Matrices

Introducción
Las matrices son tablas de datos, es decir, datos organizados en filas y
columnas, que proporcionan información de la relación existente entre
dos magnitudes.
La unidad comienza con la definición de los distintos tipos de matrices y
se estudian sus operaciones.
En la resolución de problemas se desarrolla cómo organizar datos en
matrices, para tratar información en situaciones reales.
Las matrices son una herramienta de gran utilidad para el estudio de
ecuaciones lineales y aparecen de forma natural en la estadística, la
economía, la informática, etc.
Por ejemplo, la utilización de matrices constituye actualmente una parte
esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los
datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en fi-
las y columnas: hoja de cálculo, bases de datos, etc. y sirven para orga-
nizar las conexiones de las grandes redes como Internet.
Organiza tus ideas
clasifican operan
tratamiento
de la
información
resolución
de
problemas
• suma
• resta
• multiplicación
por un número
• multiplicación
• traspuesta
su forma
• matriz fila
• matriz columna
• matriz cuadrada
• matriz simétrica
• matriz antisimétrica
o hemisimétrica
sus elementos
• matriz nula
• matriz diagonal
• matriz escalar
• matriz unidad o
identidad
• matriz triangular
35
tablas de datos
son
que se
según
en la
utilizan
para el
Matrices

Álgebra
36
■ Piensa y calcula
Escribe en forma de tabla el siguiente enunciado: «Una familia gasta en enero 400 € en comida y 150 € en vestir; en febre-
ro, 500 € en comida y 100 € en vestir; y en marzo, 300 € en comida y 200 € en vestir».
1. Tipos de matrices
1.1. Definición de matriz
Ejemplo
En la matriz A2 Ò 3 = , el elemento a21 = –4
Ejercicio resuelto
Halla x e y para que las siguientes matrices sean iguales:
ò x = 7, y = –3)2 7
y 5()2 x
–3 5(
1
Dos matrices son iguales si tienen las mismas dimensiones y los elementos
que ocupan el mismo lugar son iguales.
)2 –8 7
–4 0 5(
Una matriz es una tabla de números distribuidos en filas y columnas. Se re-
presenta por:
A = (aij)n Ò p =
Se dice que es de dimensión n Ò p, es decir, tiene n filas y p columnas.
)
a11 a12 … a1p
a21 a22 … a2p
… … … …
an1 an2 … anp
(
Tipos de matrices según su forma
Matriz fila: es una matriz que solo tiene una fila.
Ejemplo
A1 Ò 3 = (3, –5, 7)
Matriz columna: es una matriz que solo tiene una co-
lumna.
A3 Ò 1 =
)–4
6
8
(
Matriz cuadrada: es una matriz que tiene el mismo
número de filas que de columnas, n Ò n; se dice que
es de orden n
A2 Ò 2 = )3 –2
5 7(
Se llama diagonal principal de una matriz cuadrada
a los elementos aii. Va de izquierda a derecha y de
arriba abajo.
Matriz simétrica: es una matriz cuadrada en la que
los elementos simétricos respecto de la diagonal prin-
cipal son iguales, es decir, aij = aji
A3 Ò 3 =
)2 7 –5
7 1 4
–5 4 –9
(
Matriz antisimétrica o hemisimétrica: es una matriz
cuadrada en la que los elementos simétricos respecto
deladiagonalprincipalsonopuestos,esdecir, aij = –aji
Los elementos de la diagonal principal deben ser ceros.
A3 Ò 3 =
)0 5 –6
–5 0 3
6 –3 0
(
Evitar errores
Las filas son horizontales.
Las columnas son verticales.
aij es el término que está en la fi-
la i y en la columna j
Vectores y matrices
Una matriz se puede interpre-
tar como un conjunto de vecto-
res fila o columna.
Ejemplo
Dada la matriz :
A2 Ò 3 =
se puede interpretar que está
formada por 2 vectores de ‫ޒ‬3
8
u(2, –8, 7)
8
v(–4, 0, 5)
y también que está formada por
3 vectores de ‫ޒ‬2
8
u ,
8
v ,
8
w )7
5()–8
0()2
–4(
)2 –8 7
–4 0 5(
A3 Ò 3 =
)1 3 –5
8 –6 0
2 –3 9
(

