El documento describe el método de estimación de máxima verosimilitud, el cual estima los parámetros de una distribución de probabilidad que maximizan la probabilidad de las observaciones de la muestra. Este método implica maximizar la función de verosimilitud de los datos, la cual es el producto de las funciones de densidad de probabilidad evaluadas en cada observación.

1. Es un modelo general para estimar parámetros de una distribución de probabilidad que depende
de las observaciones de la muestra.
En otras palabras, la EMV maximiza la probabilidad de los parámetros de las funciones de
densidad que dependen de la distribución de probabilidad y las observaciones de la muestra.
ESTIMACION DE MAXIMA VEROSIMILITUD
Este símbolo significa lo mismo que el sumatorio para las sumas. En este caso, es la multiplicación de todas
las funciones de densidad que dependen de las observaciones de la muestra (xi) y de los parámetros

2.  Función logarítmica de EMV
 Para encontrar las estimaciones de máxima verosimilitud tenemos que diferenciar (derivar) los
productos de funciones de densidad y no es la manera más cómoda de hacerlo.
 Cuando nos encontramos con funciones complicadas, lo que podemos hacer es una transformación
monótona.

7. PROPIEDADES DE LOS EMV INVARIANZA
APROXIMACIÓN NORMAL
En muchos casos, el estimador obtenido por máxima verosimilitud posee un conjunto de
propiedades asintóticas atractivas:
 Consistencia
 Normalidad asintótica
 Eficiencia
 Incluso eficiencia de segundo orden tras corregir el sesgo.

8.  CONSISTENCIA
Bajo ciertas condiciones bastante habituales, el estimador de máxima verosimilitud es consistente: si
el número de observaciones n tiende a infinito, el estimador θ ̂ converge en probabilidad a su valor
verdadero:
Bajo condiciones algo más fuertes,2 la convergencia es casi segura:

9.  Normalidad asintótica 2
Si las condiciones para la consistencia se cumplen tenemos:
entonces el estimador de máxima verosimilitud tiene una distribución asintótica normal:

10.  Invariancia funcional
Es una transformación de θ, entonces el EMV de α = g(θ) es
Además, el EMV es invariante frente a ciertas transformaciones de los datos. En efecto, una
aplicación biyectiva que no depende de los parámetros que se estiman, entonces la función de
densidad de Y es
Es decir, las funciones de densidad de X e Y difieren únicamente en un término que no depende
de los parámetros. Así, por ejemplo, el EMV para los parámetros de una distribución
lognormal son los mismos que los de una distribución normal ajustada sobre el logaritmo de
los datos de entrada.

11.  EJERCICIO
 Números de renovales por metro cuadrado de muestreo en un bosque:
y=1,0,2,1,0,0,1,1,2,2y=1,0,2,1,0,0,1,1,2,2. Si suponemos que estos datos se pueden describir
como el resultado de un proceso aleatorio de tipo Poisson, y que además las observaciones
son independientes, podemos calcular la probabilidad del conjunto de datos como el
producto de las probabilidades de cada una de las observaciones
>y <- c(1, 0, 2, 1, 0, 0, 1, 1, 2, 2)
>lambda <- 1
>p.y <- dpois(y, lambda = lambda)
>p.y
[1] 0.3678794 0.3678794 0.1839397 0.3678794 0.3678794 0.3678794 0.3678794
## [8] 0.3678794 0.1839397 0.1839397
>prod(p.y)
[1] 5.674991e-06

12. Como las probabilidades son números que van entre 00 y 11, el producto de varias probabilidades
resulta en números muy pequeños. Vemos en este caso que la probabilidad del conjunto de datos
es muy baja (5.6749912×10−65.6749912×10−6). Esto no debería sorprendernos porque esa es la
probabilidad de encontrar exactamente esos datos en particular (sin importar el orden). Entonces,
para evitar problemas numéricos que pueden aparecer cuando la computadora trabaja con
números muy chicos, preferimos trabajar con la suma de los logaritmos de las probabilidades, es
decir con el logaritmo del likelihood. En R, podemos usar la opción log = TRUE dentro de las
funciones de densidad.
>y <- c(1, 0, 2, 1, 0, 0, 1, 1, 2, 2)
>lambda <- 1
>ll <- dpois(y, lambda = lambda, log = TRUE)
>sum(ll)
[1] -12.07944
Una vez que logramos hacer estas cuentas, podemos preguntarnos cómo cambia la probabilidad
de observar el set de datos si cambiamos el valor de λλ. Probemos por ejemplo con λ=2

13. >y <- c(1, 0, 2, 1, 0, 0, 1, 1, 2, 2)
>lambda <- 2
>sum(dpois(y, lambda = lambda, log = TRUE))
[1] -15.14797
Con un λλ de 22 el log likelihood de los datos empeora (es más chico), de manera que nos hace
pensar que los datos son más consistentes con λ=1λ=1 que con λ=2λ=2. Siguiendo este
razonamiento, podemos continuar probando distintos valores de λλ hasta encontrar el que hace
más probable al set de datos. Esta es la idea detrás de los análisis de máxima verosimilitud (a falta
de mejor nombre) o de máximum likelihood (si estamos dispuestos a usar palabras en inglés).
Veamos gráficamente cómo cambia el log-likelihood a medida que cambia λλ:
>y <- c(1, 0, 2, 1, 0, 0, 1, 1, 2, 2)
>lambda <- seq(0, 3, by = 0.1)
>ll <- numeric(length(lambda))
>for (i in 1:length(lambda)) {
>ll[i] <- sum(dpois(y, lambda = lambda[i], log = TRUE))
}
>op <- par(cex.lab = 1.5, font.lab = 2, cex.axis = 1.3, bty = "n", las = 1)
plot(lambda, ll, pch = 21, bg = "grey")


14. >par(op)
Podemos ver que la curva de logL llega a un máximo cuando λ=1λ=1. Podemos decir
entonces que λ=1λ=1 maximiza la probabilidad de observar nuestro set de datos.
Normalmente tenemos más de un parámetro en nuestro modelo de datos, y usamos
algún algoritmo de búsqueda para encontrar la combinación de parámetros que hace
más probables a nuestros datos (por tradición, los algoritmos buscan minimizar el
menos logaritmo de la verosimilitud de nuestros datos).