muchos de ellos tienen lo que se
conoce como resonador, como por ejemplo la caja en la guitarra. Las
frecuencias propias del sistema resonador (caja de la guitarra) conforman
lo que se denomina la curva de respuesta del resonador. Los parciales
cuyas frecuencias caigan dentro de las zonas de resonancia de la caja de
la guitarra serán favorecidos frente a los que no, de manera que el
resonador altera el timbre de un sonido

31. HIDROSTATICA
La materia existe en diferentes estados de agregación: solido,
líquido y gaseoso. Los líquidos y los gases mantienen propiedades
comunes tales como su capacidad de fluir y adoptar la forma de los
recipientes que los contiene por lo que se los denomina conjuntamente
fluidos. Los líquidos son prácticamente incomprensibles, por lo que
podemos considerar que su volumen no se modifica. El gas en cambio se
expande y comprime con facilidad.
La hidrostática estudia el comportamiento de los líquidos en
equilibrio, es decir cuando no hay fuerzas que alteren el estado de reposo
o de movimiento del líquido. También se emplea como aproximación, en
algunas situaciones de falta de equilibrio en las que los efectos dinámicos
son de poca relatividad. Aunque los fluidos obedecen a las mismas leyes
de la física que los sólidos, la facilidad con la que cambia de forma hace
que sea conveniente estudiar pequeñas porciones en lugar de todo el
fluido. Por eso se reemplaza las magnitudes extensivas (que dependen
de la cantidad de materia), por las magnitudes intensivas (que no
dependen de la cantidad de materia): la masa se reemplaza por la
densidad y el peso se reemplaza por el peso específico.
LA DENSIDAD Y EL PESO ESPECÍFICO
La densidad 𝛿 de un cuerpo es el cociente entre la masa (m) del
cuerpo y el volumen (V) que ocupa:
𝛿 =
𝑚
𝑣

32. Las unidades de medidas de densidad son, por ejemplo, kg/lt. Así,
la densidad del agua es aproximadamente de 1 kg/lt y la del hierro 7,8
kg/lt. Sin embargo pueden utilizarse otras unidades, como por ejemplo
𝑘𝑔/𝑑𝑚3
, 𝑔/𝑚𝑚3
y 𝑙𝑏/𝑝𝑖𝑒3
. En el sistema internacional, la densidad se
mide en 𝑘𝑔/𝑚3
.
Cuando el cuerpo es homogéneo, la densidad es la misma en
diferentes regiones del cuerpo. Si el cuerpo es heterogéneo, la densidad
varia para diferentes regiones del cuerpo y se puede establecer una
densidad media, como el cociente entre la masa del cuerpo y su volumen.
De manera análoga, el peso específico
(𝜌) 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑠𝑜 ( 𝑝) 𝑦 𝑒𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 ( 𝑉), por unidad de
volumen, con las misma consideraciones anteriores:
𝜌 =
𝑝
𝑣
=
𝑚. 𝑔
𝑣
= 𝛿. 𝑔
Donde g es la aceleración de la gravedad. Unidades posibles para
el peso específico son, por ejemplo, kgf/lt, y gf/𝑚𝑚3
. En el sistema
internacional la unidad específica es N/𝑚3
FUERZA Y PRESION
Cuando en una situación de equilibrio la fuerza la transmite un
sólido, como por ejemplo una soga, el valor de la fuerza no cambia por
efecto de la transmisión. Un problema práctico podemos considerar un
cuerpo que cuelga en una polea y se mantienen en equilibrio utilizando
una soga. La soga transmite la fuerza sin cambiar su valor: la intensidad
de la fuerza que la mano hace sobre la soga es la misma que la que la
soga hace sobre el cuerpo

33. Ejemplo de una fuerza
LA PRESION EN UN PUNTO
La definición de la presión como cociente entre la fuerza y la
superficie se refiere a una fuerza constante que actúa perpendicularmente
sobre una superficie plana. En los líquidos en equilibrio las fuerzas
asociadas a la presión son en cada punto perpendiculares a la superficie
del recipiente, de ahí que la presión sea considerada como una magnitud
escalar cociente de dos magnitudes vectoriales de igual dirección: la
fuerza y el vector superficie. Dicho vector tiene por módulo el área y por
dirección la perpendicular a la superficie.
Cuando la fuerza no es constante, sino que varía de un punto a otro de la
superficie S considerada, tiene sentido hablar de la presión en un punto
dado. Para definirla se considera un elemento de superficie DS que rodea
al punto; si dicho elemento reduce enormemente su extensión, la fuerza
DF que actúa sobre él puede considerarse constante. En tal caso la

34. presión en el punto considerado se definirá en la forma matemática a
continuación:
Esta expresión, que es la derivada de F respecto de S, proporciona
el valor de la presión en un punto y puede calcularse si se conoce la
ecuación matemática que indica cómo varía la fuerza con la posición. Si la
fuerza es variable y F representa la resultante de todas las fuerzas que
actúan sobre la superficie S la fórmula:
Si sobre la superficie libre se ejerciera una presión exterior
adicional po, como la atmosférica por ejemplo, la presión total p en el
punto de altura h sería:
Esta ecuación puede generalizarse al caso de que se trate de
calcular la diferencia de presiones Dp entre dos puntos cualesquiera del
interior del líquido situados a diferentes alturas, resultando:

35. Es decir:
Que constituye la llamada ecuación fundamental de la hidrostática.
Esta ecuación indica que para un líquido dado y para una presión
exterior constante la presión en el interior depende únicamente de la
altura. Por tanto, todos los puntos del líquido que se encuentren al mismo
nivel soportan igual presión. Ello implica que ni la forma de un recipiente
ni la cantidad de líquido que contiene influyen en la presión que se ejerce
sobre su fondo, tan sólo la altura de líquido. Esto es lo que se conoce
como paradoja hidrostática, cuya explicación se deduce a modo de
consecuencia de la ecuación fundamental.