Tema 2. Matrices
37
1.2. Matriz traspuesta de una matriz
Ejercicio resuelto
A2 Ò 3 = ò A
t
3 Ò 2 =
)1 –4
–2 –5
3 6
()1 –2 3
–4 –5 6(
2
La matriz traspuesta de una matriz A es la matriz que se obtiene al cambiar
las filas por las columnas. Se representa por At
● Aplica la teoría
Tipos de matrices según sus elementos
Matriz nula: es una matriz en la que todos sus ele-
mentos son cero.
Ejemplo
A2 Ò 3 = )0 0 0
0 0 0(
Matriz diagonal: es una matriz cuadrada en la que
todos los elementos que no están en la diagonal prin-
cipal son nulos.
Matriz escalar: es una matriz diagonal en la que to-
dos los elementos de la diagonal principal son iguales.
A2 Ò 2 = )3 0
0 3(
Matriz unidad o identidad: es una matriz escalar en
la que todos los elementos de la diagonal principal
son 1. Se representa por In Ò n
A2 Ò 2 = )1 0
0 1(
Matriz triangular superior: es una matriz cuadrada
en la que todos los elementos que están debajo de la
diagonal principal son nulos.
A3 Ò 3 =
)3 0 0
0 –5 0
0 0 8
(
A3 Ò 3 =
)3 –7 8
0 –2 4
0 0 5
(
Matriz triangular inferior: es una matriz cuadrada
en la que todos los elementos que están encima de la
diagonal principal son nulos.
A3 Ò 3 =
)–3 0 0
–2 5 0
7 –8 9
(
1. Escribe una matriz fila de dimensión 1 Ò 4
2. Escribe una matriz columna de dimensión 2 Ò 1
3. Escribe una matriz cuadrada de orden 3, y marca la dia-
gonal principal.
4. Completa la siguiente matriz para que sea simétrica:
A =
5. Halla el valor de a, b, c, d, e y f para que la siguiente ma-
triz sea antisimétrica o hemisimétrica:
A =
6. Escribe una matriz nula de dimensión 2 Ò 3
7. Escribe una matriz diagonal de orden 2
8. Escribe una matriz escalar de orden 3 en la que el ele-
mento a22 = –6
9. Escribe una matriz unidad de orden 3
10. Escribe una matriz triangular superior de orden 2 y su
traspuesta. ¿Cómo es la traspuesta?
11. Escribe una matriz triangular inferior de orden 3 y su
12. Dado el sistema lineal:
a) escribe la matriz C de los coeficientes de las incóg-
nitas. ¿De qué dimensión es?
b) escribe una matriz columna X con las incógnitas.
¿De qué dimensión es?
c) escribe una matriz columna B con los términos in-
dependientes. ¿De qué dimensión es?
2x + 3y + z = 5
4x – 7y – z = 9
°
¢
£
)a b c
5 d e
0 –7 f
(
)1 –2 3
… 4 –5
… … 0
(

Álgebra
38
Halla mentalmente el producto escalar de los siguientes vectores: a) (3, 4) ; b) (2, – 3) )3
2()5
6(
2. Operaciones con matrices
2.1. Suma de matrices
Para sumar dos matrices, éstas han de tener las mismas dimensiones, y se su-
man elemento a elemento.
Ejercicio resuelto
+ =
2.2. Resta de matrices
Para restar dos matrices, éstas han de tener las mismas dimensiones, y se restan
elemento a elemento.
Ejercicio resuelto
– =
2.3. Producto de un número por una matriz
Para multiplicar un número por una matriz, se multiplica el número por cada
elemento de la matriz.
Ejercicio resuelto
5 =
2.4. Producto de matrices
Producto de una matriz fila por una matriz columna
Para multiplicar una matriz fila por una matriz columna, se multiplican ele-
mento a elemento y se suman los productos obtenidos. Se obtiene un número.
Ejercicio resuelto
(1, 2, 3) = 1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 6 = 4 + 10 + 18 = 32
Producto de dos matrices
Para multiplicar dos matrices, se multiplica cada fila de la 1ª matriz por ca-
da columna de la 2ª. El resultado es una matriz que tiene tantas filas como la
1ª y tantas columnas como la 2ª
An Ò p · Bp Ò q = Cn Ò q
)4
5
6
(
6
)15 –10 20
35 0 –5()3 –2 4
7 0 –1(
5
)4 7 –6
–5 0 3()2 –3 1
5 3 4()6 4 –5
0 3 7(
4
)6 4 –5
0 3 7()2 –3 1
5 3 4()4 7 –6
–5 0 3(
3
Evitar errores
Para que se pueda multiplicar una
matriz fila por una matriz columna
han de tener el mismo número de
elementos.
Evitar errores
Para que se puedan multiplicar dos
matrices tiene que coincidir el nú-
mero de columnas de la 1ª con el
de filas de la 2ª
Propiedades de la
suma de matrices
a) Asociativa:
A + (B + C) = (A + B) + C
b) Conmutativa:
A + B = B + A
c) Matriz nula: O
A + O = O + A = A
d) Matriz opuesta:es la matriz que
se obtiene al cambiar todos los
elementos de signo. Verifica:
A + (– A) = O
Ejemplo
A =
–A = )–2 3 –5
6 0 –4(
)2 –3 5
–6 0 4(
Este cálculo debe
hacerse mentalmente

