Este documento describe dos métodos para la interpolación de datos: el método de Newton y el método de Lagrange. Explica cómo construir polinomios de interpolación usando diferencias divididas recursivas para el método de Newton y productos de polinomios para el método de Lagrange. También incluye ejemplos numéricos para ilustrar los métodos.
2. Idea del método Newton
2
El polinomio así construído es de grado , interpola a los datos anteriores e
imponiendo que se verifique la nueva condición de interpolación
3. Diferencias divididas
Trataremos de construir el polinomio de interpolación de los datos
con k = 0, · · · , n de una muestra sin tener que recurrir a resolver un
sistema. Lo escribiremos siguiendo la idea antes planteada
Definición:
i) Llamaremos diferencia dividida de orden cero de la función f y lo
denotaremos
ii) Llamaremos diferencia dividida de orden uno de la función f , y lo
denotaremos
3
4. iii) Llamaremos diferencia dividida de orden dos de la función f ,y lo
denotaremos
y así sucesivamente, el siguiente resultado establece cómo formar las
diferencias divididas de cada orden.
Ley de recurrencia de las diferencias divididas
4
5. Pasamos a aplicar las anteriores definiciones al cálculo de
En general, al imponer la condición sale la
condición
La ley de recurrencia permite ir formando las diferencias divididas de
orden superior a partir de las de un orden menos
5
Diferencia dividida de orden 1 en x0 y x1
9. • polyval(p, x): Evalúa un polinomio en un punto dado
Si p tiene N+1 elementos, retorna el valor del polinomio al evaluarlo en x.
Es decir y = p(1)* xN + p(2)*xN-1 + ... + p(N)*x + p(N+1)
• conv(p, q): Multiplicación de polinomios
conv viene de convolución, en el caso de los vectores convolucionar dos
vectores es equivalente a multiplicarlos.
Funciones nuevas a utilizar
10. Newton
%Datos
x=[-2 0 1];
y=[0 1 -1];
%Desarrollo
n=length(x);
p=[1 -x(1)];%inicializamos el productorio, (x-x(1))
P=y(1);%inicializamos el polinomio desarrollado, el termino
independiente es y(1)
resultN(1,1)=y(1);%el primer elemento es f(x(1)) o sea y(1)
for i=2:n
a=(y(i)-polyval(P,x(i)))/polyval(p,x(i))%a=diferencia dividida
para una i
resultN(1,i)=a%carga el elemento al vector de
divisiones divididas
P=[0 P]+a*p; %forma el polinomio desarrollado
11. 12
La formación del polinomio p sólo precisa formar los polinomios de
Lagrange y escribir una combinación lineal de ellos donde los coeficiente
nos vienen dados, los yi.
Interpolacion de Lagrange
12. Ejercicio
Escribir el polinomio de interpolación de Lagrange para los siguientes
datos, Hallar el valor de f(x) para x=1,5:
Ing.
Viviana
Ortellado
13
