Este documento describe diferentes conceptos y teoremas relacionados con probabilidad e inecuaciones, incluyendo la inecuación de Markov, la inecuación de Chebyshev, la inecuación de Chernoff, la ley de números grandes, y modelos de probabilidad. También discute limitaciones de usar frecuencias relativas y el concepto de probabilidad subjetiva.

1. Probabilidad:Inecuaciones, Números Grandes, Modelos Juan G. Vélez Rodríguez Carlos Martínez Bonilla

2. Forman un rol fundamental en la probabilidad debido a : Que parte de los modelos que estudiamos son muy complejos para encontrar respuestas exactas. Varios de los Teoremas que se utilizan establecen límites en vez de respuestas exactas. Inecuaciones Básicas

3. Tres inecuaciones que utilizaremos repetidamente en la Probabilidad son: Markov Chebyshev Chernoff Inecuaciones Básicas

4. Inecuación de Markov: Es la más simple de las tres inecuaciones. Establece que si una variable aleatoria positiva Y tiene una media E[Y], entonces, para cada y > 0, la Pr(Y ≥ y) se satisface. Inecuaciones Básicas

5. Inecuaciones Básicas

6. Un ejemplo de ésta inecuación puede ser presumir que la estatura promedio de la población de personas es 1.6 metros. La inecuación de Markov establecería que como máximo la mitad de la población tiene altura que excede los 3.2 metros. La inecuación en este ejemplo es débil. Inecuaciones Básicas

7. Como quiera, para cualquier y > 0, podemos considerar a una variable aleatoria que toma el valor de y con la probabilidad ϵy el valor 0 con probabilidad1- ϵ, ésta variable aleatoriasatisface la inecuación de Markov al puntoy. Inecuaciones Básicas

8. Inecuaciones Básicas Otra aplicación a la figura anterior es la observación que, para cualquier valor aleatorio positivo Y con media finita:

9. Inecuación de Chebyshev Se establece usando la inecuación Markov. Sea Z una variable aleatoria arbitraria con media finita E[Z] y una varianza finita σ²Zy se define Y como la variable aleatoria positiva Y=(Z-E [Z])², entonces: E[Y]= σ ² Z Pr{{Z – E[Z]) ² ≥ y} ≤ σ ² Z para cualquier y > 0. y Inecuaciones Básicas

10. Reemplazando y con ϵ ² (para cualquier ϵ> 0) y notando que el evento {(Z – E[Z]) ² ≥ ϵ ²} es la misma que | Z – E[Z] | ≥ ϵ, esto se convierte en: Pr {|Z – E [Z]| ≥ ϵ}≤ σ ² Z (Chebyshev) ϵ ² Inecuaciones Básicas

11. Notamos que la inecuación de Markov trabaja con la cola superior de la función de distribución y solo aplica a variables aleatorias positivas, mientras que la inecuación de Chebyshev trabaja con ambos lados en la función de distribución. Inecuaciones Básicas

12. La más importante diferencia es que la inecuación de Chebyshev va hasta 0 inversamente a ambos lados de la distancia desde la media, mientras que Markov va a 0 inversamente con la distancia desde cero. (Sólo por el lado de los números positivos) Inecuaciones Básicas

13. La inecuación de Chebyshev es particularmente útil cuando Z es la muestra promedio (X1, X2, X3…+ XN)/n de un set de variables aleatorias de distribuciones idénticas independientes. Inecuaciones Básicas

14. Chernoff (Exponencial) Otra variación de la inecuación de Markov El límite en cada lado de la curva va desde 0 exponencialmente con la distancia desde la media. Para cualquier valor aleatorio Z, tomemos I(Z) como intervalo sobre el cual la función generativa de momento gz(r) = E [e^zr] existe. Inecuaciones Básicas

15. Pr {exp(rZ) ≥ y} ≤ gz(r)/y paracualquiery > 0. Estopuedetomarunamejor forma siy esreemplazadopore ^ rb. Notemosque exp(rZ) ≥ exp(rb) esequivalente a Z≥ b para r > 0 y Z < b parar < 0. Para cualquier real b, obtenemoslas dos curvas, unapara r > 0 y otrapara r < 0. Inecuaciones Básicas

16. Inecuaciones Básicas

17. Colección de resultados en la Teoría de Probabilidad. Describe la conducta del promedio aritmético de n valores aleatorios para un n grande. Ley de Números Grandes

18. Para cualquier n valores aleatorios, X1,X2…Xn, el promedio aritmético es: Debido a cualquier salida del experimento, el valor muestral de nuestra variable aleatoria es el promedio aritmético de los valores muestralesX1,…Xn. Esta variable se le llama promedio muestral. Ley de Números Grandes

19. Si X1,…,XNson consideradas como variables sucesivas en tiempo, éste promedio muestral es llamado tiempo promedio. Ley de Números Grandes

20. Leydébil de númerosgrandes con varianzafinita. Ley de Números Grandes

21. Teorema de la leydébil de númerosgrandes con varianzafinita. Ley de Números Grandes

22. FrecuenciaRelativa (¿ Cúanto se repite?) Eventos son Independientes Ley de Números Grandes

23. Teorema del Límite Central Ley de Números Grandes

24. Leydébil de númerosgrandes con varianzainfinita. Ley de Números Grandes

25. Convergencia de Variables Aleatorias Definición1 Unasecuencia de variables aleatorias, Z1,Z2… converge en una variable aleatoriaZsi: en cadazpara la cualFz(z)es continua. Ley de Números Grandes

26. Convergencia de Variables Aleatorias Definición2 Unasecuencia de variables aleatorias, Z1,Z2… converge en distribución a una variable aleatoriaZsi: Ley de Números Grandes

27. Convergencia de Variables Aleatorias Definición3 Unasecuencia de variables aleatorias, Z1,Z2… converge en una media cuadrática a una variable aleatoriaZsi: Ley de Números Grandes

28. Convergencia con Probabilidad 1 También conocida como probabilidad a.s. (almost surely o casi segura). Se simboliza de la siguiente forma:

29. Convergencia con Probabilidad 1 Se define como: Dado que Z1, Z2, … es una secuencia de variables aleatorias en un espacio muestral Ω, para un n ≥ 1. Se tiene que:

30. Ley Fuerte de los Números Grandes Si para cada entero n ≥ 1, con Sn = X1+X2+…Xn; y Xi es una variable aleatoria independiente e idénticamente distribuida, satisfaciendo E[|X|] ≤ ∞.

31. Ley Fuerte de los Números Grandes Entonces: Donde: ω: elemento del espacio muestral. : Media muestral : Media.

33. Teorema de los Infinitos Monos Si un infinito número de monos mecanografían, por un intervalo infinito de tiempo, producirían texto legible.

34. Teorema de los Infinitos Monos Si se desea que escriban la palabra “maraca” con un teclado de 50 teclas:

35. Teorema de los Infinitos Monos La probabilidad de no escribir la palabra maraca es:

36. Teorema de los Infinitos Monos Con n letras escritas, la probabilidad de no escribir maraca, X, es: Pr{maraca} = 1

37. Modelo Fórmula matemático para expresar: Variables. Parámetros. Entidades. Relaciones entre variables y/o entidades u operaciones.

38. Modelo Es una traducción de la realidad física de un sistema en términos matemáticos.

40. Frecuencias Relativas en Modelos de Probabilidad Para un modelo de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (IID) con un número grande de repeticiones, la frecuencia relativa de un evento, es esencialmente la misma probabilidad del evento.

41. Frecuencias Relativas en el Mundo Real Lanzamiento de una moneda: Se asume que la moneda es justa, se omite cualquier posible asimetría. Las opciones son cara o sello, se omite la posibilidad que la moneda caiga sobre su canto.

42. Frecuencias Relativas en el Mundo Real Lanzamiento de una moneda: No todas las monedas son iguales, por ejemplo cambian de denominación, año, etc. En el modelo no se habla de la forma de lanzamiento.

44. Limitaciones de la Frecuencia Relativa Para algunos experimentos se requerirían una gran cantidad de ensayos. Ejemplo: Barajar cartas de póker requeriría ensayos, para que la mayoría de eventos sucediera al menos una vez

45. Limitaciones de la Frecuencia Relativa Un modelo complejo es la combinación de modelos más sencillos.

46. Probabilidad Subjetiva La experiencia puede ser una buena base para seleccionar la probabilidad de algunos eventos. Se emplea cuando: El problema es teórico. Es imposible la experimentación

47. Probabilidad Subjetiva Riesgos: Malas decisiones conducen a malos resultados.

48. http://www.rle.mit.edu/rgallager/notes.htm Referencia