Tema 2. Matrices
39
Ejercicio resuelto
· = =
En la práctica los productos y sumas indicados en la matriz del centro no se
hacen y se escriben directamente los resultados de la última matriz.
2.5. No conmutatividad
Ejercicio resuelto
· = · =
Al no ser conmutativo el producto de matrices, tampoco serán ciertos los pro-
ductos notables:
(A + B)2 no tiene por qué ser igual a A2 + 2AB + B2
(A – B)2 no tiene por qué ser igual a A2 – 2AB + B2
(A + B)(A – B) no tiene por qué ser igual a A2 – B2
2.6. Producto no simplificable
Ejercicio resuelto
· = · =
2.7. Potencia de matrices
Para que se pueda calcular la potencia de una matriz tiene que
ser cuadrada. Se define la potencia de matrices como un pro-
ducto en el que los factores son iguales. An = A · A · …n)… · A
)10 12
20 24()–4 2
7 5()1 2
2 4()10 12
20 24()4 8
3 2()1 2
2 4(
9
En general, el producto de matrices no es simplificable.
De A · B = A · C no se sigue que B = C
)22 34
46 74()1 3
5 7()2 4
6 8()20 28
52 76()2 4
6 8()1 3
5 7(
8
En general, el producto de matrices no es conmutativo. A · B ? B · A
)
13 6 9
35 12 19
57 18 29
79 24 39
()
1· 9+2· 2 1· 0+2· 3 1·1+2·4
3· 9+4· 2 3· 0+4· 3 3·1+4·4
5· 9+6· 2 5· 0+6· 3 5·1+6·4
7· 9+8· 2 7· 0+8· 3 7·1+8·4
()9 0 1
2 3 4()
1 2
3 4
5 6
7 8
(
7
Ejercicio resuelto
2
= · = )7 10
15 22()1 2
3 4()1 2
3 4()1 2
3 4(
10
13. Dadas las matrices: A = y B =
calcula:
a) A + B b) A – B c) 5A d) 2A – 3B
14. Sean las matrices: A = y B =
Calcula, de los siguientes productos, los que sean po-
sibles, y de los que no sean posibles, razona por qué
no se pueden multiplicar: a) A · B b) B · A
15. Dadas las matrices:
A = y B =
calcula A · B y B · A. Del resultado obtenido, ¿qué pro-
piedad muy elemental se ha probado que no se verifica?
16. Dada la matriz:
A =
calcula A2 y A3
)1 –2
0 3(
)0 8
–4 7()2 –3
5 1(
)4 –3
2 1
0 –5
()2 –1 0
5 3 –4(
)–7 8
–4 0()1 –3
4 5(
Evitar errores
Hay una cierta tendencia a creer
que todas las propiedades que se
verifican en los números reales
se verifican siempre. Esto es falso
con las matrices.
Ejemplo
• El producto no siempre es
conmutativo.
• Si dos matrices están multipli-
cando, no siempre se pueden
simplificar.
• Existen matrices no nulas cuyo
producto es la matriz nula.
Propiedades del
producto de matrices
a) Asociativa:
A · (B · C) = (A · B) · C
c) Matriz unidad: I
A · I = I · A = A
Propiedad distributiva
A · (B + C) = A · B + A · C
Propiedades
de la traspuesta
a) (At)t = A
b) (A + B)t = At + Bt
c) (A · B)t = Bt · At
Este cálculo debe
hacerse mentalmente

Álgebra
40
Una empresa de electrodomésticos tiene tres fábricas: una en Madrid, otra en Málaga y otra enVigo. La producción semanal
viene dada por la siguiente matriz:
Madrid Málaga Vigo
A =
a) Interpreta el elemento a12 de la matriz A
b) Interpreta el elemento a21 de la matriz A
c) Interpreta el elemento a33 de la matriz A
)150 140 130
175 155 125
160 140 100
(Frigoríficos
Lavadoras
Lavaplatos
3. Aplicaciones de las matrices a la resolución de problemas
3.1. Organización de datos en matrices
Una de las aplicaciones más importantes de las matrices es su aplicación a la re-
solución de problemas algebraicos cuando hay muchos datos y éstos se pueden
organizar en tablas de doble entrada, que son matrices.
Ejercicio resuelto
Una fábrica distribuye sus productos alimenticios A, B y C a cuatro países P,
Q, R y S, según se describe en la matriz M (cantidades de toneladas). Esta fá-
brica ha recibido presupuestos de dos empresas E y F para el transporte de los
productos a los países de destino, como indica la matriz N (en euros por to-
nelada).
M =
( )y N =
Efectúa el producto de las matrices y responde a las cuestiones:
a) ¿Qué representa el elemento a11 de la matriz producto?
b) ¿Qué elemento de la matriz producto nos indica lo que cuesta transportar
el producto C con la empresa F?
c) Indica qué elementos de la matriz producto te permiten decidir cuál es la
empresa que más barato transporta el producto B a todos los países.
Solución
( )=
a) El elemento a11 de la matriz producto representa lo que cobra la empresa E
por distribuir el producto A a todos los países.
b) El elemento a23
c) El elemento a22, que es más barato que a12
)284500 239500 240000
286500 239000 233700(
200 100 120
110 130 200
220 200 100
150 160 150
)500 450 375 350
510 400 400 350(
)
P Q R S
500 450 375 350
510 400 400 350(E
F
A B C
200 100 120
110 130 200
220 200 100
150 160 150
P
Q
R
S
11
1. Identificar
un problema real
Una fábrica necesita decidir so-
bre los presupuestos de distintas
empresas para distribuir sus pro-
ductos.
2. Identificar factores
importantes y representar
estos factores en términos
matemáticos
La información de productos y
costes se representa en matri-
ces.
3. Usar técnicas matemáti-
cas para obtener resultados
Con la multiplicación de dos
matrices obtenemos los resul-
tados del coste de cada empresa
por llevar cada producto a los
distintos países.
4. Interpretar y evaluar
los resultados matemáticos
y ver cómo afectan
al mundo real
Los resultados matemáticos nos
permiten tomar decisiones.
Modelización
matemática

Tema 2. Matrices
41
3.2. Representación matricial de un sistema
Las matrices son una buena herramienta para resolver algebraicamente proble-
mas en los que intervienen muchos datos. Estos problemas pueden ser directos y
se resuelven aplicando las operaciones con matrices; o inversos: se conocen los
resultados finales, pero no los valores intermedios. En estos casos la operación
entre matrices se transforma en un sistema de ecuaciones lineales.
Ejercicio resuelto
En una acería se fabrican tres tipos de productos: acero en láminas, en rollos y
aceros especiales. Estos productos requieren, por cada unidad de producto fa-
bricado, chatarra, carbón y aleaciones en las cantidades en kilogramos que se
indican en la tabla de la derecha:
a) Si durante el próximo mes se desea fabricar 6 unidades de acero en láminas,
4 unidades de acero en rollo y 3 unidades de aceros especiales, obtén la ma-
triz que indica las cantidades de chatarra, carbón y aleaciones que serán ne-
cesarias.
b) Si se dispone de 34 kg de chatarra, 28 kg de carbón y 9 kg de aleaciones, ¿cuán-
tas unidades de cada tipo de acero se podrán fabricar con estos materiales?
Solución
a)
A =
( )y B =
( )ò A · B =
( )·
( )=
( )
Se necesitan 90 kg de chatarra, 72 kg de carbón y 25 kg de aleaciones.
b)
( )·
( )=
( )ò
Resolviendo el sistema, se obtiene: x = 2, y = 2, z = 1
°
§
¢
§
£
8x + 6y + 6z = 34
6x + 6y + 4z = 28
2x + y + 3z = 9
34
28
9
x
y
z
8 6 6
6 6 4
2 1 3
90
72
25
6
4
3
8 6 6
6 6 4
2 1 3
6
4
3
8 6 6
6 6 4
2 1 3
12
17. Los consumos anuales de agua mineral, pan y leche
de tres familias vienen expresados en la matriz A. La
evolución de los precios de los años 2000 al 2003
viene reflejada en la matriz B, expresada en céntimos
de euro.
A =
( )
B =
( )
a) Halla, si es posible, A · B y B · A e indica qué infor-
mación proporciona el producto matricial.
b) ¿Qué información nos da el elemento c34 de la ma-
triz producto?
18. Un constructor puede adquirir ladrillos, tejas, madera
y cemento de tres proveedores: P, Q y R. Los precios
de cada proveedor por paquete de materiales vienen
dados en miles de euros por la matriz:
( )
El constructor tiene que comenzar tres obras.Necesita:
a) Primera obra: 24 paquetes de ladrillo, 5 de tejas,
12 de madera y 18 de cemento.
b) Segunda obra: 20 paquetes de ladrillo, 7 de tejas,
c)Tercera obra: 20 paquetes de ladrillo, 4 de tejas,
El constructor quiere adquirir todos los materiales de
cada obra al mismo proveedor. ¿Qué proveedor es el
más económico para cada obra?
L T M C
8 13 6 6
6 12 7 8
7 14 6 7
P
Q
R
2000 2001 2002 2003
85 90 90 95
28 30 30 35
70 72 75 80
pan
agua
leche
pan agua leche
450 800 650
500 810 620
200 500 600
F1
F2
F3
x = 2 unidades de acero en lá-
minas.
y = 2 unidades de acero en rollo.
z = 1 unidad de aceros especia-
les.
Láminas
Chatarra 8
Carbón 6
Aleaciones 2
Rollos
6
6
1
Especiales
6
4
3

Ejercicios y problemasEjercicios y problemas resueltos
A =
B =
calcula A · B
)2 0 –1
3 –2 0
1 0 1
(
)1 0 3
2 1 0
–1 0 –1
(
La matriz A es 3 Ò 3 y la matriz B es 3 Ò 3
El producto es una matriz que tiene tantas filas como la primera y tantas colum-
nas como la segunda; por tanto, es 3 Ò 3
A · B = · =
)5 0 2
7 –2 –2
–3 0 0
()2 0 –1
3 –2 0
1 0 1
()1 0 3
2 1 0
–1 0 –1
(
Multiplicación de matrices
14. Sea la matiz:
A =
a) Prueba que:
A2 – 2A + I = 0
donde I es la matriz identi-
dad y O es una matriz con
todos sus elementos igua-
les a cero.
b) Calcula A3
)5 –4 2
2 –1 1
–4 4 –1
(
a) Se calcula primero A2 y 2A
A2 = A · A = · =
2A = 2 · =
A2 – 2A + I = – + =
=
b) A2 se ha calculado en el apartado a)
A3 = A2 · A = · =
)13 –12 6
6 –5 3
–12 12 –5
()5 –4 2
2 –1 1
–4 4 –1
()9 –8 4
4 –3 2
–8 8 –3
(
)0 0 0
0 0 0
0 0 0
(
)1 0 0
0 1 0
0 0 1
()10 –8 4
4 –2 2
–8 8 –2
()9 –8 4
4 –3 2
–8 8 –3
(
)10 –8 4
4 –2 2
–8 8 –2
()5 –4 2
2 –1 1
–4 4 –1
(
)9 –8 4
4 –3 2
–8 8 –3
()5 –4 2
2 –1 1
–4 4 –1
()5 –4 2
2 –1 1
–4 4 –1
(
Operaciones con matrices
42

Preguntas tipo test
En una matriz hemisimétrica o antisimétrica, los ele-
mentos de la diagonal principal:
son todos unos.
pueden ser cualesquiera.
son unos cero y otros uno.
son todos cero.
Para poder multiplicar dos matrices:
la primera ha de tener tantas filas como colum-
nas la segunda.
la primera ha de tener tantas columnas como fi-
las la segunda.
tienen que ser cuadradas.
Dos matrices se pueden multiplicar siempre.
Sean A y B matrices tales que se pueda multiplicar
A · B y B · A
Unas veces A · B = B · A y otras A · B ? B · A
Siempre A · B = B · A
Siempre A · B ? B · A
No es cierta ninguna de las anteriores.
Sean A, B y C matrices tales que A · B = A · C
Siempre B = C
Unas veces B = C, y otras, B ? C
Nunca B = C
No es cierta ninguna de las anteriores.
Sean A y B las matrices siguientes:
A = , B =
Calcula A · B
Calcula el producto:
(1 3)
(17) (11)
Calcula el producto:
(1 3)
(17)
(11)
Calcula el producto A · B, siendo:
A = , B =
(x2 – my + 1)
(x – xy x – my)
Calcula el producto D · E, siendo:
D = , E = (1 4)
(3x 16x)
(19x)
Calcula el producto E · D, siendo:
D = , E = (1 4)
(3x 16x)
(19x)
)3x
16x(
)3x 12x
4x 16x(
)3x
4x(
10
)3x 12x
4x 16x(
)3x
16x(
)3x
4x(
9
)x –y
x –my(
)x –y
x m(
)1
–y()x 1
x m(
8
)2 6
5 15(
)2 1
5 3(
)2
5(
7
)1 0
0 1()1 2
3 5(
)2
5(
6
)1 1
1 1()–1 0
0 –1(
)1 0
0 1()0 0
0 0(
)9 –12
–6 8()2 3
4 6(
5
4
3
2
1
Contesta en tu cuaderno:
Ejercicios y problemasEjercicios y problemas
43
Tema2.Matrices
PAU

44
Ejercicios y problemasEjercicios y problemas propuestos
1. Tipos de matrices
19. Escribe una matriz fila de dimensión 1 Ò 3
20. Escribe una matriz columna de dimensión 3 Ò 1
21. Escribe una matriz cuadrada de orden 2 y marca la dia-
gonal principal.
22. Halla el valor de a, b, c para que la siguiente matriz sea
simétrica:
23. Completa la siguiente matriz para que sea antisimétri-
ca o hemisimétrica:
24. Escribe una matriz nula de dimensión 3 Ò 2
25. Escribe una matriz diagonal de orden 3
26. Escribe una matriz escalar de orden 2 en la que el ele-
mento a11 = 5
27. Escribe una matriz unidad de orden 4
28. Escribe una matriz triangular superior de orden 3 y su
29. Escribe una matriz triangular inferior de orden 2 y su
30. Dado el sistema lineal:
a) escribe la matriz C de los coeficientes de las incóg-
nitas. ¿De qué dimensión es?, ¿de qué tipo es?
b) escribe una matriz columna X con las incógnitas.
¿De qué dimensión es?
c) escribe una matriz columna B con los términos in-
dependientes. ¿De qué dimensión es?
2. Operaciones con matrices
31. Dadas las siguientes matrices:
A = y B =
calcula:
a) A + B b) A – B c) – 3A d) – 5A + 2B
32. Sea la matriz:
A =
Halla la matriz opuesta –A y comprueba que –A + A
es la matriz nula de dimensión 2 Ò 2
33. Sean las matrices:
A = y B =
Calcula, de los siguientes productos, los que sean posi-
bles, y respecto a los que no sean posibles, razona por
qué no se pueden multiplicar:
a) A · B b) B · A
A = , B = y C =
calcula A · C y B · C. Del resultado obtenido, ¿qué pro-
piedad muy elemental se ha probado que no se verifica?
35. Dada la matriz:
A =
calcula A2
3. Aplicaciones de las matrices
a la resolución de problemas
36. En un centro escolar, el 80% de los alumnos de 4º de
ESO pasan a Bachillerato, el 70% de los alumnos de
1º de Bachillerato pasa a 2º, el 65% de los alumnos
de 2º aprueban el curso. Repiten curso el 20% de los
alumnos de 1º y el 30% de los alumnos de 2º. En este
centro no se admiten alumnos nuevos para Bachillera-
to y todos los que aprueban el curso pasan al curso si-
guiente.
)1 2 –1
2 1 0
–1 0 1
(
)2 –1
6 –3()7 4
3 8()4 5
6 7(
)5 –2 1
–6 0 4()2 1
–3 –1
0 5
(
)5 –1
–3 2(
)–6 0
–1 4
2 –3
()2 –3
0 1
–1 5
(
°
§
¢
§
£
3x + 2y – 5z = 4
7y + 6z = 8
z = 9
)… 5 –1
… … 0
… … …
(
)3 a b
–2 –7 c
0 1 4
(

