Contenido del Tema de Transformación de Coordenadas

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
PSMCARACAS
CATEDRA: Geometría Analítica
Geometría Analítica
Contenido del Tema de Transformación de Coordenadas
1.- Definición y concepto básico de la transformación de coordenadas
2.- Explique cómo se transforman las coordenadas rectangulares a polares
3.- Explique cómo se transforman las coordenadas polares a rectangulares
4.- De un ejemplo para cada una de las transformaciones anteriores
5.- Explique cómo se realiza la traslación de ejes
7.- Explique cómo se realiza la rotación de ejes
8.- Representación Gráfica de una Circunferencia y una Parábola en Coordenadas Polares.
Profesora: Ely Ramirez
Alumna: Nilda Mijares
C.I. 651480
ESCUELA: Ingeniería Eléctrica (43)
Caracas, 11 de Dic de 2021

2. 1- Definición y concepto básico de transformación de coordenadas.
Es el proceso que consiste en cambiar una relación, expresión o figura por otra. Así,
podemos transformar una ecuación algebraica en otra ecuación cada una de cuyas raíces sea el
triple de la raíz correspondiente de la ecuación dada; o podemos transformar una expresión
trigonométrica en otra usando las relaciones trigonométricas fundamentales.
Una transformación es una operación por la cual una relación, expresión o figura se
cambia en otra siguiendo una ley dada.
Analíticamente, la ley se expresa por una o más ecuaciones llamadas ecuaciones de
transformación.
Transformación de coordenadas:
Consideremos una circunferencia de radio “r” cuya ecuación está dada en la forma
ordinaria:
Siendo las coordenadas (h, k) del centro 0' diferentes de cero. Si esta circunferencia, sin
cambiar ninguna de sus características, se coloca con su centro en el origen 0, su ecuación toma
la forma más simple, o forma canónica.
Figura 1. Transformación de coordenadas de una circunferencia.
Vemos entonces, que moviendo los ejes coordenados paralelamente a sí mismos, hemos
transformado las coordenadas (x,y) de un punto cualquiera de la circunferencia en las
coordenadas (x’,y’) y como resultado hemos transformado la ecuación (1) en la ecuación más
simple (2). La operación de mover los ejes coordenados en el plano coordenado a una posición

3. diferente, paralelos a los ejes primitivos y dirigidos en el mismo sentido, se llama traslación de
los ejes coordenadas y es un tema que estudiaremos a continuación.
2- Explique cómo se transforman las coordenadas rectangulares a polares.
Las coordenadas polares son escritas de la forma (r, θ), en donde, r es la distancia y θ es
el ángulo. Estas coordenadas pueden ser relacionadas con las coordenadas rectangulares o
cartesianas usando trigonometría, un triángulo rectángulo y el teorema de Pitágoras. Resulta
que usamos la función tangente para encontrar al ángulo y el teorema de Pitágoras para
encontrar a la distancia, r.
Las coordenadas rectangulares son escritas de la forma (x, y) y las coordenadas polares
son escritas de la forma (r, θ). Estas coordenadas son relacionadas usando trigonometría (ver
figura 2).
Figura 2. Coordenadas rectangulares a polares.
Usando el triángulo rectángulo, podemos obtener relaciones para las coordenadas
polares en términos de las coordenadas rectangulares. Las coordenadas en x forman la base
del triángulo rectángulo y las coordenadas en y forman la altura. Además, la distancia r
corresponde a la hipotenusa del triángulo. Entonces, usando el teorema de Pitágoras se puede
encontrar la longitud de la hipotenusa:
El ángulo θ puede ser encontrado usando la función tangente. Recordemos que la
tangente de un ángulo es igual al lado opuesto dividido por el lado adyacente. El lado opuesto
es el componente y y el lado adyacente es el componente x. Entonces, tenemos:
De esta manera logramos transformar las coordenadas rectangulares a polares.

4. 3- Explique cómo se transforman las coordenadas polares a rectangulares.
Las coordenadas polares son definidas usando la distancia, r, y al ángulo, θ. Por otra
parte las coordenadas rectangulares, también conocidas como coordenadas cartesianas, son
definidas por x y por y. Podemos encontrar ecuaciones que relacionen a estas coordenadas
usando un triángulo rectángulo y las funciones trigonométricas seno y coseno. Para transformar
usamos trigonometría y relacionamos a estas dos coordenadas (ver figura 3):
Figura 2. Coordenadas polares a rectangulares.
Podemos encontrar las coordenadas x usando la función coseno y podemos encontrar
las coordenadas en y usando la función seno. Entonces, tenemos las fórmulas:

5. 4- Ejemplo de las transformaciones anteriores.
De rectangulares a polares:
Si tenemos las coordenadas rectangulares (3, 4), ¿cuál es su equivalente en coordenadas
polares?
Tenemos los valores x=3, y=4. Usamos las fórmulas dadas arriba junto con estos valores para
encontrar las coordenadas polares. Entonces, el valor de r es encontrado usando el teorema de
Pitágoras:
Ahora, encontramos el valor de θ usando la tangente inversa:
Tanto el componente en x como el componente en y son positivos, por lo que el punto
está en el primer cuadrante. Esto significa que el ángulo obtenido es el correcto. Las
coordenadas polares son (5, 0.93 rad).
De polares a rectangulares:
Si es que tenemos a un punto con las coordenadas polares (5, π/3), ¿cuáles son sus
coordenadas rectangulares?
Podemos observar los valores r=5 y θ= π/3. Usamos las fórmulas encontradas
anteriormente para convertir a coordenadas rectangulares. Entonces, el valor de x es
encontrado usando la función coseno y el valor de y es encontrado usando la función seno:

6. Entonces, las coordenadas rectangulares son (2.5, 4.33).

7. 5- Explique cómo se realiza la traslación de ejes.
Sean OX y OY los ejes primitivos y O’X’ y O’Y’ paralelos respectivamente a los anteriores,
los nuevos ejes. Sean también (h, k) las coordenadas de O’ con respecto al sistema inicial.
Supongamos que (x, y) son las coordenadas de un punto P con respecto a los ejes
primitivos, (x’, y’) las coordenadas del mismo punto, respecto a los nuevos. Para determinar x e
y en función de x’, y’; h y k, se tiene:
Por lo tanto las ecuaciones de traslaciones de ejes son:

8. 6- Explique cómo se realiza la rotación de ejes.
Sean OX y OY los ejes primitivos y O‘X‘ y O’Y’ los nuevos ejes, siendo O el origen común
de ambos sistemas. Representemos por θ el ángulo X‘OX de la rotación. Supongamos que (x, y)
son las coordenadas de un punto P del plano con respecto a los ejes primitivos, y (x’, y’) las
coordenadas del mismo punto, respecto de los nuevos ejes.
Para determinar x e y en función de x’, y’, θ se tiene:
Por lo tanto las fórmulas de rotación θ de los ejes coordenados son:
Por simplicidad el ángulo de rotación siempre se considera recto y positivo. Si se quiere
obtener los valores de x’ y de y’, se resuelve el sistema anterior considerando que las incógnitas
son x’, y’, luego tenemos:

9. 7- Representación gráfica de una circunferencia y una parábola en coordenadas polares.
Circunferencias:
La ecuación cartesiana de una circunferencia es:
Aplicando la transformación tenemos:
Resultando finalmente que r = a.
Cónicas (parábolas, elipses e hipérbolas): Ver imagen:

10. Se define a la parábola (e=1), a la elipse (0<e<1) y a la hipérbola (e>1) como el conjunto
de puntos en el plano tales que:
Entonces:
Y tenemos los casos especiales: