Actividad #4 geometría Analítica Anabel Beltrán Actividad de Transformación de Coordenadas

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA
EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN /SEDE MARACAIBO
CARRERA INGENIERÍA EN PETRÓLEO
Transformación de Coordenadas
Maracaibo, 5 de diciembre de 2021
Actividad N°04
Profesora: Ely Ramírez
Estudiante: Bch. Anabel Beltrán
Cédula de Identidad: 31.370.720
Docente de la Asignatura: Geometría Analítica
Sección: “B”

2. Transformación de Coordenadas
-Para poder definir “Transformación de Coordenadas”, debemos de tener en claro, una
definición básica y precisa de lo que es la “Trasformación” para su previo conocimiento:
-La transformación, es un proceso que consiste en cambiar una relación, expresión o
figura en otra, siguiendo una ley dada. Analíticamente, la ley se expresa por una o más
ecuaciones llamadas “ecuaciones de transformación”.
Ahora bien:
-La Transformación de Coordenadas, es en sí, un proceso general, que se considera
reducido a dos movimientos: Uno de “Traslación” y otro de “Rotación”; que generalmente se
utiliza para simplificar las ecuaciones y hacer mas fáciles los cálculos o las realizaciones
gráficas de las figuras a transformar. Es decir, es un cambio de posición de los ejes de
referencia en un sistema de coordenadas, ya sea por traslación, rotación, o ambas. El
propósito de dicho cambio, es por lo general, simplificar la ecuación de una curva para un
manejo posterior.

3. ¿Cómo se transforman las coordenadas rectangulares a polares?
-Para poder explicar, cómo se transforman las coordenadas rectangulares a polares, debemos de
explicar principalmente, como están escritas cada una de ellas:
-Las coordenadas rectangulares son escritas de la forma (x, y) y las coordenadas polares son
escritas de la forma (r, θ), donde “r”, es la distancia desde el origen hasta el punto y, θ es el ángulo
formado por la línea y el eje x. Estas coordenadas son relacionadas al utilizar trigonometría.
-Ahora bien, observemos el siguiente diagrama:
-Como podemos ver, utilizando el triángulo rectángulo,
podemos obtener relaciones para las coordenadas polares en
términos de las coordenadas rectangulares. Si observamos
más a detalle, podemos observar que las coordenadas en x
forman la base del triángulo rectángulo y las coordenadas en
y forman la altura. Además, podemos ver, que la distancia r
corresponde a la hipotenusa del triángulo.
Diagrama

4. ¿Cómo se transforman las coordenadas rectangulares a polares?
-Entonces, esto quiere decir que, podemos utilizar el teorema de Pitágoras para encontrar la
longitud de la hipotenusa:
• r2 = x2 + y2
• r = x2 + y2 π
-No obstante, el ángulo θ puede ser encontrado, usando la función tangente. La tangente de un
ángulo es igual al lado opuesto dividido por el lado adyacente. El lado opuesto es el
componente ”y”, y el lado adyacente es el componente x. Entonces, tenemos:
• θ = tan -1( y)
- Debido a que el rango de la función tangente inversa va desde - π hasta π, esto no cubre los
cuatro cuadrantes del plano cartesiano, por lo que muchas veces, la calculadora puede dar el valor
incorrecto de tan -1.
x
2 2

5. ¿Cómo se transforman las coordenadas rectangulares a polares?
-Esto depende en el cuadrante en el que se ubica el punto. Podemos usar lo siguiente para
arreglar esto:
Cuadrante Valor de tan -1
I valor de la calculadora
II Sumar 180° al valor de la calculadora
III Sumar 180° al valor de la calculadora
IV Sumar 360° al valor de la calculadora

6. ¿cómo se transforman las coordenadas polares a rectangulares?
-Como antes dicho, as coordenadas polares tienen la forma (r, θ), en donde, r es la distancia del
punto desde el origen y θ es el ángulo formado por la línea y el eje x. Las coordenadas
rectangulares o coordenadas cartesianas tienen la forma (x, y). Para transformar de coordenadas
polares a coordenadas rectangulares, usamos trigonometría y relacionamos a estas dos
coordenadas.
-Consideremos el siguiente diagrama: Diagrama
X= r Cos (θ)
Y= r Sin (θ)
-Claramente, vemos que podemos encontrar las coordenadas “x”
usando la función coseno y podemos encontrar las coordenadas
en “y” usando la función seno. Entonces, tenemos las fórmulas:

7. Ejemplo para cada una de las transformaciones anteriores
Ejemplo de coordenadas rectangulares a polares:
-Si es que tenemos las coordenadas rectangulares (3, 4), ¿cuál es su equivalente en coordenadas
polares?
-Tenemos los valores x=3, y=4. Usamos las fórmulas dadas arriba junto con estos valores para
encontrar las coordenadas polares. Entonces, el valor de r es encontrado usando el teorema de
Pitágoras:
r= x2 + y2
r= 32 + 42
r= 9 + 16
r= 25
r= 5

8. Ejemplo para cada una de las transformaciones anteriores
-Ahora, encontramos el valor de θ usando la tangente inversa:
θ = tan -1 (y/x)
θ = tan -1 (4/3)
θ = 0.93 rad
-Tanto el componente en x como el componente en y son positivos, por lo que el punto está en el
primer cuadrante. Esto significa que el ángulo obtenido es el correcto.
-Las coordenadas polares son (5, 0.93 rad).

9. Ejemplo para cada una de las transformaciones anteriores
Ejemplo de coordenadas polares a rectangulares:
-Si es que tenemos a un punto con las coordenadas polares (5, π/3) ¿cuáles son sus coordenadas
rectangulares?
-Para poder realizar la transformación, debemos usar las fórmulas encontradas anteriormente para
convertir a coordenadas rectangulares. Entonces, el valor de x es encontrado usando la función
coseno:
X= r Cos (θ)
X= 5 Cos (π/3)
x= 5 (0.5)
X= 2.5
-El valor de y es encontrado usando la función seno:
Y= r Sin (θ) y= 5 (0.866)
Y= 5 Sin (π/3) y= 4. 33 Entonces, las coordenadas rectangulares son (2.5, 4.33).

10. ¿cómo se realiza la traslación de ejes?
-Se puede decir que, la traslación de ejes, es un cambio de los ejes de referencia sin girarlos, de
manera que cada eje permanece paralelo a su posición original. Una vez que el origen de un
sistema de ejes x e y se cambia al punto O´ (xo, yo) en el sistema original, es necesario dar a cada
punto p (x, y) en el sistema original un nuevo conjunto de coordenadas p´(x´, y´) en el nuevo
sistema, de acuerdo con las siguientes relaciones:
x = x´ + xo
y = y´ + yo
-El propósito de tal traslación de ejes es simplificar la ecuación de una curva para procesamiento
posterior. Por ejemplo, un círculo con centro en (1, 2) y un radio r = 3, se puede describir por medio
de la siguiente ecuación:
(x - 1) 2 + (y - 2)2 = 32
-Cuando los ejes de referencia se cambian a O´(1, 2), el mismo círculo se puede describir como:
[(x´+1) - 1] 2 + [(y´+2) - 2] 2 = 32
o (x´) 2 + (y´)2 = 32

11. ¿cómo se realiza la traslación de ejes?
-Como se muestra, es definitivamente más fácil trabajar con la ecuación en el nuevo sistema.

12. ¿cómo se realiza la rotación de ejes?
-Se puede decir que, la rotación de ejes, es un cambio de la orientación de los ejes de referencia
mientras se conserva el origen. La principal razón para rotar los ejes es que una ecuación dada es
mucho más simple en el nuevo sistema de coordenadas que en el sistema original.
-Si los ejes originales x y y rotan en sentido contrario al reloj, un ángulo θ, para cualquier punto
P(x, y), las coordenadas originales (x, y) se convierten en las nuevas coordenadas (x ´, y ´), que
son:
x ´= x Cos θ + y Sen θ
y´ = - x Sen θ + y Cos θ
-Para derivar la ecuación en las nuevas coordenadas, necesitamos expresar las coordenadas
originales en las nuevas coordenadas:
x = x ´ θ - y ´ Sen θ
y = x ´ Sen θ + y Cos θ

13. Representación Gráfica de una Circunferencia y una Parábola en
Coordenadas Polares
Representación de una circunferencia

14. Representación Gráfica de una Circunferencia y una Parábola en
Coordenadas Polares
Representación de una parábola en coordenadas polares