45
Tema2.Matrices
Ejercicios y problemas
a) Escribe la matriz de dimensión 3 Ò 3 que muestra la
evolución entre cursos.
b) En un cierto curso había 150 alumnos en 4º de ESO,
110 alumnos en 1º de Bachillerato y 100 alumnos
en 2º de bachillerato. ¿Cuál será la distribución de
alumnos en el curso siguiente?
37. Un industrial produce dos tipos de tornillos: planos (P)
y de estrella (E). De cada tipo hace tres modelos:A, B y
C. La siguiente matriz da la producción semanal de tor-
nillos:
El porcentaje de tornillos defectuosos del tipo A es de
un 5%, del tipo B es de un 4% y del tipo C es de un 2%.
Calcula el número de tornillos planos y de estrella que
no sean defectuosos.
)
A B C
2000 2500 3000
2500 3500 4000(P
E
A = (2 3 –5) y B =
Calcula, de los siguientes productos, los que sean posi-
bles, y respecto de los que no sean posibles, razona
por qué no se pueden multiplicar:
a) A · B
b) B · A
A = y B =
Comprueba que:
(A · B)t = Bt · At
40. Sea A una matriz de 3 filas y 4 columnas (esto es, de di-
mensión 3 Ò 4) y C una matriz 2 Ò 3.¿Cuántas filas y co-
lumnas tiene B sabiendo que existe la matriz A · B · C?,
¿qué dimensión tiene A · B · C?
41. Sea D una matriz tal que al multiplicarla por su tras-
puesta da una matriz de dimensión 1 Ò 1 y el producto
de la traspuesta de D por D es 3 Ò 3. ¿Cuántas filas y
columnas tiene D?
42. Una empresa produce tres tipos de artículos,A, B y C.
Los precios de coste por unidad son 30 €, 46 € y
75 €, respectivamente. Los correspondientes precios
de venta de una unidad de cada artículo son 50 €,
80 € y 150 €, respectivamente. El número de unidades
vendidas anualmente es de 2000, 1500 y 800, respecti-
vamente.
Halla:
a) la matriz fila de costes por unidad.
b) la matriz fila de ventas por unidad.
c) la matriz fila de beneficios por unidad.
d) la matriz columna de unidades vendidas.
e) el beneficio obtenido.
)6 0
–7 2
5 1
()1 2 –3
0 4 5(
)4
–1
7
(
Para ampliar

46
Ejercicios y problemasEjercicios y problemas propuestos
43. Una fábrica produce tres tipos de productos, A, B y C,
que distribuye a cuatro clientes. En el mes de enero
el primer cliente compró 9 unidades de A, 5 de B y
2 de C; el segundo cliente, 3 unidades de A, 8 de B y
ninguna de C; el tercer cliente no compró nada y el
cuarto cliente compró 6 de A, 7 de B y 1 de C.
En el mes de febrero, el primer cliente y el segundo du-
plicaron el número de unidades que habían comprado en
enero; el tercer cliente compró 4 unidades de cada artí-
culo,y el cuarto cliente no hizo pedido alguno.
a) Construye la matriz correspondiente a las ventas de
enero.
b) Construye la matriz correspondiente a las ventas de
febrero.
c) Halla la matriz correspondiente a las ventas de ene-
ro y febrero.
d) Si los precios de los artículos son 100 €, 80 € y
90 €, respectivamente, calcula lo que factura la fá-
brica por sus pedidos en los meses de enero y fe-
brero.
44. Sea la matriz:
A =
Calcula la matriz (A – 2I)2
45. Considera la matriz:
A =
Calcula AtA y AAt, donde At denota la matriz traspues-
ta de A
A = y B =
Comprueba que (A · B)t = Bt · At (t indica traspuesta)
47. Dada la matriz:
A =
y sea I la matriz identidad de orden 3 y O la matriz nu-
la de orden 3, comprueba que:
A2 – A – 2I = O
48. En un centro se imparten los cursos 1º, 2º y 3º de cier-
tas enseñanzas. Los profesores tienen asignado semanal-
mente un número de horas de clase, tutorías y guardias
que deben cubrir de acuerdo con la siguiente matriz:
M =
( )
El centro paga cada hora de clase a 12 €, cada hora de
guardia a 3 € y cada hora de tutoría a 6 €, según el
vector:
C =
El centro dispone de 5 profesores para primer curso,
4 para segundo y 6 para tercero, representados por el
vector:
P = (5 4 6)
Calcula cada uno de los siguientes productos de matri-
ces e interpreta los resultados.
a) PM b) MC c) PMC
A = e I3 =
calcula: A2 – 4A + 4I3
)1 0 0
0 1 0
0 0 1
()2 0 0
1 2 1
0 0 2
(
)12
3
6
(
clase guardias tutorías
20 5 3
18 6 5
22 1 2
1º
2º
3º
)0 1 1
1 0 1
1 1 0
(
)1 0
1 2
0 –1
()–2 0 1
0 1 0(
)0 1 0
1 0 1(
)2 1
3 2(
Problemas

47
Tema2.Matrices
Ejercicios y problemas
50. Dada la matriz:
A =
calcula 3AAt – 2I, siendo I la matriz unidad de orden 2
51. Una fábrica produce dos modelos de acumuladores de
calor, G y P, en tres terminaciones: normal, lujo y espe-
cial. del modelo G, produce 500 unidades normales,
300 unidades de lujo y 200 especiales. Del modelo P,
produce 400 unidades normales, 200 unidades de lujo y
100 especiales. La terminación normal necesita 20 ho-
ras de fabricación de piezas y 1,5 horas de montaje. La
terminación de lujo necesita 25 horas de fabricación y
2 horas de montaje, y la terminación especial necesita
30 horas de fabricación y 2,5 horas de montaje.
a) Representa en dos matrices la información dada.
b) Escribe una matriz que exprese las horas de fabrica-
ción y de montaje empleadas para cada uno de los
modelos.
c) Si cada hora de fabricación se paga a 15 € y cada
hora de montaje a 18 €, escribe una matriz que ex-
prese el coste total de los acumuladores G y P
52. Una fábrica de muebles hace mesas (M), sillas (S), y ar-
marios (A), y cada uno de ellos en tres modelos: eco-
nómico (E), normal (N) y lujo (L). Cada mes produce
de mesas, 50 E, 40 N y 30 L; de sillas, 200 E, 150 N y
100 L; de armarios, 40 E, 30 N y 20 L.
a) Representa esta información en una matriz.
b) Calcula la matriz que da la producción de un año.
Para profundizar
53. Sea la matriz:
A =
Calcula la matriz B tal que A + B = AAT
54. Considera la matriz:
A =
a) Siendo I la matriz identidad 3 Ò 3 y O la matriz nula
3 Ò 3, prueba que A3 + I = O
b) Calcula A10
55. Dada la matriz:
A =
halla el valor de a para que se cumpla la igualdad:
A2 + 2A + I = O
siendo I la matriz identidad de orden 3 y O la matriz
nula de orden 3
)0 0 1
0 a 0
–1 0 –2
(
)0 3 4
1 –4 –5
–1 3 4
(
)1 1 0
0 1 1
0 0 1
(
)3 1
0 2(

48
A = y B =
halla:
A + B; A – B; 2A – 3B; A · Bt
Solución:
a) Escribe A =. Para introducir la matriz, en
elige Matriz y se escribe el número
de filas y columnas.
b) Escribe los elementos de la matriz.
c) Introduce, de igual forma, la matriz B
d) Escribe las operaciones A + B, A – B, 2A – 3B
y A · BT; para escribir la traspuesta, en
elige Transponer.
57. Dada la matriz:
A =
calcula A2 y A3
Solución:
Para escribir las potencias, en elige
Potencia.
58. Sea la matriz:
A =
a) Prueba que:
A2 – 2A + I = 0
donde I es la matriz identidad y O es una ma-
triz con todos los elementos iguales a cero.
b) Calcula A3
59. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige
Matemáticas, curso y tema.
)5 –4 2
2 –1 1
–4 4 –1
(
)4 –3 –3
5 –4 –4
–1 1 0
(
)2 –3 1
5 3 4()4 7 –6
–5 0 3(
Paso a paso
Tema 2. Matrices

49
Tema2.Matrices
60. Calcula A · B, siendo:
A = B =
A = B =
calcula A · B, B · A y comprueba que el producto
de matrices no es conmutativo.
A = B = C =
comprueba que A · B = A · C y, sin embargo, B ? C
A = B =
comprueba que A · B = O2 Ò 2 y, sin embargo,
A ? O2 Ò 2 y B ? O2 Ò 2
64. Calcula A2, A3 y A4, siendo:
A =
A = B =
calcula:
a) A + B b) A – B
c) 2A – 3B d) At · B
66. Dada la matriz:
A =
calcula: A2, A3y A4
A = B =
calcula:
A2 – 4A + 4I
68. Dada la matriz:
A =
calcula A2 y A3
)1 1 0
1 1 0
0 0 1
(
)1 0 0
0 1 0
0 0 1
()2 0 0
1 2 1
0 0 2
(
)–1 0 0
0 1 0
0 0 –1
(
)–7 8
–4 0()1 –3
4 5(
)1 0 0
1 1 0
1 0 1
(
)9 –12
–6 8()2 3
4 6(
)–4 2
7 5()4 8
3 2()1 2
2 4(
)2 4
6 8()1 3
5 7(
)9 0 1
2 3 4()
1 2
3 4
5 6
7 8
(
Así funciona
Introducción de matrices
Para introducir una matriz, en se elige Matriz. En la ventana Matriz,
se escribe en Filas el número de filas de la matriz, y en Columnas, el número de
columnas, y se hace clic en el botón Aceptar.
Matriz identidad: en se elige Matriz identidad; en el subíndice hay
que escribir la dimensión.
Sumar: A + B
Restar: A – B
Multiplicar un número por una matriz: 2A
Multiplicar dos matrices: A · B
Matriz traspuesta: en se elige Transponer.
Potencia de una matriz: en se elige Potencia.
Linux/Windows
Practica

50
A = y B =
halla:
A + B; A – B; 2A – 3B; A · Bt
Solución:
a) En la barra de herramientas elige Introdu-
cir Matriz; escribe en filas 2 y en columnas 3
b) Introduce los elementos de la matriz A. Para
pasar de una celda a la siguiente pulsa la tecla
[Tab]
c) Asigna a la letra A el contenido de la matriz. Pa-
ra ello, estando seleccionada la matriz en la ven-
tana Álgebra, escribe en la Entrada de Expre-
siones A := (entre los dos puntos y el signo
igual no puede haber espacio) y pulsa la tecla
[F3] para que copie a continuación la matriz.
d) Elige Introducir Expresión.
e) De igual forma, introduce la matriz B y asígna-
le a la letra B su contenido.
f) En la Entrada de Expresiones escribe A + B y
elige Introducir y Simplificar.
g) En la Entrada de Expresiones escribe A – B y
halla el resultado.
h) En la Entrada de Expresiones escribe 2A – 3B
y halla el resultado.
i) En la Entrada de Expresiones escribe AB` (el
símbolo de traspuesta es el acento grave fran-
cés `; está en la barra de símbolos ) y halla el
resultado.
57. Dada la matriz:
A =
calcula A2 y A3
Solución:
a) Introduce la matriz y asigna a la letra A su con-
tenido.
b) En la Entrada de Expresiones escribe A^2 y
elige Introducir y Simplificar.
c) En la Entrada de Expresiones escribe A^3 y
halla el resultado.
58. Sea la matriz:
A =
a) Prueba que:
A2 – 2A + I = 0
donde I es la matriz identidad y O es una ma-
triz con todos los elementos iguales a cero.
b) Calcula A3
Solución:
a) Introduce la matriz y asigna a la letra A su con-
tenido.
b) Introduce la matriz unidad 3 Ò 3 y asigna a la
letra I su contenido.
c) En la Entrada de Expresiones escribe:
A^2 – 2A + I
y elige Introducir y Simplificar.
59. Internet.Abre:www.editorial-bruno.esyeligeMa-
temáticas, curso y tema.
)0 0 0
0 0 0
0 0 0
(
)5 –4 2
2 –1 1
–4 4 –1
(
)1 0 0
0 1 0
0 0 1
(
)4 –3 0
4 –3 1
1 –1 –1
(
)4 –3 –3
5 –4 –4
–1 1 0
(
)–19 17
–7 –13(
)2 23 –15
–25 –9 –6(
)2 10 –7
–10 –3 –1(
)6 4 –5
0 3 7(
)2 –3 1
5 3 4()4 7 –6
–5 0 3(
Paso a paso
Tema 2. Matrices

51
Tema2.Matrices
Así funciona
Introducción de matrices
Se elige en la barra de herramientas Introducir Matriz. Aparece la ventana Tamaño
de la Matriz en el marco Dimensiones; se escribe en Filas el número de filas de la ma-
triz, y en Columnas, el número de columnas, y se hace clic en el botón Sí.
Aparece la ventana en la que se introducen los
elementos, cada uno en la celda correspondiente.
Para pasar a la celda siguiente se pulsa la tecla de tabulación [Tab], y para pa-
sar a la celda anterior se pulsan las teclas [Shift] [Tab]. Cuando se termina,
se hace clic en el botón Sí.
Asignación
Para asignar el contenido de una matriz a una letra, se utiliza el signo := (entre los dos puntos y el signo igual no pe-
de haber espacio en blanco). La tecla [F3] repite lo que esté seleccionado en la ventana Álgebra en la barra de En-
trada de Expresiones, y la tecla [F4] hace lo mismo pero lo copia entre paréntesis.
Sumar: A + B Restar: A – B Multiplicar un número por una matriz: 2A Multiplicar dos matrices: A · B
Matriz traspuesta: A`; se utiliza el acento grave francés. Se puede obtener en el teclado o en la Barra de Símbolos
Windows Derive
60. Calcula A · B, siendo:
A = B =
A = B =
calcula A · B, B · A y comprueba que el producto
de matrices no es conmutativo.
A = B = C =
comprueba que A · B = A · C y, sin embargo, B ? C
A = B =
comprueba que A · B = O2 Ò 2 y, sin embargo,
A ? O2 Ò 2 y B ? O2 Ò 2
64. Calcula A2, A3 y A4, siendo: A =
A = B =
calcula:
a) A + B b) A – B
c) 2A – 3B d) At · B
66. Dada la matriz:
A =
calcula: A2, A3 y A4
A = B =
calcula: A2 – 4A + 4I
68. Dada la matriz:
A =
calcula A2 y A3
)1 1 0
1 1 0
0 0 1
(
)1 0 0
0 1 0
0 0 1
()2 0 0
1 2 1
0 0 2
(
)–1 0 0
0 1 0
0 0 –1
(
)–7 8
–4 0()1 –3
4 5(
)1 0 0
1 1 0
1 0 1
(
)9 –12
–6 8()2 3
4 6(
)–4 2
6 8()4 8
3 2()1 2
2 4(
)2 4
6 8()1 3
5 7(
)9 0 1
2 3 4()
1 2
3 4
5 6
7 8
(
Practica

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